Graphs with bounded tree-width and large odd-girth are almost bipartite
Alexandr V. Kostochka, Daniel Kral', Jean-Sebastien Sereni, Michael Stiebitz
证明了对于每个$k$和每个$\varepsilon>0$，存在$g$使得每个树宽最多为$k$且奇围长至少为$g$的图的圆色数最多为$2+\varepsilon$。
We prove that for every $k$ and every $\varepsilon>0$, there exists $g$ such that every graph with tree-width at most $k$ and odd-girth at least $g$ has circular chromatic number at most $2+\varepsilon$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The size of bipartite graphs with girth eight
Reiman提出了周长为6的二部图的二次不等式。我们得到了周长为8的对应不等式，一个三次不等式。它是最佳的，因为它承认的代数结构的广义四边形的情况下平等。这使得我们能够得到平衡二部图的最优估计e ~ v^（4/3）。我们还得到了非常不平衡图的最优估计。
On the girth cycles of the bipartite graph $D(k,q)$
Lazebnik和Ustimenko（1995）提出的代数二部图$D(k,q)$不仅在极图理论中有重要意义，而且在编码理论和密码学中也有重要意义。这个图是$q$ -正则的，边传递的，围长至少为$k+4$。Füredi等人（1995）对奇数$k$和$q\geq4$的精确周长$g=g(D(k,q))$进行了验证。这个猜想在2016年被证明是有效的，当时$(k+5)/2$是$q-1$的任意因子和$\mathbb{F}_q$特征的任意幂的乘积。本文确定了$D(k,q)$的所有围长圈，其中包括$3\leq k\leq 5$，$q>3$和$3\leq k\leq8$，$q=3$ .
On the odd girth and the circular chromatic number of generalized Petersen graphs
一类简单图如${\cal G}$称为{ \it奇围长闭}，如果对任意正整数$g$，存在一个图$G \in {\cal G}$，使得$G$的奇围长大于或等于$g$ .一个奇围长闭图类${\cal G}$称为{ \it奇五边形}，如果存在一个依赖于${\cal G}$的正整数$g^*$，使得任何一个其奇围长大于$g^*$的图$G \in {\cal G}$都与五圈同态（即是$C_{_{5}}$ -可着色的）.在这篇文章中，我们发现，寻找广义Petersen图的奇围长可以转化为一个整数规划问题，并使用此，我们显式地计算奇围长这样的图，表明类是奇围长封闭的。同时，在证明广义Petersen图是奇五边形图的基础上，我们研究了这类图的圆色数。
Online coloring graphs with high girth and high oddgirth
本文给出了高围长图和高奇围长图的在线色数的上界，推广了Kier-stead算法，给出了既不含C3也不含C5的诱导子图的在线色数的上界.
The distinguishing chromatic number of bipartite graphs of girth at least six
图$G$的可区别数$D(G)$是最小整数$d$，使得$G$有一个顶点标记，该顶点标记具有仅由平凡自同构保持的$d$标记。类似地定义了$G$的区别色数$χ_{D}(G)$，其中，另外，假定$f$是适当的标号。受\cite{colins}中一个猜想的启发，证明了：如果$G$是围长至少为6的二部图，且最大度为$Δ(G)$，则$χ_{D}(G)\leq Δ(G)+1$ .我们还得到了$χ_{D}(G)$的一个上界，其中$G$是一个至多有一个圈的图。最后，我们给出了图的可区别色数与其生成子图的可区别色数之间的关系。
Coloring, sparseness, and girth
一个$r$扩充树是一个有根树加上从每个叶子到祖先添加的$r$边。对于$d,g,r\in\mathbb{N}$，我们构造了一棵围长至少为$g$的二分$r$ -增广完全$d$ -二叉树.这种树的高度必须以极快的速度增长。利用所得到的图，我们构造了稀疏的非$k$ -可选的二部图，证明了最大平均度至多为$2(k-1)$是二部图中$k$ -可选的一个尖锐的充分条件，即使在要求大围长的情况下也是如此.我们还给出了具有任意围长$g$的非$k$ -可着色图和超图的一个新的简单构造.
