On the Parameterized Complexity of the Maximum Edge Coloring Problem
我们研究了无线网络中的信道分配问题所引发的边着色问题的参数化复杂性。对于一个整数q>1和一个图G，目标是找到一个具有最大颜色数的图G的边的着色，使得图的每个顶点最多看到q种颜色。这个问题对于q>1是NP难的，并且已经从近似的角度得到了很好的研究。我们主要关注的是q=2的情况，这在理论上已经很复杂，而且与实际相关。我们展示了固定参数易于处理的算法的标准和双参数，并为后者的问题，结果是基于一个线性顶点核。
2013-06-12 cs.DM cs.DS
On the fine-grained complexity of rainbow coloring
彩虹k-着色问题询问给定图的边是否可以用$k$颜色着色，使得每对顶点通过彩虹路径连接，即，所有边都是不同颜色的路径。我们的主要结果表明，对于任何$k\ge 2$，没有彩虹k着色算法在时间上运行$2^{o(n^{3/2})}$，除非ETH失败。出于这个负面的结果，我们考虑两个参数化的变量的问题。在Chakraborty等人[STACS 2009，J. Comb. Opt. 2009]介绍的子集彩虹k-着色问题中，我们另外给出了一组$S$顶点对，我们询问是否存在一种着色，其中$S$中的所有顶点对都通过彩虹路径连接。我们证明了当用$|S|$参数化时，彩虹k-着色子集是FPT。我们还研究了最大彩虹k-着色问题，其中我们另外给定一个整数$q$，我们问是否存在一个着色，其中至少$q$的反边由彩虹路径连接.我们证明了当由$q$参数化时，该问题是FPT，并且对于每个$k\ge 2$都有一个大小为$O(q)$的核（从而证明该问题是FPT），扩展了Ananth等人的结果。[FSTTCS 2011]。
2016-02-17 cs.DM cs.DS
Algorithms and Almost Tight Results for 3-Colorability of Small Diameter Graphs
尽管关于几个基本参数的3-着色问题已经有了广泛的研究，但小直径图（即直径为2或3的图）上的3-着色问题的复杂性状态一直是一个长期存在且具有挑战性的公开问题。对于直径为2的图，我们提供了第一个次指数算法的复杂性$2^{O(\sqrt{n\log n})}$，这是渐近相同的，目前最好的已知的时间复杂度的图同构（GI）的问题。证明了直径为2的3-可着色图的图同构问题是GI-完全的。此外，我们提出了一个子类的图直径为2，承认多项式算法的3-着色。对于直径为3的图，我们证明了对于每一个$\varepsilon \in [0,1)$，直径为3，半径为2，顶点为$n$，最小度为$δ=Θ(n^{\varepsilon})$的无三角形图的3-染色是NP-完全的。此外，假设ETH，我们提供了三个不同的放大我们的硬度结果，以获得每个$\varepsilon \in [0,1)$次指数下界的复杂性，3-着色的三角形自由图直径为3和最小度$δ=Θ(n^{\varepsilon})$。最后，我们给出了一个直径为3的图的3-着色算法$2^{O(\min\{δΔ,\frac{n}δ\logδ\})}$，其中$δ$（resp. $Δ$）是最小值（分别为最大）度。据我们所知，该算法是第一个次指数算法的图与$δ=ω(1)$和图与$δ=O(1)$和$Δ=o(n)$。由于3-着色复杂度的上述下界，当输入图为$δ=Θ(n^{…
2012-10-17 cs.DM cs.DS math.CO
The Complexity of $(Δ+ 1)$Coloring inCongested Clique, Massively Parallel Computation,and Centralized Local Computation
我们提出了新的随机算法，提高了经典的$(Δ+1)$着色问题的复杂性，其推广$(Δ+1)$ -列表着色，在三个良好的研究模型的分布式，并行和集中式计算：分布式拥塞集团：我们提出了一个$O(1)$ -轮随机算法$(Δ+1)$ -列表着色的拥塞集团模型的分布式计算。这解决了这个问题的渐近复杂性。它还改进了Parter和Su [DISC'18]的$O(\log^\ast Δ)$轮随机化算法和Parter [ICALP'18]的$O((\log\log Δ)\cdot \log^\ast Δ)$轮随机化算法.大规模并行计算：在强次线性内存的大规模并行计算模型下，提出了一个具有轮复杂度$O(\sqrt{\log\log n})$的$(Δ+1)$ -列表着色算法。该算法对于任何期望的常数$α>0$使用每台机器的$O(n^α)$的存储器，以及$\widetilde{O}(m)$的总存储器，其中$m$是图的大小。值得注意的是，这是第一个着色算法与亚对数轮复杂度，在次线性记忆制度的MPC。对于MPC的准线性记忆机制，Assadi等人[SODA'19]最近给出了$O(1)$轮算法。集中式本地计算：我们表明，$(Δ+1)$ -列表着色可以解决$Δ^{O(1)} \cdot O(\log n)$查询复杂度，在集中式本地计算模型。集中式局部计算模型中的$(Δ+1)$ -列表着色的现有技术是基于已知的并行计算算…
2018-11-05 cs.DS
Polynomial Cases for the Vertex Coloring Problem
顶点着色问题的计算复杂性是已知的所有遗传类的图定义禁止两个连通的五顶点诱导子图，除了七种情况。我们证明了其中四个问题的多项式时间可解性：（$P_5$，飞镖）-免费的图形，（$P_5$，横幅）-免费的图形，（$P_5$，公牛）-免费的图形，（叉，公牛）-免费的图形。
2018-06-01 cs.DM cs.DS math.CO
The Complexity of the Partition Coloring Problem
给定一个简单无向图$G=(V,E)$和一个将顶点集$V$划分为$p$部分的划分，\textsc{Partition Coloring Problem}询问我们是否可以从划分的每个部分中选择一个顶点，使得在$p$所选顶点上诱导的子图的色数由$k$限定。PCP是经典\textsc{Vertex Coloring Problem}的一个推广问题，在调度和编码等许多领域有着广泛的应用。在本文中，我们用三个参数：颜色数，分区的部分数和分区的每个部分的最大大小来描述\textsc{Partition Coloring Problem}的复杂性。此外，我们给出了一个新的精确算法。
2020-07-28 cs.CC cs.DS
$b$-Coloring Parameterized by Pathwidth is XNLP-complete
我们表明，$b$着色问题是完整的类XNLP时，输入图的路径宽度参数化。除了确定该问题的精确参数化复杂性外，这意味着路径宽度参数化的b-着色对所有$t$都是$W[t]$ -困难的，并解决了树宽度参数化的$b$ -着色的参数化复杂性.
