关于奇距离图的着色
On Coloring the Odd-Distance Graph
摘要：
我们提出了一个证明，使用谱技术，有没有有限可测染色的奇距离图。
英文摘要：
We present a proof, using spectral techniques, that there is no finite measurable coloring of the odd-distance graph.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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奇图的弧着色及其哈密顿性
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奇图是指所有顶点都是奇数度的有限图。给定的图$G$可分解为$k$奇子图，如果它的边集可划分为$k$子集，每个子集导出$G$的奇子图. $G$的这种分解存在的$k$的最小值是由Pyber（1991）引入的奇色指数$χ_{o}'(G)$。对于每一个$k\geqχ_{o}'(G)$，图$G$被称为是奇$k$ -边可着色的。除了两个特殊的例外，分别是奇$5$ -和奇$6$ -边可着色，其余的连接无环图是奇$4$ -边可着色的，而且其中一个颜色类可以减少到大小$\leq2$。此外，它已被证实，一个奇怪的$4$ -边着色的颜色类的大小最多$1$总是可以实现的。Atanasov等人（2016）根据值$χ_{o}'(G)\leq4$来表征次三次图类。在本文中，我们将他们的结果推广到奇图的所有细分的奇色指数的值的一个特征。这个更大的类$\mathcal{S}$是一个特别感兴趣的，因为它收集了所有的“最少的实例”的非奇图。作为我们的主要结果的前奏，我们表明，每一个连通图$G\in \mathcal{S}$需要最大数量的四种颜色，成为奇数$3$ -边着色后，删除一定的边缘。因此，我们提供了支持所提到的猜想证明它的所有细分的奇图。本文最后提出了一些问题，为可能的进一步工作。
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可平面图的循环染色和分数染色
Circular Coloring and Fractional Coloring in Planar Graphs
我们研究了以下关于循环着色的Steinberg型问题：对于奇数$k\ge 3$，最小数$f(k)$是多少，使得每个周长$k$的平面图不具有长度从$k+1$到$f(k)$的圈，允许与奇数圈$C_k$同构（或者等价地，是循环的$(k,\frac{k-1}{2})$ -可着色）。关于Steinberg猜想的已知结果和反例表明，$f(3)\in\{6,7\}$ .本文证明了$f(k)$存在的充要条件是$k$是奇素数。此外，我们证明了，对于任何素数$p\ge 5$，$$p^2-\frac{5}{2}p+\frac{3}{2}\le f(p)\le 2p^2+2p-5.$$我们猜想，$f(p)\le p^2-2p$，并观察到，这个猜想的真实性意味着Jaeger的猜想，每个平面图的围长$2p-2$有一个同态$C_p$的任何素数$p\ge 5$。证明了一个相关的分数着色结果：对于任意奇数$k\ge 5$，每个周长为$k$且长度为$k+1$到$\lfloor\frac{22k}{3}\rfloor$的平面图都是分数$(k:\frac{k-1}{2})$ -可着色的.