On new record graphs close to bipartite Moore graphs
互连网络的图形建模激发了对几个极值问题的研究，这些极值问题涉及图形的众所周知的参数（度、直径、围长和阶数），并要求其中一个参数的最优值，同时保持其他两个参数不变。在这里，我们集中在{ \em二部Moore图\/}，即二部图达到最佳顺序，固定的度/直径或度/围长。事实上，有很少的二部摩尔图表明放松的一些约束所隐含的二部摩尔界。首先我们研究{ \em局部二部Moore图}。我们发现在某些情况下，那些局部二部摩尔图的局部围长尽可能接近于一个二部摩尔图给出的局部围长。其次，我们构造了一类阶为$2(q^2+q+5)$，直径为$3$的$(q+2)$ -二部图，其中$q$是素数的幂.这些图获得了$q=9$的记录值，并提高了$q=11$和$q=13$的值。
The girth, odd girth, distance function, and diameter of generalized Johnson graphs
本文针对广义Johnson图$J(v,k,i)$，推导出其围长、奇围长、距离函数和直径的精确公式，为理解该图族的结构特性提供了理论基础。
Connectivity keeping trees in 3-connected bipartite graphs with girth conditions
针对Luo等人提出的k-连通二部图中存在保持连通性的指定树子图的猜想，本文证明在k≤3且图的围长不小于树的直径减1时猜想成立。
On the structure of graphs with given odd girth and large minimum degree
研究了给定奇围长的图具有简单结构的最小度条件。例如，Andrásfai，Erd \H os和Sós的经典工作意味着每个具有奇数围长$2k+1$和最小度大于$\frac{2}{2k+1}n$的$n$ -顶点图必须是二部图。我们考虑图的最小度的条件较弱。推广了Häggkvist和Häggkvist与Jin关于$k=2$和$3$的结果，证明了每一个周长为$2k+1$且最小度大于$\frac{3}{4k}n$的$n$ -顶点图都同态于长度为$2k+1$的圈.这是最好的可能性，因为存在具有最小度$\frac{3}{4k}n$和奇围长$2k+1$的图，这些图不与长度为$2k+1$的圈同胚。Brandt和Ribe-Baumann也得到了类似的结果。
Girth of the algebraic bipartite graph $D(k,q)$
Lazebnik和Ustimenko（1995）提出的代数二部图$D(k,q)$不仅在极图理论中有重要意义，而且在编码理论和密码学中也有重要意义。这个图是$q$ -正则的，边传递的，围长至少为$k+4$。它的确切周长$g=g(D(k,q))$在1995年被重新确定为$k+5$，用于奇数$k$和$q\geq4$。这个猜想在2016年被证明是有效的，当时$\frac{k+5}{2}|_p(q-1)$，其中$p$是$\mathbb{F}_q$的特征，$m|_pn$意味着$m$将$p^r n$除以某个非负整数$r$。在本文中，我们证明了（a）$g(D(4t+2,q))=g(D(4t+1,q))$ ;（b）$g(D(4t+3,q))=4t+8$如果$g(D(2t,q))=2t+4$ ;（c）$g(D(8t,q))=8t+4$如果$g(D(4t-2,q))=4t+2$ ;（d）$g(D(2^{s+2}(2t-1)-5,q))=2^{s+2}(2t-1)$如果$p\geq 3$，$(2t-1)|_p(q-1)$和$2^s\|(q-1)$。最后给出了$D(k,q)$围长的一个简单的上界。
On strongly regular signed graphs of higher girth
研究高围长的强正则带号图，证明围长为4的二分图由加权矩阵设计和对称块设计分类，围长为5的易于描述，围长更高的不存在，围长为4的非二分图未解决。
A short proof of the odd-girth theorem
最近，人们证明了具有不同特征值和奇围长$2d+1$的连通图$Γ$是距离正则的。这个结果的证明是基于谱过剩定理。在本说明中，我们提出了一个替代和更直接的证明，它不依赖于谱过剩定理，但在一个已知的表征的距离正则图的predistance多项式的程度$d$。
On the structure of dense graphs with given odd girth
研究具有奇数围长至少为2k + 1的n顶点图，通过最小度条件δ(G) > 4n/(6k - 1)得出图与4k个顶点的莫比乌斯梯子同态，加强了相关结果并回答了问题。
Girth, oddness, and colouring defect of snarks
Steffen在2015年引入的三次图的着色缺陷是任何三个完美匹配集合未覆盖的边的最小数量。由于一个三次图有缺陷$0$当且仅当它是$3$ -边列图，这个不变量可以衡量一个三次图与一个$3$ -边列图有多少不同。我们的目的是检查的关系，着色缺陷的奇数，一个广泛研究的措施uncolorability的三次图，定义为最小数量的奇数电路的$2$ -因子。我们证明了存在具有奇性$2$和任意大的着色缺陷的循环$5$ -边连通蛇（没有$3$ -边着色的三次图）。这个结果是通过构造具有奇性$2$和任意大围长的循环$5$ -边连通蛇来实现的。我们的图是循环$5$ -边连通的，这一事实大大加强了Jin和Steffen（2017）的类似结果，该结果仅保证图具有至多$3$的循环连通性。同时，我们的结果改进了Kochol（1996）关于大围长的咆哮的原始构造，因为它提供了无穷多个任意指定围长$g\ge 5$的非平凡咆哮，而不仅仅是围长至少为~ $g$ .
