Independent domination versus packing in subcubic graphs
本文在次立方图中证明独立控制数至多为 packing 数的三倍，从而加强了 Henning 等人关于控制数受 packing 数与最大度之积限制的一般性结论。
2023-07-11 math.CO
Rich-neighbor 5-edge-colorings of subcubic graphs whose 3-vertices induce a matching
School of Mathematics, Hangzhou Normal University（杭州师范大学数学学院）
本文针对3-顶点诱导匹配的次立方图，证明了Petruševski与Škrekovski提出的富邻居5-边着色猜想，扩展了无相邻3-顶点次立方图的相关结果。
2026-10-16 math.CO
Packing colorings of subcubic outerplanar graphs
给定一个图$G$和一个正整数的非减序列$S=(s_1,\ldots,s_k)$，如果对$c^{-1}(i)$中任意两个不同的顶点$x$和$y$，$x$和$y$之间的距离大于$s_i$，则称这个映射$c:V(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$是$G$的$S$ -填充染色.使图$G$存在$(1,2,\ldots,k)$ -填充染色的最小整数$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_ρ(G)$。问题的有界性的包装色数类的次三次（平面）图进行了研究，在几个较早的文件，最近它被确定为不变量是无界的类的所有次三次图。本文证明了任何2-连通二部次立方外平面图的填充色数都是$7$有界的。进一步证明了每个次三次无三角形外平面图都有$(1,2,2,2)$ -填充染色，并且存在一个次三次无三角形外平面图不允许有$(1,2,2,2)$ -填充染色.此外，还存在一个不允许$(1,2,2,3)$ -填充染色的次立方无三角形外平面图.对于二部外平面图，我们给出了一个类似的二分法：每个这样的图都允许$S=(1,3,\ldots,3)$的$S$ -填充染色，其中$3$出现$Δ$次（$Δ$是顶点的最大度），并且如果序列$S$中的一个整数$3$被$4$替换，则这个性质不成立。
2020-04-11 math.CO
$k$-intersection edge-coloring subcubic planar multigraphs
给定一个简单图的边染色，给每个顶点$v$分配一个集合$S_v$，该集合由与$v$关联的边上使用的颜色组成。图的$k$交色指数是使边集能被适当$t$着色的最小$t$，另外还要求对每两个邻顶点$u$和$v$，有$|S_u \cap S_v| \le k$ .对于所有的$k \neq 2$，该值对于次三次可平面图是已知的，而且，这些值是最佳可能的。我们很自然地将这个定义推广到边重数有界的多重图，并且证明了边重数至多为2的次立方平面多重图的2-交色数至多为5，这是一个尖锐的结果。
2015-06-10 math.CO
The DP-coloring of the square of subcubic graphs
该研究针对次立方图平方图的DP着色问题，基于最大平均度参数，通过放电法得出两个DP着色数结论并证明首个界的紧性，丰富了距离着色与DP着色相关研究。
2024-05-15 math.CO
Tight Bounds on the Complexity of Semi-Equitable Coloring of Cubic and Subcubic Graphs
一个图$G=(V,E)$的$k$ -着色称为半公平的，如果存在一个将其顶点集划分为独立子集$V_1,\ldots,V_k$的划分，使得每个$i,j=2,\ldots,k$的$k$-着色为$|V_1| \notin \{\lceil |V|/k\rceil, \lfloor |V|/k \rfloor\}$和$||V_i|-|V_j|| \leq 1$.颜色类$V_1$被称为不均匀。本文研究了三次或次三次图$G$的顶点的半均匀$k$ -着色（$k\geq 4$）的复杂性.特别地，我们证明了，给定一个$n$ -顶点次立方图$G$和常数$ε> 0$，$k \geq 4$，如果$s \geq n/3+εn$，则获得其非公平色类大小为$s$的$G$的半公平$k$ -着色是NP-完全的，并且如果$s \leq n/3$，则它是多项式可解的。
2017-11-02 math.CO
Packing chromatic number of subcubic graphs
图$G$的包装$k$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$1\leq i\leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$i+1$。图$G$的填充色数（$χ_p(G)$）是最小的$k$，使得$G$具有填充$k$ -染色。Sloper证明了存在填充色数任意大的$4$ -正则图.关于次三次图的填充色数是否有界的问题，在一些文献中出现过。我们对这个问题的回答是否定的。此外，我们证明了对每一个固定的$k$和$g\geq 2k+2$，几乎每一个围长至少为$g$的$n$ -顶点三次图的填充色数都大于$k$ .
