Vertex Colorings without Rainbow or Monochromatic Subgraphs
本文研究了某些彩虹子图$R$和某些单色子图$M$是禁止的图的顶点着色.以前的工作集中在$R=M$。这里我们考虑更一般的情况，特别是$M=K_2$。
2016-01-26 math.CO
Local colourings and monochromatic partitions in complete bipartite graphs
证明了对平衡完全二部图$K_{n,n}$的边的任意$2$ -局部着色，其顶点最多可被~ $3$不相交的单色路覆盖.并且，我们可以用$O(r^2)$不相交的单色圈覆盖任何完全或平衡完全二部$r$ -局部着色图的几乎所有顶点。我们还几乎精确地确定了路径的$2$ -局部二分Ramsey数：每一个$2$ -局部着色的边$K_{n,n}$包含一个单色路径上的$n$顶点。
2016-09-12 math.CO
Monochromatic cycle partitions in local edge colourings
一个图的边着色称为$r$ -局部着色，如果与任意顶点关联的边至多被$r$着色.推广了Bessy和Pastassé的一个结果，证明了任何$2$ -局部着色完全图的顶点集都可以划分为两个不相交的不同颜色的单色圈.此外，对任意自然数$r$，我们证明了任意$r$ -局部着色完全图的顶点集都可以划分为$O(r^2 \log r)$不相交的单色圈.这推广了Erdás，Gyárfás和Pyber的一个结果。
2015-05-10 math.CO
Non-monochromatic non-rainbow colourings of $σ$-hypergraphs
其中最有趣的新发展超图着色在这些过去几年一直是Voloshin的概念着色的混合超图。在本文中，我们将研究一个具体的例子Voloshin的想法：一个非单色非彩虹（NMNR）着色的超图是一个着色的顶点，使每一个边缘有至少两个顶点着色不同的颜色（非单色），并没有边的所有顶点着色不同的颜色（非彩虹）。也许此类着色中最有趣的现象是超图在其NMNR色谱中可能存在间隙，也就是说，对于某些$k_1 < k_2 < k_3$，超图是NMNR，可以用$k_1$和$k_3$颜色着色，但不能用$k_2$颜色着色。超图的NMNR着色的几个漂亮的例子已经被构造出来，它们表现出在经典着色中看不到的现象。这些示例中的许多示例或者是\emph{ad hoc}，或者是基于设计。后者很难构造，它们通常只对低$r$值给出统一的$r$ -超图，通常是$r=3$。本文研究一类$r$ -一致超图的NMNR染色，我们称之为$σ$ -超图.这些$σ$ -超图的吸引人的特点是，它们很容易定义，甚至对于大的$r$，并且，通过适当的修改它们的参数，它们可以给出超图族，这些超图族保证具有带间隙的NMNR谱或不带间隙的NMNR谱。这些$σ$ -超图也很好地与Bujt{á}s和Tuza最近引入的色界超图的概念合作，以进一步控制间隙的出现，并可能更好地解释混合超图着色中间隙的存在。
2013-07-25 math.CO
Rainbow structures in locally bounded colourings of graphs
证明了边着色拟随机图到彩虹生成结构的近似分解的几个结果。更确切地说，我们说，一个图的边着色是局部$\ell$ -有界的，如果没有顶点是事件的任何给定的颜色超过$\ell$边，它是（全球）$g$ -有界的，如果没有颜色出现超过$g$次着色。注意，$n$ -顶点图的每一个真着色都是局部$1$ -有界的，并且（全局）是$n/2$ -有界的.我们的结果表明：（i）边色$K_n$的彩虹几乎生成圈的近似分解的存在性，只要边色是$\frac{n}{2}$ -有界的和局部$o(n)$ -有界的. (ii)证明了边色$K_n$到彩虹Hamilton圈的近似分解的存在性，只要边色是$(1-o(1))\frac n2$ -有界的和局部$o\big(\frac{n}{\log^4 n}\big)$ -有界的. (iii)我们的结果的二分版本意味着每个$n\times n$阵列，其中每个符号出现$(1-o(1))n$次，并出现在每行或每列只有$o\big(\frac{n}{\log^2 n}\big)$次，有一个近似的分解成完整的横截。我们还证明了类似物（i）和（ii）的$F$ -因子，其中$F$是任何固定的图。除了（ii）中的对数因子外，所有这些界限基本上都是最佳可能的。(i)可以看作是最近的结果的推广Alon，Pokrovskiy和Sudakov，谁显示了存在一个几乎生成圈在适当的颜色完全图。（i）和（…
2019-09-28 math.CO
Almost all optimally coloured complete graphs contain a rainbow Hamilton path
一个边着色图的子图$H$称为彩虹图，如果$H$的所有边都有不同的颜色。在1989年，Andersen证明了$K_{n}$的每一个适当的边着色都允许一个长度为$n-2$的彩虹路径。我们发现，几乎所有的最佳边着色的$K_{n}$承认（i）彩虹汉密尔顿路径和（ii）彩虹周期使用所有的颜色。这一结果证明了Andersen猜想对$K_{n}$的几乎所有最优边着色都成立，并回答了Ferber，Jain和Sudakov最近提出的一个问题。我们的结果也适用于随机对称拉丁方中断面的存在性。
2022-04-21 math.CO