Spectral radius of graphs with given size and odd girth
设$\mathcal{G}(m,k)$是具有大小为$m$和奇围长（最短奇圈的长度）$k$的图的集合。本文确定了当$m$为奇数时，使$\mathcal{G}(m,k)$的谱半径最大的图.作为副产品，我们证明，有一个数字$η(m)>\sqrt{m-k+3}$，使每个非二部图$G$的大小$m$和谱半径$ρ\ge η(m)$必须包含一个奇数圈的长度小于$k$，除非$m$是奇数和$G\cong SK_{k,m}$，这是通过细分一个边缘$k-2$倍的完全二部$K_{2,\frac{m-k+2}{2}}$。这个结果包含了[Discrete Math.345（2022）]和\cite{li-peng}的主要结果，也解决了\cite{li-peng}中的猜想。
On the structure of graphs with given odd girth and large algebraic connectivity
该研究针对给定奇围长的图，以代数连通度为约束条件，证明了三类图在特定代数连通度阈值下必为二分图，并确定了相关常数的渐近最优性。
Strongly common graphs with odd girth are cycles
本文回答了 Chen 和 Ma 的问题，证明了具有奇围长但非圈的图不是强公共图。
On the local density problem for graphs of given odd-girth
Erdinger证明了每个$n$ -顶点无三角形图都包含一个至多跨越$n^2/50$边的$\lfloor n/2\rfloor$顶点子集.推广了Norin和Yepremyan最近的一个结果，我们证实了这个猜想的图同态所谓的Andrásfai图。因此，Erdés猜想对每一个具有最小度$δ(G)>10n/29$的无三角形图$G$成立，如果是$χ(G)\leq 3$，则度条件可以放宽为$δ(G)> n/3$ .事实上，我们得到了一个更一般的结果，高奇围长的图。
Bipartite Biregular Cages and Block Designs
二部双正则$(n,m;g)$ -图$G$是具有度集$\{n,m\}$的偶数围长$g$的二部图，并且满足同一部集中的顶点具有相同度的附加性质.一个$(n,m;g)$ -二部双正则笼是一个二部双正则最小阶$(n,m;g)$ -图.在他们2019年的论文中，Filipovski，Ramos-Rivera和Jajcay给出了二分双正则$(n,m;g)$ -图的阶的下界，并将达到这些界的图称为{ \em二分双正则摩尔笼}。与著名的经典结果有关的存在$k$ -正规摩尔图的偶数围长$g = 6,8 $和$12$的存在的射影平面，广义四边形，广义六边形，我们证明了存在的$S(2,k,v)$ -施泰纳系统产生的存在的二分双正规$(k,\frac{v-1}{k-1};6)$ -摩尔笼。此外，在Steiner三元系的特殊情况下（即，在$k=3$）的情况下，我们完全解决了对所有整数$m\geq 4$的$(3,m;6)$ -二部双正则笼的存在性问题。考虑围长大于$6$和素数幂$s$，我们将广义多边形（四边形、六边形和八边形）的存在性分别与$(n+1,n^2+1;8)$、$(n+1,n^3+1;12)$和$(n+1,n^2+1;16)$ -二分双正则Moore笼的存在性联系起来.使用这种连接，我们得到改进的上界的订单的二部双正则笼周长$8$，$12$和$14$。
Graphs with girth $2\ell+1$ and without longer odd holes are $3$-colorable
对于一个数$\ell\geq 2$，设$\mathcal{G}_{\ell}$表示围长为$2\ell+1$且没有长度大于$2\ell+1$的奇洞的图族. Plummer和Zha证明了$\mathcal{G}_2$中的3-连通和内部4-连通图都是3-可着色的. Wu、Xu和Xu证明了$\bigcup_{\ell\geq2}\mathcal{G}_{\ell}$中的每个图都是3-可着色的。Chudnovsky等人和Wu等人，分别证明了$\mathcal{G}_2$和$\mathcal{G}_3$中的所有图都是3-可着色的。本文证明了$\bigcup_{\ell\geq5}\mathcal{G}_{\ell}$中的所有图都是3-可着色的。
On the sum of the largest and smallest eigenvalues of graphs with high odd girth
该研究通过逼近理论证明了具有高奇数圈长的图的特征值之和上界，给出了γ_k的紧上界至多项对数因子。
