Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
2014-02-21 math.CO
On edge-colorings of bicubic planar graphs
在第一部分中，我们引入了双三次平面图的边染色度的概念，并证明了染色分次数的一些局部公式。在第二部分中，我们给出了Fisk关于平面双三次图的任意两个边3-染色是Kempe等价的一个结果的新证明。此外，我们表明，着色的程度表现良好的Kempe等价。
2013-12-02 math.CO
2-Distance Coloring of Planar Graphs with Specific Maximum Degree
Kalma Laboratory, Lebanese Univeristy（黎巴嫩大学卡尔马实验室）；Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学、法国国家科学研究中心、波尔多理工学院、LaBRI）
研究最大度数至少为6的平面图的2距离着色问题，探讨其着色方法及结果。
2026-01-18 math.CO
3-coloring triangle-free planar graphs with a precolored 9-cycle
给定一个无三角形的可平面图G和G中的一个9-圈C，刻画了C的3-染色不扩展到G的真3-染色的情形.当C是一个长度不超过8的圈时，这推广了以前的结果。
2017-09-27 math.CO
Multiple DP-coloring of planar graphs without 3-cycles and normally adjacent 4-cycles
图的DP-染色的概念是Dvoprák和Postle在2015年引入的列表染色的推广。图的多重DP染色是多重列表染色的推广，由Bernshteyn，Kostochka和Zhu在2019年首次研究。本文证明了不含3-圈且正常邻接4-圈的可平面图对每个整数$m$是$(7m, 2m)$ -DP-可着色的.因此，任何不含3-圈且通常相邻4-圈的可平面图的强分数选择数至多为$7/2$。
2022-01-28 math.CO
Triangle-free planar graphs with at most $64^{n^{0.731}}$ 3-colorings
Rassen证明了无三角形的可平面图有指数多的3-着色。最近，他通过提供具有$n$顶点和至多$2^{15n/\log_2 n}$ 3-着色的图的例子来反驳他的猜想。我们改进了他的建设，给这样的图的例子，最多$64^{n^{log_{9/2} 3}}<64^{n^{0.731}}$ 3-着色。我们推测这个指数是最优的。
2021-08-28 math.CO
A Unified Spiral Chain Coloring Algorithm for Planar Graphs
本文给出了可平面图的一个统一的图着色算法。在本文中分别讨论了可平面图的点着色、边着色、全着色和整着色问题。着色算法中的主要工具是螺旋链的使用，它在2004年已经被用于四色定理的非计算机证明中。本文还给出了用螺旋链染色证明四色定理的更精确的解释。然后，通过证明Vizing的全染色和最大顶点度为6的可平面图的全染色的其他著名定理，继续研究螺旋链染色的解。本文还证明了Kronk和Mitchem关于最大度为“Delta”的平面图是完全（“Delta”+4）-可染的猜想，最后讨论了螺旋链染色下可平面图的三种可染性。我们给出了Groetzsch定理的有效且简短的证明，即无三角形的可平面图是3-可着色的。
2007-11-27 math.CO
Strong edge coloring of planar graphs
图的强边染色是指距离至多为2的边具有不同颜色的真边染色。已知任意最大度为D的可平面图都有至多4D + 4色的强边染色。我们表明，3D + 6颜色足够的，如果图的围长为6，和3D颜色足够的，如果围长至少是7。此外，我们证明了围长至少为6的立方可平面图可以被最多9种颜色的强边染色。
2013-07-04 math.CO
Improved square coloring of planar graphs
正方形着色是图着色的一种变体，其中距离为2的顶点必须接收不同的颜色。当考虑可平面图时，最著名的猜想（Wegner，1977）指出，$\frac32Δ+1$颜色足以使每个最大度的平面图$Δ$平方着色。这个猜想已被证明是渐近图与大的最大程度。我们认为这里的可平面图与小的最大程度，并表明$2Δ+7$颜色是足够的，这提高了最好的已知的界限时，$6\leqslant Δ\leqslant 31$。
2021-12-23 math.CO
Equitable Coloring in 1-Planar Graphs
本文证明最大度不超过$r$的1-平面图在$r\ge13$时均可进行公平$r$-着色，推广了公平着色相关结论。
2023-11-25 math.CO
DP-3-coloring of some planar graphs
本文用统一的方法证明了几类可平面图是DP- $3$ -可着色图，推广了$3$ -可选图的相应结果.