On the threshold for rainbow connection number r in random graphs
我们称图G的边着色为彩虹着色，如果每对顶点都由彩虹路连接，即，没有两条边具有相同颜色的路径。图G的边的彩虹着色所需的最少颜色数称为图G的彩虹连通数rc（G）。研究了Erdens-Rényi随机图中具有rc（G）<= r性质的锐阈值，其中r是一个固定整数.已知当r=2时，随机图的彩虹连接数2和直径2基本上同时发生.当r >= 3时，我们推测情况并非如此，提出了另一种阈值，并证明了这是彩虹连接数r的阈值的一个上界。
2013-07-29 math.CO
Rainbow monochromatic $k$-edge-connection colorings of graphs
边着色图中的路径称为单色路径，如果路径的所有边具有相同的颜色。如果每个$P_i$都是单色的，并且对于任意两个$i\neq j$，$P_i$和$P_j$具有不同的颜色，则我们称$k$路径为$P_1,\cdots,P_k$彩虹单色路径。一个图$G$的边染色称为彩虹单色$k$ -边连通染色（或简称$RMC_k$ -染色），如果$G$的每两个不同的顶点至少由$k$彩虹单色路连接。我们用$rmc_k(G)$来表示确保$G$具有$RMC_k$ -着色的最大颜色数，这个数称为彩虹单色$k$ -边连接数。证明了图的$RMC_k$ -染色的存在性，给出了图的$rmc_k(G)$的一些界，并给出了图的$rmc_k(G)$达到下界的图.我们还得到了$rmc_k(G(n,p))\geq f(n)$的阈值函数，其中$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor> k\geq 1$。
2020-01-06 math.CO
Entropy Transference for Rainbow-$H$-Free Colourings of Random Graphs
Institute for Mathematical Sciences, Renmin University of China（中国人民大学数学科学研究所）；Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University（清华大学数学科学系）
该研究针对含q≥3条边且有相邻边的固定图H，建立随机图无彩虹H着色的熵转移原理，扩展了随机Gallai着色相变，提供稠密模板熵向稀疏随机宿主转移的通用机制。
2026-08-21 math.CO
Colouring set families without monochromatic k-chains
经典极值问题的着色版本可以追溯到Erdés和Rothschild，他们在1974年问哪个$n$ -顶点图在没有单色三角形的情况下具有最多的2-边着色。他们证明，答案是简单地给出了最大的三角形自由图。从那时起，这一类新的有色极值问题已被广泛研究的各种研究人员。在本文中，我们追求的Erdens-Rothschild版本的Sperner定理，在极值集理论的最大的反链的大小在布尔格的经典结果，和Erdenses '扩展到$k$ -链自由的家庭。给定$[n]$的子集的$\mathcal{F}$族，我们定义$\mathcal{F}$的$(r,k)$ -着色为没有任何单色$k$ -链$F_1 \subset F_2 \subset \dots \subset F_k$的集合的$r$ -着色.我们证明，$n$足够大的$k$，最大的$k$链自由的家庭也最大限度地增加了$(2,k)$着色的数量。我们还表明，中间的水平，$\binom{[n]}{\lfloor n/2 \rfloor}$，最大化的$(3,2)$ -着色的数量，并给出渐近结果的最大可能数量的$(r,k)$ -着色时，$r(k-1)$是可分的3。
2019-06-08 math.CO
High girth hypergraphs with unavoidable monochromatic or rainbow edges
Erdens和Hajnal的一个经典结果是：对任意整数$k, r, g \geq 2$，存在围长至少为$g$且色数至少为$k$的$r$ -一致超图.这意味着存在稀疏超图，使得在其顶点的任何着色中，至多有$k-1$颜色，存在单色超边。证明了对任意整数$r, g\geq 2$，存在周长至少为$g$的$r$ -一致超图，使得其顶点的任意着色都有单色边或彩虹边.我们给出了一个概率和确定性证明这一结果。
2016-08-17 math.CO
On the maximum number of integer colourings with forbidden monochromatic sums
令$f(n,r)$表示具有$r$颜色的$A \subseteq \lbrace 1,\ldots,n\rbrace$的着色的最大数目，使得每个颜色类是无和的。这里，和是子集$\lbrace x,y,z\rbrace$，使得$x+y=z$。我们证明了$f(n,2) = 2^{\lceil n/2\rceil}$，并描述了极值子集。此外，使用线性优化，我们渐近地确定了$r \leq 5$的$f(n,r)$的对数。Hàn和Jiménez在有限阿贝尔群的情况下也得到了类似的结果。
2017-10-16 math.CO
Monochromatic Sumsets in Countable Colourings of Abelian Groups