On the characterization of some algebraically defined bipartite graphs of girth eight
对于任何域$\mathbb{F}$和多项式$f_{2},f_{3}\in\mathbb{F}[x,y]$，令$Γ_{\mathbb{F}}(f_{2},f_{3})$表示顶点划分为$P\cup L$的二部图，其中$P$和$L$是$\mathbb{F}^{3}$的两个副本，并且$(p_{1},p_{2},p_{3})\in P$与$[l_{1},l_{2},l_{3}]\in L$相邻当且仅当$p_{2}+l_{2}=f_{2}(p_{1},l_{1})$和$p_{3}+l_{3}=f_{3}(p_{1},l_{1})$。已知图$Γ_{3}(\mathbb{F})=Γ_{\mathbb{F}}(xy,xy^{2})$的围长为8。当$\mathbb{F}=\mathbb{F}_q$是奇数大小的有限域$q$或$\mathbb{F}=\mathbb{F}_{\infty}$是特征为零的代数闭域时，证明了图$Γ_{3}(\mathbb{F})$是直到同构的$Γ_{\mathbb{F}}(f_{2},f_{3})$中围长至少为8的唯一图.这一猜想在两个$f_{2},f_{3}$都是$\mathbb{F}_q$上的单项式的情况下，以及在至少一个$f_{2},f_{3}$是$\mathbb{F}_{\infty}$上的单项式的情况下得到了证实。如果$f_{2},f_{3}\in\mathbb{F}…
Homomorphism bounds of signed bipartite $K_4$-minor-free graphs and edge-colorings of $2k$-regular $K_4$-minor-free multigraphs
符号图$(G, Σ)$是一个图$G$和它的边的子集$Σ$，它对应于边的符号分配：$Σ$中的边是负的，而不在$Σ$中的边是正的。一个有符号图的闭行走是平衡的，如果它的边（包括重复）的符号的乘积是正的，否则是不平衡的。符号图的不平衡围长是最短不平衡闭行走的长度（如果存在这种行走）。$(G,Σ)$到$(H,Π)$的同态是$G$到$H$的同态，它保持了闭游动的平衡。本文给出了一个不平衡围长$2k$的带符号二部图$(B, Π)$，证明了$(B, Π)$允许任何不平衡围长$2k$的带符号二部图同态的一个充要条件，该图的基础图是$K_4$ -minor-free.该条件可以在关于$B$的阶数的多项式时间内检查。设$SPC(2k)$是顶点集$\mathbb{Z}_2^{2k-1}$上的带符号二部图，其中如果顶点$u$和$v$的差在$\{e_1,e_2, \ldots, e_{2k-1}\}$内（其中$e_i$形成标准基），则顶点$u$和$v$与正边相邻，如果它们的差是$J$（即，全1向量），则顶点$v$与负边相邻。作为我们工作的一个应用，我们证明了不平衡围长$2k$的所有符号二部$K_4$ -minor free图都与$SPC(2k)$同态.这支持了Guenin的一个猜想，即每个不平衡围长$2k$的有符号二部平面图都与$SPC(2k)$同态（这是四色定理的一个推广）。我们也给出了我们的工作的一个应…
Maximal Planar Subgraphs of Fixed Girth in Random Graphs
1991年，Bollobás和Frieze证明了$G_{n,p}$包含生成极大平面子图的阈值非常接近于$p = n^{-1/3}$。在本文中，我们计算类似的阈值范围$G_{n,p}$包含一个最大的二部平面子图和$G_{n,p}$包含一个最大的平面子图固定围长$g$。
Smallest $C_{2l+1}$-critical graphs of odd-girth $2k+1$
给定一个图$H$，如果$G$不允许与$H$同态，但$G$的任何真子图都允许同态，则称为$H$ -临界图。观察到$K_{k-1}$ -临界图是标准$k$ -（彩色）-临界图。我们考虑以前研究的$k$ -临界图的极值性质的问题，并将它们推广到$H$ -临界图。完成图之后，$H$要考虑的下一个自然情况是奇循环。因此，给定整数$\ell$和$k$，$\ell\geq k$，我们问：什么是一个$C_{2\ell +1}$ -临界图的奇围长至少$2k+1$的最小阶？用$η(k,C_{2\ell+1})$表示这个值，我们证明了$η(k,C_{2\ell+1})=4k$对于$1\leq\ell\leq k\leq\frac{3\ell+i-3}{2}$（$2k=i\bmod 3$）和$η(3,C_5)=15$。后者意味着奇围长~ $7$不允许与$5$ -圈同态的最小图的阶为~ $15$。计算结果表明，在$15$ ~顶点上有11个这样的图，其中只有2个是$C_5$ -临界的.