2022-09-16 cs.CC cs.DS
Coloring tournaments with few colors: Algorithms and complexity
本文研究用少量颜色为竞赛图着色的问题，提出新的分解引理并设计多项式时间算法，实现了用十种颜色为2-可着色竞赛图着色，同时证明了3-可着色竞赛图与3-可着色图常数着色问题之间的等价性，并给出加强下界。
2024-11-22 cs.DS
On the Parameterized Complexity of Coloring Discovery
University of Bremen（不来梅大学）
研究着色发现问题的参数化复杂性，针对三种修改模型给出固定参数算法与W[1]难下界，并证明四色情形在直径二图上仍NP完全。
2026-09-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Parameterized Coloring Problems on Threshold Graphs
本文从参数复杂性的角度研究了图的几个着色问题。我们表明，预着色扩展是固定参数易处理的（FPT）参数化的距离团和公平着色是FPT参数化的距离阈值图。我们还研究了列表k-着色问题，并证明了该问题在分裂图上是NP-完全的，并且在分裂图上是由解的大小参数化的FPT。
2020-05-28 cs.DM cs.DS
Acyclic, Star, and Injective Colouring: Bounding the Diameter
我们研究的影响，边界的直径，以及研究变种的着色问题。一个着色是非循环的，星，或内射，如果任何两个颜色类导致森林，星森林或不相交的顶点和边，分别工会。相应的决策问题有无圈着色、星着色和内射着色。最后一个问题也被称为$L(1,1)$ -标签，我们也考虑了$L(a,b)$ -标签的框架。我们证明了一些（几乎）完整的复杂性分类。特别是，我们表明，对于图的直径最$d$，无环$3$ -着色是多项式时间可解的，如果$d\leq 2$，但NP-完全，如果$d\geq 4$，和明星$3$ -着色是多项式时间可解的，如果$d\leq 3$，但NP-完全的$d\geq 8$。据我们所知，星$3$ -着色是第一个问题，表现出复杂性跳跃的一些$d\geq 3$。我们的第三个主要结果是，$L(1,2)$ -标签是NP-完全的图直径$2$，我们涉及后一个问题的一个特殊情况下的哈密顿路径。
2021-09-08 cs.CC cs.DM cs.DS
Parameterized complexity of $k$-Coloring in graphs with no long induced paths
Warsaw University of Technology（华沙理工大学）
该研究证明了无长导出路径图中k-着色和3-着色问题的参数化复杂性，解决了两个图论领域的长期开放问题，并基于指数时间假设给出了算法下界。
2026-09-14 cs.DS
Parameterized Complexity of the List Coloring Reconfiguration Problem with Graph Parameters
设$G$是一个图，使得每个顶点都有其可用颜色的列表，并假设每个列表是由$k$颜色组成的公共集合的子集。对于两个给定的列表着色的$G$，我们研究的问题转化为其他的一次只改变一个顶点的颜色分配，而在任何时候都保持一个列表着色。这个问题是已知的PSPACE完全的，即使有界带宽图和一个固定的常数$k$。在本文中，我们研究了固定参数的易处理性的问题时，参数的多个图参数。我们首先给出了一个固定参数算法的问题时，参数为$k$和输入图的模宽度。接下来，我们给出了一个固定参数的算法时，最短的变量参数为$k$和输入图的最小顶点覆盖的大小。作为推论，我们证明了问题的cographs和分裂图的最短的变种是固定参数听话，即使只有$k$作为一个参数。另一方面，我们证明了当仅由输入图的最小顶点覆盖的大小参数化时，该问题是W[1]-困难的。
2017-05-22 cs.DM cs.DS
Linear-time algorithm for vertex 2-coloring without monochromatic triangles on planar graphs
在没有单色三角形的2-着色问题（或三角树2-着色）中，简单，连通，无向图的顶点被着色为“黑”或“白”，使得没有3个相互相邻的顶点具有相同的颜色。在本文中，我们肯定地回答了在我们以前的工作中提出的问题，即，是否存在一个算法解决平面图上的2-着色没有单色三角形线性时间复杂度。
2021-10-09 cs.DS math.CO
The Parameterized Complexity of Vertex-Coloring Edge-Weighting
Department of Computer Science and Engineering, IIT Hyderabad（印度理工学院海德拉巴分校计算机科学与工程系）；School of Computer Science, University of Leads（利兹大学计算机学院）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
研究了顶点着色{0,1}边加权问题及其推广问题的参数复杂性，证明了在不同结构参数下该问题的难解性和可解性，发现反馈顶点集参数下问题W[1]-难，而顶点覆盖集参数下问题可解，树宽参数下问题有XP算法。
2026-04-14 cs.CC cs.DM cs.DS
Finer Tight Bounds for Coloring on Clique-Width
我们重新审视经典的$k$ -着色问题的复杂性参数的candle宽度。这是一个研究得很好的问题，当颜色$k$的数量很大时，这个问题变得非常棘手。然而，对于$k$的小的具体值，其复杂性知之甚少。本文对任意固定的$k$，在SETH下，完全确定了以宽度为参数的$k$ -着色的复杂性.具体地说，我们证明了对于所有的$k\ge 3,ε>0$，$k$着色不能解决的时间$O^*((2^k-2-ε)^{cw})$，并给出了一个算法运行的时间$O^*((2^k-2)^{cw})$。因此，如果SETH为真，则$2^k-2$是每个$k$的指数的“正确”基数。在此过程中，我们还考虑了$k$ -着色的复杂性，该着色由相关参数模块树宽（$mtw$）参数化。在这种情况下，我们表明，“正确的”运行时间，在SETH下，是$O^*({k\choose \lfloor k/2\rfloor}^{mtw})$。如果我们将我们的结果基于一个较弱的假设（ETH），它们意味着$k$ -着色不能在时间$n^{o(cw)}$中求解，即使在具有$O(\log n)$颜色的实例上也是如此。