2017-03-30 math.CO
Partition subcubic planar graphs into independent sets
本文研究次三次平面图的packing $(1^{\ell}, 2^k)$-染色，证明了每个次三次平面图都是packing $(1,2^5)$-可染色的，且该结果是最优且紧的。
2025-06-25 math.CO
Packing $(1,1,2,2)$-coloring of some subcubic graphs
对于非减正整数序列$S = (s_1, \ldots, s_k)$，填充$S$着色是将$V(G)$划分为集合$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$1\leq i \leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$s_i+1$。使$G$具有填充$(1,2, \ldots, k)$ -着色的最小$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_p(G)$。对于图$G$，令$D(G)$表示通过细分每个边从$G$获得的图。关于$χ_p(D(G)) \le 5$是否适用于所有次三次图的问题首先由Gastineau和Togni提出，后来由Bresar，Klavzar，Rall和Wash提出。Gastineau和Togni观察到，如果可以证明除了Petersen图之外的每个次立方图都是packing $(1,1,2,2)$ -可着色的，那么猜想成立。最大平均度mad（$G$）被定义为$\max\{\frac{2|E(H)|}{|V(H)|}: H \subset G\}$。本文证明了具有$mad(G)<\frac{30}{11}$的次三次图是填充$(1,1,2,2)$ -可着色的。作为推论，Bresar等人的猜想对每一个具有$mad(G)<\frac{30}{11}$的次立方图$G$成立.
2019-11-10 math.CO
On $(1,2^4)$ and $(1,2^5)$-packing edge-coloring of sparse subcubic graphs
Konkuk University（建国大学）；Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高等研究院）；Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Guizhou Minzu University（贵州民族大学）
本文针对亚立方平面图，确定了使这类图存在(1,2⁵)-、(1,2⁴)-填充边着色的最小girth阈值的范围，证明两阈值均为有限值。
2026-09-01 math.CO
On the $(1^2,2^4)$-packing edge-coloring of subcubic graphs
本文证明顶点数超过 70 的连通次三次图均具有 $(1^2,2^4)$-packing 边着色，支持相关猜想，并以不可 $(1^2,2^3)$ 着色的图说明结果紧性。
2024-02-28 math.CO
On $(1^2,2^2)$-packing edge-coloring of sparse subcubic graphs
Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Xidian University（西安电子科技大学）
本文研究了稀疏次立方图的(1²,2²)-打包边着色问题，证明了所有3-不规则次立方多图均可被此类着色，且该结果最优。同时探讨了平面次立方图的着色性质，证明了足够大的环长可保证(1²,2²)-打包边着色。
2026-03-15 math.CO
On packing chromatic number of subcubic outerplanar graphs
虽然最近已经证明了填充色数在次三次图类上是无界的，但是存在填充色数有限（并且很小）的子类。这些子类包括次立方树、基3 Sierpi{Einstein}ski图和六角格。根据外平面图的结构性质，给出了外平面图的渐近界，并确定了几类次三次外平面图的更清晰的界。
2018-07-27 cs.DM math.CO
Strong list-chromatic index of subcubic graphs
图G的强$k$ -边染色是指图G的每一个色类都是诱导匹配的具有$k$色的边染色. $G$的强色指数，记为$χ'_{s}(G)$，是使$G$具有强$k$ -边染色的最小$k$。1985年，Erdens和Nešetzil证明了$χ'_{s}(G)\leq\frac{5}{4}Δ(G)^2$，其中$Δ(G)$是$G$的最大次数。当$G$是一个最大度不超过3的图时，Andersen和Horák，Qing和Trotter独立地证明了这个猜想.本文研究了强边染色的列表形式。特别地，我们证明了每一个次立方图的强列表色指数至多为11，每一个平面次立方图的强列表色指数至多为10。
2018-09-08 math.CO
Packing and Covering Immersion Models of Planar subcubic Graphs
