DP-coloring for planar graphs of diameter two
DP着色（也称为对应着色）是Dvourák和Postle（2017）引入的列表着色的推广。最近，Huang等人[https：//doi.org/10.1016/j.amc.2019.124562]证明了直径至多为2的可平面图是$4$ -可选的。本文证明了直径不超过2的可平面图是DP- $4$ -可着色的，这是上述结果的推广。
2019-10-23 math.CO
Remarks on odd colorings of graphs
称图$G$的正常点着色$φ$是奇数的，如果对每个非孤立点$x\in V(G)$都存在一个颜色$c$使得$φ^{-1}(c)\cap N(x)$是奇数大小的.在$G$的任何奇数着色中，最小的颜色数，记作$χ_o(G)$，是奇数色数。奇数着色最近在[M.~]中引入。彼得鲁舍夫斯基河~Škrekovski：\textit{Colorings with neighborhood parity condition} ]。本文讨论了这个新的图参数的各种基本性质，用奇色数刻画了无圈图和超立方体，建立了关于退化度或最大度的几个上界，并提出了几个问题和疑问.
2022-07-20 math.CO
$2$-distance, injective, and exact square list-coloring of planar graphs with maximum degree 4
在过去，各种基于距离的染色可平面图被介绍。我们把我们的重点放在其中的三个，即$2$ -距离着色，内射着色和确切的平方着色。$2$ -距离着色是顶点的真着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色;内射着色是顶点的着色，其中具有共同邻居的两个顶点不接收相同的颜色;精确正方形着色是顶点的着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色。证明了最大度为$Δ= 4$且围长至少为$4$的可平面图是$2$ -距离列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和注入列表$(Δ+ 5)$ -可着色图.此外，我们还证明了具有$Δ= 4$的可平面图是单射列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和精确正方形列表$(Δ+ 6)$ -可着色图.
2022-05-16 math.CO
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
2014-02-21 math.CO
On edge-colorings of bicubic planar graphs
在第一部分中，我们引入了双三次平面图的边染色度的概念，并证明了染色分次数的一些局部公式。在第二部分中，我们给出了Fisk关于平面双三次图的任意两个边3-染色是Kempe等价的一个结果的新证明。此外，我们表明，着色的程度表现良好的Kempe等价。
2013-12-02 math.CO
2-Distance Coloring of Planar Graphs with Specific Maximum Degree
Kalma Laboratory, Lebanese Univeristy（黎巴嫩大学卡尔马实验室）；Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学、法国国家科学研究中心、波尔多理工学院、LaBRI）
研究最大度数至少为6的平面图的2距离着色问题，探讨其着色方法及结果。
2026-01-18 math.CO
3-coloring triangle-free planar graphs with a precolored 9-cycle
给定一个无三角形的可平面图G和G中的一个9-圈C，刻画了C的3-染色不扩展到G的真3-染色的情形.当C是一个长度不超过8的圈时，这推广了以前的结果。
2017-09-27 math.CO
Multiple DP-coloring of planar graphs without 3-cycles and normally adjacent 4-cycles