Odd-Girth Bounds for Defective Edge Coloring
该研究针对无环非二部多重图的缺陷边着色问题，证明了结合奇围长参数的上界公式，验证了几类特殊情形下的已知结论，构造了达到等号的几乎全环多重图，并推导了缺陷Goldberg--Seymour猜想的成立范围。
A note on circular chromatic number of graphs with large girth and similar problems
在这个简短的说明中，我们扩展了Galluccio，Goddyn和Hell的结果，该结果指出，不包括一个未成年人的大围长图几乎是二分的。我们还证明了一个类似的结果，为定向色数，其中特别是，图的大围长不包括一个小有定向色数最多$5$，并为$p$第色数$χ_p$，其中特别是，图$G$的大围长不包括一个小有$χ_p(G)\leq p+2$。
Graphs with girth $2\ell+1$ and without longer odd holes that contain an odd $K_4$-subdivision
本文证明了对于围长为$2\ell+1$且无更长奇洞的图族$\mathcal{G}_{\ell}$（$\ell\geq5$），其中不存在包含奇$K_4$-细分的4-顶点临界图，进而支持了该图族3-可着色性的证明。
On the sum of the largest and smallest eigenvalues of odd-cycle free graphs
本文研究无奇数环图中最大与最小邻接特征值之和，将 Csikvári 对奇围长 5 的界推广到一般奇围长 $k$，并给出奇围长 7 时更紧的数值上界。
Asymptotic Spectral Bounds under Odd-Girth Constraints
本文研究奇围约束下图的最大与最小特征值之和的渐近上界，通过抽象矩问题证明其上确界介于$(1-o(1))(\log g)^2/g^3$和$(10/7+o(1))(\log g)^2/g^3$之间，并对正则图给出最优界。
Graphs with girth 9 and without longer odd holes are 3-colorable
本文通过证明围长为9且不含更长奇洞的图族 ${\cal{G}}_4$ 是3-可着色的，补全了已有结果，从而完整证实了 Wu、Xu 和 Xu 关于此类图3-可着色性的猜想。
Classification of 2-extendable bipartite and cubic non-bipartite vertex-transitive graphs
在\cite{Chan95}中，作者对2-可扩交换Cayley图进行了分类，并提出了刻画所有2-可扩Cayley图的问题.我们首先证明了一个连通二部Cayley图是2-可扩的当且仅当它不是一个圈。当一个点传递的非二部Cayley图的最小度至少为5 \cite{sun}时，它是2-可扩的.然后对所有的2-可扩的三次非二部Cayley图进行了分类，得到了：围长为$g$的三次非二部Cayley图是2-可扩的当且仅当$g\geq 4$不同构于$Z_{4n}(1,4n-1,2n)$或$Z_{4n+2}(2,4n,2n+1)$ with $n\geq 2$ .我们证明了一个更强的结果，即围长为$g$的三次非二部点传递图是2-可扩的当且仅当$g\geq 4$，并且它不同构于$Z_{4n}(1,4n-1,2n)$或$Z_{4n+2}(2,4n,2n+1)$与$n\geq 2$或Petersen图.
Map graphs having witnesses of large girth
二分图$B=(X,Y,E_B)$的半正方形有一个颜色类$B$作为顶点集，比如说$X$ ;当两个顶点在$Y$中有一个共同的邻居时，它们是相邻的。如果$G=(V,E_G)$是平面二部图$B=(V,W,E_B)$的半平方，则$G$称为映射图，而$B$是$G$的见证图.映射图是平面图的推广，Chen，Grigni和Papadimitriou [STOC 1998，J. ACM 2002]对映射图进行了介绍和研究。他们证明了识别地图图是在$\mathsf{NP}$通过证明存在的证人。不久之后，Thorup [FOCS 1998]通过为$n$ -顶点输入图提供$Ω(n^{120})$ -时间算法，声称识别地图图是在$\mathsf{P}$中。本文给出了围长至少为给定整数$g\ge 8$的二部图的半平方的良好刻画和有效识别。证明了证明围长至少为$g$的映射图恰是顶点团关联二部图是平面的围长至少为$g$的图。我们的结构表征意味着一个$O(n^2m)$ -时间算法，用于识别给定的$n$ -顶点$m$ -边图$G$是否是这样的映射图。
Planar Graphs with Homomorphisms to the 9-cycle
本研究针对Jaeger-Zhang猜想，通过改进势方法并应用于模定向，证明了奇围长至少为23的平面图可同态到9圈，并推广了带符号平面图的圆染色结果。
Dense induced subgraphs of dense bipartite graphs
证明了平均度足够大的二部图都有一个平均度至少为$t$且围长至少为$6$的$K_{t,t}$ -子图或诱导子图.我们猜想“$6$“可以用“$k$“代替，从而加强了Alassen的一个猜想.为了支持这个猜想，我们证明了它对正则图也成立。
Odd coloring of sparse graphs and planar graphs
一个图的{ \it奇$c$ -染色}是一个真$c$ -染色，使得每个非孤立点都有一个颜色在其邻域上出现奇数次.这一概念最近由Petru \v sevski和\v Skrekovski提出，并引起了相当大的关注。Cranston研究了最大平均度有界的图的奇染色，证明了每一个具有$mad(G)\leq \frac{4c-4}{c+1}$的图$G$对$c\geq 4$都有$c$-奇染色，并证明了对$c\in\{5, 6\}$的猜想.特别地，围长至少为$7$和$6$的可平面图分别具有奇$5$ -染色和奇$6$ -染色.我们完全解决了克兰斯顿猜想。对于$c\geq 7$，我们表明，该猜想是真实的，在一个更强的形式，隐含地建议由克兰斯顿，但对于$c=4$，我们构造反例，其中都包含$5$ -循环。另一方面，我们证明了一个图$G$与$mad(G)<\frac{22}{9}$和没有诱导$5$ -圈有一个奇$4$ -染色。这意味着围长至少为11的平面图具有奇$4$ -染色。我们还证明了围长至少为5的平面图有奇$6$ -染色。
Asymmetric Homomorphism Thresholds for Graphs of Large Odd Girth
本文确定了奇数围长至少为7的图到无三角形图的不对称同态阈值为1/9，并推广到更一般的K_t及任意奇数围长情形，否证了相关猜想，下界基于高维Borsuk图，上界使用正则性方法。
Minimizing Laplacian spectral radius of unicyclic graphs with fixed girth
在本文中，我们考虑以下问题：在所有的简单连通单圈图类的$n$顶点与周长$g$（$n,g$是固定的），哪一个图最小化的拉普拉斯谱半径？我们证明了图$U_{n,g}$（定义在第1节）唯一地最小化拉普拉斯谱半径时，$g$是偶数的$n\geq 2g-1$和$g$是奇数的$n\geq 3g-1$.
