Linear colorings of subcubic graphs
图的线性染色是图的顶点的适当染色，使得每对颜色类诱导不相交路的并。本文证明了：对于最大度不超过3的连通图，如果图的顶点被分配了一个4的列表，则存在一个线性染色，使得每个顶点的颜色都属于分配给该顶点的列表，并且每个2度顶点的邻居都有不同的颜色，除非图是$C_5$或$K_{3,3}$ .这证实了Esperet、Montassier和Raspaud提出的一个猜想。我们的证明是建设性的，并产生一个线性时间算法来找到这样的着色。
2013-02-23 cs.DM math.CO
Note on list star edge-coloring of subcubic graphs
图的{ \emph A星边染色}是不含双色路和长为4的圈的真边染色。在本文中，我们考虑这种着色的列表版本，并证明了每个次立方图的列表星色指数至多为$7$，回答了Dvopiák等人的问题（Star chromatic index，J.图论72（2013），313- 326）。
2017-09-11 math.CO
Between proper and strong edge-colorings of subcubic graphs
在适当的边着色中，每种颜色的边形成匹配。如果它的边的端点诱导匹配，则诱导匹配。强边染色是指每种颜色的边都形成诱导匹配的边染色。我们考虑中间类型的边缘着色，其中某些颜色的边缘被允许形成匹配，其余的形成诱导匹配。我们的研究是由Gastineau和Togni在最近的一篇关于S-填充边着色的论文中提出的猜想（关于三次图的S-填充边着色，离散应用数学259（2019），63-75）断言，通过允许三个额外的诱导匹配，人们能够保存一个匹配颜色。证明了最大度为3的图可以分解为一个匹配至多8个诱导匹配和两个匹配至多5个诱导匹配。我们还证明了如果一个图是I类图，则诱导匹配数可以减少一个，从而证实了上述猜想。
2020-11-04 cs.DM math.CO
Impact of local girth on the S-packing coloring of k-saturated subcubic graphs
University of Sciences and Arts in Lebanon（黎巴嫩科学与艺术学院）；KALMA Laboratory, Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院 KALMA 实验室）；Al Maaref University（阿尔马雷夫大学）；Lebanese International University (LIU)（黎巴嫩国际大学）
研究局部圈长对k饱和子三次图S-打包着色能力的影响，通过参数分析和构造验证，揭示饱和度与局部圈长共同决定的可接受S-打包序列。
2026-03-26 math.CO
Domination of subcubic planar graphs with large girth
本文研究大围长次三次平面图的支配数，按顶点度数加权，分别证明围长至少 8 和 9 时的两个新严格上界。
2023-12-06 math.CO
Locally irregular edge-coloring of subcubic graphs
本文研究次立方图的局部不规则边染色问题，证明最大度为3的可分解无爪图、循环置换图和广义Petersen图至多需要3种颜色，并给出需要3种颜色的围长4三次图无限族。
2022-10-10 cs.DM math.CO
Further Results and Questions on $S$-Packing Coloring of Subcubic Graphs
本文研究次立方图子类的$S$-填充着色问题，定义了$i$-饱和与$(3,i)$-饱和次立方图，证明了1-饱和次立方图的两类填充着色性质及$(3,0)$-饱和次立方图的一类填充着色性质。
2024-07-10 cs.DM math.CO
Strong edge coloring of subcubic bipartite graphs
图$G$的强边染色是每一个色类都是$G$的导出匹配的真边染色. 1993年Brualdi和Quinn Massey提出了一个猜想，即不含$4$ -圈且两个部集$2$和$Δ$的度最大的二部图存在至多$Δ+2$色的强边染色.我们证明了这个猜想对具有$Δ=3$的图成立。我们还证实了Faudree等人提出的关于次立方二部图的猜想。
2013-12-06 math.CO
Computer assisted discharging procedure on planar graphs: application to 2-distance coloring
利用计算技术，我们提供了一个框架，证明结果的子类可平面图通过放电方法。本文的目的是应用这些技巧来研究平面次立方图的2-距离染色。应用这些技巧，我们证明了每个围长至少为8的次立方可平面图$G$的2-距离色数至多为6。
2022-02-13 cs.DM math.CO
Packing $(1,1,2,4)$-coloring of subcubic outerplanar graphs