2018-04-21 cs.CC cs.DS
Faster Distributed $Δ$-Coloring via a Reduction to MIS
本文通过将$\Delta$-着色问题归约到MIS问题，在LOCAL模型中实现了与$(\Delta+1)$-着色相同的$\tilde{O}(\log^{5/3} n)$轮确定性复杂度，并改进了随机化及有界度图上的复杂度界。
2025-10-18 cs.DC cs.DS
Parameterized Complexity of Conflict-free Graph Coloring
给定一个图G，q-开邻域无冲突染色或q-ONCF-染色是顶点染色$c:V(G) \rightarrow \{1,2,\ldots,q\}$，使得对于每个顶点$v \in V(G)$，$N(v)$中有一个顶点与$N(v)$中的其余顶点唯一着色。当我们用闭邻域$N[v]$代替$N(v)$时，我们称这样的染色为q-闭邻域无冲突染色或简称为q-CNCF-染色。本文研究了当q为常数时输入图是q-ONCF-染色还是q-CNCF-染色的NP-难判定问题。我们将在参数化设置下研究这两个问题。首先，我们研究了这些问题的FPT算法的运行时间界限，当参数树宽。我们改进了现有的上界，并提供了ETH和SETH下运行时间的下界。其次，我们研究了这两个问题的核化复杂性，使用顶点覆盖作为参数。我们证明了$(q \geq 2)$ -着色和$(q \geq 3)$ -着色都不能有多项式核，除非$NP \in coNP/poly$。然而，我们得到了一个多项式核的2-CNCF-染色的顶点覆盖参数化。我们得出一些组合的结果。将$χ_{ON}(G)$和$χ_{CN}(G)$分别表示为ONCF-颜色和CNCF-颜色G所需的最小颜色数。关于$χ_{CN}(G)$的结构参数，如最小顶点覆盖大小，最小反馈顶点集大小和树宽的上界是已知的。据我们所知，只有一个上限$χ_{ON}(G)$的最小顶点覆盖大小是已知的。我们提供了紧界$χ_{O…
2019-05-01 cs.CC cs.DS
On the complexity of finding large odd induced subgraphs and odd colorings
我们研究的复杂性问题的发现，给定一个图$G$，一个最大的诱导子图的$G$与所有度奇（称为奇子图），和最小数量的奇子图的分区$V(G)$。我们分别将这些参数称为${\sf mos}(G)$和$χ_{\sf odd}(G)$。证明了判定$χ_{\sf odd}(G) \leq q$是否多项式时间可解的条件是$q \leq 2$，否则是NP完全的.我们提供了时间算法$2^{O({\sf rw})} \cdot n^{O(1)}$和$2^{O(q \cdot {\sf rw})} \cdot n^{O(1)}$计算${\sf mos}(G)$和决定是否$χ_{\sf odd}(G) \leq q$的$n$ -顶点图的秩宽度至多${\sf rw}$，分别，我们证明了对秩宽度的依赖是渐近最优的ETH。最后，我们给出了这些参数在受限图类上或与其他参数相关的一些紧界。
2021-04-28 cs.CC cs.DS math.CO
$(Δ+ 1)$ Vertex Coloring in $O(n)$ Communication
本文研究两方分布式场景下的 $(Δ+1)$ 顶点着色通信复杂度，提出使用 $O(n)$ 比特通信的随机化协议，并结合 $Ω(n)$ 下界在常数因子内完全解决了该问题的随机化通信复杂度。
2025-01-02 cs.DS
Fine-Grained Parameterized Complexity Analysis of Graph Coloring Problems
$q$ -着色问题询问图的顶点是否可以用$q$颜色适当地着色。Lokshtanov等人[SODA 2011]表明，对于任何$\varepsilon > 0$，具有大小为$k$的反馈顶点集的图上的$q$ -着色不能在时间$\mathcal{O}^*((q-\varepsilon)^k)$中求解，除非强指数时间假设（SETH）失败。在本文中，我们执行一个细粒度的分析的复杂性$q$着色相对于一个层次的参数。我们表明，即使参数化的顶点覆盖数，$q$必须出现在基地的指数：除非ETH失败，没有通用常数$θ$，使$q$ -着色参数化的顶点覆盖可以解决的时间$\mathcal{O}^*(θ^k)$为所有固定的$q$。我们应用一种方法，由于詹森和Kratsch [通知。计算（& C）2013]来证明存在$\mathcal{O}^*((q - \varepsilon)^k)$时间算法，其中$k$是到几个图类$\mathcal{F}$的顶点删除距离，对于这些图类，已知$q$ -着色在多项式时间内可解。我们推广了早期的ad-hoc结果表明，如果$\mathcal{F}$是一类图的$(q+1)$ -着色成员有界树深，那么存在一些$\varepsilon > 0$，$q$ -着色可以解决时间$\mathcal{O}^*((q-\varepsilon)^k)$参数时，由一个给定的调制器的大小$\mathcal{…
2017-01-24 cs.CC cs.DS
Superfast Coloring in CONGEST via Efficient Color Sampling
我们提出了一个有效地采样的{ \congest }模型中的颜色的过程。它允许颜色数量超过其邻居数量一个恒定分数的节点在$O(1)$轮中对其邻居未使用的半随机颜色进行采样，最多可达$Θ(\log n)$，即使在距离为2的设置中。这产生了具有$O(\log^* Δ)$复杂度的算法，用于不同的边着色、顶点着色和距离2着色问题，尽可能匹配最佳。特别地，我们得到了当$Δ\ge \log^{1+1/\log^*n} n$为$(1+ε)Δ$ -边着色时的$O(\log^* Δ)$ -轮CONGEST算法，以及一般情况下$(2Δ-1)$ -边着色的poly（$\log\log n$）-轮算法.采样过程的灵感来自纽曼在通信复杂性的开创性成果。
2021-03-03 cs.DC cs.DS
Optimal (degree+1)-Coloring in Congested Clique
University of Warwick（华威大学）；Durham University（杜伦大学）；The Institute of Mathematical Sciences（数学科学研究所）