2018-09-19 math.CO
An update on reconfiguring $10$-colorings of planar graphs
图$G$的$k$ -着色的重构图$R_k(G)$具有作为顶点集的$G$的所有可能的适当$k$ -着色的集合，并且如果两个着色在恰好一个顶点的颜色上不同，则两个着色是相邻的。Bousquet和Perarnau（2016）关于有界退化图的一个结果意味着，如果$G$是具有$n$顶点的平面图，则$R_{12}(G)$的直径至多为$6n$。我们改进了图的颜色数，证明了对于每一个有$n$顶点的平面图$G$，$R_{10}(G)$的直径至多为$8n$.
2020-02-13 math.CO
Relaxed DP-3-coloring of planar graphs without some cycles
该研究属于图论着色领域，在已有松弛DP着色的平面图相关结论基础上，证明了不含4环与6环、或不含4环与8环的平面图满足DP-(0, 2, 2)-可着色性，拓展了该方向的研究结果。
2023-11-05 math.CO
Colorings of oriented planar graphs avoiding a monochromatic subgraph
对于固定的简单有向图$F$和给定的简单有向图$D$，$D$的无$F$ $k$染色是其中$D$中没有$F$的诱导拷贝是单色的顶点染色.本文研究了对于固定的$F$和$k$，判定给定的简单有向图是否允许$F$ -free $k$ -染色的复杂性.我们的主要重点是限制的问题，平面输入有向图，它是唯一有趣的研究情况$k \in \{2,3\}$。由已知的结果可知，对于每个其基础图不是森林的固定有向图$F$，每个平面有向图$D$允许一个$F$ -free $2$ -染色;对于每个具有$Δ(F) \ge 3$的固定有向图$F$，每个定向平面图$D$允许一个$F$ -free $3$ -染色.相反，我们表明，如果$F$是一个方向的路径的长度至少$2$，那么它是NP-难决定是否一个非循环和平面输入有向图$D$承认$F$ -免费$2$ -染色。- 如果$F$是一条长度至少为$1$路的方向，则判定一个无圈平面输入有向图$D$是否允许$F$ -自由$3$ -染色是NP-困难的。
2022-06-07 math.CO
Planar graphs have two-coloring number at most 8
证明了任意可平面图的二色数至多为8。这解决了Kierstead等人[SIAM J. Discrete Math. 23（2009），1548- 1560]。结果是最优的。
2018-06-21 math.CO
Frugal coloring in planar graphs with maximum degree 4 and 5
Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）；University of West Bohemia（西波希米亚大学）
该研究针对最大度为4和5的平面图，证明其2-节俭着色分别可使用7种和10种颜色，是Wegner猜想的部分变体结果。
2026-10-12 math.CO
Equitable coloring of graphs beyond planarity
针对IC-平面图和NIC-平面图的均匀Δ-着色问题，本文将Zhang证明的IC-平面图阈值从Δ≥12降至Δ≥10、NIC-平面图阈值从Δ≥13降至Δ≥11，优化了两类图均匀着色的最大度条件。
2025-04-17 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces V. Coloring planar graphs with distant anomalies
本文解决了Havel的一个问题，证明了存在一个绝对常数d，使得如果G是一个可平面图，其中每两个不同的三角形之间的距离至少为d，则G是3-可着色的.事实上，我们证明了一个更一般的定理。设G是一个可平面图，设H是G的一组连通子图，每个子图的大小都有界，使得H的每两个不同成员至少相距指定距离，并且G的所有三角形都包含在\bigcup{H}中。我们给出了G的3-着色φ存在的一个充分条件，使得对每个B \in H，φ对B的限制是以特定的方式约束的.