对于$1\leq s_1 \le s_2 \le \ldots \le s_k$和图$G$，$G$的包装$(s_1, s_2, \ldots, s_k)$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1, V_2, \ldots, V_k$，使得对于每个$1\leq i \leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$s_i + 1$。图$G$的填充色数$χ_p(G)$是最小的$k$，使得$G$具有填充$(1,2, \ldots, k)$ -染色。已知存在最大度为4的树和具有任意大$χ_p(G)$的次三次图$G$。近年来，有一系列关于次三次图的填充$(s_1, s_2, \ldots, s_k)$ -染色的论文.证明了每个$2$ -连通的次三次外平面图都有一个packing $(1,1,2)$ -染色，并且每个次三次外平面图都是packing $(1,1,2,4)$ -可染色的.我们的结果是尖锐的意义上说，有$2$ -连通的次三次外平面图是不包装$(1,1,3)$ -可着色，有次三次外平面图是不包装$(1,1,2,5)$ -可着色。我们还表明，次三次外平面图，不包装$(1,2,2,4)$ -可着色和不包装$(1,1,3,4)$ -可着色。
2021-05-25 math.CO
Complexity of acyclic colorings of graphs and digraphs with degree and girth constraints
我们考虑图和有向图中的无圈r-着色：它们用r种颜色着色顶点，每一种颜色诱导一个无圈图或有向图。(This包括有向图的二色数和图的荫度。）对于任何围长和足够高的程度，我们证明了NP-完全的非循环r-着色，我们的方法也意味着已知的类似经典着色。证明使用高围长图与高荫度和二色数。高围长图和具有高色数和二色数的有向图已经得到了很好的研究，我们从关系系统的一个一般性结果重新推导了结果，这也暗示了在证明中使用的关于高围长和高荫度的类似事实。这些事实涉及图和有向图的高围长和低程度，我们通过考虑非循环染色的比赛（具有低围长和高程度）来对比它们。我们证明了，即使非循环的两个着色比赛是NP-完全的，随机的非循环r-着色比赛允许恢复一个非循环r-着色在确定性的线性时间，具有高概率。
2020-11-23 cs.DM math.CO
Rich-neighbor 5-edge-colorings of subcubic graphs whose 3-vertices induce a matching
School of Mathematics, Hangzhou Normal University（杭州师范大学数学学院）
本文针对3-顶点诱导匹配的次立方图，证明了Petruševski与Škrekovski提出的富邻居5-边着色猜想，扩展了无相邻3-顶点次立方图的相关结果。
2026-10-16 math.CO
Packing colorings of subcubic outerplanar graphs
给定一个图$G$和一个正整数的非减序列$S=(s_1,\ldots,s_k)$，如果对$c^{-1}(i)$中任意两个不同的顶点$x$和$y$，$x$和$y$之间的距离大于$s_i$，则称这个映射$c:V(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$是$G$的$S$ -填充染色.使图$G$存在$(1,2,\ldots,k)$ -填充染色的最小整数$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_ρ(G)$。问题的有界性的包装色数类的次三次（平面）图进行了研究，在几个较早的文件，最近它被确定为不变量是无界的类的所有次三次图。本文证明了任何2-连通二部次立方外平面图的填充色数都是$7$有界的。进一步证明了每个次三次无三角形外平面图都有$(1,2,2,2)$ -填充染色，并且存在一个次三次无三角形外平面图不允许有$(1,2,2,2)$ -填充染色.此外，还存在一个不允许$(1,2,2,3)$ -填充染色的次立方无三角形外平面图.对于二部外平面图，我们给出了一个类似的二分法：每个这样的图都允许$S=(1,3,\ldots,3)$的$S$ -填充染色，其中$3$出现$Δ$次（$Δ$是顶点的最大度），并且如果序列$S$中的一个整数$3$被$4$替换，则这个性质不成立。
2020-04-11 math.CO
On $(1,2^4)$ and $(1,2^5)$-packing edge-coloring of sparse subcubic graphs
Konkuk University（建国大学）；Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高等研究院）；Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Guizhou Minzu University（贵州民族大学）
本文针对亚立方平面图，确定了使这类图存在(1,2⁵)-、(1,2⁴)-填充边着色的最小girth阈值的范围，证明两阈值均为有限值。
2026-09-01 math.CO
$k$-intersection edge-coloring subcubic planar multigraphs
给定一个简单图的边染色，给每个顶点$v$分配一个集合$S_v$，该集合由与$v$关联的边上使用的颜色组成。图的$k$交色指数是使边集能被适当$t$着色的最小$t$，另外还要求对每两个邻顶点$u$和$v$，有$|S_u \cap S_v| \le k$ .对于所有的$k \neq 2$，该值对于次三次可平面图是已知的，而且，这些值是最佳可能的。我们很自然地将这个定义推广到边重数有界的多重图，并且证明了边重数至多为2的次立方平面多重图的2-交色数至多为5，这是一个尖锐的结果。
2015-06-10 math.CO