一个图$H$是一个图$G$的浸入，如果$H$可以由某个子图$G$提升关联边得到.证明了存在一个多项式函数$f:\Bbb{N}\times\Bbb{N}\rightarrow\Bbb{N}$，使得如果$H$是一个在$h>0$边上的连通平面次三次图，$G$是一个图，$k$是非负整数，则要么$G$包含$k$顶点/边不交的子图，每个子图包含$H$作为浸入，或者$G$包含$f(k,h)$顶点/边的集合$F$，使得$G\setminus F$不包含$H$作为浸入。
2016-03-07 math.CO
Star 5-edge-colorings of subcubic multigraphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ'_{s}(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为4的路或圈是双色的。一个多重图$G$是星$k$ -边可着色的，如果$χ'_{s}(G)\le k$。Dvoák，Mohar and Šámal [Star chromatic index，J Graph Theory 72（2013），313- 326]证明了每个次三重图都是星$7$ -边可着色的，并证明了每个次三重图都应该是星$6$ -边可着色的. Kerdjoudj，Kostochka和Raspaud考虑了简单图的列表问题，证明了最大平均度小于$7/3$的次立方图是星列表- $5$ -边可着色的.已知具有最大平均度$14/5$的图不一定是星$5$ -边可着色的。本文证明了最大平均度小于$12/5$的次三重图是星$5$ -边可着色的.
2017-11-22 math.CO
Neighbor product distinguishing total colorings of corona of subcubic graphs
图$G$的一个恰当的$[k]$ -全着色$c$是从$V(G)\bigcup E(G)$到$[k]=\{1,2,\cdots,k\}$的一个映射$c$，使得$c(x)\neq c(y)$，其中$x$，$y\in V(G)\bigcup E(G)$和$x$与$y$相邻或关联.令$\prod(v)$表示$c(v)$与与$v$相关的所有边缘上的颜色的乘积。对每条边$uv\in E(G)$，若$\prod(u)\neq \prod(v)$，则称$c$为$G$的邻积区别全染色.我们用$χ"_{\prod}(G)$来表示$k$在$G$的这种着色中的最小值。在2015年，Li等人证明$Δ(G)+3$颜色使图具有区分全着色的邻居积。本文考虑了冠积$G\circ H$的邻积可区别全染色，得到了$χ"_{\prod}(G\circ H)\leq Δ(G\circ H)+3$ .
2021-04-22 math.CO
On star edge colorings of bipartite and subcubic graphs
一个图的星边染色是指没有长为4的$2$ -染色路或圈的正常边染色。$G$的星色指数$χ'_{st}(G)$是使$G$具有带$t$颜色的星边着色的最小数目$t$。我们证明了完全二部图的星色指数的上界，特别是我们得到了紧的上界的情况下，一个部分的大小最多$3$。我们还考虑了二部图$G$，其中一部分中的所有顶点具有最大度$2$，另一部分中的所有顶点具有最大度$b$。设$k$为整数（$k\geq 1$），证明了若$b=2k+1$则$χ'_{st}(G) \leq 3k+2$ ;若$b=2k$则$χ'_{st}(G) \leq 3k$ ;两个上界都是尖锐的.最后，我们考虑了著名的猜想，次三次图的星色指数最多$6$，特别是我们解决了这个猜想的三次Halin图。
2020-01-27 math.CO
Crumby colorings -- red-blue vertex partition of subcubic graphs regarding a conjecture of Thomassen
Eschlassen提出了以下猜想：每个$3$ -连通三次图都有一个红-蓝顶点着色使得蓝色子图的最大度至多为$1$（即由一个匹配顶点和一些孤立顶点组成）且红色子图的最小度至少为$1$且不含$3$ -边路.由于这种着色中所有单色分量都很小且存在一定的不规则性，我们称这种着色为\emph{crumby}。最近，Bellitto，Klimošová，Merker，Witkowski和Yuditsky \cite{counter}构造了一个无穷族，反驳了上述猜想.它们的原型反例是$2$ -连通的平面的，但包含一个$K_4$ -子环和一个$5$ -环。这使得上述猜想对于一些重要的图类是开放的：外平面图，$K_4$ -minor-free图，二部图。在这方面，我们证明了$2$ -连通的外平面图，$K_4$的细分和$1$ -细分的三次图允许crumby染色。如果每条边至少被细分一次，则$G$的细分是{ \it真正的}。我们证明了任何亚三次图的每个真正的细分都允许crumby染色。我们稍微概括了其中的一些结果，并制定了一些approaches。
2022-12-08 math.CO
Injective edge-coloring of sparse graphs
