An infinite family of subcubic graphs with unbounded packing chromatic number
最近Balogh，Kostochka和Liu在[Packing色数of cubic graphs，Discrete Math.~ 341（2018）474--483]否定地回答了在几篇早期论文中提出的问题，即填充色数是否在具有最大度$3$的图类中有界。本文给出了一类具有无界填充色数的显式无限次三次图族。
2018-01-30 math.CO
On independent domination and packing numbers of subcubic graphs
本文完全解决了次立方图中独立支配数至多为填装数三倍的图刻画问题，证明了恰好有四个图满足该上界。
2024-04-23 math.CO
The chromatic number of the square of subcubic planar graphs
Wegner在1977年证明了最大度至多为$3$的可平面图的平方是$7$ -可着色的。我们证明了这个猜想使用放电方法和计算技术来验证可约配置。
2016-04-21 math.CO
Independent domination versus packing in subcubic graphs
本文在次立方图中证明独立控制数至多为 packing 数的三倍，从而加强了 Henning 等人关于控制数受 packing 数与最大度之积限制的一般性结论。
2023-07-11 math.CO
Packing colorings of subcubic outerplanar graphs
给定一个图$G$和一个正整数的非减序列$S=(s_1,\ldots,s_k)$，如果对$c^{-1}(i)$中任意两个不同的顶点$x$和$y$，$x$和$y$之间的距离大于$s_i$，则称这个映射$c:V(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$是$G$的$S$ -填充染色.使图$G$存在$(1,2,\ldots,k)$ -填充染色的最小整数$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_ρ(G)$。问题的有界性的包装色数类的次三次（平面）图进行了研究，在几个较早的文件，最近它被确定为不变量是无界的类的所有次三次图。本文证明了任何2-连通二部次立方外平面图的填充色数都是$7$有界的。进一步证明了每个次三次无三角形外平面图都有$(1,2,2,2)$ -填充染色，并且存在一个次三次无三角形外平面图不允许有$(1,2,2,2)$ -填充染色.此外，还存在一个不允许$(1,2,2,3)$ -填充染色的次立方无三角形外平面图.对于二部外平面图，我们给出了一个类似的二分法：每个这样的图都允许$S=(1,3,\ldots,3)$的$S$ -填充染色，其中$3$出现$Δ$次（$Δ$是顶点的最大度），并且如果序列$S$中的一个整数$3$被$4$替换，则这个性质不成立。
2020-04-11 math.CO
Every connected subcubic graph except the Petersen graph is packing $(1,1,2,2)$-colorable
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）
本文证明了所有连通次立方图除了彼得森图都是可(1,1,2,2)-着色的，解决了相关猜想和开放问题。
2026-03-24 math.CO
Packing chromatic number of subcubic graphs
图$G$的包装$k$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$1\leq i\leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$i+1$。图$G$的填充色数（$χ_p(G)$）是最小的$k$，使得$G$具有填充$k$ -染色。Sloper证明了存在填充色数任意大的$4$ -正则图.关于次三次图的填充色数是否有界的问题，在一些文献中出现过。我们对这个问题的回答是否定的。此外，我们证明了对每一个固定的$k$和$g\geq 2k+2$，几乎每一个围长至少为$g$的$n$ -顶点三次图的填充色数都大于$k$ .
2017-03-30 math.CO
On $(1,2^4)$ and $(1,2^5)$-packing edge-coloring of sparse subcubic graphs
Konkuk University（建国大学）；Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高等研究院）；Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Guizhou Minzu University（贵州民族大学）
本文针对亚立方平面图，确定了使这类图存在(1,2⁵)-、(1,2⁴)-填充边着色的最小girth阈值的范围，证明两阈值均为有限值。
2026-09-01 math.CO
Packing $(1,1,2,2)$-coloring of some subcubic graphs
对于非减正整数序列$S = (s_1, \ldots, s_k)$，填充$S$着色是将$V(G)$划分为集合$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$1\leq i \leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$s_i+1$。使$G$具有填充$(1,2, \ldots, k)$ -着色的最小$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_p(G)$。对于图$G$，令$D(G)$表示通过细分每个边从$G$获得的图。关于$χ_p(D(G)) \le 5$是否适用于所有次三次图的问题首先由Gastineau和Togni提出，后来由Bresar，Klavzar，Rall和Wash提出。Gastineau和Togni观察到，如果可以证明除了Petersen图之外的每个次立方图都是packing $(1,1,2,2)$ -可着色的，那么猜想成立。最大平均度mad（$G$）被定义为$\max\{\frac{2|E(H)|}{|V(H)|}: H \subset G\}$。本文证明了具有$mad(G)<\frac{30}{11}$的次三次图是填充$(1,1,2,2)$ -可着色的。作为推论，Bresar等人的猜想对每一个具有$mad(G)<\frac{30}{11}$的次立方图$G$成立.