本文在拥堵 clique 模型中研究了 (度数+1)-列表着色问题，证明其可在常数轮次内确定性解决。
2026-03-17 cs.DS
A Complexity Dichotomy for Critical Values of the b-Chromatic Number of Graphs
一个图的$b$ -染色是它的顶点的一个适当的染色，使得每个颜色类包含一个顶点，该顶点至少有一个邻居在所有其他颜色类中。b-着色问题是问一个图$G$是否有一个$b$ -着色与$k$颜色。图$G$的$b$ -色数，记为$χ_b(G)$，是使得$G$允许用$k$色进行$b$ -染色的最大数.我们考虑b-着色问题的复杂性，只要$k$的值接近$χ_b(G)$的两个上界之一：最大程度$Δ(G)$加一，和$m$ -度，表示为$m(G)$，这是定义为最大数量$i$，使$G$有$i$顶点的程度至少$i-1$。我们得到一个二分法的结果表明，对于固定的$k \in \{Δ(G) + 1 - p, m(G) - p\}$，这个问题是多项式时间可解的，只要$p \in \{0, 1\}$，即使当$k = 3$，它是NP-完全的，只要$p \ge 2$。此外，我们考虑参数化的b-着色问题，涉及的最大程度$Δ(G)$的输入图$G$，并给出两个FPT算法。首先，我们证明了决定一个图$G$是否有$b$ -着色与$m(G)$颜色是FPT参数化的$Δ(G)$。其次，我们证明了b-着色是由$Δ(G) + \ell_k(G)$参数化的FPT，其中$\ell_k(G)$表示度至少为$k$的顶点的数目。
2019-02-11 cs.CC cs.DS
Grundy Coloring & friends, Half-Graphs, Bicliques
首次拟合着色是一种启发式方法，它为每个顶点分配最小的可用颜色，以指定的顺序$σ$到达。Grundy Coloring问题询问对于最敌对的顶点排序$σ$需要多少颜色，即，在所有可能的顶点排序中，第一拟合着色所需的最大颜色数。自1939年Grundy成立以来，Grundy着色一直在研究其结构和算法方面。一般图的Grundy着色的一个强力$f(k)n^{2^{k-1}}$时间算法并不难得到，其中$k$是最具对抗性的顶点排序所需的颜色数。有人问过几次是否可以避免或减少$n$的指数中对$k$的依赖性，直到现在，它的答案似乎难以捉摸。在指数时间假设下，证明了Grundy染色是W[1]-困难的，而蛮力算法是本质最优的，从而从反面解决了这个问题。在我们的W[1]-硬度证明中的关键成分是使用所谓的半图作为构建块来将颜色从一个顶点传递到另一个顶点。利用半图，我们还证明了b-色核是W[1]-硬的，其参数化复杂性是Panolan等人提出的一个开放问题。一个自然的后续问题是，在没有（大的）半图的情况下，参数化的复杂性如何变化。我们建立了固定参数的易处理$K_{t,t}$ -自由图的b-色核和部分Grundy染色，使一个步骤来回答这个问题。易处理性结果背后的关键组合引理可能是独立的利益。
2020-01-11 cs.CC cs.DM cs.DS
Ultrafast Distributed Coloring of High Degree Graphs
本文给出了$Δ+1$ -列表着色问题的一个新的随机分布算法。该算法及其分析大大简化了Chang，Li和Pettie [SICOMP 2020]之前已知的最佳结果。这允许许多改进，特别是，我们可以在$O(\log^* n)$轮中对最大度$Δ\ge \log^{2+Ω(1)} n$的所有$n$节点图进行着色。该算法在CONGEST模型中工作，即，它只使用每个消息的$O(\log n)$比特来进行通信。在低度图上，该算法将图分解为$O(\log^* Δ)$轮中大小为$\operatorname{poly}(\log n)$的组件，表明CONGEST中$Δ+1$ -列表着色的随机复杂性本质上取决于相关着色问题的确定性复杂性。
2021-05-10 cs.DC cs.DS
An Optimal Distributed $(Δ+1)$-Coloring Algorithm?
顶点着色是分布式计算中研究的经典对称破缺问题之一。本文给出了随机${\sf LOCAL}$模型在$O(\mathsf{Det}_{\scriptscriptstyle d}(\text{poly} \log n))$时间内$(Δ+1)$ -列表着色的一个新算法，其中$\mathsf{Det}_{\scriptscriptstyle d}(n')$是$n'$ -顶点图上$(\text{deg}+1)$ -列表着色的确定性复杂度. (In对于这个问题，每个$v$都有一个大小为$\text{deg}(v)+1$的调色板。）这改进了Harris、Schneider和Su [STOC'16，JACM'18]的具有复杂度$O(\sqrt{\log Δ} + \log\log n + \mathsf{Det}_{\scriptscriptstyle d}(\text{poly} \log n))$的先前随机化算法，并且对于$Δ$的某些范围，比Fraigniaud、Heinrich和Kosowski [FOCS'16]以及Barenboim、Elkin和Goldenberg [PODC'18]的具有复杂度$O(\sqrt{Δ\log Δ}\log^\ast Δ+ \log^* n)$的最知名的确定性算法快得多。我们的算法“似乎是”最优的，鉴于$Ω(\mathsf{Det}(\text{poly} …
2019-03-11 cs.DC cs.DS
Bipartite Temporal Graphs and the Parameterized Complexity of Multistage 2-Coloring
我们考虑识别二部时态图的算法复杂性。而不是定义这些图仅仅由其底层图或单独的层，我们定义一个二分时间图，其中每一层可以是2色的方式，导致在任何两个连续层之间的变化很少。这种方法遵循近年来越来越受到关注的多阶段问题的框架。我们研究识别这些图的复杂性。我们表明，这个问题是NP难的，即使只有两个层，或者如果只有一个变化是允许连续层之间。我们考虑的问题的参数化的复杂性，相对于几个结构图参数，我们从静态转移到时间设置在三个不同的方式。最后，我们考虑一个版本的问题，在这个版本中，我们只限制整个生命周期的图形的变化的总数。我们表明，这种变体是固定参数听话的变化的数量。
2021-11-17 cs.CC cs.DS