The DP-coloring of the square of subcubic graphs
该研究针对次立方图平方图的DP着色问题，基于最大平均度参数，通过放电法得出两个DP着色数结论并证明首个界的紧性，丰富了距离着色与DP着色相关研究。
2024-05-15 math.CO
Tight Bounds on the Complexity of Semi-Equitable Coloring of Cubic and Subcubic Graphs
一个图$G=(V,E)$的$k$ -着色称为半公平的，如果存在一个将其顶点集划分为独立子集$V_1,\ldots,V_k$的划分，使得每个$i,j=2,\ldots,k$的$k$-着色为$|V_1| \notin \{\lceil |V|/k\rceil, \lfloor |V|/k \rfloor\}$和$||V_i|-|V_j|| \leq 1$.颜色类$V_1$被称为不均匀。本文研究了三次或次三次图$G$的顶点的半均匀$k$ -着色（$k\geq 4$）的复杂性.特别地，我们证明了，给定一个$n$ -顶点次立方图$G$和常数$ε> 0$，$k \geq 4$，如果$s \geq n/3+εn$，则获得其非公平色类大小为$s$的$G$的半公平$k$ -着色是NP-完全的，并且如果$s \leq n/3$，则它是多项式可解的。
2017-11-02 math.CO
$2$-distance list $(Δ+2)$-coloring of planar graphs with girth at least 10
给定一个图$G$和一个列表分配$L(v)$，每个顶点的$G$的$G$。$G$的适当$L$列表着色是将每个顶点映射到$L(v)$中的颜色的函数，使得没有相邻顶点对具有相同的颜色。我们说一个图是列表$k$ -可着色的，当每个顶点$v$都有一个大小至少为$k$的颜色列表。$2$距离着色是距离最大为2的顶点不能共享相同颜色的着色。证明了围长至少为$10$且度最大为$Δ\geq 4$的可平面图的$2$ -距离列表（$Δ+2$）-染色的存在性.
2021-09-29 cs.DM math.CO
b-continuity and Partial Grundy Coloring of graphs with large girth
一个图的b-染色是一个适当的染色，使得每个色类至少有一个顶点与其他色类相邻。$G$的b-谱是整数$k$的集合$S_{b}(G)$，使得$G$具有$k$颜色的b-着色，并且$b(G)=\max S_{b}(G)$是$G$的b-色数。一个图是b-连续的，如果$S_{b}(G)=[χ(G),b(G)]\cap \mathbb{Z}$。已知有无穷多个图不是b-连续的。我们还知道围长至少为10的图是b-连续的。部分Grundy着色是一种真着色$f:V(G)\rightarrow \{1,\ldots,k\}$，使得每个颜色类$i$包含与每个颜色类$j$相邻的某个顶点$u$，使得$j<i$。$G$的部分Grundy数是使$G$具有部分Grundy着色的最大值$\partialΓ(G)$。本文证明了围长至少为8的图是b-连续的，围长至少为7的图$G$的b-谱包含介于$2χ(G)$和$b(G)$之间的整数.我们还证明了当$G$是围长至少为7的图时，$\partialΓ(G)$等于一个已知的上界.这些结果推广了Linhares-Sales和Silva（2017）以及Shi等人的先前结果。（2005年）。
2019-08-02 cs.DM math.CO
On S-Packing Coloring of Subcubic Graphs
KALMA, Faculty of Sciences, Lebanese University（黎巴嫩大学理学院）；LIB, Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文改进了亚立方图的S-打包着色结果，通过新工具证明了3-不规则亚立方图和1-饱和亚立方图的着色性质。
2026-03-20 math.CO
Packing $(1,1,2,2)$-coloring of some subcubic graphs
对于非减正整数序列$S = (s_1, \ldots, s_k)$，填充$S$着色是将$V(G)$划分为集合$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$1\leq i \leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$s_i+1$。使$G$具有填充$(1,2, \ldots, k)$ -着色的最小$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_p(G)$。对于图$G$，令$D(G)$表示通过细分每个边从$G$获得的图。关于$χ_p(D(G)) \le 5$是否适用于所有次三次图的问题首先由Gastineau和Togni提出，后来由Bresar，Klavzar，Rall和Wash提出。Gastineau和Togni观察到，如果可以证明除了Petersen图之外的每个次立方图都是packing $(1,1,2,2)$ -可着色的，那么猜想成立。最大平均度mad（$G$）被定义为$\max\{\frac{2|E(H)|}{|V(H)|}: H \subset G\}$。本文证明了具有$mad(G)<\frac{30}{11}$的次三次图是填充$(1,1,2,2)$ -可着色的。作为推论，Bresar等人的猜想对每一个具有$mad(G)<\frac{30}{11}$的次立方图$G$成立.