2019-11-10 math.CO
On S-Packing Coloring of Subcubic Graphs
KALMA, Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院）；LIB, Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文改进了亚立方图的S-打包着色结果，通过新工具证明了3-不规则亚立方图和1-饱和亚立方图的着色性质。
2026-03-20 math.CO
On the $(1^2,2^4)$-packing edge-coloring of subcubic graphs
本文证明顶点数超过 70 的连通次三次图均具有 $(1^2,2^4)$-packing 边着色，支持相关猜想，并以不可 $(1^2,2^3)$ 着色的图说明结果紧性。
2024-02-28 math.CO
Packing and Covering Immersion Models of Planar subcubic Graphs
一个图$H$是一个图$G$的浸入，如果$H$可以由某个子图$G$提升关联边得到.证明了存在一个多项式函数$f:\Bbb{N}\times\Bbb{N}\rightarrow\Bbb{N}$，使得如果$H$是一个在$h>0$边上的连通平面次三次图，$G$是一个图，$k$是非负整数，则要么$G$包含$k$顶点/边不交的子图，每个子图包含$H$作为浸入，或者$G$包含$f(k,h)$顶点/边的集合$F$，使得$G\setminus F$不包含$H$作为浸入。
2016-03-07 math.CO
On packing chromatic number of subcubic outerplanar graphs
虽然最近已经证明了填充色数在次三次图类上是无界的，但是存在填充色数有限（并且很小）的子类。这些子类包括次立方树、基3 Sierpi{Einstein}ski图和六角格。根据外平面图的结构性质，给出了外平面图的渐近界，并确定了几类次三次外平面图的更清晰的界。
2018-07-27 cs.DM math.CO
The DP-coloring of the square of subcubic graphs
该研究针对次立方图平方图的DP着色问题，基于最大平均度参数，通过放电法得出两个DP着色数结论并证明首个界的紧性，丰富了距离着色与DP着色相关研究。
2024-05-15 math.CO
On (1,1,2,3)- and (1,1,3,3,3)-Packing Colorings of Claw-Free Subcubic Graphs
Lebanese University（黎巴嫩大学）；Lebanese International University (LIU)（黎巴嫩国际大学）；Al Maaref University（Al Maaref大学）；University of Sciences and Arts in Lebanon（黎巴嫩科学与艺术大学）；Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学、法国国家科学研究中心、波尔多理工学院、LaBRI实验室）
本文证实Gastineau等的猜想，证明所有无爪次立方图为(1,1,2,3)-填充可着色，除单个图ℋ外的连通无爪次立方图为(1,1,3,3,3)-填充可着色，结果最优，证明依赖结构框架与类Hall匹配论证。
2026-08-04 math.CO
Advances on the Packing Coloring Conjectures of Subcubic Graphs
本文研究次立方图的填充染色猜想，证明连通非正则次立方图是$(1,1,2,2)$-填充可染的，为几类立方图建立相同结果，并加强了现有结果，严格改进了界。
2025-09-24 math.CO
Impact of local girth on the S-packing coloring of k-saturated subcubic graphs
University of Sciences and Arts in Lebanon（黎巴嫩科学与艺术学院）；KALMA Laboratory, Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院 KALMA 实验室）；Al Maaref University（阿尔马雷夫大学）；Lebanese International University (LIU)（黎巴嫩国际大学）
研究局部圈长对k饱和子三次图S-打包着色能力的影响，通过参数分析和构造验证，揭示饱和度与局部圈长共同决定的可接受S-打包序列。
2026-03-26 math.CO
Diamond-free, claw-free cubic graphs are (1, 1, 2, 3)-packing colorable
University of St. Thomas（圣托马斯大学）；Trinity College（三一学院）
研究不含钻石图、无爪立方图是否为\((1, 1, 2, 3)\)-填充可染色的问题，通过对图\(G\)的分析给出肯定答案，核心方法是对\(V(G)\)进行特定划分，主要贡献是解决了相关填充染色问题。
2026-07-29 math.CO
Packing edge-colorings of subcubic outerplanar graphs
本文证实了次立方外可平面图的 Packing 边着色猜想，证明其存在 $(1,2^5)$-coloring 和 $(1^2,2^3)$-coloring，并探讨了相关参数的最优取值范围。
2024-12-20 math.CO
Subcubic planar graphs of girth 7 are class I
证明了最大度为3且围长至少为7的可平面图是3-边可着色的，推广了Kronk，Radlowski和Franen在1974年关于围长至少为8的结果.