Solving Hard Computational Problems Efficiently: Asymptotic Parametric Complexity 3-Coloring Algorithm
几乎所有科学和技术学科中的许多实际问题都被归类为计算困难（NP困难甚至NP完全）。在生命科学中，组合优化问题经常出现在分子生物学中，例如，基因组测序;多个基因组的全局比对;在几乎所有这些问题中，都需要证明一个假设，即只有当一个对象采用某种特定的可接受结构时，它的某些属性才能存在。（NP证书）或缺席然而，当无法找到解时，没有一种标准方法可以放弃假设，因为没有一种方法可以提供不存在容许结构的证明。本文提出了一种算法，引入了一种新型的解决方法，以“有效地”解决图3-着色问题; NP完全问题。所提出的方法在两种情况下都提供了证书（证明）：存在或不存在，因此可以根据严格的证明接受或拒绝假设。它提供精确解并且是多项式时间的（即，有效），但参数。唯一的要求是足够的计算能力，这由参数$α\in\mathbb{N}$控制。然而，在这里，它被证明，需要$α>k$的值，以获得一个随机图的解决方案的概率呈指数下降：$P(α>k) \leq 2^{-(k+1)}$，使得易于处理的几乎所有的问题实例。进行了全面的实验分析。该算法在随机图、平面图和4-正则平面图上进行了测试。实验结果与理论预期结果一致。
2012-09-22 cs.CC cs.DM cs.DS
Complexity of fall coloring for restricted graph classes
我们加强了Laskar和Lyle（离散应用数学（2009），330-338）的结果，证明了决定一个二分平面图是否可以划分为三个独立的控制集是NP-完全的。相反，我们表明，这是总是可能的每一个最大的外平面图至少有三个顶点。此外，我们推广了他们以前的结果，证明了决定一个二部图是否可以被划分为$k$独立控制集是NP-完全的每一个$k \geq 3$。我们还加强了Henning等人（离散数学（2009），6451-6458）的结果，通过证明确定一个图是否有两个不相交的独立控制集是NP-完全的，即使该问题仅限于无三角形平面图。最后，对每一个$k \geq 3$，证明了存在一个常数$t$只依赖于$k$，使得判定一个$k$ -正则图是否可划分为$t$独立控制集是NP-完全的.最后，我们得出适度的指数时间算法的问题。
2019-05-12 cs.CC cs.DM cs.DS
Parameterized Algorithms for Conflict-free Colorings of Graphs
本文研究了由邻域诱导的图的无冲突染色。图的染色是无冲突的，如果每个顶点在其邻域内都有唯一着色的顶点。无冲突着色问题是用最少的颜色数对图的顶点进行着色，使得着色是无冲突的。我们考虑封闭的邻域，其中一个顶点的邻域包括自己，和开放的邻域，其中一个顶点不包括在其邻域。研究了无冲突闭邻域染色和无冲突开邻域染色问题的参数化复杂性。我们发现，这两个问题是固定参数易处理（FPT）时，参数化的输入图的集群顶点删除数。这推广了Gargano等人的结果。（2015）无冲突着色是由顶点覆盖数参数化的固定参数易处理的。此外，我们发现，这两个问题承认一个添加剂常数近似算法时，参数化的距离阈值图。我们还研究了特殊图类上问题的复杂性。我们证明了这两个问题都可以在上图的多项式时间内得到解决。对于分裂图，我们给出了闭邻域无冲突染色问题的多项式时间算法，而我们证明了开邻域无冲突染色是NP-完全的。我们发现，区间图可以是无冲突着色使用最多四种颜色。
2017-09-30 cs.DS
On vertex coloring without monochromatic triangles
我们研究了经典顶点着色问题的一个松弛问题，即无向简单图的顶点着色问题，使得没有单色三角形。我们给出了经典和参数化算法的问题的第一个分类。几个计算复杂性的结果也被提出，这改善了以前的结果中发现的文献。本文提出了无向简单图的一个新的结构参数--无三角形色数$χ_3$。我们用其他已知的结构参数来约束$χ_3$。我们还提出了两类图有趣的着色性质，发挥关键作用，证明有用的观察我们的问题。我们在本文中给出/提出了几个问题，以鼓励在图着色领域的新研究。
2017-10-19 cs.CC cs.DS math.CO
An Exponential Separation Between Randomized and Deterministic Complexity in the LOCAL Model
在过去的30年中，许多算法已经被设计用于对称破缺问题的模型，如最大匹配，MIS，顶点着色，边着色。对于大多数问题，最好的随机算法至少比最好的确定性算法快指数。在本文中，我们证明了这些指数差距是必要的，并建立了确定性和随机化的复杂性之间的联系，在ESTA模型。每个结果都有一个非常引人注目的信息：1。快速$Δ$ -树的着色需要随机位：基于Brandt等人最近的下界，本文证明了对任意$Δ\ge 3$，用最大度$Δ\ge 55$对树进行$Δ$着色的随机复杂性为$Θ(\log_Δ\log n)$，而确定复杂性为$Θ(\log_Δn)$。这也建立了$Δ$ -着色和$(Δ+1)$ -着色树的确定性复杂性之间的大分离。2.随机下界意味着确定性下界：我们证明，任何确定性算法的一个自然类的问题，在$O(1)+o(\log_Δn)$轮运行可以转换为运行在$O(\log^*n-\log^*Δ+1)$轮。如果变换后的算法违反了一个下限（甚至允许随机化），那么可以得出结论，该问题需要$Ω(\log_Δn)$时间确定性。3.确定性下界意味着随机下界：我们证明了任何自然问题的大小$n$的实例的随机复杂性至少是其确定性复杂性的大小$\sqrt{\log n}$的实例。这表明，任何问题的确定性$Ω(\log_Δn)$下限意味着随机$Ω(\log_Δ\log n)$下限。它还说明了图粉碎技术是必不可少的，以保证模型。
2016-04-06 cs.CC cs.DC cs.DS
Bounded Max-Colorings of Graphs
在点/边赋权图的有界极大染色中，每个色类的基数至多为$b$，且其权等于该类中最重的点/边的权.有界最大点/边着色问题要求这样的着色最小化所有颜色类的权重之和。本文给出了一般图、二部图和树上这类问题的复杂性结果和近似算法。我们首先表明，这两个问题是多项式的树，当颜色的数量是固定的，和$H_b$近似的一般图，当绑定$b$是固定的。对于有界最大顶点着色问题，我们给出了二部图的一个17/11-近似算法，当$b$固定时，给出了树和二部图的一个PTAS.对于单位权，我们通过一个简单的4/3近似算法证明了二部图的4/3下界是紧的。对于有界最大边着色问题，我们证明了$3-2/\sqrt{2b}$对一般图的逼近因子，$\min\{e, 3-2/\sqrt{b}\}$对二分图的逼近因子，以及2对树的逼近因子.此外，我们表明，这个问题是NP-完全的，即使是树。这是第一个复杂性的结果最大着色问题的树木。