图的DP-染色的概念是Dvoprák和Postle在2015年引入的列表染色的推广。图的多重DP染色是多重列表染色的推广，由Bernshteyn，Kostochka和Zhu在2019年首次研究。本文证明了不含3-圈且正常邻接4-圈的可平面图对每个整数$m$是$(7m, 2m)$ -DP-可着色的.因此，任何不含3-圈且通常相邻4-圈的可平面图的强分数选择数至多为$7/2$。
2022-01-28 math.CO
Triangle-free planar graphs with at most $64^{n^{0.731}}$ 3-colorings
Rassen证明了无三角形的可平面图有指数多的3-着色。最近，他通过提供具有$n$顶点和至多$2^{15n/\log_2 n}$ 3-着色的图的例子来反驳他的猜想。我们改进了他的建设，给这样的图的例子，最多$64^{n^{log_{9/2} 3}}<64^{n^{0.731}}$ 3-着色。我们推测这个指数是最优的。
2021-08-28 math.CO
A Unified Spiral Chain Coloring Algorithm for Planar Graphs
本文给出了可平面图的一个统一的图着色算法。在本文中分别讨论了可平面图的点着色、边着色、全着色和整着色问题。着色算法中的主要工具是螺旋链的使用，它在2004年已经被用于四色定理的非计算机证明中。本文还给出了用螺旋链染色证明四色定理的更精确的解释。然后，通过证明Vizing的全染色和最大顶点度为6的可平面图的全染色的其他著名定理，继续研究螺旋链染色的解。本文还证明了Kronk和Mitchem关于最大度为“Delta”的平面图是完全（“Delta”+4）-可染的猜想，最后讨论了螺旋链染色下可平面图的三种可染性。我们给出了Groetzsch定理的有效且简短的证明，即无三角形的可平面图是3-可着色的。
2007-11-27 math.CO
Strong edge coloring of planar graphs
图的强边染色是指距离至多为2的边具有不同颜色的真边染色。已知任意最大度为D的可平面图都有至多4D + 4色的强边染色。我们表明，3D + 6颜色足够的，如果图的围长为6，和3D颜色足够的，如果围长至少是7。此外，我们证明了围长至少为6的立方可平面图可以被最多9种颜色的强边染色。
2013-07-04 math.CO
Improved square coloring of planar graphs
正方形着色是图着色的一种变体，其中距离为2的顶点必须接收不同的颜色。当考虑可平面图时，最著名的猜想（Wegner，1977）指出，$\frac32Δ+1$颜色足以使每个最大度的平面图$Δ$平方着色。这个猜想已被证明是渐近图与大的最大程度。我们认为这里的可平面图与小的最大程度，并表明$2Δ+7$颜色是足够的，这提高了最好的已知的界限时，$6\leqslant Δ\leqslant 31$。
2021-12-23 math.CO
Equitable Coloring in 1-Planar Graphs
本文证明最大度不超过$r$的1-平面图在$r\ge13$时均可进行公平$r$-着色，推广了公平着色相关结论。
2023-11-25 math.CO
On strong odd colorings of graphs
本文研究图的强奇着色问题，回答了平面图强奇色数是否存在常数界这一公开问题，并进一步探讨了树、单圈图和图乘积上的强奇着色性质。
2024-10-03 math.CO
DP-3-coloring of some planar graphs
本文用统一的方法证明了几类可平面图是DP- $3$ -可着色图，推广了$3$ -可选图的相应结果.
2018-09-19 math.CO
Online coloring graphs with high girth and high oddgirth
本文给出了高围长图和高奇围长图的在线色数的上界，推广了Kier-stead算法，给出了既不含C3也不含C5的诱导子图的在线色数的上界.
2009-07-20 math.CO
An update on reconfiguring $10$-colorings of planar graphs
图$G$的$k$ -着色的重构图$R_k(G)$具有作为顶点集的$G$的所有可能的适当$k$ -着色的集合，并且如果两个着色在恰好一个顶点的颜色上不同，则两个着色是相邻的。Bousquet和Perarnau（2016）关于有界退化图的一个结果意味着，如果$G$是具有$n$顶点的平面图，则$R_{12}(G)$的直径至多为$6n$。我们改进了图的颜色数，证明了对于每一个有$n$顶点的平面图$G$，$R_{10}(G)$的直径至多为$8n$.