图$G$的内射边着色$c$是一种边着色，使得如果$e_1$、$e_2$和$e_3$是$G$中的三条连续边（如果它们形成长度为3的路径或循环，则它们是连续的），则$e_1$和$e_3$接收不同的颜色。使得$G$具有$k$颜色的内射边染色的最小整数$k$称为$G$的内射色指数（$χ'_{\textrm{inj}}(G)$）。这个参数是由Cardoso等\textit{al.} \cite{CCCD}由分组无线电网络问题激发而引入的。他们证明了计算图$G$的$χ'_{\textrm{inj}}(G)$是NP难的。我们给出了这个参数的新的上界，并给出了图的内射边染色与其他染色的关系。得到了次三次图的内射色指数的一般界为8。如果图是次立方二部的，我们改进了最后一个界限。证明了次立方二部图的内射色指数以$6$为界。证明了若$G$是一个最大平均度小于$\frac{7}{3} $的次立方图（分别为. $\frac{8}{3} $，$3$），则$G$允许至多4（resp. $6$、$7$）颜色。此外，我们建立了次三次外平面图的一个紧上界。
2020-08-31 math.CO
Packing edge-colorings of subcubic outerplanar graphs
本文证实了次立方外可平面图的 Packing 边着色猜想，证明其存在 $(1,2^5)$-coloring 和 $(1^2,2^3)$-coloring，并探讨了相关参数的最优取值范围。
2024-12-20 math.CO
2-distance 4-coloring of planar subcubic graphs with girth at least 21
本文证明了围长至少为21的平面次立方图具有2-距离4-染色，并构造出围长为11的平面次立方图反例，界定了该染色性质成立的围长下界。
2025-03-04 cs.DM math.CO
On (1,1,2,3)- and (1,1,3,3,3)-Packing Colorings of Claw-Free Subcubic Graphs
Lebanese University（黎巴嫩大学）；Lebanese International University (LIU)（黎巴嫩国际大学）；Al Maaref University（Al Maaref大学）；University of Sciences and Arts in Lebanon（黎巴嫩科学与艺术大学）；Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学、法国国家科学研究中心、波尔多理工学院、LaBRI实验室）
本文证实Gastineau等的猜想，证明所有无爪次立方图为(1,1,2,3)-填充可着色，除单个图ℋ外的连通无爪次立方图为(1,1,3,3,3)-填充可着色，结果最优，证明依赖结构框架与类Hall匹配论证。
2026-08-04 math.CO
Every subcubic graph is packing $(1,1,2,2,3)$-colorable
本研究证明所有次立方图均可进行填装(1,1,2,2,3)-着色且结果紧，将次立方图1-细分图的填装色数上界从8降至6，向解决相关猜想迈进关键一步。
2024-04-14 math.CO
Injective choosability of subcubic planar graphs with girth 6
图$G$的内射着色是指对图$G$的顶点进行颜色分配，使得具有公共邻居的任意两个顶点具有不同的颜色。一个图$G$是$k$ -可内射选择的，如果对任何列表分配$L$，其中$|L(v)| \geq k$对所有$v \in V(G)$，$G$有一个单射$L$ -着色.内射着色在纠错码理论中有应用，并且与其他可着色性概念密切相关。本文证明了围长至少为6的次立方可平面图是5-可内射选择图。这加强了Lužar、Škrekovski和Tancer的一个结果，即围长至少为7的次立方可平面图是5-可注入着色的。我们的结果也改进了其他几个结果在特定情况下。
2017-07-09 math.CO
New bounds for locally irregular chromatic index of bipartite and subcubic graphs
一个图是\textit{locally irregular}，如果每个顶点$v$的邻居的度不同于$v$的度。图$G$的\textit{locally irregular edge-coloring}是一个（不适当的）边染色，使得在任何颜色类的边上导出的图是局部不规则的.证明了$3$颜色满足局部不规则边着色的要求。最近，Bensmail等人（Bensmail，Merker，Bensassen：Decomposing graphs into a constant number of local irregular subgraphs，{ \em European J. Combin.}，60：124--134，2017）将问题的第一恒定上限解决为$328$颜色。在本文中，使用现有的结果相结合，我们提出了一个改进的边界的二部图和一般图，设置最佳上界$7$和$220$，分别。此外，我们还证明了$4$色满足任何次立方图的局部不规则边染色。
2016-11-17 math.CO
Impact of local girth on the S-packing coloring of k-saturated subcubic graphs