2009-04-10 cs.DS
Coloring Fast Without Learning Your Neighbors' Colors
我们给出了一个改进的距离- $2$着色的随机CONGEST算法，该算法使用$Δ^2+1$颜色并在$O(\log n)$轮中运行，改进了[Halldórsson，Kuhn，Maus; PODC '20]中最近的$O(\log Δ\cdot \log n)$轮算法。然后，我们将时间复杂度提高到$O(\log Δ) + 2^{O(\sqrt{\log\log n})}$。
2020-08-10 cs.DC cs.DS
Efficient Deterministic Distributed Coloring with Small Bandwidth
我们发现，$(degree+1)$ -列表着色问题可以在\CONGEST模型中的$O(D \cdot \log n \cdot\log^2Δ)$轮中确定性地解决，其中$D$是图的直径，$n$是节点数，$Δ$是最大度。使用Rozhoregon和Ghaffari [STOC 2020]最近的多周期时间确定性网络分解算法，这意味着第一个有效的（即，$\poly\log n$ -时间）确定性\CONGEST算法，用于$(Δ+1)$ -着色和$(\mathit{degree}+1)$ -列表着色问题.以前，最著名的算法需要$2^{O(\sqrt{\log n})}$轮，而不是基于网络分解。我们的技术也导致确定性的$(\mathit{degree}+1)$ -列表着色算法的拥塞集团和大规模并行计算（MPC）模型。对于拥塞集团，我们得到了一个时间复杂度为$O(\logΔ\cdot\log\logΔ)$的算法，对于MPC模型，我们得到了线性记忆区域的轮复杂度为$O(\log^2Δ)$的算法和次线性记忆区域的轮复杂度为$O(\log^2Δ+ \log n)$的算法.
2020-04-07 cs.DC cs.DS
Distributed coloring in sparse graphs with fewer colors
本文研究了分布环境下稀疏图的有效着色问题，并给出了一个尽可能少的着色数。根据著名的四色定理，可平面图最多可以用4种颜色着色，并给出了求这类图着色的（序贯）二次算法。一个自然的问题是在分布式环境中提高这种复杂性。Goldberg，Plotkin和Shannon利用可平面图线性地包含许多度至多为6的顶点这一事实，得到了一个在$O(\log n)$轮中用7种颜色着色$n$ -顶点可平面图的确定性分布式算法。在这里，我们展示了如何在$\mbox{polylog}(n)$轮中使用6种颜色对可平面图进行着色。我们的算法确实更一般地工作在列表着色设置和稀疏图（对于这样的图，我们提高了至少一个颜色的数量，从一个有效的算法Barenboim和埃尔金，在一个稍微最坏的复杂性为代价）。我们对颜色数量的界限一般来说是相当清晰的。在其他的结果中，我们证明了没有分布式算法可以在$o(n)$轮中用4种颜色对每个$n$ -顶点可平面图进行着色。
2018-12-19 cs.DC cs.DS math.CO
On Structural Parameterizations of Star Coloring
一个图G的星染色是一个正常的顶点染色，使得四个顶点上的每条路至少使用三种不同的颜色。图G的这类星染色所需的最少颜色数称为星色数，记为χ_s（G）。给定一个图G和一个正整数k，星形着色问题询问$G$是否有至多使用k种颜色的星形着色。这个问题是NP-完全的，即使在限制图类，如二分图。本文从参数化复杂性的角度出发，对星着色进行了研究。我们表明，STAR COLORING是固定参数的参数时，（a）邻域多样性，（b）双覆盖，（c）的组合参数cnumber-width和颜色的数量。
2022-11-22 cs.DS
The Parameterized Complexity of Happy Colorings
考虑一个图$G = (V,E)$和一个顶点着色$c$，顶点的颜色来自$[\ell]$。如果对于$v$的所有邻居$u$，$c(v) = c(u)$满足，则顶点$v$被称为相对于$c$是满意的。此外，如果$c(u) = c(v)$，则边缘$(u,v)$是满意的。给定$V$的部分着色$c$，最大快乐顶点（边）问题要求将$c$扩展到$V$的所有顶点的$V$的全着色，其最大化快乐顶点（边）的数量。已知这两个问题即使在$\ell = 3$时也是NP难的，并且在$\ell = 2$时是多项式可解的。在[IWOCA 2016]中，研究表明这两个问题在树上都是多项式可解的，并且对于任意$k$，研究表明MHE在平面图上是\NPH{}，并且是由预着色顶点数和分支宽度参数化的\FPT{}。我们从参数化的角度继续研究这个问题。我们的重点是结构和标准参数化。首先，我们建立的问题是\FPT{}时，参数化的树宽度和颜色的数量在预着色，这是一个潜在的改进，在预着色顶点的总数。此外，我们表明，顶点和边的变种的问题是\FPT{}时，参数化的顶点覆盖和距离集团参数。我们还表明，最大限度地提高幸福的边缘数的问题是\FPT{}时，由标准参数，幸福的边缘数参数化。我们证明了最大快乐点（边）问题在分裂图和二部图上是\NPH{}的，在余图上是多项式可解的。
2017-08-13 cs.DS
Data Reduction for Graph Coloring Problems
本文研究了图着色问题的核化复杂性。我们感兴趣的是如何以及多项式时间的数据减少可以证明缩小着色问题的实例，在所选择的参数。众所周知，决定3-可着色性已经是NP完全的，因此通过所请求的颜色数量进行参数化是没有成果的。相反，我们选择了Cai（DAM，2003）发起的一个研究线程，他研究了通过输入图到一个图类的修改距离参数化的着色问题，在这个图类上着色是多项式时间可解的;例如，通过使图弦所需的顶点删除数k参数化。我们得到各种上限和下限的内核的参数化的q-着色，补充蔡的研究的时间复杂度相对于这些参数。我们的研究结果表明，多项式核的存在性由顶点删除距离到一个图类F参数化的q-着色是强相关的函数f（q）的存在性，它的边界的顶点的数量，需要保持否答案的一个例子的q-列表着色F。
2013-09-27 cs.CC cs.DS
Graph k-Coloring in Average Sublinear Time