2019-11-10 math.CO
Uniquely restricted matchings in subcubic graphs without short cycles
图$G$中的匹配$M$是唯一受限的，如果在$G$中没有其他匹配覆盖相同的顶点集。证明了除$14$和$20$两个例外的三次图外，任何顶点数为$n$且围长至少为$5$的连通次三次图都包含唯一的大小至少为$(n-1) / 3$的限制匹配.
2018-10-10 math.CO
The Coloring Game on Planar Graphs with Large Girth, by a result on Sparse Cactuses
我们用$χ$ g（G）表示图G的游戏色数，它是Alice在G上赢得着色游戏所需的最小颜色数.我们从Montassier et al. [M. Montassier，P. Ossona de Mendez，A. Raspaud和X. Zhu，Decomposing a graph into forests，J. Graph Theory Ser. B，102（1）：38-52，2012]，并且独立地，从Wang和Zhang，[Y. Wang和Q.张某Decomposing a planar graph with girth at least 8 into a forest and a matching，Discrete Maths，311：844-849，2011] that planar graphs with girth at least 8 have game chromatic number at most 5.人们可能会问，对于足够大的围长，这个5的界是否可以改进。在本文中，我们证明它不能。不仅如此，我们还证明了存在仙人掌CT（即每条边最多只属于一个圈的图）的$χ$ g（CT）= 5，尽管其圈长任意大，甚至圈间距离任意大.
2015-07-12 cs.DM math.CO
Splitting Planar Graphs of Girth 6 into Two Linear Forests with Short Paths
最近，Borodin，Kostochka和Yancey（On $1$ -inappropriate $2$ -coloring of sparse graphs. Discrete Mathematics，313（22），2013）示出了围长至少为$7$的每个平面图的顶点可以是$2$着色的，使得每个颜色类导出匹配的子图。我们证明了任何周长至少为$6$的平面图都允许$2$颜色的顶点着色，使得每个单色分量是长度至多为$14$的路。此外，我们显示了这个结果的列表版本。另一方面，对于每个正整数$t\geq 3$，我们构造了一个周长$4$的平面图，使得在$2$颜色的顶点的任何着色中，存在长度至少为$t$的单色路径.围长$5$的每个平面图是否允许没有长单色路的$2$ -染色仍然是开放的。
2015-07-10 cs.DM math.CO
Strong list-chromatic index of subcubic graphs
图G的强$k$ -边染色是指图G的每一个色类都是诱导匹配的具有$k$色的边染色. $G$的强色指数，记为$χ'_{s}(G)$，是使$G$具有强$k$ -边染色的最小$k$。1985年，Erdens和Nešetzil证明了$χ'_{s}(G)\leq\frac{5}{4}Δ(G)^2$，其中$Δ(G)$是$G$的最大次数。当$G$是一个最大度不超过3的图时，Andersen和Horák，Qing和Trotter独立地证明了这个猜想.本文研究了强边染色的列表形式。特别地，我们证明了每一个次立方图的强列表色指数至多为11，每一个平面次立方图的强列表色指数至多为10。
2018-09-08 math.CO
Partition subcubic planar graphs into independent sets
本文研究次三次平面图的packing $(1^{\ell}, 2^k)$-染色，证明了每个次三次平面图都是packing $(1,2^5)$-可染色的，且该结果是最优且紧的。