On a Generalization of the Bipartite Graph $D(k,q)$
本文讨论了Lazebnik和Ustimenko提出的二部图$D(k,q)$的一个推广$Γ(Ω,q)$，其中$Ω$是一组二进制序列，用来索引顶点的项.给出了$Ω$上$Γ(Ω,q)$容许各种自同构的几个充分条件.进一步给出了$Γ(Ω,q)$是边传递的一个充分条件。给出了$Γ(Ω,q)$的连通分支数的一个下界，给出了连通分支数的一些不变量.对于$Γ(Ω,q)$，详细研究了包含某种特定形式顶点的路和圈。然后给出了$Γ(Ω,q)$围长的一些下界。特别地，我们可以给出关于指标集$Ω$的非常简单的条件，从而保证广义图$Γ(Ω,q)$是一个具有大围长的图族.
Counting independent sets in cubic graphs of given girth
本文证明了围长至少为5的三次图的独立多项式（和独立集总数）的一个紧上界。该界限是通过Heawood图，Fano平面的点/线关联图的工会来实现的。我们还给出了无三角形三次图的独立集总数的一个紧下界。这个界限是通过Petersen图的并集来实现的。我们猜想，事实上所有的摩尔图是极值的缩放数量的独立集的正则图的给定的最小围长，最大化这个数量，如果他们的围长是偶数和最小化，如果奇数。希伍德图和彼得森图是这个猜想的例子，还有完全图、完全二部图和圈。
Classification by girth of three-dimensional algebraically defined monomial graphs over the real numbers
对于正整数$s,t,u,v$，我们定义了一个二部图$Γ_{\mathbb{R}}(X^s Y^t,X^u Y^v)$，其中每个部集都是$\mathbb{R}^3$的一个副本，并且第一部集中的一个顶点$(a_1,a_2,a_3)$与第二部集中的一个顶点$[x_1,x_2,x_3]$相邻当且仅当\[ a_2 + x_2 = a_1^s x_1^t \quad \text{and} \quad a_3+x_3=a_1^ux_1^v. \].
A non-existence result for vertex-girth-regular graphs
本文证明了对于k≥3和ε≤(k-1)/2，不存在vgr(n,k,5, [k(k-1)^2/2]-ε)图，填补了圈长为5时的非存在性空白。
Some properties of catalog of (3, g) Hamiltonian bipartite graphs: orders, non-existence and infiniteness
本文的重点是讨论一类具有偶数围长g的（3，g）图的目录。（k，g）图是正则度为k，围长为g的图。该目录与其他已知的（3，g）图的列表，如枚举的三价对称图和枚举的三价顶点传递图，得出的结论是，该目录有更多的订单比这些列表的图。这个catalag还指定了一个列表的订单，旋转对称性和围长的类（3，g）图不存在。它还表明，这个目录的图无限延伸。
Unicyclic Graphs of Arbitrary Girth with the Same Chromatic Symmetric Function
研究图的色对称函数能否区分非同构单圈图，通过应用“三重删除”模关系，展示了一系列围长递增且具有相同色对称函数的非同构连通单圈图对，还给出首个具有相同色对称函数的无限二分图族。
An odd characterization of the generalized odd graphs
本文证明了任何具有$d+1$不同特征值和奇围长$2d+1$的连通正则图都是距离正则的，特别是它是广义奇图。
On coloring of graphs of girth 2l + 1 without longer odd holes
空穴是长度至少为4的诱导环。设$ł\ge 2$为正整数，${\cal G}_l$表示围长为$2ł+1$且洞长度至少为$2ł+3$的图族，$G\in {\cal G}_ł$ .对于顶点$u\in V(G)$和非空集$S\subseteq V(G)$，设$d(u, S)=\min\{d(u, v):v\in S\}$，对于任意整数$i\ge 0$设$L_i(S)=\{u\in V(G) \mbox{ and } d(u, S)=i\}$。我们表明，如果$G[S]$是连接和$G[L_i(S)]$是二分的每个$i\in\{1, \ldots, \lfloor{ł\over 2}\rfloor\}$，然后$G[L_i(S)]$是二分的每个$i>0$，因此$χ(G)\le 4$，其中$G[S]$表示的子图诱导的$S$。设$θ^-$是从Petersen图中删除三个导致路径的顶点而得到的图，设$θ^+$是从Petersen图中删除两个相邻顶点而得到的图，并且设$θ$是从$θ^+$中删除与两个度为3的顶点关联的边而得到的图。对于一个图$G\in{\cal G}_2$，我们表明，如果$G$是3-连通的，没有不稳定的3-割集，那么$G$必须诱导$θ$或$θ^-$，但不诱导$θ^+$。作为推论，对于${\cal G}_2$的既不诱导$θ$也不诱导$θ^-$的每个图$G$，以及${\cal G}_2$的最小…
The study of odd graceful and odd strongly harmonious for bipartite graph
本文研究了奇优美图、奇强协调图、二部图以及它们之间的关系。我们证明了以下结果：（1）若G是奇强协调图，则G是奇优美图;（2）若G是二部奇优美图，则G是奇强协调图。