University of Sciences and Arts in Lebanon（黎巴嫩科学与艺术学院）；KALMA Laboratory, Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院 KALMA 实验室）；Al Maaref University（阿尔马雷夫大学）；Lebanese International University (LIU)（黎巴嫩国际大学）
研究局部圈长对k饱和子三次图S-打包着色能力的影响，通过参数分析和构造验证，揭示饱和度与局部圈长共同决定的可接受S-打包序列。
2026-03-26 math.CO
The crumby coloring conjecture for subcubic outerplanar graphs
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；HUN-REN–BME Stochastics Research Group（匈牙利研究与教育网络–布达佩斯技术与经济大学随机过程研究组）
研究次立方外平面图的碎屑着色猜想，引入有根文法，将碎屑着色扩展为可接受碎屑的着色，通过计算机辅助验证和手工证明，得出每个有限简单次立方外平面图都允许碎屑着色的结论。
2026-07-08 math.CO
Exact square coloring of subcubic planar graphs
研究了次立方平面图的正合平方色数。图G的正方形染色是指任意两个距离为2的顶点都有不同颜色的顶点染色。在G的这种着色中使用的最小颜色数是它的正方形色数，记为$χ^{\sharp 2}(G)$。这个概念与其他类型的基于距离的着色有关，也与内射着色有关。事实上，对于无三角形图，精确平方染色和内射染色是一致的。证明了平面图的特殊子类：次三次二部平面图和次三次无K4-minor图的正方形色数不超过4的紧界。然后，我们把注意力转向富勒烯图类，这是三次平面图的面大小为5和6。我们刻画了正方形色数为3的富勒烯图。此外，支持Chen，Hahn，Raspaud和Wang的一个猜想（所有的次立方平面图是5-可注入着色的），我们证明了富勒烯图的任何诱导子图的正方形色数至多为5。这是通过首先证明一个最小反例必须在最多80个顶点上，然后计算验证所有这些图的声明来完成的。
2021-01-24 cs.DM math.CO
Advances on the Packing Coloring Conjectures of Subcubic Graphs
本文研究次立方图的填充染色猜想，证明连通非正则次立方图是$(1,1,2,2)$-填充可染的，为几类立方图建立相同结果，并加强了现有结果，严格改进了界。
2025-09-24 math.CO
The tight bound for the strong chromatic indices of claw-free subcubic graphs
设$G$是一个图，$k$是一个正整数. $G$的强$k$ -边着色是映射$ϕ: E(G)\to \{1,2,\dots,k\}$，使得对于彼此相邻或与公共边相邻的任何两个边$e$和$e'$，$ϕ(e)\neq ϕ(e')$。$G$的强色指数，记作$χ'_{s}(G)$，是使$G$具有强$k$ -边染色的最小整数$k$。Lv，Li和Zhang [Graphs and Combinatorics 38（3）（2022）63]证明了如果$G$是除三棱柱之外的无爪次三次图，则$χ_s'(G)\le 8$ .此外，他们询问上限$8$是否可以改进为$7$。在本文中，我们肯定地回答了这个问题。我们的证明意味着一个线性时间算法找到强$7$ -边染色的图。我们还构造了无穷多个强色指数达到界$7$的无爪次立方图。
2022-07-21 math.CO
Every connected subcubic graph except the Petersen graph is packing $(1,1,2,2)$-colorable
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）
本文证明了所有连通次立方图除了彼得森图都是可(1,1,2,2)-着色的，解决了相关猜想和开放问题。
2026-03-24 math.CO
Fractional balanced chromatic number of signed subcubic graphs
针对带符号次立方图的平衡着色问题，本文证明除$(K_4,-)$及其开关等价图外所有此类图存在平衡$(5,3)$着色，且给出该特殊图的最优着色形式。
2025-04-17 math.CO
Linear colorings of subcubic graphs
图的线性染色是图的顶点的适当染色，使得每对颜色类诱导不相交路的并。本文证明了：对于最大度不超过3的连通图，如果图的顶点被分配了一个4的列表，则存在一个线性染色，使得每个顶点的颜色都属于分配给该顶点的列表，并且每个2度顶点的邻居都有不同的颜色，除非图是$C_5$或$K_{3,3}$ .这证实了Esperet、Montassier和Raspaud提出的一个猜想。我们的证明是建设性的，并产生一个线性时间算法来找到这样的着色。
2013-02-23 cs.DM math.CO
Total coloring of (sub)cubic Halin graphs