本文针对不含4阶元素的阿贝尔群，构造可数着色以避免任何二元集合产生单色和集，肯定回答了 Fernández-Bretón 等人的问题。
2024-07-04 math.CO
Indestructible colourings and rainbow Ramsey theorems
对Erdos和Hajnal的一个问题给出了否定的回答：GCH成立是一致的，存在一个建立$ω_2 \not\to [(ω_1;ω)]^2_2$的着色$c:[{ω_2}]^2\to 2$，使得某些着色$g:[ω_1]^2\to 2$不能嵌入到$c$中.同样一致的是，$2^{ω_1}$是任意大的，并且函数$g$建立$2^{ω_1} \not\to [(ω_1,ω_2)]^2_{ω_1}$，使得没有不可数的$g$-$2^{ω_1}$的彩虹子集。我们还表明，对于每个$k\in ω$它是一致的马丁公理，负分区关系$ω_1 \not\to^* [(ω_1;ω_1)]_{k-bdd}$举行。
2008-04-29 math.CO math.LO
On various (strong) rainbow connection numbers of graphs
如果所有边都有不同的颜色，则边着色路径为\emph{rainbow}。对于连通图$G$，\emph{rainbow connection number} $rc(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹路径连接。类似地，\emph{strong rainbow connection number} $src(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹测地线连接（即，最短长度的路径）。图的连通性的这两个概念是由Chartrand等人引入的。2008年随后，引入了两个参数的顶点着色版本$rvc(G)$和$srvc(G)$，以及彩虹连接数的全着色版本$trc(G)$。本文引入了强全彩虹联系数$strc(G)$，它是强彩虹联系数的全染色形式.在我们的结果中，我们将确定一些特殊图的强全彩虹连通数。我们还将比较这六个参数，考虑它们之间的距离有多近和多远。特别地，我们将构造所有正整数对$a$和$b$，使得存在具有$trc(G)=a$和$strc(G)=b$的图$G$，并且对于函数$rvc$和$srvc$也是类似的。
2017-04-20 math.CO
A rainbow blow-up lemma
我们证明了彩虹版本的爆破引理的Komlós，Sárközy和Szemerédi的$μn$ -有界边着色。这使得系统地研究有界度生成子图的彩虹嵌入成为可能。作为一个应用程序，我们展示了我们的爆破引理可以用来转移带宽定理的Böttcher，沙赫特和Taraz的彩虹设置。它也可以作为一个工具，超出了设置$μn$有界的边缘着色。Kim、Kühn、Kupavskii和Osthus利用这一点证明了几个彩虹分解结果。我们的证明方法包括Rödl和Rucibrski给出的爆破引理的另一种证明策略，切换方法以及Harris和Srinivasan开发的部分恢复算法。
2018-06-08 math.CO
Monochromatic cycle partitions in 3-mean edge-colourings
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）
针对Conlon与Stein提出的边着色完全图划分为有限个单色圈的问题，证明顶点关联颜色平均数至多为3时该命题成立，解决了r=3的首个公开情况。
2026-10-14 math.CO
Rainbow Colouring of Split and Threshold Graphs
连通图的彩虹着色是图的边的着色，使得每对顶点由至少一条路径连接，其中没有两条边的颜色相同。这种使用最少可能颜色数的着色称为最优彩虹着色，所需的最少颜色数称为图的彩虹连接数。在这篇文章中，我们展示了以下内容：1.决定一个图是否可以用3种颜色着色的问题即使局限于分裂图类也是NP完全的。然而，任何分裂图都可以在线性时间内使用比最佳颜色多一种颜色来着色。2.对于任何大于2的整数k，判定一个图是否可以用k种颜色着色的问题即使仅限于弦图类也是NP-完全的。3.对于每一个正整数k，具有彩虹连接数k的阈值图可以单独基于它们的度序列来表征。此外，我们可以最佳彩虹颜色的阈值图在线性时间。
2012-05-08 cs.CC cs.DM cs.DS
Improper Colourings inspired by Hadwiger's Conjecture
Hadwiger猜想断言每个$K_t$ -minor自由图都有一个适当的$(t-1)$ -着色。我们通过不适当的着色放宽了Hadwiger猜想中的结论。本文证明了任何无$K_t$ -minor图都是$(2t-2)$ -可列图，其单色分支的阶至多为$\lceil{\frac12(t-2)}\rceil$ .这个结果没有更多的颜色和更小的单色分量比所有以前的结果在这个方向上。证明了每个$K_t$ -minor free图都是单色度至多为$t-2$的$(t-1)$ -列图.这是最好的已知度界这样的结果。这两个定理都是基于独立兴趣的分解方法。我们给类似的结果$K_{s,t}$ -小自由图，从而导致这些类的广义着色数的改进的界限。最后，我们证明了不含$K_t$ -浸入的图是具有有界单色度的$2$ -可浸入图.