2020-02-13 math.CO
Relaxed DP-3-coloring of planar graphs without some cycles
该研究属于图论着色领域，在已有松弛DP着色的平面图相关结论基础上，证明了不含4环与6环、或不含4环与8环的平面图满足DP-(0, 2, 2)-可着色性，拓展了该方向的研究结果。
2023-11-05 math.CO
Colorings of oriented planar graphs avoiding a monochromatic subgraph
对于固定的简单有向图$F$和给定的简单有向图$D$，$D$的无$F$ $k$染色是其中$D$中没有$F$的诱导拷贝是单色的顶点染色.本文研究了对于固定的$F$和$k$，判定给定的简单有向图是否允许$F$ -free $k$ -染色的复杂性.我们的主要重点是限制的问题，平面输入有向图，它是唯一有趣的研究情况$k \in \{2,3\}$。由已知的结果可知，对于每个其基础图不是森林的固定有向图$F$，每个平面有向图$D$允许一个$F$ -free $2$ -染色;对于每个具有$Δ(F) \ge 3$的固定有向图$F$，每个定向平面图$D$允许一个$F$ -free $3$ -染色.相反，我们表明，如果$F$是一个方向的路径的长度至少$2$，那么它是NP-难决定是否一个非循环和平面输入有向图$D$承认$F$ -免费$2$ -染色。- 如果$F$是一条长度至少为$1$路的方向，则判定一个无圈平面输入有向图$D$是否允许$F$ -自由$3$ -染色是NP-困难的。
2022-06-07 math.CO
Planar graphs have two-coloring number at most 8
证明了任意可平面图的二色数至多为8。这解决了Kierstead等人[SIAM J. Discrete Math. 23（2009），1548- 1560]。结果是最优的。
2018-06-21 math.CO
Frugal coloring in planar graphs with maximum degree 4 and 5
Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）；University of West Bohemia（西波希米亚大学）
该研究针对最大度为4和5的平面图，证明其2-节俭着色分别可使用7种和10种颜色，是Wegner猜想的部分变体结果。
2026-10-12 math.CO
Equitable coloring of graphs beyond planarity
针对IC-平面图和NIC-平面图的均匀Δ-着色问题，本文将Zhang证明的IC-平面图阈值从Δ≥12降至Δ≥10、NIC-平面图阈值从Δ≥13降至Δ≥11，优化了两类图均匀着色的最大度条件。
2025-04-17 math.CO
Colorings with neighborhood parity condition
在这篇简短的论文中，我们引入了一个新的顶点染色，其动机来自于我们的一系列关于图的奇边染色。称图$G$的正常点着色$φ$是奇数的，如果对每个非孤立点$x\in V(G)$都存在一个颜色$c$使得$φ^{-1}(c)\cap N(x)$是奇数大小的.我们证明了每个简单可平面图都有一个奇$9$ -染色，并猜想$5$色总是足够的.
2022-06-29 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces V. Coloring planar graphs with distant anomalies
本文解决了Havel的一个问题，证明了存在一个绝对常数d，使得如果G是一个可平面图，其中每两个不同的三角形之间的距离至少为d，则G是3-可着色的.事实上，我们证明了一个更一般的定理。设G是一个可平面图，设H是G的一组连通子图，每个子图的大小都有界，使得H的每两个不同成员至少相距指定距离，并且G的所有三角形都包含在\bigcup{H}中。我们给出了G的3-着色φ存在的一个充分条件，使得对每个B \in H，φ对B的限制是以特定的方式约束的.
2020-04-15 math.CO
Strong odd coloring in minor-closed classes
本文研究小闭图类中的强奇着色问题，证明其强奇色数存在常数上界，并对外平面图几乎确定了最小常数。
2025-05-05 math.CO
A Note on Odd Colorings of 1-Planar Graphs
本文研究1-平面图的奇数着色问题，证明每个1-平面图都可进行奇数23-着色。
2022-02-28 math.CO
Additive colorings of planar graphs