LaBRI, CNRS, University of Bordeaux（拉布里实验室，法国国家科学研究中心，波尔多大学）；Department of Computer Science, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics, Comenius University（布拉迪斯拉发康斯坦丁神学院数学物理与信息学院计算机科学系）
研究了(sub)cubic Halin图的完全着色问题，证明此类图仅有限个需要五种颜色，解决了四色猜想在该类图中的难题。
2026-03-24 math.CO
Strong list-chromatic index of subcubic graphs is at most 10
本文研究了强边着色的列表版本，证明边权至多为6的图其强列表色指数至多为10，进而得出每个次立方图的强列表色指数至多为10，改进了已有结果。
2025-07-16 math.CO
Further Results and Questions on $S$-Packing Coloring of Subcubic Graphs
本文研究次立方图子类的$S$-填充着色问题，定义了$i$-饱和与$(3,i)$-饱和次立方图，证明了1-饱和次立方图的两类填充着色性质及$(3,0)$-饱和次立方图的一类填充着色性质。
2024-07-10 cs.DM math.CO
Packing chromatic number of subdivisions of cubic graphs
图$G$的包装$k$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$1\leq i\leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$i+1$。图$G$的填充色数，$χ_p(G)$，是使$G$有填充$k$ -染色的最小$k$.对于图$G$，设$D(G)$表示由$G$通过细分每条边而获得的图。关于次三次图类$G$上的$χ_p(G)$和$χ_p(D(G))$的最大值的问题出现在几篇论文中。Gastineau和Togni问是否$χ_p(D(G))\leq 5$对任何亚立方$G$，后来Bresar，Klavzar，Rall和Wash澄清了这一点，但没有上限被证明。最近作者证明了$χ_p(G)$在次三次图类$G$中是无界的.相反，在本文中，我们证明了$χ_p(D(G))$在这个类中是有界的，并且不超过$8$。
2018-10-08 math.CO
Between proper and strong edge-colorings of subcubic graphs
在适当的边着色中，每种颜色的边形成匹配。如果它的边的端点诱导匹配，则诱导匹配。强边染色是指每种颜色的边都形成诱导匹配的边染色。我们考虑中间类型的边缘着色，其中某些颜色的边缘被允许形成匹配，其余的形成诱导匹配。我们的研究是由Gastineau和Togni在最近的一篇关于S-填充边着色的论文中提出的猜想（关于三次图的S-填充边着色，离散应用数学259（2019），63-75）断言，通过允许三个额外的诱导匹配，人们能够保存一个匹配颜色。证明了最大度为3的图可以分解为一个匹配至多8个诱导匹配和两个匹配至多5个诱导匹配。我们还证明了如果一个图是I类图，则诱导匹配数可以减少一个，从而证实了上述猜想。
2020-11-04 cs.DM math.CO
Locally irregular edge-coloring of subcubic graphs
本文研究次立方图的局部不规则边染色问题，证明最大度为3的可分解无爪图、循环置换图和广义Petersen图至多需要3种颜色，并给出需要3种颜色的围长4三次图无限族。
2022-10-10 cs.DM math.CO
Star edge coloring of some classes of graphs
图的\textit{A star edge coloring}是不含双色路和四圈的正常边染色.本文建立了树和次立方外平面图的紧上界，并导出了外平面图的一个上界。
2013-07-04 math.CO
Two-distance and list-two-distance coloring of cacti: the subcubic case and the C5 obstruction
Sardar Vallabhbhai National Institute of Technology（萨达尔·瓦拉巴伊国家技术学院）
本文精确确定了仙人掌图的两距离色数与列表两距离色数，证明二者相等，并给出次立方情形的完整分类，以5-圈为唯一障碍，同时验证了列表平方染色猜想的一个正例。
2026-09-18 math.CO
$t$-tone edge coloring of graphs
Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院）；Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文引入 $t$-调边染色的概念，研究 $t=2$ 时的上界，并给出树、平面图、外平面图及次立方图等图类的具体界。
2026-05-23 math.CO