2018-02-22 math.CO
Distribution of colours in rainbow H-free colourings
本文研究了无彩虹H着色中的颜色分布问题，通过证明$g(k)=Θ(k^{1.5}/(\log k)^{0.5})$解决了Gallai $k$-着色中$g(k)$的精确量级问题，并将定义推广至一般图$H$，证明了$g(H,k)$对所有$k$有限当且仅当$H$非森林。
2023-09-11 math.CO
Rainbow triangles and the Erdős-Hajnal problem in projective geometries
本文提出Erdős-Hajnal猜想的射影几何版本，解决三角形着色所有情形，并证明彩虹三角形自由着色等价于双色分解。
2025-10-16 math.CO
Pairwise sums in colourings of the reals
假设我们有实数的有限着色。我们希望在某个色类中找到什么样的和集型结构？我们的目的之一是表明，有这样一个着色，其中没有不可数集的所有成对和单色。我们还证明了存在这样一种着色，使得不存在无限集X与X+X（X的两两和，允许重复）单色。这些结果假设CH。在另一个方向，我们表明，如果每个颜色类是可测量的，或每个颜色类是Baire，那么有一个无限集X（甚至是一个不可数的X，大小为实数）与X+X单色。我们也给出了所有这些结果的版本的k-明智的总和，而成对的总和。
2015-05-11 math.CO
Proper rainbow saturation for trees
本文系统研究树的恰当彩虹饱和数，针对若干无限族树给出了精确与渐近结果，并揭示了其与经典饱和数及半饱和数的联系。
2024-10-12 math.CO
Embedding rainbow trees with applications to graph labelling and decomposition
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的研究可以追溯到两百多年前欧拉关于拉丁方的工作。从那时起，彩虹结构一直是广泛研究的焦点，并在图的标记和分解领域中找到了应用。一个边着色是局部$k$ -有界的，如果每个顶点至多包含在相同颜色的$k$边中.本文证明了完全图$K_n$的任何边着色都包含至多有$(1-o(1))n/k$顶点的树的彩虹拷贝。由于$K_n$的局部$k$有界边着色可能仅具有$(n-1)/k$不同的颜色，因此这本质上是紧密的。作为这个结果的一个推论，我们得到了图论中两个长期存在的定理的渐近版本。首先，我们证明了1963年Ringel猜想的一个渐近版本，证明了任何$n$ -边树都可以填充到完全图$K_{2n+o(n)}$中，以覆盖除$o(n^2)$之外的所有边。其次，我们证明了所有的树都有一个几乎和谐的标签。1980年，格雷厄姆和斯隆证实了这种标签的存在。我们还讨论了一些其他的应用。
2018-12-09 math.CO
Rainbow matchings in Dirac bipartite graphs
证明了当$μ>0$足够小时，Dirac二部图的$μn$有界边着色中彩虹完美匹配的存在性.作为应用，我们得到了Dirac图中彩虹$k$ -因子和最小度大的图中有界最大度彩虹生成子图存在性的几个结果.