High-girth cubic graphs are homomorphic to the Clebsch graph
我们给出了一个（计算机辅助）证明，每个图的最大度为3，围长至少为17的边缘可能是5色的（可能不正确），使每个颜色类的补充是二分的。等价地，每一个这样的图承认一个同态的Clebsch图。Hopkins、Staton、Bondy和Locke证明了每一个围长至少为4的（次）三次图都有一个至少包含4/5条边的边割。这样的边割的存在性直接来自于上面描述的5-边着色的存在性，所以我们的定理可以被看作是他们结果的着色扩展（在更强的围长假设下）。每个与长度为5的圈同态的图都有上述的5-边染色;因此我们的定理也可以被看作是Nesetril的五角大楼问题的一个弱版本（该问题询问是否每个足够高围长的立方图都与C_5同态）。
Minimal non-odd-transversal hypergraphs and minimal non-odd-bipartite hypergraphs
在所有具有偶一致性的一致超图中，奇横截或奇二部超图无论从结构还是从谱的角度看都更接近于二部单图。一个超图称为极小非奇横截，如果它是非奇横截的，但删除任何边会得到一个奇横截超图。本文利用关联矩阵的度和秩给出了$\mathbb{Z}_2$上极小非奇横截超图的一个等价刻画。若极小非奇横截超图是一致的，则它具有偶一致性，因而是极小非奇二部超图。刻画了$2$ -正则一致极小非奇二部超图，并给出了$d$ -正则一致超图是极小非奇二部超图的一些例子.最后给出了极小非奇二部超图的邻接张量的最小H-特征值的上界。
A little more about bipartite biregular cages, block designs, and generalized polygons
本文研究了二部双正则笼问题，利用Steiner System和广义多边形中的$t$-good结构获得了新的上下界，并精确构造了特定参数下的二部双正则笼，如56个顶点的$(3,4;8)$-笼。
A simple proof for the lower bound of the girth of graphs $D(n, q)$
图$D(n, q)$的分支为具有$n$顶点且没有长度小于$g$的圈的图中的边数提供了最著名的一般下界。本文给出了一个新的、简短的证明，证明了当$n$为奇数时，出现在$D(n, q)$中的最短圈的长度为$n + 5$，当$n$为偶数时，出现在$D(n, q)$中的最短圈的长度为$n + 4$.
On short cycle enumeration in biregular bipartite graphs
最近的一些工作已经使用了各种组合构造来导出LDPC码的Tanner图，并且其中一些已经被证明在其错误曲线和错误地板的概率方面表现良好。这样的图是二部的，并且这些构造中的许多产生双正则图，其中左顶点的度是常数$c+1$，右顶点的度是常数$d+1$。这样的图在这里称为$(c+1,d+1)$双正则二部图。在这样的工作中感兴趣的一个属性是图的围长和图中短循环的数量，长度为围长或稍大的循环。这些数字已经被示出与相关LDPC码的错误概率曲线的错误平层相关。使用已知的图论结果，它示出了如何周长和长度等于周长的圈数可以计算这些$(c+1,d+1)$双正则二部图只知道参数$c$和$d$和左，右顶点的数量。虽然存在许多算法来确定任意图中的短周期数，但将这些双正则二分图的问题从算法减少到计算是有意义的。
A new series of dense graphs of high girth
令$k\ge 1$是奇数，$t=\lfloor {{k+2}\over 4}\rfloor$，$q$是素数幂。我们构造了一个二部的、$q$ -正则的、边传递的图$C\!D(k,q)$，它的阶为$v \le 2q^{k-t+1}$，围长为$g \ge k+5$ .如果$e$是$C\!D(k,q)$的边数，则$e =Ω(v^{1+ {1\over {k-t+1}}})$。这些图提供了最好的已知的渐近下界的最大数量的边缘图的顺序$v$和周长至少$g$，$ g\ge 5$，$g \not= 11,12$。对于$g\ge 24$，这表示对Margulis和Lubotzky、Phillips、Sarnak建立的边界的轻微改进;对于$5\le g\le 23$、$g\not= 11,12$，它改进或绑定了现有边界。
Some Spectral Properties and Characterizations of Connected Odd-bipartite Uniform Hypergraphs
一个$k$ -一致超图$G=(V,E)$称为奇偶超图（[5]），如果$k$是偶超图，且存在$V$的某个真子集$V_1$，使得$G$的每条边包含$V_1$中的奇数个顶点.奇二部超图是普通二部图的推广。研究了连通奇二部超图的谱性质。证明了连通$k$ -一致超图$G$的Laplacian H-谱与无符号Laplacian H-谱相等的充要条件是$k$是偶图，$G$是奇二部图.我们进一步给出了连通奇二部超图的几个谱刻画。给出了连通$k$ -一致超图的Laplacian谱半径与无号Laplacian谱半径相等的一个刻划，从而回答了文[9]中提出的一个问题.通过证明两个奇二部$k$ -一致超图的笛卡儿积$G\Box H$仍然是奇二部的，确定了当$G$和$H$都是奇二部连通时，$G\Box H$的拉普拉斯谱半径是$G$和$H$的拉普拉斯谱半径之和.