2025-06-25 math.CO
The b-continuity of graphs with large girth
一个图的顶点的b-染色是一个正常染色，其中每个颜色类包含一个顶点，该顶点与其他颜色类相邻。$G$的b-色数是使$G$具有带$b(G)$颜色的b-染色的最大整数$b(G)$。一个图$G$是b-连续的，如果对区间$[χ(G),b(G)]$中的每一个整数$k$，$G$都有一个用$k$颜色的b-染色.众所周知，并非所有的图都是b-连续的。在这篇文章中，我们证明了，如果$G$的围长至少为10，那么$G$是b-连续的。
2016-06-15 cs.DM math.CO
S-Packing Colorings of Cubic Graphs
给定一个正整数的非减序列$S=(s\_1,s\_2, \ldots, s\_k)$，图$G$的{ \em $S$ -packing着色}是从$V(G)$到$\{s\_1,s\_2, \ldots, s\_k\}$的映射$c$，使得具有颜色$s\_i$的任何两个顶点的相互距离大于$s\_i$，$1\le i\le k$ .本文研究了（次）三次图的$S$填充染色.证明了次立方图是$(1,2,2,2,2,2,2)$ -填充可着色图和$(1,1,2,2,3)$ -填充可着色图.对于子三次图的细分，我们得到更清晰的界限，我们提供了一个例子，一个三次图的顺序$38$这不是$(1,2,\ldots,12)$包装着色。
2016-04-29 cs.DM math.CO
On the $(1^2,2^4)$-packing edge-coloring of subcubic graphs
本文证明顶点数超过 70 的连通次三次图均具有 $(1^2,2^4)$-packing 边着色，支持相关猜想，并以不可 $(1^2,2^3)$ 着色的图说明结果紧性。
2024-02-28 math.CO
Star 5-edge-colorings of subcubic multigraphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ'_{s}(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为4的路或圈是双色的。一个多重图$G$是星$k$ -边可着色的，如果$χ'_{s}(G)\le k$。Dvoák，Mohar and Šámal [Star chromatic index，J Graph Theory 72（2013），313- 326]证明了每个次三重图都是星$7$ -边可着色的，并证明了每个次三重图都应该是星$6$ -边可着色的. Kerdjoudj，Kostochka和Raspaud考虑了简单图的列表问题，证明了最大平均度小于$7/3$的次立方图是星列表- $5$ -边可着色的.已知具有最大平均度$14/5$的图不一定是星$5$ -边可着色的。本文证明了最大平均度小于$12/5$的次三重图是星$5$ -边可着色的.
2017-11-22 math.CO
Neighbor product distinguishing total colorings of corona of subcubic graphs
图$G$的一个恰当的$[k]$ -全着色$c$是从$V(G)\bigcup E(G)$到$[k]=\{1,2,\cdots,k\}$的一个映射$c$，使得$c(x)\neq c(y)$，其中$x$，$y\in V(G)\bigcup E(G)$和$x$与$y$相邻或关联.令$\prod(v)$表示$c(v)$与与$v$相关的所有边缘上的颜色的乘积。对每条边$uv\in E(G)$，若$\prod(u)\neq \prod(v)$，则称$c$为$G$的邻积区别全染色.我们用$χ"_{\prod}(G)$来表示$k$在$G$的这种着色中的最小值。在2015年，Li等人证明$Δ(G)+3$颜色使图具有区分全着色的邻居积。本文考虑了冠积$G\circ H$的邻积可区别全染色，得到了$χ"_{\prod}(G\circ H)\leq Δ(G\circ H)+3$ .