2017-12-14 math.CO
Colourings without monochromatic disjoint pairs
典型的极值问题是问一个结构在不包含禁止子结构的情况下可以有多大。1974年由Erdenses和Rothschild在极值图论的背景下提出的Erdens-Rothschild问题是一个着色扩展，要求一个结构可以有最大数量的着色，以避免被禁止的子结构的单色副本。著名的Erdens-Ko-Rado定理是极值集合论中的一个基本结果，它定义了没有一对不相交集合的集合族的大小，并且已经被扩展到其他几个离散设置。这些定理的Erdens-Rothschild扩张在最近几年也被研究，最著名的是Hoppen、Koyakayawa和Lefmann对集合族的研究，以及Hoppen、Lefmann和Odermann对向量空间的研究。在本文中，我们提出了一个统一的方法，交叉结构的Erdens-Rothschild问题，这使我们能够扩展以前的结果，往往与其他参数的地面集的大小上的尖锐的界限。在许多情况下，我们还讨论了哪些向量空间的家庭渐近最大化的Erdens-Rothschild染色的数量，从而解决了一个猜想的Hoppen，Lefmann和Odermann。
2018-01-09 math.CO
Proper rainbow connection number of graphs
边着色图中的一条路称为\emph{rainbow path}，如果它的边接收成对不同的颜色。一个边着色图称为\emph{rainbow connected}，如果图的任意两个不同的顶点通过彩虹路相连.存在这样的边着色的最小$k$是$G.$的彩虹连接数$rc(G)$最近，Bau等人\cite{BJJKM2018}引入了这个概念，并附加了边着色必须适当的要求.一个正常边着色图称为\emph{properly rainbow connected}，如果图的任意两个不同的顶点通过彩虹路连接. $G$的\emph{proper rainbow connection number}，记为$prc(G)$，是使它正常彩虹连接所需的最少颜色数.本文首先证明了一个改进的上界$prc(G) \leq n$，它适用于每一个$n \geq 3.$阶连通图$G$。其次，我们证明了差$prc(G) - rc(G)$可以任意大。最后，我们给出了满足$prc(G) = χ'(G).$的图类的几个充分条件
2019-11-04 math.CO
Some New Results on Monochromatic Sums and Products in the Rationals
本文的目的是证明，对于任何$k$，其分解子只包含第一个$k$素数的有理数集合存在有限着色，使得没有无限集的有限和与乘积都是单色的.我们实际上证明了一个“统一”的形式：有一个有限着色的理性与财产，没有无限集的扩张器只包含许多素数有其所有的有限总和和产品单色。我们还给出了其他各种结果，包括一个新的短证明旧的结果，有一个有限的着色的自然，这样就没有无限集的所有成对和产品单色。
2023-03-07 math.CO
A rainbow Dirac theorem for loose Hamilton cycles in hypergraphs
University of Birmingham（伯明翰大学）；Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
该研究证明了在满足特定度数阈值的k-均匀超图中，任何全局有界的着色都包含一个彩虹松散哈密顿回路。
2026-02-09 math.CO
Monochromatic paths in $2$-edge coloured graphs and hypergraphs
我们回答了Gyárfás和Sárközy在2013年提出的一个问题，证明了每一个2-边色完全3-一致超图都可以划分成两条不同颜色的单色紧路。我们还给出了划分任意2-边色完全r-部r-一致超图所需紧路数的一个下界。最后，我们证明了任何2-边着色的完全二部图都有一个划分为不同颜色的单色圈和单色路，除非着色是分裂着色。
2023-01-25 math.CO
A Rainbow Dirac's Theorem
Dirac的一个著名定理指出，任何一个在$n$顶点上且最小度至少为$n/2$的图都有一个Hamilton圈。这样的图称为狄拉克图。加强这一结果，我们证明了存在的彩虹Hamilton圈的$μn$有界染色的Dirac图充分小的$μ>0$。
2018-09-17 math.CO
Rainbow factors in hypergraphs
对于任意的$r$ -图$H$，我们考虑在具有大的最小$\ell$ -度和适当有界的边着色的$r$ -图$G$中寻找彩虹$H$ -因子的问题.我们表明，渐近程度阈值是相同的，找到一个$H$ -因素。
2018-03-28 math.CO
Rainbow trapezoids with given area
Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute（罗摩克里希纳使命维韦卡南达教育与研究机构）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
研究了平面整数格点的3色染色中，必存在面积为1/2的彩虹三角形或任意面积的单色矩形，同时探讨了单色矩形和彩虹梯形的存在性条件。
2026-03-14 math.CO