图$G$的一个\emph{additive coloring}是正整数$\{1,2,...,k\}$到$G$的顶点的赋值，使得对于每两个相邻的顶点，分配给它们的邻居的数的和是不同的。存在$G$加性着色的最小数$k$由$η(G)$表示。我们证明了对每个平面图$G$，都有$η(G)\leqslant 468$.这改进了由于Norin而导致的先前绑定的$η(G)\leqslant 5544$。利用组合零点定理和平面超图的色数证明了该定理。我们还证明了3-可着色可平面图的$η(G)\leqslant 36$和围长至少为13的平面图的$η(G)\leqslant 4$。在一组理论版本的问题，我们表明，对于每个$r\geqslant 2$有一个$r$ -色图$G_{r}$没有添加剂着色的任何阿贝尔组的顺序$r$的元素。
2012-02-06 math.CO
Complete colorings of planar graphs
本文研究了围长为4的平面图、外可平面图、可平面图和嵌在曲面上的图的消色差数和伪消色差数。给出了极大嵌入图的渐近紧结果和下界。
2018-04-06 math.CO
Equitable Colorings of Planar Graphs without Short Cycles
图的\emph{equitable coloring}是图的一个正常顶点染色，使得每两个色类的大小相差至多1。Chen，Lih，and Wu证明了每个连通图$G$具有最大度$Δ\geq 2$都具有与$Δ$颜色相等的着色，除非$G$是完全图或奇圈或$Δ$是奇的，并且$G=K_{Δ,Δ}.$ Nakprasit证明了该猜想对最大度至少为9的可平面图成立。Zhu和Bu证明了对于每个最大度至少为8的无$C_3$的平面图和对于每个最大度至少为7的无$C_4$和$C_5$的平面图，该猜想成立.本文证明了该猜想对各种情况下的可平面图都成立，特别是对最大度至少为6的无$C_3$的平面图和最大度至少为7的无$C_4$的平面图都成立，改进或推广了朱和卜关于均匀着色的结果.此外，我们还证明了对于围长至少为6且最大度至少为5的平面图，该猜想成立。
2012-03-02 math.CO
Defective correspondence coloring of planar graphs
本文研究平面图的缺陷对应染色，证明存在非3-缺陷3-可对应的平面图，构造了1-缺陷3-可对应但非4-可对应的平面图，并证明所有外平面图均为3-缺陷2-对应可染且缺陷数最优。
2024-11-22 math.CO
Sufficient conditions on planar graphs to have a relaxed DP-$3$-colorability
DP-染色是单图列表染色的推广，列表染色中的许多结果都可以推广到DP-染色中。在这项工作中，我们引入了一个宽松的DP-染色，这是一个推广，如果一个宽松的列表着色。我们还证明了不含$4$ -圈或$6$ -圈的可平面图$G$是DP- $(k,d)^*$ -可着色的.紧接着，$G$是$(k,d)^*$可选择的。
2018-03-07 math.CO
Coupon-Coloring and total domination in Hamiltonian planar triangulations
我们考虑图的顶点的所谓的券染色，其中每个颜色出现在每个开邻域中，我们的目标是确定这样的染色中的颜色的最大数目。换句话说，每一个色类都是图的全控制集，并且我们研究了图的全域数。我们在每个极大外可平面图中确定了这个参数，并证明了每个Hamilton极大可平面图的domatic数至少为2，部分回答了Goddard和Henning的一个猜想.
2017-08-05 math.CO
On 2-Distance ($Δ+4$)-coloring of planar graphs with girth at least five
该研究针对围长不小于5的平面图，证明了当最大度$Δ\geq 22$时，这类图可使用$Δ+4$种颜色完成2-距离着色，推进了平面图2-距离着色的相关理论研究。
2023-11-03 math.CO
Odd Edge Colorings of Graphs with Odd Order
Ibaraki University（茨城大学）；Nihon University（日本大学）；Yokohama National University（横滨国立大学）
本文证明了所有奇阶4连通简单图都是奇3边着色图，并展示了4连通性是必要的。同时证明了奇阶连通欧拉图存在一条边e，使得G-e是奇2边着色图。
2026-04-17 math.CO
On Wegner's 8-Coloring Theorem for Planar Graphs of Maximum Degree Three
该研究简化了Wegner猜想特殊情况（最大度≤3的平面图可8色距离2着色）的证明，重点简化了原证明中移除5-环这一技术难点部分。
2025-11-12 math.CO
Weak Dynamic Coloring of Planar Graphs