Harvard University（哈佛大学）；MIT（麻省理工学院）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
该研究打破了图k着色平均复杂度的二次壁垒，证明其平均复杂度为Θ(nk)且最优，还得到了探针复杂度为poly(k)的局部计算算法。
2026-07-30 cs.CC cs.DS math.CO
Kernelization Bounds for Constrained Coloring
The Academic College of Tel Aviv-Yaffo（特拉维夫-雅法学术学院）
本文研究了在有限域上参数化为变量数的约束满足问题的核复杂度，考虑非等关系和一个对称关系R。通过建立核大小的条件下限，探讨了均匀彩虹自由着色问题的核复杂度，并在NP不包含coNP/poly的假设下得出各种着色问题的近紧核复杂度界。
2026-04-23 cs.CC cs.DS
On the Parameterized Complexity of Odd Coloring
本文研究了奇着色问题的参数化复杂性，证明了以距离团、距离簇等结构参数为度量时的核化与固定参数可解性，并探讨了该问题在受限图类上的计算复杂性。
2025-03-07 cs.CC cs.DS
Ruling out FPT algorithms for Weighted Coloring on forests
给定一个图$G$，$G$的正确$k$ -染色是$V(G)$到$k$稳定集$S_1,\ldots, S_{k}$的一个划分$c = (S_i)_{i\in [1,k]}$.给定权重函数$w: V(G) \to \mathbb{R}^+$，颜色$S_i$的权重被定义为$w(i) = \max_{v \in S_i} w(v)$，着色$c$的权重被定义为$w(c) = \sum_{i=1}^{k}w(i)$。关和朱[Inf.过程。信件：1997]定义了一对$(G,w)$的加权色数，记为$σ(G,w)$，作为$G$的一个真着色的最小权。对于一个正整数$r$，他们还定义了$σ(G,w;r)$为$G$的所有真$r$ -着色$c$中$w(c)$的最小值。当$G$是树时确定$σ(G,w)$的复杂性已经公开了将近20年，直到Araújo等人[SIAM J. Discrete Math.，2014]最近证明了这个问题不能在$n$ -顶点树上的时间$n^{o(\log n)}$中解决，除非指数时间假设（ETH）失败。本文的目的是提供当$G$是树或森林时计算$σ(G,w)$和$σ(G,w;r)$的困难结果，依赖于比ETH弱的复杂性假设。也就是说，我们从参数化的复杂性的观点来研究这个问题，我们假设较弱的假设$FPT \neq W[1]$。基于Araújo等人的技术，证明了当$G$是森林时，计算$σ(G,w)…
2017-03-28 cs.CC cs.DS math.CO
A Grover search-based algorithm for the list coloring problem
图着色是一个计算困难的问题，目前最著名的经典算法的$k$ -着色图上的$n$顶点有运行时$Ω(2^n)$为$k\ge 5$。列表着色问题提出了以下更一般的问题：给定图中每个顶点的可用颜色列表，它是否允许正确的着色？我们提出了一种基于Grover搜索的量子算法，以二次加速穷举搜索。我们的算法失去了在特定的限制情况下，经典的复杂性，但提高了穷举搜索的情况下，所考虑的列表和图形是任意的性质。
2022-03-03 cs.DS quant-ph
Conflict-Free Coloring Made Stronger
在FOCS 2002中，Even等人表明，平面中的任何一组$n$盘都可以用总共至多$O(\log n)$颜色进行无着色。也就是说，它可以用$O(\log n)$颜色着色，使得对于任何（覆盖的）点$p$，存在其颜色不同于包含$p$的盘的所有其它颜色的一些盘。他们还证明了这个界是渐近紧的。在本文中，我们证明了以下更强的结果：\begin{enumerate} \item [(i)] Any set of $n$ discs in the plane can be colored with a total of at most $O(k \log n)$ colors such that (a) for any point $p$ that is covered by at least $k$ discs, there are at least $k$ distinct discs each of which is colored by a color distinct from all other discs containing $p$ and (b) for any point $p$ covered by at most $k$ discs, all discs covering $p$ are colored distinctively. We call such a colo…
2010-06-15 cs.CG cs.DS math.CO
On the Complexity of Distributed Edge Coloring and Orientation Problems
本文研究LOCAL模型中LCL问题的随机化优势，通过度分裂问题（边着色与定向）刻画了确定性复杂度为Ω(log n)的问题能否用随机化实现指数加速，给出了精确或部分刻画。
2025-10-24 cs.DS
Coloring Reconfiguration under Color Swapping
本文研究颜色交换规则下的着色重配置问题，证明k≤2时多项式可解、k≥3时PSPACE完全，并给出路径、分裂图和余图上的多项式算法。
2025-11-09 cs.DS
Round and Communication Efficient Graph Coloring
本文研究两方通信模型下的图着色，提出随机化 (Δ+1)-顶点着色协议将轮数从 O(n) 降至 O(log log n · log Δ)，并给出通信 O(n) 比特、仅 O(1) 轮的确定性 (2Δ-1)-边着色协议及紧的 Ω(n) 通信下界。
2025-05-09 cs.DC cs.DS
Sublogarithmic Distributed Algorithms for Lovász Local lemma, and the Complexity Hierarchy