2020-04-15 math.CO
A Note on Odd Colorings of 1-Planar Graphs
本文研究1-平面图的奇数着色问题，证明每个1-平面图都可进行奇数23-着色。
2022-02-28 math.CO
Additive colorings of planar graphs
图$G$的一个\emph{additive coloring}是正整数$\{1,2,...,k\}$到$G$的顶点的赋值，使得对于每两个相邻的顶点，分配给它们的邻居的数的和是不同的。存在$G$加性着色的最小数$k$由$η(G)$表示。我们证明了对每个平面图$G$，都有$η(G)\leqslant 468$.这改进了由于Norin而导致的先前绑定的$η(G)\leqslant 5544$。利用组合零点定理和平面超图的色数证明了该定理。我们还证明了3-可着色可平面图的$η(G)\leqslant 36$和围长至少为13的平面图的$η(G)\leqslant 4$。在一组理论版本的问题，我们表明，对于每个$r\geqslant 2$有一个$r$ -色图$G_{r}$没有添加剂着色的任何阿贝尔组的顺序$r$的元素。
2012-02-06 math.CO
Complete colorings of planar graphs
本文研究了围长为4的平面图、外可平面图、可平面图和嵌在曲面上的图的消色差数和伪消色差数。给出了极大嵌入图的渐近紧结果和下界。
2018-04-06 math.CO
Equitable Colorings of Planar Graphs without Short Cycles
图的\emph{equitable coloring}是图的一个正常顶点染色，使得每两个色类的大小相差至多1。Chen，Lih，and Wu证明了每个连通图$G$具有最大度$Δ\geq 2$都具有与$Δ$颜色相等的着色，除非$G$是完全图或奇圈或$Δ$是奇的，并且$G=K_{Δ,Δ}.$ Nakprasit证明了该猜想对最大度至少为9的可平面图成立。Zhu和Bu证明了对于每个最大度至少为8的无$C_3$的平面图和对于每个最大度至少为7的无$C_4$和$C_5$的平面图，该猜想成立.本文证明了该猜想对各种情况下的可平面图都成立，特别是对最大度至少为6的无$C_3$的平面图和最大度至少为7的无$C_4$的平面图都成立，改进或推广了朱和卜关于均匀着色的结果.此外，我们还证明了对于围长至少为6且最大度至少为5的平面图，该猜想成立。
2012-03-02 math.CO
Defective correspondence coloring of planar graphs
本文研究平面图的缺陷对应染色，证明存在非3-缺陷3-可对应的平面图，构造了1-缺陷3-可对应但非4-可对应的平面图，并证明所有外平面图均为3-缺陷2-对应可染且缺陷数最优。
2024-11-22 math.CO
Sufficient conditions on planar graphs to have a relaxed DP-$3$-colorability
DP-染色是单图列表染色的推广，列表染色中的许多结果都可以推广到DP-染色中。在这项工作中，我们引入了一个宽松的DP-染色，这是一个推广，如果一个宽松的列表着色。我们还证明了不含$4$ -圈或$6$ -圈的可平面图$G$是DP- $(k,d)^*$ -可着色的.紧接着，$G$是$(k,d)^*$可选择的。
2018-03-07 math.CO
Coupon-Coloring and total domination in Hamiltonian planar triangulations
我们考虑图的顶点的所谓的券染色，其中每个颜色出现在每个开邻域中，我们的目标是确定这样的染色中的颜色的最大数目。换句话说，每一个色类都是图的全控制集，并且我们研究了图的全域数。我们在每个极大外可平面图中确定了这个参数，并证明了每个Hamilton极大可平面图的domatic数至少为2，部分回答了Goddard和Henning的一个猜想.