2021-04-22 math.CO
On star edge colorings of bipartite and subcubic graphs
一个图的星边染色是指没有长为4的$2$ -染色路或圈的正常边染色。$G$的星色指数$χ'_{st}(G)$是使$G$具有带$t$颜色的星边着色的最小数目$t$。我们证明了完全二部图的星色指数的上界，特别是我们得到了紧的上界的情况下，一个部分的大小最多$3$。我们还考虑了二部图$G$，其中一部分中的所有顶点具有最大度$2$，另一部分中的所有顶点具有最大度$b$。设$k$为整数（$k\geq 1$），证明了若$b=2k+1$则$χ'_{st}(G) \leq 3k+2$ ;若$b=2k$则$χ'_{st}(G) \leq 3k$ ;两个上界都是尖锐的.最后，我们考虑了著名的猜想，次三次图的星色指数最多$6$，特别是我们解决了这个猜想的三次Halin图。
2020-01-27 math.CO
Crumby colorings -- red-blue vertex partition of subcubic graphs regarding a conjecture of Thomassen
Eschlassen提出了以下猜想：每个$3$ -连通三次图都有一个红-蓝顶点着色使得蓝色子图的最大度至多为$1$（即由一个匹配顶点和一些孤立顶点组成）且红色子图的最小度至少为$1$且不含$3$ -边路.由于这种着色中所有单色分量都很小且存在一定的不规则性，我们称这种着色为\emph{crumby}。最近，Bellitto，Klimošová，Merker，Witkowski和Yuditsky \cite{counter}构造了一个无穷族，反驳了上述猜想.它们的原型反例是$2$ -连通的平面的，但包含一个$K_4$ -子环和一个$5$ -环。这使得上述猜想对于一些重要的图类是开放的：外平面图，$K_4$ -minor-free图，二部图。在这方面，我们证明了$2$ -连通的外平面图，$K_4$的细分和$1$ -细分的三次图允许crumby染色。如果每条边至少被细分一次，则$G$的细分是{ \it真正的}。我们证明了任何亚三次图的每个真正的细分都允许crumby染色。我们稍微概括了其中的一些结果，并制定了一些approaches。
2022-12-08 math.CO
Injective edge-coloring of sparse graphs
图$G$的内射边着色$c$是一种边着色，使得如果$e_1$、$e_2$和$e_3$是$G$中的三条连续边（如果它们形成长度为3的路径或循环，则它们是连续的），则$e_1$和$e_3$接收不同的颜色。使得$G$具有$k$颜色的内射边染色的最小整数$k$称为$G$的内射色指数（$χ'_{\textrm{inj}}(G)$）。这个参数是由Cardoso等\textit{al.} \cite{CCCD}由分组无线电网络问题激发而引入的。他们证明了计算图$G$的$χ'_{\textrm{inj}}(G)$是NP难的。我们给出了这个参数的新的上界，并给出了图的内射边染色与其他染色的关系。得到了次三次图的内射色指数的一般界为8。如果图是次立方二部的，我们改进了最后一个界限。证明了次立方二部图的内射色指数以$6$为界。证明了若$G$是一个最大平均度小于$\frac{7}{3} $的次立方图（分别为. $\frac{8}{3} $，$3$），则$G$允许至多4（resp. $6$、$7$）颜色。此外，我们建立了次三次外平面图的一个紧上界。
2020-08-31 math.CO
Packing edge-colorings of subcubic outerplanar graphs
本文证实了次立方外可平面图的 Packing 边着色猜想，证明其存在 $(1,2^5)$-coloring 和 $(1^2,2^3)$-coloring，并探讨了相关参数的最优取值范围。
2024-12-20 math.CO
New bounds for locally irregular chromatic index of bipartite and subcubic graphs
一个图是\textit{locally irregular}，如果每个顶点$v$的邻居的度不同于$v$的度。图$G$的\textit{locally irregular edge-coloring}是一个（不适当的）边染色，使得在任何颜色类的边上导出的图是局部不规则的.证明了$3$颜色满足局部不规则边着色的要求。最近，Bensmail等人（Bensmail，Merker，Bensassen：Decomposing graphs into a constant number of local irregular subgraphs，{ \em European J. Combin.}，60：124--134，2017）将问题的第一恒定上限解决为$328$颜色。在本文中，使用现有的结果相结合，我们提出了一个改进的边界的二部图和一般图，设置最佳上界$7$和$220$，分别。此外，我们还证明了$4$色满足任何次立方图的局部不规则边染色。
2016-11-17 math.CO
Online coloring graphs with high girth and high oddgirth
本文给出了高围长图和高奇围长图的在线色数的上界，推广了Kier-stead算法，给出了既不含C3也不含C5的诱导子图的在线色数的上界.
2009-07-20 math.CO
Complexity and algorithms for injective edge-coloring in graphs
图$G$的单射$k$ -边着色是将颜色（即$\{1, \ldots , k\}$中的整数）分配给$G$的边，使得每个与第三条边的一个不同端点关联的任何两条边接收不同的颜色。确定这种$k$ -着色是否存在的问题称为k-内射边着色。我们证明了3-内射边染色是NP-完全的，即使对于无三角形的三次图、任意大围长的平面次三次图和围长为6的平面二部次三次图也是如此。4-对于三次图，内射边染色是NP-完全的。对于任何$k\geq 45$，我们证明了k-内射边着色保持NP-完全，即使是最大度至多$5\sqrt{3k}$的图。与这些否定的结果相反，我们证明了\InjPbName{k}是线性时间有界树宽图上可解的。此外，我们证明了围长至少为~16的所有平面二部次三图都是$3$ -边可注入着色的。此外，任何最大度至多为$\sqrt{k/2}$的图都是$k$ -边可注入着色的.