图$G$的\textit{$k$-weak-dynamic number}是我们需要对$G$的顶点进行着色的最小颜色数，使得度为$d(v)$的每个顶点$v$在其邻域上至少看到$\rm{min}\{k,d(v)\}$颜色。利用图的可约构型和列表染色证明了所有可平面图的3-弱动态数不超过6。
2018-02-16 math.CO
On 2-distance 16-coloring of planar graphs with maximum degree at most five
针对最大度不超过5的平面图的2-距离染色问题，证明其可进行2-距离16染色，改进了Hou等人2023年的相关研究结果。
2023-11-23 math.CO
Strong odd coloring of sparse graphs
Korea Institute for Advanced Study（韩国高等科学研究院）；Department of Mathematics Education, Seoul National University（首尔大学数学教育系）
本文引入强奇染色的概念，它是奇染色的加强版和平方染色的松弛，并证明若图G的平均度≤20/7则χ_so(G)≤Δ(G)+4，若G无4-圈且平均度≤30/11则χ_so(G)≤Δ(G)+3。
2026-06-17 math.CO
Normal 6-edge-colorings of cubic graphs with oddness 2
本文推广了Mazzuoccolo和Mkrtchyan关于循环置换图正常6-边着色的结果，证明了每个奇度为2的三次图都允许用至多6种颜色进行正常边着色。
2025-08-28 math.CO
List-coloring the Squares of Planar Graphs without 4-Cycles and 5-Cycles
设$G$是一个不含4-圈和5-圈的平面图，它具有最大度$Δ\ge 32$ .我们证明了$χ_{\ell}(G^2)\le Δ+3$ .对于任意大的最大度$Δ$，存在围长为6的可平面图$G_Δ$，且$χ(G_Δ^2)=Δ+2$ .因此，我们的界限在1以内是最优的。此外，我们的界限来自着色greetings在一个良好的秩序，所以立即扩展到在线列表着色的界限。此外，我们还证明了$L(p,q)$ -标记的界。具体地，$λ_{2,1}(G)\le Δ+8$，更一般地，$λ_{p,q}(G)\le (2q-1)Δ+6p-2q-2$，对于正整数$p$和$q$，具有$p\ge q$。同样，这些边界来自贪婪着色，所以它们立即扩展到这个问题的列表着色和在线列表着色变体。
2015-05-13 math.CO
A 2-distance $(2Δ+7)$-coloring of planar graphs
Department of Mathematics, D\"uzce University, D\"uzce, 81620, T \" u rk \. \.i ye.
本文改进了平面图2距离着色的色数结果，证明所有平面图均可使用2Δ+7种颜色进行2距离着色。
2025-12-13 math.CO
Odd 4-coloring of outerplanar graphs
本研究针对外平面图的奇着色问题，证明连通外平面图可奇4着色的充要条件是其含非5长环拷贝的块，完善了该类图奇4着色的完整刻画。
2024-08-18 math.CO
Extending total colorings in planar graphs
本文开创平面图全染色扩展研究，证明匹配子图在Δ≥28时可用Δ+3色扩展，距离3团在Δ≥27时可用Δ+1色扩展，且相应条件均不可再改进。
2025-09-23 math.CO
Acyclic edge-coloring of planar graphs: $Δ$ colors suffice when $Δ$ is large
图$G$的一个\emph{acyclic edge-coloring}是图$G$的一个真边染色，使得由任意两个色类导出的子图是无圈的. \emph{acyclic chromatic index}，即$χ'_a(G)$，是允许$G$的非循环边着色的最小颜色数。显然，每个图$G$都有$χ'_a(G)\ge Δ(G)$。Cohen、Havet和Müller证明了存在一个常数$M$，使得每个具有$Δ(G)\ge M$的平面图都有$χ'_a(G)=Δ(G)$。我们证明了这个猜想。
2019-01-29 math.CO
Edge-coloring 4- and 5-regular projective planar graphs with no Petersen-minor
Paderborn University（帕德博恩大学）；Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
本文证明了无彼得森子图的4-和5-正则投影平面图可以被r-边着色。
2025-12-16 math.CO
Do triangle-free planar graphs have exponentially many 3-colorings?