2017-08-05 math.CO
Odd coloring of sparse graphs and planar graphs
一个图的{ \it奇$c$ -染色}是一个真$c$ -染色，使得每个非孤立点都有一个颜色在其邻域上出现奇数次.这一概念最近由Petru \v sevski和\v Skrekovski提出，并引起了相当大的关注。Cranston研究了最大平均度有界的图的奇染色，证明了每一个具有$mad(G)\leq \frac{4c-4}{c+1}$的图$G$对$c\geq 4$都有$c$-奇染色，并证明了对$c\in\{5, 6\}$的猜想.特别地，围长至少为$7$和$6$的可平面图分别具有奇$5$ -染色和奇$6$ -染色.我们完全解决了克兰斯顿猜想。对于$c\geq 7$，我们表明，该猜想是真实的，在一个更强的形式，隐含地建议由克兰斯顿，但对于$c=4$，我们构造反例，其中都包含$5$ -循环。另一方面，我们证明了一个图$G$与$mad(G)<\frac{22}{9}$和没有诱导$5$ -圈有一个奇$4$ -染色。这意味着围长至少为11的平面图具有奇$4$ -染色。我们还证明了围长至少为5的平面图有奇$6$ -染色。
2022-12-23 math.CO
On 2-Distance ($Δ+4$)-coloring of planar graphs with girth at least five
该研究针对围长不小于5的平面图，证明了当最大度$Δ\geq 22$时，这类图可使用$Δ+4$种颜色完成2-距离着色，推进了平面图2-距离着色的相关理论研究。
2023-11-03 math.CO
On Wegner's 8-Coloring Theorem for Planar Graphs of Maximum Degree Three
该研究简化了Wegner猜想特殊情况（最大度≤3的平面图可8色距离2着色）的证明，重点简化了原证明中移除5-环这一技术难点部分。
2025-11-12 math.CO
Weak Dynamic Coloring of Planar Graphs
图$G$的\textit{$k$-weak-dynamic number}是我们需要对$G$的顶点进行着色的最小颜色数，使得度为$d(v)$的每个顶点$v$在其邻域上至少看到$\rm{min}\{k,d(v)\}$颜色。利用图的可约构型和列表染色证明了所有可平面图的3-弱动态数不超过6。
2018-02-16 math.CO
On 2-distance 16-coloring of planar graphs with maximum degree at most five
针对最大度不超过5的平面图的2-距离染色问题，证明其可进行2-距离16染色，改进了Hou等人2023年的相关研究结果。
2023-11-23 math.CO
List-coloring the Squares of Planar Graphs without 4-Cycles and 5-Cycles
设$G$是一个不含4-圈和5-圈的平面图，它具有最大度$Δ\ge 32$ .我们证明了$χ_{\ell}(G^2)\le Δ+3$ .对于任意大的最大度$Δ$，存在围长为6的可平面图$G_Δ$，且$χ(G_Δ^2)=Δ+2$ .因此，我们的界限在1以内是最优的。此外，我们的界限来自着色greetings在一个良好的秩序，所以立即扩展到在线列表着色的界限。此外，我们还证明了$L(p,q)$ -标记的界。具体地，$λ_{2,1}(G)\le Δ+8$，更一般地，$λ_{p,q}(G)\le (2q-1)Δ+6p-2q-2$，对于正整数$p$和$q$，具有$p\ge q$。同样，这些边界来自贪婪着色，所以它们立即扩展到这个问题的列表着色和在线列表着色变体。
2015-05-13 math.CO
A 2-distance $(2Δ+7)$-coloring of planar graphs
Department of Mathematics, D\"uzce University, D\"uzce, 81620, T \" u rk \. \.i ye.
本文改进了平面图2距离着色的色数结果，证明所有平面图均可使用2Δ+7种颜色进行2距离着色。
2025-12-13 math.CO
Extending total colorings in planar graphs
本文开创平面图全染色扩展研究，证明匹配子图在Δ≥28时可用Δ+3色扩展，距离3团在Δ≥27时可用Δ+1色扩展，且相应条件均不可再改进。
2025-09-23 math.CO
Acyclic edge-coloring of planar graphs: $Δ$ colors suffice when $Δ$ is large
图$G$的一个\emph{acyclic edge-coloring}是图$G$的一个真边染色，使得由任意两个色类导出的子图是无圈的. \emph{acyclic chromatic index}，即$χ'_a(G)$，是允许$G$的非循环边着色的最小颜色数。显然，每个图$G$都有$χ'_a(G)\ge Δ(G)$。Cohen、Havet和Müller证明了存在一个常数$M$，使得每个具有$Δ(G)\ge M$的平面图都有$χ'_a(G)=Δ(G)$。我们证明了这个猜想。
2019-01-29 math.CO
Edge-coloring 4- and 5-regular projective planar graphs with no Petersen-minor
Paderborn University（帕德博恩大学）；Zhejiang Normal University（浙江师范大学）
本文证明了无彼得森子图的4-和5-正则投影平面图可以被r-边着色。
2025-12-16 math.CO
Do triangle-free planar graphs have exponentially many 3-colorings?