2022-04-22 cs.DM math.CO
A Short Proof that Every Claw-Free Cubic Graph is (1,1,2,2)-Packing Colorable
KALMA Laboratory, Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院卡尔马实验室）；Basic and Applied Sciences Research, Al Maaref University（阿尔玛阿雷夫大学基础与应用科学研究）；Computer Science Department, University of Sciences and Arts in Lebanon（黎巴嫩科学与艺术学院计算机科学系）
本文给出了无爪立方图是(1,1,2,2)-打包着色的简短证明，改进了之前的结果。
2025-12-30 math.CO
Injective choosability of subcubic planar graphs with girth 6
图$G$的内射着色是指对图$G$的顶点进行颜色分配，使得具有公共邻居的任意两个顶点具有不同的颜色。一个图$G$是$k$ -可内射选择的，如果对任何列表分配$L$，其中$|L(v)| \geq k$对所有$v \in V(G)$，$G$有一个单射$L$ -着色.内射着色在纠错码理论中有应用，并且与其他可着色性概念密切相关。本文证明了围长至少为6的次立方可平面图是5-可内射选择图。这加强了Lužar、Škrekovski和Tancer的一个结果，即围长至少为7的次立方可平面图是5-可注入着色的。我们的结果也改进了其他几个结果在特定情况下。
2017-07-09 math.CO
Further Results and Questions on $S$-Packing Coloring of Subcubic Graphs
本文研究次立方图子类的$S$-填充着色问题，定义了$i$-饱和与$(3,i)$-饱和次立方图，证明了1-饱和次立方图的两类填充着色性质及$(3,0)$-饱和次立方图的一类填充着色性质。
2024-07-10 cs.DM math.CO
Packing chromatic number of subdivisions of cubic graphs
图$G$的包装$k$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$1\leq i\leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$i+1$。图$G$的填充色数，$χ_p(G)$，是使$G$有填充$k$ -染色的最小$k$.对于图$G$，设$D(G)$表示由$G$通过细分每条边而获得的图。关于次三次图类$G$上的$χ_p(G)$和$χ_p(D(G))$的最大值的问题出现在几篇论文中。Gastineau和Togni问是否$χ_p(D(G))\leq 5$对任何亚立方$G$，后来Bresar，Klavzar，Rall和Wash澄清了这一点，但没有上限被证明。最近作者证明了$χ_p(G)$在次三次图类$G$中是无界的.相反，在本文中，我们证明了$χ_p(D(G))$在这个类中是有界的，并且不超过$8$。
2018-10-08 math.CO
S-Packing Colorings of Cubic Graphs
给定一个正整数的非减序列$S=(s\_1,s\_2, \ldots, s\_k)$，图$G$的{ \em $S$ -packing着色}是从$V(G)$到$\{s\_1,s\_2, \ldots, s\_k\}$的映射$c$，使得具有颜色$s\_i$的任何两个顶点的相互距离大于$s\_i$，$1\le i\le k$ .本文研究了（次）三次图的$S$填充染色.证明了次立方图是$(1,2,2,2,2,2,2)$ -填充可着色图和$(1,1,2,2,3)$ -填充可着色图.对于子三次图的细分，我们得到更清晰的界限，我们提供了一个例子，一个三次图的顺序$38$这不是$(1,2,\ldots,12)$包装着色。
2016-04-29 cs.DM math.CO
New lower bounds on domination--packing ratios in connected subcubic and cubic graphs
University of Seoul（首尔大学）
该研究针对连通次立方图和立方图，构造显式二元分支族，证明其支配数与填充数之比的下界分别为13/6和17/8，反驳了\textit{γ(G)≤2ρ(G)+1}对连通立方图的适用性。