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Gerards和Seymour在1995年进一步加强了Hadwiger猜想，证明了任何不含奇数$K_t$ -子式的图都是正常$(t-1)$ -可着色的，这就是所谓的奇数Hadwiger猜想。我们证明了上述猜想的一个放松，即我们证明了每个没有奇数$K_t$ -子图都有一个点$(2t-2)$ -染色，使得所有单色分量的大小至多为$\lceil \frac{1}{2}(t-2) \rceil$ .颜色数量的界限是最佳的，直到$2$的因子，改进了Kawarabayashi（2008），Kang和Oum（2019），Liu和Wood（2021）对同一问题的先前界限，并加强了van den Heuvel和Wood（2018）的结果，他们表明上述结论在更严格的假设下成立，即图是$K_t$ -minor free。此外，在我们的结果中的组件大小的界限是远远小于以前的结果，其中的依赖于$t$是非显式的。我们的简短证明结合了van den Heuvel和Wood对$K_t$ -minor自由图的证明方法和一些额外的思想，使得扩展到奇$K_t$ -minor自由图成为可能。
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具有两个奇数圈长的着色图
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通过列表着色限制临界图中的奇反洞
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无奇团子图的非正常染色
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作为Hadwiger猜想的一个加强，Gerards和Seymour证明了任何没有奇数$K_t$子式的图都是$(t-1)$ -可着色的.我们证明了这个猜想的两个较弱的变种。首先，我们证明了对于每个$t \geq 2$，每个不含奇数$K_t$子图的图都有一个将其顶点集划分为$6t-9$集$V_1, \dots, V_{6t-9}$的划分，使得每个$V_i$诱导出一个最大度有界的子图.其次，我们证明了，对于每个$t \geq 2$，每个图没有奇数$K_t$子有一个分区的顶点集到$10t-13$集$V_1, \dots, V_{10t-13}$，使每个$V_i$诱导一个子图的组件有界大小。第二个定理改进了Kawarabayashi（2008）的结果，该结果指出顶点集可以划分为$496t$这样的集合。
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复合奇循环染色
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我们给出了Babson-Kozlov猜想的一个非常简短的自包含的组合证明，通过提出一个上链，其上边界是示性类的期望幂。
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正常无冲突列表着色、奇子式、细分与分层树宽
Proper conflict-free list-coloring, odd minors, subdivisions, and layered treewidth
本文研究图的正常无冲突列表着色问题，针对稀疏图与稠密图分别证明了两个逆命题，给出相关问题的部分答案，还得到子式闭族的更优界及分层树宽有界图的着色数上界，可应用于(g,k)-平面图。
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New Techniques Based On Odd-Edge Total Colorings In Topological Cryptosystem
为了构造拓扑密码的孪生图格，本文定义了四种新的奇幻型染色：奇边异全染色、奇边异全染色、奇边幻全染色和奇边异全染色.我们的RANDOMLY-LEAF-ADDING算法是基于随机添加叶子的图形，以产生连续的图形承认我们的新的奇魔术型着色。我们利用复图构造毛虫图格和补图格，使得这些新的图格中的每个图都有一个一致的$W$ -幻全染色.另一方面，寻找图格和整数格之间的联系是一个有趣的研究，也是量子计算机时代的重要应用。我们建立了孪生型$W$ -幻图格（作为公共图格与私有图格）和$W$ -幻图格同态，以产生更复杂的拓扑数基字符串。
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proper conflict-free $k$-coloring 问题和 odd $k$-coloring 问题在二部图上是 NP 完全的
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本文研究了图的正常着色问题，证明了对于任意整数 $k\geq3$，PCF $k$-Coloring 和 Odd $k$-Coloring 问题在二部图上均为 NP 完全的，且 PCF $4$-Coloring 问题在平面图上也是 NP 完全的。
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带弦奇圈的Gallai-Ramsey数
Gallai-Ramsey number of odd cycles with chords
Gallai染色是指没有彩虹三角形的完全图的边的染色，Gallai $k$-染色是指使用最多$k$颜色的Gallai染色。对于整数$k\geq 1$，给定图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。我们证明了对于所有的$k\geq 1$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$.这意味着$GR_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$均为$k\geq 1$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少五个顶点上所有奇圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。
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关于平面图强奇数染色数的一个猜想
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Cochin University of Science and Technology（科钦科技大学）
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缺陷边着色的奇围长界
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树可着色极大可平面图
Tree-colorable maximal planar graphs
极大可平面图的树染色是一个真点$4$ -染色，使得由此染色导出的每个双色子图都是树.一个极大可平面图$G$是树可着色的，如果$G$有树可着色.本文证明了树可着色极大可平面图$G$至少含有四个奇顶点，且其$δ(G)\geq 4$是可着色极大平面图.此外，对于一个最小度为4的树可着色的最大可平面图，如果它恰好包含四个奇顶点，我们证明了由它的四个奇顶点导出的子图不是爪，并且不包含三角形。
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不含相邻三角形的环面图是奇8-可染的
Every toroidal graphs without adjacent triangles is odd 8-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果$χ_o(G)\le k$是奇数，我们说$G$是奇数$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。Tian和Yin证明了每个环形图都是奇$9$ -可染的，每个不含$3$ -圈的环形图都是奇$9$ -可染的.本文证明了不含相邻$3$ -圈的环形图是奇$8$ -可染的.