New lower bounds on domination--packing ratios in connected subcubic and cubic graphs
University of Seoul（首尔大学）
该研究针对连通次立方图和立方图，构造显式二元分支族，证明其支配数与填充数之比的下界分别为13/6和17/8，反驳了\textit{γ(G)≤2ρ(G)+1}对连通立方图的适用性。
2026-08-18 math.CO
Computer assisted discharging procedure on planar graphs: application to 2-distance coloring
利用计算技术，我们提供了一个框架，证明结果的子类可平面图通过放电方法。本文的目的是应用这些技巧来研究平面次立方图的2-距离染色。应用这些技巧，我们证明了每个围长至少为8的次立方可平面图$G$的2-距离色数至多为6。
2022-02-13 cs.DM math.CO
Decomposition of cubic graphs related to Wegner's conjecture
Edassen提出了如下猜想：每个$3$ -连通三次图都有一个红-蓝顶点着色，使得蓝色子图的度最大（即它由一个匹配点和一些孤立点组成），红色子图的度最小至少为$1$，并且不含$3$ -边路.我们指出，具有相同性质的染色可能存在的任何次立方图。我们对所有的次立方树证实了这一说法。
2019-01-31 math.CO
Packing colouring of some classes of cubic graphs
图G的填充色数$χ$ $ρ$（G）是使其顶点集V（G）可划分为k个不相交子集V1，. ..，V k，使得对于每个i，1 $\le$ i $\le$ k，V i中的每两个不同顶点在G中的距离大于i。最近，Balogh，Kostochka和Liu证明了$χ$ $ρ$在次三次图类中没有界[Packing chromatic number of subcubic graphs，Discrete Math.341（2018），474483]，从而回答了以前在几篇论文中提出的问题。然而，三次图或次三次图的几个子类具有有界填充色数。在本文中，我们确定的确切值，或上，下界，包装色数的某些类别的三次图，即圆梯，所谓的H-图和广义H-图。
2018-08-14 cs.DM math.CO
On the Packing Coloring Gap of Graphs
Gebze Technical University（盖布泽理工大学）
本文研究了图的打包着色间隙，定义为删除单个顶点导致打包着色数最大减少的值，重点分析了树结构，特别是毛毛虫图，并扩展到毛毛虫图与K1的冠操作，同时给出了具有不同间隙值的图示例。
2026-05-19 math.CO
List-coloring the Square of a Subcubic Graph
图$G$的{ \em平方} $G^2$是具有与$G$相同的顶点集并且两个顶点相邻的图，如果它们在$G$中的距离至多为2。证明了具有最大度$Δ(G)=3$的平面图$G$满足$χ(G^2)\leq 7$ . Kostochka和Woodall证明了对任何图，$G^2$的列表色数等于$G^2$的色数，即对所有的$G$都是$χ_l(G^2)=χ(G^2)$.如果这个猜想成立，则这个猜想（连同Kassen的结果）意味着每个具有$Δ(G)=3$的平面图$G$满足$χ_l(G^2)\leq 7$。我们证明了每个连通图（不一定是平面的）与$Δ(G)=3$以外的彼得森图满足$χ_l(G^2)\leq 8$（这是最好的可能）。另外，我们证明了如果$G$是一个具有$Δ(G)=3$和围长$g(G)\geq 7$的平面图，那么$χ_l(G^2)\leq 7$ . Dvoák、Škrekovski和Tancer证明了，如果$G$是一个平面图，其周长为$Δ(G) = 3$和$g(G) \geq 10$，则有$χ_l(G^2)\leq 6$。我们改进了围长界，证明了如果$G$是一个平面图，且$Δ(G)=3$和$g(G) \geq 9$都有，则$χ_l(G^2) \leq 6$ .我们所有的证明可以很容易地转化为线性时间着色算法。
2015-02-28 math.CO
An upper bound on the fractional chromatic number of triangle-free subcubic graphs
图$G$的$(a:b)$ -染色是一个函数$f$，它将$G$的顶点映射到某个大小为$a$的集合的$b$ -元素子集中，使得对于$G$中的每两个相邻顶点$u$和$v$，$f(u)$与$f(v)$不相交。分数色数$χ_f(G)$是$a/b$在所有正整数对$a,b$上的下确界，使得$G$具有$(a:b)$ -着色。Heckman和Thomas证明了最大度不超过3的无三角形图$G$的分数色数不超过2.8。Hatami和Zhu证明了$χ_f(G) \leq 3-3/64 \approx 2.953$ . Lu和Peng改进了与$χ_f(G) \leq 3-3/43 \approx 2.930$的结合。最近，弗格森，凯泽和克拉尔证明了$χ_f(G) \leq 32/11 \approx 2.909$。本文证明了$χ_f(G) \leq 43/15 \approx 2.867$ .