2026-08-18 math.CO
Claw-free cubic graphs are (1, 1, 1, 3)-packing edge-colorable
本文针对Gastineau和Togni关于三次图(1, 1, 1, 3)-packing边着色的猜想，证明了每个无爪三次图均存在此类着色。
2025-09-15 math.CO
2-distance 4-coloring of planar subcubic graphs with girth at least 21
本文证明了围长至少为21的平面次立方图具有2-距离4-染色，并构造出围长为11的平面次立方图反例，界定了该染色性质成立的围长下界。
2025-03-04 cs.DM math.CO
Packing colouring of some classes of cubic graphs
图G的填充色数$χ$ $ρ$（G）是使其顶点集V（G）可划分为k个不相交子集V1，. ..，V k，使得对于每个i，1 $\le$ i $\le$ k，V i中的每两个不同顶点在G中的距离大于i。最近，Balogh，Kostochka和Liu证明了$χ$ $ρ$在次三次图类中没有界[Packing chromatic number of subcubic graphs，Discrete Math.341（2018），474483]，从而回答了以前在几篇论文中提出的问题。然而，三次图或次三次图的几个子类具有有界填充色数。在本文中，我们确定的确切值，或上，下界，包装色数的某些类别的三次图，即圆梯，所谓的H-图和广义H-图。
2018-08-14 cs.DM math.CO
Strongly Set-Colorable Graphs: A Complete Characterization
本文给出强集合可着色图的完整刻画，证明其等价于关联 3-一致超图构成唯一 Steiner 三元系的 packing，从而统一并简化了该图类的结构理论。
2025-08-16 math.CO
On S-packing edge-colorings of cubic graphs
给定非减序列S =（s1，s2，. ..，sk）的正整数，图G的S-填充边染色是将图G的边集划分为k个子集{X1，X2，. ..，Xk}，使得对于每个1 $\le$ i $\le$ k，两个不同的边e、e ' $\in$ Xi之间的距离至少为si + 1。本文研究了三次图的S-填充边染色。证明了具有2-因子的三次图是（1，1，1，3，3）-packing边可着色的，（1，1，1，4，4，4，4）-packing边可着色的和（1，1，2，2，2，2）-packing边可着色的.我们确定了有界奇性的三次图和3-边可着色的三次图的更清晰的结果，我们提出了许多开放的问题。
2017-11-29 cs.DM math.CO
Claw-free cubic graphs are $(1, 1, 2, 2)$-colorable
本文证明了每个无爪三次图都存在 $(1,1,2,2)$-着色，从而验证了次三次图细分图的packing chromatic number至多为 $5$ 的猜想在无爪三次图情况下成立。
2024-09-23 math.CO
On $S$-packing Coloring of Bounded Degree Graphs
本文研究有界最大度图的$S$-填充着色问题，推广次立方图已有结果，证明了最大度为$k$的图的相关着色结论，并针对$t$-饱和子类细化结果，提出了若干猜想与问题。
2025-03-24 math.CO
Exact square coloring of subcubic planar graphs
研究了次立方平面图的正合平方色数。图G的正方形染色是指任意两个距离为2的顶点都有不同颜色的顶点染色。在G的这种着色中使用的最小颜色数是它的正方形色数，记为$χ^{\sharp 2}(G)$。这个概念与其他类型的基于距离的着色有关，也与内射着色有关。事实上，对于无三角形图，精确平方染色和内射染色是一致的。证明了平面图的特殊子类：次三次二部平面图和次三次无K4-minor图的正方形色数不超过4的紧界。然后，我们把注意力转向富勒烯图类，这是三次平面图的面大小为5和6。我们刻画了正方形色数为3的富勒烯图。此外，支持Chen，Hahn，Raspaud和Wang的一个猜想（所有的次立方平面图是5-可注入着色的），我们证明了富勒烯图的任何诱导子图的正方形色数至多为5。这是通过首先证明一个最小反例必须在最多80个顶点上，然后计算验证所有这些图的声明来完成的。
2021-01-24 cs.DM math.CO