证明了无三角形的可平面图具有指数数量的$3$ -染色。我们证明了这个猜想等价于下面的陈述：存在正实数$α$使得当$G$是可平面图且$A$是其边的子集且其删除使得$G$是无三角形的时，存在$A$的子集$A'$，其大小至少为$α|A|$使得$G-(A\setminus A')$是$3$ -可着色的.这种等价性使我们能够研究限制性的情况，在那里我们可以证明这个陈述是真的。
2017-09-19 math.CO
The Borowiecki-Broere Generalized Total Coloring Conjecture for Planar Graphs
New York University（纽约大学）
本文证明了每个有限简单平面图均存在四色广义全染色，即正常四顶点染色可扩展为四色森林边染色，且边色异于端点色，证明结合三角剖分计数不等式与拟阵划分定理，并给出 Lean 4 形式化。
2026-10-02 math.CO
Circular Coloring and Fractional Coloring in Planar Graphs
我们研究了以下关于循环着色的Steinberg型问题：对于奇数$k\ge 3$，最小数$f(k)$是多少，使得每个周长$k$的平面图不具有长度从$k+1$到$f(k)$的圈，允许与奇数圈$C_k$同构（或者等价地，是循环的$(k,\frac{k-1}{2})$ -可着色）。关于Steinberg猜想的已知结果和反例表明，$f(3)\in\{6,7\}$ .本文证明了$f(k)$存在的充要条件是$k$是奇素数。此外，我们证明了，对于任何素数$p\ge 5$，$$p^2-\frac{5}{2}p+\frac{3}{2}\le f(p)\le 2p^2+2p-5.$$我们猜想，$f(p)\le p^2-2p$，并观察到，这个猜想的真实性意味着Jaeger的猜想，每个平面图的围长$2p-2$有一个同态$C_p$的任何素数$p\ge 5$。证明了一个相关的分数着色结果：对于任意奇数$k\ge 5$，每个周长为$k$且长度为$k+1$到$\lfloor\frac{22k}{3}\rfloor$的平面图都是分数$(k:\frac{k-1}{2})$ -可着色的.
2020-07-01 math.CO
Defective acyclic colorings of planar graphs
本文研究了可平面图的亏无圈染色的两种变形。对于图$G$和$G$的着色$φ$，2CC断面是$E(G)$的子集$E'$，它与每个2-色圈相交。令$k$为正整数。我们用$m_k(G)$表示最小整数$m$，使得$G$有一个正确的$k$ -着色，它有一个大小为$m$的2CC transserval，用$m'_k(G)$表示$E(G)$的子集$E'$的最小大小，使得$G-E'$是非循环的$k$ -可着色的.证明了对任意$n$ -顶点$3$ -可着色平面图$G$，$m_3(G) \le n - 3$和对任意平面图$G$，$m_4(G) \le n - 5$，只要$n \ge 5$ .我们表明，这些上界是尖锐的：有无限多的可平面图达到这些上界。此外，最小2CC横向$E'$可以以这样的方式选择，即$E'$诱导森林。我们还证明了对任何平面图$G$，$m'_3(G) \le (13n - 42) / 10$和$m'_4(G) \le (3n - 12) / 5$ .
2023-01-27 math.CO
An improved bound for 2-distance coloring of planar graphs with girth six
针对围长至少为6且最大度$Δ\neq6$的平面图，证明其2-距离色数$χ_2(G)\neqΔ+4$，改进了该类图2-距离着色的已知最优上界。
2023-11-08 math.CO
2-distance 20-coloring of planar graphs with maximum degree 6
本文证明最大度至多6的平面图具有2-距离20染色，将已知上界从21改进至20。
2024-06-25 math.CO
Improved 2-Distance Coloring of Planar Graphs with Maximum Degree 5
本文研究了平面图的2-距离染色问题，证明了最大度不超过5的平面图的2-距离色数上界可由18改进至17。
2023-07-31 math.CO
Tree-colorable maximal planar graphs
极大可平面图的树染色是一个真点$4$ -染色，使得由此染色导出的每个双色子图都是树.一个极大可平面图$G$是树可着色的，如果$G$有树可着色.本文证明了树可着色极大可平面图$G$至少含有四个奇顶点，且其$δ(G)\geq 4$是可着色极大平面图.此外，对于一个最小度为4的树可着色的最大可平面图，如果它恰好包含四个奇顶点，我们证明了由它的四个奇顶点导出的子图不是爪，并且不包含三角形。
2014-03-20 math.CO