Highly connected monochromatic subgraphs of multicoloured graphs
我们考虑以下问题的Bollobas：给定r-着色的边的完全图的n个顶点，多大的k-连通子图，我们可以找到只使用一种颜色？我们解决这个问题的渐近时，r-1是一个素数的权力，正是2-和3-着色。
2007-02-13 math.CO
Monochromatic Paths in the Complete Symmetric Infinite Digraph
设$\vec{K}_{\mathbb{N}}$是正整数上的完全对称有向图。我们利用DeBiasio和McKenney的问题，构造了$\vec{K}_{\mathbb{N}}$的边的2-着色，其中每条单色路径的密度为0.另一方面，我们表明，在每一个着色，没有一个有向路径与$r$边缘在第一种颜色，有向路径在第二种颜色的密度至少$\frac1r$。
2017-10-30 math.CO
Monochromatic triangle packings in red-blue graphs
证明了在$K_n$的每一个$2$ -边着色中，都存在一个$n^2/12 + o(n^2)$边不相交的单色三角形的集合，从而证实了Erdos的一个猜想.我们还证明了相应的稳定性结果，表明$2$着色接近达到上述界限有一个颜色类，这是接近二分。作为我们的证明的一部分，我们证实了Tyomkyn最近的一个猜想，这个问题的分数版本。
2020-08-14 math.CO
Rainbow Colouring of Split Graphs
边着色图中的彩虹路径是没有两条边着色相同的路径。连通图G的彩虹着色是指G的边的着色，使得G中的每对顶点至少有一条彩虹路相连，使G彩虹着色所需的最少颜色数称为G的彩虹连接数。在他们之间，Chakraborty等人[J. Comb. Optim.，2011]和Ananth等人[FSTTCS，2012]已经证明，对于每个整数k，k \geq 2，决定给定图是否可以使用k种颜色被彩虹着色是NP-完全的。分裂图是指其顶点集可以划分为团和独立集的图。Alfred ran和Rajendraprasad已经证明，决定给定分裂图G是否可以使用3种颜色进行彩虹着色的问题是NP完全的，并且进一步描述了一个线性时间算法来使用最多一种颜色对任何分裂图进行彩虹着色[COCOON，2012]。在这篇文章中，我们解决了分裂图问题的计算复杂性，从而发现了一个有趣的二分法。具体来说，我们表明，问题的决定是否一个给定的分裂图可以彩虹色使用k种颜色是NP-完全的k \in {2，3}，但可以解决在多项式时间的所有其他值的k。
2014-04-17 cs.CC cs.DM math.CO
Partitioning edge-coloured complete graphs into monochromatic cycles and paths
Erdés、Gyárfás和Pyber的一个猜想说，在一个具有r种颜色的完全图的任何边着色中，有可能用r个顶点不相交的单色圈覆盖所有顶点。到目前为止，这个猜想只在r = 2时被证明。在本文中，我们表明，事实上，这个猜想是假的所有r > 2。与此相反，我们表明，在任何边着色的完全图与三种颜色，它是可能的，覆盖所有的顶点与三个顶点不相交的单色路，证明了一个特殊情况下的猜想，由于Gyárfás。作为一个中间结果，我们表明，在任何边着色的颜色红色和蓝色的完全图，它是可能的，覆盖所有的顶点与红色的道路，和一个不相交的蓝色平衡完全二部图。
2012-05-24 math.CO
Improved bounds for proper rainbow saturation
本文基于与经典saturation和semi-saturation数的联系，为一般团、圈和完全二部图的proper rainbow saturation数$\ ext{sat}^*(n,H)$提供了新的上下界。
2024-10-14 math.CO
Decompositions into isomorphic rainbow spanning trees
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。我们的主要结果意味着，给定一个足够大的完全图$K_{2n}$的任何最佳着色，存在一个分解的$K_{2n}$到同构的彩虹生成树。这解决了Brualdi-Hollingsworth（从1996年）和Constantine（从2002年）的大图的问题。
2020-03-06 math.CO
The sharp threshold for rainbow stackings of random edge-colourings
Institute for Basic Science（基础科学研究院）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）；Research institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（复旦大学复杂系统智能研究所）；Department of Mathematics, Louisiana State University（路易斯安那州立大学数学系）
研究完全图K_n的m个独立均匀随机r-边着色存在彩虹堆叠的临界调色板大小r，确定了相变常数项，给出了精确阈值。
2026-07-01 math.CO