Complexity and algorithms for injective edge-coloring in graphs
图$G$的单射$k$ -边着色是将颜色（即$\{1, \ldots , k\}$中的整数）分配给$G$的边，使得每个与第三条边的一个不同端点关联的任何两条边接收不同的颜色。确定这种$k$ -着色是否存在的问题称为k-内射边着色。我们证明了3-内射边染色是NP-完全的，即使对于无三角形的三次图、任意大围长的平面次三次图和围长为6的平面二部次三次图也是如此。4-对于三次图，内射边染色是NP-完全的。对于任何$k\geq 45$，我们证明了k-内射边着色保持NP-完全，即使是最大度至多$5\sqrt{3k}$的图。与这些否定的结果相反，我们证明了\InjPbName{k}是线性时间有界树宽图上可解的。此外，我们证明了围长至少为~16的所有平面二部次三图都是$3$ -边可注入着色的。此外，任何最大度至多为$\sqrt{k/2}$的图都是$k$ -边可注入着色的.
2021-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
Packing chromatic number under local changes in a graph
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$k$，使得存在$G$的$k$ -顶点染色，其中任何两个接收颜色$i$的顶点的距离至少为$i+1$ .证明了在次立方图类中，填充色数大于$13$，从而回答了[Gastineau，Togni，$S$ -packing colorings of cubic graphs，Discrete Math.]中的一个公开问题339（2016）2461- 2470]。此外，还研究了几种局部操作的填充色数。具体地，如果$S_e(G)$是通过细分图$G$的边$e$而从图$G$获得的图，则$\left\lfloor χ_ρ(G)/2 \right\rfloor +1 \le χ_ρ(S_e(G)) \le χ_ρ(G)+1$。
2016-08-19 math.CO
Between proper and square colorings of planar graphs with maximum degree at most four
Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Xidian University（西安电子科技大学）
本文研究平面图最大度数不超过四的着色问题，证明了该类图可被(1,2^10)和(1^2,2^7)着色，为Wegner猜想提供新进展。
2026-04-01 math.CO
Between proper and strong edge-colorings of subcubic graphs
在适当的边着色中，每种颜色的边形成匹配。如果它的边的端点诱导匹配，则诱导匹配。强边染色是指每种颜色的边都形成诱导匹配的边染色。我们考虑中间类型的边缘着色，其中某些颜色的边缘被允许形成匹配，其余的形成诱导匹配。我们的研究是由Gastineau和Togni在最近的一篇关于S-填充边着色的论文中提出的猜想（关于三次图的S-填充边着色，离散应用数学259（2019），63-75）断言，通过允许三个额外的诱导匹配，人们能够保存一个匹配颜色。证明了最大度为3的图可以分解为一个匹配至多8个诱导匹配和两个匹配至多5个诱导匹配。我们还证明了如果一个图是I类图，则诱导匹配数可以减少一个，从而证实了上述猜想。
2020-11-04 cs.DM math.CO
Maximal $k$-Edge-Colorable Subgraphs, Vizing's Theorem, and Tuza's Conjecture
证明了：如果$M$是重图$G$的极大$k$ -边可着色子图，且如果$F = \{v \in V(G) : d_M(v) \leq k-μ(v)\}$，则对所有$v \in F$，有$d_F(v) \leq d_M(v)$. (When $G$是一个单图，集合$F$只是$M$中度小于$k$的顶点的集合。）这意味着Vizing定理以及图扎猜想的一个特殊情况下包装和覆盖的三角形。我们的结果的一个更详细的版本也意味着Vizing的邻接引理的单图。
2017-03-06 math.CO
Packing Independent Cliques in $K_4$-minor-free Graphs
Central Magnet School（中央磁石学校）；Middle Tennessee State University（中田纳西州立大学）