2014-05-16 math.CO
On the packing coloring of base-3 Sierpiński and $H$ graphs
对于非减整数序列$S=(s_1, s_2, \ldots)$，图$G$的$S$ -填充$k$ -染色是从$V(G)$到$\{1, 2,\ldots,k\}$的映射，使得具有颜色$i$的顶点的成对距离大于$s_i$ .通过设置$s_i = d + \lfloor \frac{i-1}{n} \rfloor$，我们得到了图$G$的一个$(d,n)$ -填充染色. $G$的$(d,n)$ -填充染色存在的最小整数$k$称为$G$的$(d,n)$ -填充色数。在$d$和$n$都等于1的特殊情况下，我们称之为$G$的填充色数。给出了基3 Sierpienski图$S_k$的填充色数，并给出了这类图的$(d,n)$ -填充色数$d \le 2$的新结果.利用一个动态算法，我们建立了$H$ -图$H(r)$的填充色数.
2019-09-18 math.CO
$t$-tone colorings of outerplanar and Halin graphs
Lebanese University（黎巴嫩大学）；Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文研究了外平面图和哈林图的$t$-tone着色问题，确定了子三次外平面图的2-tone色数，并为哈林图给出了2-tone色数的上界。
2026-03-19 math.CO
S-Packing Colorings of Cubic Graphs
给定一个正整数的非减序列$S=(s\_1,s\_2, \ldots, s\_k)$，图$G$的{ \em $S$ -packing着色}是从$V(G)$到$\{s\_1,s\_2, \ldots, s\_k\}$的映射$c$，使得具有颜色$s\_i$的任何两个顶点的相互距离大于$s\_i$，$1\le i\le k$ .本文研究了（次）三次图的$S$填充染色.证明了次立方图是$(1,2,2,2,2,2,2)$ -填充可着色图和$(1,1,2,2,3)$ -填充可着色图.对于子三次图的细分，我们得到更清晰的界限，我们提供了一个例子，一个三次图的顺序$38$这不是$(1,2,\ldots,12)$包装着色。
2016-04-29 cs.DM math.CO
Complexity and algorithms for injective edge-coloring in graphs
图$G$的单射$k$ -边着色是将颜色（即$\{1, \ldots , k\}$中的整数）分配给$G$的边，使得每个与第三条边的一个不同端点关联的任何两条边接收不同的颜色。确定这种$k$ -着色是否存在的问题称为k-内射边着色。我们证明了3-内射边染色是NP-完全的，即使对于无三角形的三次图、任意大围长的平面次三次图和围长为6的平面二部次三次图也是如此。4-对于三次图，内射边染色是NP-完全的。对于任何$k\geq 45$，我们证明了k-内射边着色保持NP-完全，即使是最大度至多$5\sqrt{3k}$的图。与这些否定的结果相反，我们证明了\InjPbName{k}是线性时间有界树宽图上可解的。此外，我们证明了围长至少为~16的所有平面二部次三图都是$3$ -边可注入着色的。此外，任何最大度至多为$\sqrt{k/2}$的图都是$k$ -边可注入着色的.
2021-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