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稀疏图的奇染色
Odd Colorings of Sparse Graphs
本文研究最大平均度小于 α 的稀疏图的奇染色色数最大值，给出 α∈[0,4) 时近乎紧的上界，并证明两个紧确值。
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阈值Ramsey重数及奇圈的极值着色
Ramsey multiplicity and extremal colorings for odd cycles
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学数学与统计学院）
本文证实了关于奇圈阈值Ramsey重数的猜想，确定$m(C_k)=(k-1)!/2$，并刻画了$K_{2k-1}$的所有极值着色，为第二个确定$m(H)$的图族。
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无$3$ -圈的环形图是奇$7$ -可染的
Every toroidal graph without $3$-cycles is odd $7$-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果是$χ_o(G)\le k$，我们说$G$是$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。本文证明了不含$3$ -圈的环形图是奇$7$ -可染的.因此，任何不含$3$ -圈的平面图都是奇$7$ -可着色的.也就是说，如果解决了围绕$3$ -圈的其余情形，就可以证明每个环形图都是$7$ -可着色的。
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本文研究图的奇色数上界，证明最小度至少为2倍厚度减1且围长至少为6的图可被6倍厚度种颜色奇染色。
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最大度为4的可平面图的$2$ -距离、内射和正合正方形列表染色
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在过去，各种基于距离的染色可平面图被介绍。我们把我们的重点放在其中的三个，即$2$ -距离着色，内射着色和确切的平方着色。$2$ -距离着色是顶点的真着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色;内射着色是顶点的着色，其中具有共同邻居的两个顶点不接收相同的颜色;精确正方形着色是顶点的着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色。证明了最大度为$Δ= 4$且围长至少为$4$的可平面图是$2$ -距离列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和注入列表$(Δ+ 5)$ -可着色图.此外，我们还证明了具有$Δ= 4$的可平面图是单射列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和精确正方形列表$(Δ+ 6)$ -可着色图.
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具有线性邻域复杂度的奇 coloring 图
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Institute of Theoretical Informatics, Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院理论信息学研究所）
该研究证明了具有线性邻域复杂度的图类具有有界不良奇色数，并展示了圆图、双宽度有界类等情形下的结论。
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$n$维矩形网格的距离正则染色
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研究了不具有距离正则性的$n$维矩形网格的无限图以及该图的距离正则染色，定义为关于完全正则码的距离染色.证明了任意距离正则染色的参数矩阵的元素构成两个单调序列。证明了$n$维矩形网格的不可约距离正则染色至多有$2n+1$色.
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平面图的2距离着色
2-Distance Coloring of Planar Graphs with Specific Maximum Degree
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研究最大度数至少为6的平面图的2距离着色问题，探讨其着色方法及结果。
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2-边界平面图及其他的奇着色
Odd coloring of 2-boundary planar graphs and beyond
本文引入了2-边界平面图的概念，并证实了Petruševski和Škrekovski在2022年提出的关于此类图存在奇5-着色的猜想，同时提出了若干独立的研究问题。
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无完全奇团浸入图的着色
Coloring Graphs With No Totally Odd Clique Immersion
School of Mathematics, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院数学学院）
证明无完全奇K_t浸入的图是O(t)-可着色的，并给出固定参数可解算法找到分解。
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平面图的奇数和染色
Odd-Sum Colorings of Planar Graphs
本文研究了平面图的奇数和染色问题，否定了Caro等人关于特定最大度和围长条件下奇数和色数上界的两个猜想，并反驳了其另一猜想，同时解决了相关遗留问题。
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强奇染色的经典与参数化复杂度
On the Classical and Parameterized Complexity of Strong Odd Coloring
Indian Institute of Technology (ISM), Dhanbad（印度理工学院（ISM）丹巴德分校）；Indian Institute of Technology, Jodhpur, India（印度理工学院乔德普尔分校）
本文研究强奇$k$-染色问题的复杂度，证明其在完美消去二分图上NP完全且不可近似，同时给出块图的线性时间算法和树宽参数的FPT算法，并证明若干参数化下界与W[1]-难结果。
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整数上的着色距离图
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奇图及其在强边染色中的应用
Odd graph and its applications to the strong edge coloring
图的强边染色是指图的每一个色类都是诱导匹配的真边染色。图$G$的强边染色指数$χ_s'(G)$是图$G$的强边染色的最小颜色数。令$Δ\geq 4$为整数。本文研究了奇图，并证明了一些特殊游动的存在性。利用这些结果和Chang在[Discuss. Math. Graph Theory 34（4）（2014）723- 733]中，我们证明了每个最大度至多为$Δ$且围长至少为$10 Δ- 4$的平面图具有带$2Δ- 1$颜色的强边染色。另外，我们还证明了：如果$G$是围长至少为$2Δ- 1$和mad $(G) < 2 + \frac{1}{3Δ- 2}$的图，其中$Δ$是最大度，$Δ\geq 4$，则$χ_s'(G) \leq 2Δ- 1$;如果$G$是围长至少为$8$和mad $(G) < 2 + \frac{2}{23}$的次立方图，则$χ_s'(G) \leq 5$ .