本文证明了无 $K_4$-minor 图的独立队比率为 $\ rac{1}{2}$，并解决了两个相关猜想。
2025-12-19 math.CO
Odd edge-colorings of subdivisions of odd graphs
奇图是指所有顶点都是奇数度的有限图。给定的图$G$可分解为$k$奇子图，如果它的边集可划分为$k$子集，每个子集导出$G$的奇子图. $G$的这种分解存在的$k$的最小值是由Pyber（1991）引入的奇色指数$χ_{o}'(G)$。对于每一个$k\geqχ_{o}'(G)$，图$G$被称为是奇$k$ -边可着色的。除了两个特殊的例外，分别是奇$5$ -和奇$6$ -边可着色，其余的连接无环图是奇$4$ -边可着色的，而且其中一个颜色类可以减少到大小$\leq2$。此外，它已被证实，一个奇怪的$4$ -边着色的颜色类的大小最多$1$总是可以实现的。Atanasov等人（2016）根据值$χ_{o}'(G)\leq4$来表征次三次图类。在本文中，我们将他们的结果推广到奇图的所有细分的奇色指数的值的一个特征。这个更大的类$\mathcal{S}$是一个特别感兴趣的，因为它收集了所有的“最少的实例”的非奇图。作为我们的主要结果的前奏，我们表明，每一个连通图$G\in \mathcal{S}$需要最大数量的四种颜色，成为奇数$3$ -边着色后，删除一定的边缘。因此，我们提供了支持所提到的猜想证明它的所有细分的奇图。本文最后提出了一些问题，为可能的进一步工作。
2023-03-08 math.CO
S-packing chromatic critical graphs
本文引入并构造了S-填充染色临界图，刻画了临界圈，并证明了删除一条边后染色数至少减半（某些情形可改进），同时讨论界的紧性并补充了顶点临界图的相关结果。
2025-05-23 math.CO
$t$-tone colorings of outerplanar and Halin graphs
Lebanese University（黎巴嫩大学）；Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文研究了外平面图和哈林图的$t$-tone着色问题，确定了子三次外平面图的2-tone色数，并为哈林图给出了2-tone色数的上界。
2026-03-19 math.CO
$S$-Packing Coloring of Cubic Halin Graphs
本文研究三次Halin图的$S$-打包染色问题，证明了所有三次Halin图均可进行$(1,1,2,3)$-打包染色，并进一步证明了其$(1,2,2,2,2,2)$-可染色性。
2024-02-06 cs.DM math.CO
Packing chromatic number, $(1,1,2,2)$-colorings, and characterizing the Petersen graph
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是使$G$的顶点集可划分为集合$Π_1,\ldots,Π_k$的最小整数$k$，其中$Π_i$，$i\in [k]$是$i$ -填充.提出并研究了如下猜想：若$G$是次三次图，则有$χ_ρ(S(G))\le 5$，其中$S(G)$是$G$的细分.对所有广义圈棱柱证明了该猜想。为了得到这个结果，证明了：如果$G$是圈的广义棱柱，则$G$是$(1,1,2,2)$ -可着色的当且仅当$G$不是Petersen图.对于由广义棱柱得到的图，如果广义棱柱的边集中的两个$n$ -圈中的一个被至多有一个是5-圈的圈的并集所取代，则进一步证明了猜想的正确性.本文还讨论了图的每一条边按固定次数细分所得到的图的填充色数。
2016-08-19 math.CO
Strong edge colorings of graphs and the covers of Kneser graphs
一个图的正常边染色是强的，如果它不产生长度为3的双色路。众所周知，对于$k$ -正则图的强边染色，至少需要$2k-1$色.证明了$k$ -正则图允许$2k-1$色的强边染色当且仅当它覆盖Kneser图$K(2k-1,k-1)$ .特别地，当一个三次图覆盖Petersen图时，它是强$5$ -边可着色的。这个结果的一个意义是Faudree等人[Ars Combin. 29 B（1990），205- 211]是假的。
2021-01-12 math.CO
Between proper and square colorings of sparse graphs