2021-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
List coloring the square of sparse graphs with large degree
我们考虑有界最大平均度图的平方着色问题，即在保证相邻或有共同邻居的两个顶点接收不同颜色的情况下对顶点着色的问题。Borodin等人在2004年和2008年证明了围长至少为7且最大度足够大的平面图$Δ$的平方是列表$(Δ+1)$ -可染的，而围长为6且最大度任意大的平面图的平方不是列表$(Δ+1)$ -可染的。根据欧拉公式，围长至少为$6$的平面图的最大平均度小于$3$，围长至少为$7$的平面图的最大平均度小于$14/5<3$ .我们加强了他们的结果，证明了存在一个函数$f$使得任何具有最大平均度$m<3$和最大度$Δ\geq f(m)$的图的平方都是列表$(Δ+1)$ -可染的. $3$的这一界是最优的，在这个意义上，上述平面图的周长$6$有最大平均度小于$3$和任意大的最大度，而他们的平方不能是$(Δ+1)$ -着色。这同样适用于列表单射$Δ$ -着色。
2013-08-20 cs.DM math.CO
Circular edge-colorings of cubic graphs with girth six
证明了围长至少为6的（次）三次图的圆色指数至多为7/2。
2010-05-27 math.CO
On $(1^2,2^2)$-packing edge-coloring of sparse subcubic graphs
Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Xidian University（西安电子科技大学）
本文研究了稀疏次立方图的(1²,2²)-打包边着色问题，证明了所有3-不规则次立方多图均可被此类着色，且该结果最优。同时探讨了平面次立方图的着色性质，证明了足够大的环长可保证(1²,2²)-打包边着色。
2026-03-15 math.CO
b-coloring graphs with large girth
一个图的b-染色是它的顶点的染色，使得每个颜色类都包含一个顶点，该顶点在所有其他类中都有一个邻居。一个图的b-色数是使得该图具有k种颜色的b-染色的最大整数k。我们展示了如何在多项式时间内计算围长至少为9的图的b-色数。这改进了欧文和曼洛夫关于树木的开创性结果。
2012-02-17 math.CO
The crumby coloring conjecture for subcubic outerplanar graphs
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）；HUN-REN–BME Stochastics Research Group（匈牙利研究与教育网络–布达佩斯技术与经济大学随机过程研究组）
研究次立方外平面图的碎屑着色猜想，引入有根文法，将碎屑着色扩展为可接受碎屑的着色，通过计算机辅助验证和手工证明，得出每个有限简单次立方外平面图都允许碎屑着色的结论。
2026-07-08 math.CO
Optimal List Recoloring of Subcubic Graphs and Complete Multipartite Graphs
Université Claude Bernard Lyon 1（里昂第一大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Ecole Centrale de Lyon（里昂中央理工学院）；INSA Lyon（里昂国立应用科学学院）；LIRIS, UMR5205（LIRIS实验室）
本文研究了子立方图和完全多部图的列表着色重配置图的直径，证明了在列表赋值条件下，这两个图类的重配置图直径不超过顶点数加最大匹配数。
2026-04-01 cs.DM math.CO
Fractional colorings of cubic graphs with large girth
我们证明了每一个围长足够大的（次）立方n-顶点图的分数色数至多为2.2978，这意味着它包含一个大小至少为0.4352 n的独立集.我们的独立数的界对随机三次图是有效的，并且改进了现有的大围长三次图最大割的下界。
2010-10-17 math.CO
Minimum Size of Feedback Vertex Sets of Planar Graphs of Girth at least Five
图的反馈顶点集是与所有圈相交的顶点的子集。本文给出了围长至少为5的可平面图的最小反馈顶点集的大小的严格上界。证明了如果$G$是$n$顶点和$m$边围长至少为5的连通可平面图，则$G$有一个大小最多为$\frac{2m-n+2}{7}$的反馈顶点集。根据欧拉公式，这意味着$G$具有大小至多为$\frac{m}{5}$和$\frac{n-2}{3}$的反馈顶点集。这些结果不仅改进了Dross，Montassier和Pinlou的一个结果，证实了他们的一个猜想的围长为5的情形，而且对Kowalik，Lužar和Škrekovski的一个猜想作出了最著名的进展，解决了他们的猜想的次立方情形.我们证明的一个重要步骤是提供一个上界的最小反馈顶点集的大小的次立方图的围长至少为5，没有诱导细分的成员的有限族的非可平面图。
2016-10-28 math.CO