List rainbow connection number of graphs
本文引入图的列表彩虹连通数与列表强彩虹连通数，确定若干特定图的相应参数，刻画参数对可实现的正整数值，并提出列表彩虹连通数是否总等于彩虹连通数的公开问题。
2025-03-12 math.CO
Rainbow trees in uniformly edge-coloured graphs
我们获得了充分条件的出现的跨越和几乎跨越有界度{ \sl彩虹}树在各种主机图，有他们的边缘着色独立，均匀随机，使用预定的调色板。我们的第一个结果断言，使用尺寸为$n$，a.a.s.的调色板，$\mathbb{G}(n,ω(1)/n)$的均匀着色。允许在至多$(1-\varepsilon)n$顶点上的任何给定有界度树的彩虹副本，其中$\varepsilon > 0$是任意小但固定的。这作为一个彩虹变种的经典结果阿隆，Krivelevich和Sudakov有关的嵌入有界度几乎生成规定的树在$\mathbb{G}(n,C/n)$，其中$C > 0$是独立的$n$。给定一个最小度至少为$δn$的$n$ -顶点图$G$，其中$δ> 0$是固定的，我们利用我们前面的结果证明了随机扰动图$G \cup \mathbb{G}(n,ω(1)/n)$的均匀着色，使用$(1+α)n$颜色，其中$α> 0$是任意小而固定的，a.a.s.允许任何给定的有界度{ \sl生成}树的彩虹副本。这可以看作是Krivelevich、Kwan和Sudakov的一个结果的彩虹变体，他们证明了$G \cup \mathbb{G}(n,C/n)$，其中$C > 0$独立于$n$，a.a.s.允许任何给定的有界度生成树的副本。最后，利用上述的$G$，我们证明了用$G \cup \mathbb{G}(n,ω(n^{-2}))$颜…
2021-05-23 math.CO
Monochromatic combinatorial lines of length three
我们表明，有一个常数$c$，使任何着色的立方体$[3]^n$在$c \log \log n$颜色包含一个单色组合线。
2021-07-28 math.CO
Gallai-Ramsey Multiplicity
给定两个图$G$和$H$，\emph{general $k$-colored Gallai-Ramsey number} $\operatorname{gr}_k(G:H)$被定义为最小整数$m$，使得完全图在$m$顶点上的每个$k$ -染色包含$G$的彩虹拷贝或$H$的单色拷贝.当人们问必须出现多少个这样的$G$的彩虹拷贝和$H$的单色拷贝时，有趣的问题出现了。\emph{Gallai-Ramsey multiplicity} $\operatorname{GM}_{k}(G,H)$定义为在$K_{\operatorname{gr}_{k}(G,H)}$的任何精确$k$着色中，$G$的彩虹拷贝和$H$的单色拷贝的最小总数。本文给出了包含小彩虹子图的Gallai-Ramsey重数的上、下界。
2023-02-20 math.CO
A Ramsey Characterisation of Eventually Periodic Words
对于字母表$X$上的有限字$X^*$的给定着色，如果每个$u_i$是相同的颜色，则字母表$X$上的无限字$x$的因式分解$x = u_1 u_2 \cdots$被称为“单色的”。Wojcik和Zamboni证明，这个词$x$是周期性的，当且仅当每一个有限着色的$X^*$有一个单色因式分解的$x$。另一方面，从拉姆齐定理得出，对于\textit{any}字$x$，对于$X^*$的每个有限着色，存在具有单色因子分解的$x$的后缀。如果每个单词$u_{k_1} u_{k_2} \cdots u_{k_n}$，其中$k_1 < \cdots < k_n$是相同的颜色，则因子分解$x = u_1 u_2 \cdots$被称为“超单色”。本文的目的是证明一个词$x$最终是周期的当且仅当对于$X^*$的每个有限着色都有一个后缀$x$具有超单色因子分解。我们的主要工具是一个拉姆齐结果交替和可能是独立的利益。
2022-06-10 math.CO
Some Remarks on Rainbow Connectivity
一个边（顶点）着色图是彩虹连通的，如果在任意两个顶点之间有一条彩虹路，即一条路的所有边（内部顶点）都带有不同的颜色。图$G$的彩虹边（点）连通度是图$G$的彩虹边（点）着色所需的最小颜色数。在本文中，我们提出了一个非常简单的方法来研究彩虹连通图。利用这一思想，我们给出了几个已知结果的统一证明，以及一些新的结果。
2015-09-10 math.CO
Almost-monochromatic sets and the chromatic number of the plane
在$\mathbb{R}^d$的着色中，如果$S\setminus \{s_0\}$是单色的而$S$不是，则$(S,s_0)$与$S\subseteq \mathbb{R}^d$和与$s_0\in S$的对是\emph{almost monochromatic}。我们考虑的问题，找到几乎单色的相似副本对$(S,s_0)$在着色的$\mathbb{R}^d$，$\mathbb{Z}^d$，并在$\mathbb{Q}$下的着色的一些限制。在其他结果中，我们将这些$(S,s_0)$与$S\subseteq \mathbb{Z}$，其中每一个有限着色的$\mathbb{R}$没有一个无限的单色算术级数包含一个几乎单色类似的副本$(S,s_0)$。我们还表明，如果$S\subseteq \mathbb{Z}^d$和$s_0$是外的凸包的$S\setminus \{s_0\}$，那么每一个有限着色的$\mathbb{R}^d$没有一个类似的单色副本的$\mathbb{Z}^d$包含一个几乎单色的类似副本的$(S,s_0)$。此外，我们提出了一种方法，找到几乎单色集，可能会导致一个非计算机辅助证明$χ(\R^2)\geq 5$。