该研究探讨介于正常着色与平方着色之间的packing着色，构造了不满足对应着色的稀疏/平面图，确定了平面图的最小围长条件，并拓展了次立方图的列表着色结果、强化了非列表可着色的平面图示例。
2025-09-03 math.CO
Coloring Drawings of Graphs
我们考虑平面图的图的胞腔着色。给定一个多重图$G$和一个平面上的图$Γ(G)$，图中只有100个交叉点，我们定义一个$Γ(G)$的单元$k$ -着色为图的最大连通区域的着色，这些单元具有$k$颜色，使得相邻单元具有不同的颜色。根据$4$ -着色定理，无桥图的每一幅图都有一个胞腔$4$ -着色.一个图的绘制是单元格$2$ -可着色的当且仅当底层图是欧拉图。我们证明了每一个不含1度顶点的图都有一个胞元$3$ -可着色图.这就引出了一个自然的问题，即抽象图的每个图形都有一个单元格$3$ -着色。我们说这样的图是普遍的细胞$3$着色。我们证明了任何$4$ -边连通图和任何允许无零$3$ -流的图都是泛胞$3$ -可着色的.我们还讨论了普遍的细胞$3$的可着色性的情况下，保证存在一个无处为零的$3$流。在消极的一面，我们提出了一个无限族的普遍细胞$3$ -可着色图没有无处零$3$ -流。在积极的一面，我们制定了一个猜想，它有一个令人惊讶的关系，著名的公开问题Tutte称为$3$流猜想。我们证明了我们的猜想为次立方和$K_{3,3}$ -minor自由图。
2022-08-26 cs.DM math.CO
Facial unique-maximum colorings of plane graphs with restriction on big vertices
平面图的面唯一最大染色是顶点使用正整数的适当染色，使得每个面都有唯一的顶点，该顶点在该面中接收最大颜色。Fabrici和Göring（2016）提出了一个加强四色定理的假设，即所有平面图都有一个使用四种颜色的面唯一最大着色。这一猜想已被一般的平面图证明是错误的，它表明，五种颜色就足够了。本文证明了度至少为4的顶点诱导星森林的平面图是面唯一最大4-可着色图。这改进了Andova，Lidickeland，Lužar和Škrekovski（2018）关于次三次平面图的先前结果。最后，我们提出了一些问题的文件。
2018-06-19 math.CO
Dichotomies properties on computational complexity of S-packing coloring problems
本文建立了S-填充着色问题的几个实例的复杂性类：对于图G，一个正整数k和一个非减整数列表S =（s_1，...，s_k），则G是S-可染的，如果G的顶点可划分为集合S_i，i = 1，.，k，其中每个Si是Si-填充（成对距离大于Si的顶点的集合）。对于三个整数的列表，确定了次三次图的NP完全问题和多项式时间可解问题之间的二分法。此外，对于一个不固定大小的列表，S-包装着色问题的复杂性，确定了几个例子的问题。这些性质是用来证明一个二分法之间的NP完全问题和多项式时间可解的问题，最多四个整数的列表。
2015-01-29 cs.CC cs.DM math.CO
Injective colorings of Sierpiński-like graphs and Kneser graphs
本文建立单射色数与色数、边色数的关系，确定 Sierpiński 图及根积的单射色数，并刻画 Sierpiński 图与 Kneser 图的完美单射可着色性。
2024-09-16 math.CO
Packings in bipartite prisms and hypercubes
本文研究了二部图与超立方体的填装数，证明了二部棱柱开填装数与2-填装数的倍数关系，确立了超立方体填装数下界，并应用于单射着色，证明了$Q_9$是最小的不可完美单射着色的超立方体。
2023-09-10 math.CO
Domination and packing in graphs
本文研究图的支配数与打包数之间的关系，针对次三次图的猜想，证明了二分三次图、极大外平面图和双凸图的上界，其中双凸图的上界是紧的。
2024-02-08 cs.DM math.CO
Fast algorithm for $S$-packing coloring of Halin graphs
School of Mathematics and Statistics, Xidian University（西安电子科技大学数学与统计学院）
本文提出了一种线性时间算法，为最大度数不超过5的Halin图构造(1,1,2,2,2)-打包着色，解决了该类图的打包着色问题。
2025-12-28 cs.DM math.CO