证明了无三角形的可平面图具有指数数量的$3$ -染色。我们证明了这个猜想等价于下面的陈述：存在正实数$α$使得当$G$是可平面图且$A$是其边的子集且其删除使得$G$是无三角形的时，存在$A$的子集$A'$，其大小至少为$α|A|$使得$G-(A\setminus A')$是$3$ -可着色的.这种等价性使我们能够研究限制性的情况，在那里我们可以证明这个陈述是真的。
2017-09-19 math.CO
The Borowiecki-Broere Generalized Total Coloring Conjecture for Planar Graphs
New York University（纽约大学）
本文证明了每个有限简单平面图均存在四色广义全染色，即正常四顶点染色可扩展为四色森林边染色，且边色异于端点色，证明结合三角剖分计数不等式与拟阵划分定理，并给出 Lean 4 形式化。
2026-10-02 math.CO
Circular Coloring and Fractional Coloring in Planar Graphs
我们研究了以下关于循环着色的Steinberg型问题：对于奇数$k\ge 3$，最小数$f(k)$是多少，使得每个周长$k$的平面图不具有长度从$k+1$到$f(k)$的圈，允许与奇数圈$C_k$同构（或者等价地，是循环的$(k,\frac{k-1}{2})$ -可着色）。关于Steinberg猜想的已知结果和反例表明，$f(3)\in\{6,7\}$ .本文证明了$f(k)$存在的充要条件是$k$是奇素数。此外，我们证明了，对于任何素数$p\ge 5$，$$p^2-\frac{5}{2}p+\frac{3}{2}\le f(p)\le 2p^2+2p-5.$$我们猜想，$f(p)\le p^2-2p$，并观察到，这个猜想的真实性意味着Jaeger的猜想，每个平面图的围长$2p-2$有一个同态$C_p$的任何素数$p\ge 5$。证明了一个相关的分数着色结果：对于任意奇数$k\ge 5$，每个周长为$k$且长度为$k+1$到$\lfloor\frac{22k}{3}\rfloor$的平面图都是分数$(k:\frac{k-1}{2})$ -可着色的.
2020-07-01 math.CO
Defective acyclic colorings of planar graphs
本文研究了可平面图的亏无圈染色的两种变形。对于图$G$和$G$的着色$φ$，2CC断面是$E(G)$的子集$E'$，它与每个2-色圈相交。令$k$为正整数。我们用$m_k(G)$表示最小整数$m$，使得$G$有一个正确的$k$ -着色，它有一个大小为$m$的2CC transserval，用$m'_k(G)$表示$E(G)$的子集$E'$的最小大小，使得$G-E'$是非循环的$k$ -可着色的.证明了对任意$n$ -顶点$3$ -可着色平面图$G$，$m_3(G) \le n - 3$和对任意平面图$G$，$m_4(G) \le n - 5$，只要$n \ge 5$ .我们表明，这些上界是尖锐的：有无限多的可平面图达到这些上界。此外，最小2CC横向$E'$可以以这样的方式选择，即$E'$诱导森林。我们还证明了对任何平面图$G$，$m'_3(G) \le (13n - 42) / 10$和$m'_4(G) \le (3n - 12) / 5$ .
2023-01-27 math.CO
An improved bound for 2-distance coloring of planar graphs with girth six
针对围长至少为6且最大度$Δ\neq6$的平面图，证明其2-距离色数$χ_2(G)\neqΔ+4$，改进了该类图2-距离着色的已知最优上界。
2023-11-08 math.CO
2-distance 20-coloring of planar graphs with maximum degree 6
本文证明最大度至多6的平面图具有2-距离20染色，将已知上界从21改进至20。
2024-06-25 math.CO
Improved 2-Distance Coloring of Planar Graphs with Maximum Degree 5
本文研究了平面图的2-距离染色问题，证明了最大度不超过5的平面图的2-距离色数上界可由18改进至17。
2023-07-31 math.CO
Tree-colorable maximal planar graphs
极大可平面图的树染色是一个真点$4$ -染色，使得由此染色导出的每个双色子图都是树.一个极大可平面图$G$是树可着色的，如果$G$有树可着色.本文证明了树可着色极大可平面图$G$至少含有四个奇顶点，且其$δ(G)\geq 4$是可着色极大平面图.此外，对于一个最小度为4的树可着色的最大可平面图，如果它恰好包含四个奇顶点，我们证明了由它的四个奇顶点导出的子图不是爪，并且不包含三角形。
2014-03-20 math.CO
Defective 2-colorings of planar graphs without 4-cycles and 5-cycles
设$G$是一个不含4-圈和5-圈的图.我们证明了对于每个正整数$k.$，判定$G$是否$(0,k)$ -可染的问题是NP-完全的。此外，我们对每个正整数$k.$构造了不含4-圈和5-圈的非$(1,k)$ -可染可平面图。最后，我们证明了$G$是$(d_1,d_2)$ -可染的，其中$(d_1,d_2)=(4,4), (3,5),$和$(2,9).$
2016-11-30 math.CO