A new approach to catalog small graphs of high even girth
本文给出了一类具有偶数围长g的（3，g）图的分类.（k，g）图是度为k，围长为g的正则图。这类（3，g）图具有如下性质：当g为偶数围长时，围长满足6 <= g <= 16.首先，这个目录包含已知的最小的（3，g）图。一个适当的类的三次图的目录已被确定，这样的（3，g）图的最小阶内的类也是最小的已知的（3，g）图。其次，这个目录包含了比其他列表更多订单的（3，g）图。第三，定义了图的类，从而建立了一个实用的图生成算法。第四，这个目录是无限的，因为结果被扩展到关于无限多个图的知识。研究结果如下。首先，Hamilton二部图被认为是一类有前途的三次图，它可以产生一个偶数围长g的（3，g）图的目录，其中的图比其他列表的图具有更多的阶数，也期望包含一个具有最小阶数的（3，g）图。其次，这个（3，g）图的目录包含许多非点传递图。第三，为了使计算更加容易，同时也为了对结果进行更深入的分析，引入了对称因子来度量沿所识别的哈密顿圈的旋转对称程度.引入D3弦指数表示法作为三次Hamilton二部图的一种简洁表示法。D3和弦索引符号是LCF符号的两倍。D3弦指数表示法可以指定一个无限族的图。第四，关于（3，g）Hamilton二部图存在的最小阶和（3，g）Hamilton二部图存在的对称因子的最小值的结果是比较有意义的。
On graphs with girth at least five achieving Steffen's edge coloring bound
研究通过环图实现Steffen边着色界，证明特定条件下临界图必须为奇数girth的环图。
New upper bounds on the order of mixed cages of girth 6
本文研究围长为6的混合笼的阶，提出了一族无限混合图，在部分情况下改进了已有结果的上界。
Homomorphism bounds and edge-colourings of $K_4$-minor-free graphs
本文给出了奇围长$2k+1$的图是（至少）$2k+1$的$K_4$ -minor-free图类的一个充要条件，即允许任何这样的$K_4$ -minor-free图的一个同态.这产生了一个多项式时间算法来识别这样的边界。利用这个条件，我们首先证明了奇围长$2k+1$的每个$K_4$ -子自由图都与维数为$2k$的射影超立方体有一个同态.这支持了第三作者的一个猜想，该猜想推广了四色定理，并与Seymour关于平面图边着色的猜想等几个杰出的猜想有关。进一步证明了Kneser图$K(2k+1,k)$满足这些条件，从而暗示了奇围长$2k+1$的每个$K_4$ -子自由图恰好有分数色数$2+\frac{1}{k}$ .已知奇数围长$2k+1$的最小界必须至少有${k+2 \choose 2}$顶点，我们建立了阶$4k^2$的近似最优界。此外，我们还猜想奇围长$2k+1$的$K_4$ -minor-free图的分数色数和圆色数的上确界是由奇围长$2k+1$的一个上界得到的.如果是真的，这改善了，在同态顺序，较早的紧结果的循环色数的$K_4$ -小免费的图形。我们通过证明前几种情况来支持我们的猜想。最后，作为我们工作的应用，在注意到Seymour提供了一个计算$K_4$ -minor-free重图的边色数的公式之后，我们证明了在$K_4$ -minor-free正则重图的情况下可以得到更强的结果。
The least H-eigenvalue of signless Laplacian of non-odd-bipartite hypergraphs
设$G$是连通的偶均匀非奇二部超图。$G$的无符号拉普拉斯张量的最小H-特征值简称为$G$的最小特征值，相应的H-特征向量称为$G$的第一特征向量.本文给出了含有奇二部分支的$G$的第一特征向量的一些数值性质和结构性质，并研究了当连接在一个顶点的奇二部分支迁移到另一个顶点时，$G$的最小特征值的变化.在一类含有固定非奇二部连通超图的超图中，刻画了最小特征值最小的超图。最后给出了连通非奇二部超图的最小特征值的若干上界，并证明了零是连通非奇二部超图的最小特征值的最小极限点。
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