局部可检查标号（LCL）问题基本上包含了$\mathsf{LOCAL}$分布式算法的所有经典问题。在最近的启发性启示中，Chang和Pettie [arXiv 1704.06297]表明，任何具有$o(\log n)$轮随机算法的LCL（在有界度图上）都可以在$T_{LLL}(n)$轮中求解，这是求解有界度$n$节点图上的Lovász局部引理（LLL）（的放松变体）的随机复杂性。目前，关于$T_{LLL}(n)$的最著名的上限是由Chung、Pettie和Su [PODC'14]提出的$O(\log n)$，而最著名的下限是由Brandt等人[STOC'16]提出的$Ω(\log\log n)$。Chang和Pettie指出应该有一个$O(\log\log n)$轮算法。对这一猜想的进展的第一步，并提供了一个显着的改进算法的Chung等。[PODC'14]，我们证明了$T_{LLL}(n)= 2^{O(\sqrt{\log\log n})}$。因此，用于有界度图上的任何LCL问题的任何$o(\log n)$轮随机分布式算法可以自动加速以在$2^{O(\sqrt{\log\log n})}$轮中运行。使用这种改进和一些其他的想法，我们也提高了一些图着色问题的复杂性（在任意度图）从$O(\log n)$轮结果的Chung，Pettie和苏[PODC'14]到$2^{O(\sqrt{\l…
2017-05-16 cs.DS
Simple, Deterministic, Constant-Round Coloring in the Congested Clique
我们解决的复杂性的$(Δ+1)$ -着色和$(Δ+1)$ -列表着色问题的拥塞CLIQUE模型，提出了一个简单的确定性算法运行在一个恒定的轮数。这与最近由Chang等人（PODC'19）提出的突破性的随机化恒定轮$(Δ+1)$ -列表着色算法的复杂性相匹配，并且显著地改进了Parter（ICALP'18）的现有技术水平的$O(\log Δ)$ -轮确定性$(Δ+1)$ -着色界。我们的算法的一个显着的属性是它的简单性。鉴于国家的最先进的随机算法，这个问题是基于相当复杂的局部着色算法的张等人。（STOC'18），我们的算法可以描述在短短几行。在高层次上，它应用了递归过程的仔细去随机化，该过程将节点及其相应的调色板划分为单独的bin。我们表明，经过$O(1)$递归步骤，剩余的未着色的子图内的每个bin具有线性大小，因此可以解决本地收集到一个单一的节点。该算法也可以在大规模并行计算（MPC）模型中实现，只要每个机器具有线性（在$n$中，输入图中的节点数）空间。我们还展示了我们的算法的MPC制度中，机器具有次线性空间的扩展：我们提出了第一个确定性的$(Δ+1)$ -列表着色算法设计的次线性空间MPC，它运行在$O(\log Δ+ \log\log n)$轮。
2020-09-13 cs.DC cs.DS
Deterministic Graph Coloring in the Streaming Model
最近在图流中的突破已经导致设计用于各种图着色问题的单遍半流算法，例如$(Δ+1)$着色、退化着色、着色无三角形图等。这些算法都是随机的关键方式，是否有任何确定性的类似物，他们仍然是一个重要的悬而未决的问题，在这方面的工作。我们解决了这个基本问题，证明了没有确定性的单通道半流算法，给定一个图$G$与最大程度$Δ$，可以输出一个适当的着色$G$使用任何数量的颜色是次指数在$Δ$。我们的证明是基于分析多方通信复杂性的相关通信游戏，使用随机图论类型的参数，可能是独立的利益。我们补充我们的下限，表明只有一个额外的通过输入允许一个恢复$O(Δ^2)$着色通过一个确定性的半流算法。该结果进一步扩展到甚至在动态流中的$O(\logΔ)$通道中的$O(Δ)$着色。
2021-09-30 cs.DS
Improved Deterministic $(Δ+1)$-Coloring in Low-Space MPC
针对$n$ -顶点图的$(Δ+1)$ -着色问题，提出了一种确定性的$O(\log \log \log n)$ -轮低空间大规模并行计算（MPC）算法.在这个模型中，每台机器都有一个大小为$n^ϕ$的次线性局部存储器，用于存储任意常数$ϕ\in (0,1)$。我们的算法工作在宽松的设置下，每个机器被允许执行指数（在$n^ϕ$）本地计算，同时尊重$n^ϕ$空间和带宽的限制。我们的关键技术贡献是Chang-Li-Pettie对独创性的$(Δ+1)$ -着色算法进行了新的去随机化（STOC 2018，SIAM J. COMPUT. 2020年）。Chang-Li-Pettie算法在$T_{local}=poly(\log\log n)$轮中运行，这为局部模型中的问题设置了最先进的随机轮复杂度。我们的去随机化采用的工具，最显着的伪随机发生器（PRG）和有界独立哈希函数的组合。$O(\log\log\log n)$轮的实现轮复杂度与$\log(T_{local})$的界限相匹配，该界限目前为该模型中的局部可检查问题的所有已知随机化算法提供上限障碍。此外，没有确定性的亚对数低空间MPC算法的$(Δ+1)$着色问题是以前已知的。
2021-12-10 cs.DC cs.DS
Grundy Distinguishes Treewidth from Pathwidth
结构图参数，如树宽，路径宽度和宽度，是参数化复杂性研究的中心课题。这一领域研究的一个主要目的是了解这些宽度的“一般性代价”：当我们从更严格的概念过渡到更一般的概念时，哪些问题会看到它们的复杂性状态从固定参数的易处理恶化到难以处理？这种类型的问题现在已经得到了很好的研究，但是，有点引人注目的是，两个（可以说）最核心的宽度概念，树宽和路径宽度之间的算法边界仍然没有被理解：目前，没有一个自然图问题是已知的W-困难的，但FPT的另一个。事实上，过去几年的一个令人惊讶的发展是观察到，对于许多最典型的问题，尽管树宽是一个更一般的参数，但它们对两个参数的复杂性实际上完全一致。因此，树宽比路径宽的额外通用性似乎是“免费的”。我们在本文中的主要贡献是揭示了第一个自然的例子，这种普遍性带来了高昂的代价。我们考虑Grundy着色，着色的变化，其中一个试图计算最坏的可能着色，可以分配给一个图的贪婪的第一次适合算法。我们证明了这个研究得很好的问题是由路径宽度参数化的FPT;然而，当由树宽度参数化时，它变得非常困难（W[1]-困难）。此外，我们表明Grundy Coloring对于更一般的宽度进行了第二次复杂性跳跃，因为它对于团宽度变得para-NP-hard。因此，Grundy Coloring很好地捕捉了三个研究最充分的参数之间的复杂性权衡。最后，我们证明了Grundy染色是由模宽参数化的FPT。
2022-04-18 cs.DS
