图中最短路径的最大数量
The Maximum Number of Shortest Paths in Graphs
- Shanghai Normal University（上海师范大学）
- Fudan University（复旦大学）
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AI总结：
本文通过基于随机游走诱导概率分布的概率计数方法，证实了Benjamini等人关于多重图最短路径数量精确上界的猜想，确定了简单图的精确最大值，并研究了等号成立的情况。
AI中文摘要：
Benjamini和Tzalini针对最大度不超过Δ的多重图中，距离为t的两个顶点间的最短路径数量得到了一个上界，并提出了一个关于精确上界的猜想。本文中，我们基于从两个端点出发的随机游走所诱导的概率分布，提出了一种概率计数方法。该方法为多重图得出了一个精确上界，并证实了他们的猜想。我们进一步确定了简单图的精确最大值，从而回答了Benjamini和Tzalini的另一个问题。我们还研究了等号成立的情况，描述了由x和y之间的最短路径构成的子图的结构，并给出了紧例子。
英文摘要：
Benjamini and Tzalik obtained an upper bound on the number of shortest paths between two vertices at distance $t$ in a multigraph of maximum degree at most $Δ$, and proposed a conjecture on the sharp bound. In this paper, we develop a probabilistic counting argument based on probability distributions induced by random walks from the two endpoints. This approach yields a sharp bound for multigraphs and confirms their conjecture. We further determine the exact maximum for simple graphs and thus answer another question of Benjamini and Tzalik. We also investigate the equality cases, describing the structure of the subgraph formed by shortest paths between $x$ and $y$ and giving tight examples.