2022-02-26 cs.DM math.CO
A note on the minimum size of $k$-rainbow connected graphs
一个边着色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点之间存在彩虹路.如果存在最多具有彩虹连通的$k$颜色的$G$的边着色，则称图$G$是$G$-彩虹连通的。对于整数$n$和$k$，令$t(n,k)$表示阶为$n$的$k$-彩虹连通图的最小边数.本文证明了对所有$n, k \ge 3$，$t(n,k) = \lceil k(n-2)/(k-1) \rceil$
2015-06-10 math.CO
Gallai-Ramsey multiplicity for rainbow small trees
本文定义了Gallai-Ramsey重数，并在足够多颜色下求得了彩虹小树与一般单色图该重数的精确值，同时研究了二部Gallai-Ramsey重数。
2024-03-25 math.CO
The rainbow connection number of 2-connected graphs
图G的彩虹连通数是指图G的边着色中使每两个顶点之间有两次不含颜色的路的最少颜色数。改进Caro等人的结果，证明了任意n阶2-连通图的彩虹连通数至多是n/2的天花板.边界是最优的。
2011-10-26 math.CO
Forbidden rainbow subgraphs that force large monochromatic or multicolored k-connected subgraphs
设$n, k, m$是正整数，且$n\gg m\gg k$，且$\mathcal{A}$是阶数至少为3的图$G$的集合，使得在使用所有$m$颜色的$K_n$的任何彩虹$G$ -自由着色中存在阶数至少为$n-f(G,k,m)$的$k$ -连通单色子图.本文证明了集合$\mathcal{A}$恰好由$P_6$，$P_3\cup P_4$，$K_2\cup P_5$，$K_2\cup 2P_3$，$2K_2\cup K_3$，$2K_2\cup P^{+}_4$，$3K_2\cup K_{1,3}$及其阶数至少为3的子图组成.此外，我们表明，对于任何图$H\in \mathcal{A}$，如果$n$充分大于$m$和$k$，那么任何彩虹$(P_3\cup H)$ -自由着色的$K_n$使用所有的$m$颜色包含一个$k$连接的单色子图的顺序至少$cn$，其中$c=c(H)$是一个常数，不依赖于$n$，$m$或$k$。此外，我们考虑了完全二部图中的一个并行问题。令$s, t, k, m$是具有${\rm min}\left\{s, t\right\}\gg m\gg k$和$m\geq |E(H)|$的正整数，并且令$\mathcal{B}$是阶至少为3的二分图$H$的集合，使得在使用所有$m$颜色的$K_{s,t}$的任何彩虹$H$ -自由着色中存在阶至少为$s+t-f(H,k,m)$的$k…
2019-07-03 math.CO
Decompositions into spanning rainbow structures
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的研究可以追溯到200多年前欧拉关于拉丁方的工作，并一直是广泛研究的焦点。欧拉提出了一个问题，相当于找到正确的$n$ -边着色完全二部图$K_{n,n}$，可以分解成彩虹完美匹配。虽然有适当的边着色的$K_{n,n}$，甚至没有一个单一的彩虹完美匹配，本文的主题是表明，与一些非常弱的额外的限制，可以找到许多不相交的彩虹完美匹配。特别是，我们证明，如果一些分数的颜色类有最多$(1-o(1)) n$边缘，然后可以近分解的边缘$K_{n,n}$到边缘不相交完美的彩虹匹配。作为这一点的应用，我们建立了一个非常强的形式的猜想Akbari和Alipour和渐近证明了一个猜想Barat和Nagy。这两个图都涉及具有二次多色的$K_{n,n}$的边着色中的彩虹完美匹配。使用我们的技术，我们也证明了一些结果的近分解图成其他彩虹结构，如哈密顿圈和生成树。最值得注意的是，我们证明了任何适当着色的完全图都可以近似分解成生成彩虹树。这渐近地证明了Brualdi-Hollingsworth和Kaneko-Kano-Suzuki定理，它们预测在相同的假设下应该存在完美的分解。
2018-12-10 math.CO
Rainbow variations on a theme by Mantel: extremal problems for Gallai colouring templates
本文完全确定了保证彩虹三角形存在的边密度阈值，解决了Aharoni等人提出的问题，推广了极值Gallai着色模板的先前结果，并证明了Frankl等人的猜想。
2024-02-08 cs.DM math.CO