The tight bound for the strong chromatic indices of claw-free subcubic graphs
设$G$是一个图，$k$是一个正整数. $G$的强$k$ -边着色是映射$ϕ: E(G)\to \{1,2,\dots,k\}$，使得对于彼此相邻或与公共边相邻的任何两个边$e$和$e'$，$ϕ(e)\neq ϕ(e')$。$G$的强色指数，记作$χ'_{s}(G)$，是使$G$具有强$k$ -边染色的最小整数$k$。Lv，Li和Zhang [Graphs and Combinatorics 38（3）（2022）63]证明了如果$G$是除三棱柱之外的无爪次三次图，则$χ_s'(G)\le 8$ .此外，他们询问上限$8$是否可以改进为$7$。在本文中，我们肯定地回答了这个问题。我们的证明意味着一个线性时间算法找到强$7$ -边染色的图。我们还构造了无穷多个强色指数达到界$7$的无爪次立方图。
2022-07-21 math.CO
On (1,1,2,3)- and (1,1,3,3,3)-Packing Colorings of Claw-Free Subcubic Graphs
Lebanese University（黎巴嫩大学）；Lebanese International University (LIU)（黎巴嫩国际大学）；Al Maaref University（Al Maaref大学）；University of Sciences and Arts in Lebanon（黎巴嫩科学与艺术大学）；Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学、法国国家科学研究中心、波尔多理工学院、LaBRI实验室）
本文证实Gastineau等的猜想，证明所有无爪次立方图为(1,1,2,3)-填充可着色，除单个图ℋ外的连通无爪次立方图为(1,1,3,3,3)-填充可着色，结果最优，证明依赖结构框架与类Hall匹配论证。
2026-08-04 math.CO
On 2-Distance ($Δ+4$)-coloring of planar graphs with girth at least five
该研究针对围长不小于5的平面图，证明了当最大度$Δ\geq 22$时，这类图可使用$Δ+4$种颜色完成2-距离着色，推进了平面图2-距离着色的相关理论研究。
2023-11-03 math.CO
Fractional balanced chromatic number of signed subcubic graphs
针对带符号次立方图的平衡着色问题，本文证明除$(K_4,-)$及其开关等价图外所有此类图存在平衡$(5,3)$着色，且给出该特殊图的最优着色形式。
2025-04-17 math.CO
Proper Distinguishing Colorings with Few Colors for Graphs with Girth at Least 5
图$G$的可区别色数$χ_D(G)$是$G$的真染色$φ$中的最小颜色数，使得$G$的唯一保持$φ$的所有颜色的自同构是恒等映射。柯林斯和特伦克指出，如果$G$与周长至少为5和$G\ne C_6$相连，则$χ_D(G)\le Δ+1$。我们证明了这个猜想。
2018-10-17 math.CO
An improved bound for 2-distance coloring of planar graphs with girth six
针对围长至少为6且最大度$Δ\neq6$的平面图，证明其2-距离色数$χ_2(G)\neqΔ+4$，改进了该类图2-距离着色的已知最优上界。
2023-11-08 math.CO
Odd graph and its applications to the strong edge coloring
图的强边染色是指图的每一个色类都是诱导匹配的真边染色。图$G$的强边染色指数$χ_s'(G)$是图$G$的强边染色的最小颜色数。令$Δ\geq 4$为整数。本文研究了奇图，并证明了一些特殊游动的存在性。利用这些结果和Chang在[Discuss. Math. Graph Theory 34（4）（2014）723- 733]中，我们证明了每个最大度至多为$Δ$且围长至少为$10 Δ- 4$的平面图具有带$2Δ- 1$颜色的强边染色。另外，我们还证明了：如果$G$是围长至少为$2Δ- 1$和mad $(G) < 2 + \frac{1}{3Δ- 2}$的图，其中$Δ$是最大度，$Δ\geq 4$，则$χ_s'(G) \leq 2Δ- 1$;如果$G$是围长至少为$8$和mad $(G) < 2 + \frac{2}{23}$的次立方图，则$χ_s'(G) \leq 5$ .
2017-11-20 cs.DM math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces III. Graphs of girth five
我们证明了围长至少为5的4-临界图的大小是由它的亏格的一个线性函数有界的。这加强了以前的约束的大小，这样的图给出的Dracassen。它也作为基本情况下的结构描述的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面，提出了在未来的文件，这一系列。
2019-04-16 math.CO