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有界扩张图类中的强奇着色
Strong odd colorings in graph classes of bounded expansion
该研究证明有界扩张图类中强奇着色的色数有界，$d=1$时解决了相关公开问题，核心技术是用集合系统的半梯指数等参数界定其强奇着色数。
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e-内射着色：内射着色与2-距离着色猜想
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该研究提出e-内射着色的新定义，将其与普通着色、内射着色、2-距离着色对比，从新视角回顾相关着色猜想，并精确分析了多类图的e-内射着色性质。
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平面四、五色单色单位距离的条件解法
A conditional approach for monochromatic unit distance in a plane for four and five coloring
用测度论的方法研究了平面上存在有限单位距离的图不是五个（或四个）可染图的问题。
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几类圈幂的全染色
Total Coloring of some classes of Powers of Cycles
本文给出了几类Cayley图、奇图和伪阈值图的全色数色数。
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关于完全染色的一个度量性质
On a metric property of perfect colorings
给定图的一个完美染色，证明了该图的邻接矩阵的两行之间的$L_1$距离不小于该染色的参数矩阵的相应行之间的$L_1$距离.借助于代数方法，我们对完美$2$ -染色、距离- $l$图和距离正则图中的完美染色，导出了这个结果的推论.我们还提供了例子，当所获得的性质拒绝几个假定的参数矩阵的完美染色的无限图。
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无短奇圈平面图的5-着色重构
5-Coloring Reconfiguration of Planar Graphs with No Short Odd Cycles
针对无3-圈平面图的Cereceda猜想特例，本文证明无3-圈且无5-圈的平面图其5-着色重构图直径为$O(n^2)$。
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环形图的奇色数至多为9
The odd chromatic number of a toroidal graph is at most 9
可平面图是$4$ -可着色的。环形图是可以嵌入到环面上的图。证明了环图是$7$ -可着色的。一个图的正常染色称为\emph{odd}，如果每个非孤立点至少有一个颜色在其邻域中出现奇数次。图$ G $允许奇染色的最小颜色数记为$χ_{o}(G)$。本文证明了：若$G$是环面图，则$χ_{o}\left({G}\right)\le9$ ;注意，$K_7$是环面图，其上界不小于$7$ .
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围长至少为5的平面图的2-距离（$Δ+4$）着色
On 2-Distance ($Δ+4$)-coloring of planar graphs with girth at least five
该研究针对围长不小于5的平面图，证明了当最大度$Δ\geq 22$时，这类图可使用$Δ+4$种颜色完成2-距离着色，推进了平面图2-距离着色的相关理论研究。
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最大度不超过5的平面图的2-距离16染色
On 2-distance 16-coloring of planar graphs with maximum degree at most five
针对最大度不超过5的平面图的2-距离染色问题，证明其可进行2-距离16染色，改进了Hou等人2023年的相关研究结果。
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最大度为6的平面图的2-距离20染色
2-distance 20-coloring of planar graphs with maximum degree 6
本文证明最大度至多6的平面图具有2-距离20染色，将已知上界从21改进至20。
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