The enumeration of edge colorings and Hamiltonian cycles by means of symmetric tensors
彭罗斯之后，我们介绍了一个家庭的图函数定义的某些产品的收缩的对称张量沿边的一个图。这些函数的特例列举了图中任意长度的边着色和圈（特别是哈密顿圈）。
2004-03-21 math.CO
Defective 2-colorings of planar graphs without 4-cycles and 5-cycles
设$G$是一个不含4-圈和5-圈的图.我们证明了对于每个正整数$k.$，判定$G$是否$(0,k)$ -可染的问题是NP-完全的。此外，我们对每个正整数$k.$构造了不含4-圈和5-圈的非$(1,k)$ -可染可平面图。最后，我们证明了$G$是$(d_1,d_2)$ -可染的，其中$(d_1,d_2)=(4,4), (3,5),$和$(2,9).$
2016-11-30 math.CO
2-Distance Coloring of 4-Irregular Planar Graphs
Kalma Laboratory, Lebanese University（卡尔马实验室，黎巴嫩大学）；Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学，法国国家科学研究中心，波尔多理工学院，LaBRI）
本文研究4-非正则平面图的2-距离着色问题，将其2-距离色数上界从Zhu证明的13改进为10，推进了平面图着色相关理论的研究。
2026-08-26 math.CO
Coloring count cones of planar graphs
对于外表面由循环$C$界定的平面近三角剖分$G$，令$n^\star_G$表示这样的函数，该函数为$C$的每个$4$着色$ψ$分配$ψ$扩展到$G$的$4$着色的方式的数目。块计数归约论证（它是在四色定理的尝试证明中发展起来的）等价于这样的陈述：函数$n^\star_G$属于从$C$到实数的$4$ -着色的所有函数的空间中的某个锥。我们研究了$|C|=5$的这个锥的性质，提出了一个加强四色定理的猜想，并给出了支持这个猜想的证据。
2021-10-25 math.CO
On B-Colorings in Planar Graphs
Iowa State University（爱荷华州立大学）
本文针对平面图的B-着色问题，改进了Kong等人的已有界，证明任意图G为平面图时，其B-着色所需最少颜色数不超过Δ+max{Δ₂,38}。
2026-08-11 math.CO
The Total Coloring Conjecture holds for planar graphs without three special subgraphs
本文证明全染色猜想对最大度为六且不含蘑菇、帐篷和锥体三种子结构的平面图成立，从而推广了此前关于禁止4-扇的结果。
2025-07-17 math.CO
$k$-intersection edge-coloring subcubic planar multigraphs
给定一个简单图的边染色，给每个顶点$v$分配一个集合$S_v$，该集合由与$v$关联的边上使用的颜色组成。图的$k$交色指数是使边集能被适当$t$着色的最小$t$，另外还要求对每两个邻顶点$u$和$v$，有$|S_u \cap S_v| \le k$ .对于所有的$k \neq 2$，该值对于次三次可平面图是已知的，而且，这些值是最佳可能的。我们很自然地将这个定义推广到边重数有界的多重图，并且证明了边重数至多为2的次立方平面多重图的2-交色数至多为5，这是一个尖锐的结果。
2015-06-10 math.CO
DP-4-colorability of two classes of planar graphs
DP-着色（也称为对应着色）是Dvoprák和Postle（2017）最近引入的列表着色的推广。本文证明了可平面图$G$中不存在与$k$ -圈相邻的$4$ -圈时，对于$k=5$和$6$是DP-$4$-可着色的.作为结果，我们得到了两类新的$4$ -可选可平面图.我们在证明中使用了顶点的标识，实际上证明了一些短圈的每个预染色都可以扩展到整个图的更强的陈述。
2018-11-07 math.CO
Some results on 2-distance coloring of planar graphs with girth five
针对围长为5的平面图的2-距离着色问题，本文证明其存在2-距离$Δ+7$着色（改进已有结果），且当最大度$Δ\geq 10$时存在2-距离$Δ+6$着色，为该类图的着色研究提供了更优结论。
2025-08-20 math.CO
A Thomassen-type method for planar graph recoloring
用于图$G$的$k$ -着色的重新配置图$R_k(G)$具有$G$的所有可能的$k$ -着色作为顶点，并且如果两个着色在恰好一个顶点的颜色上不同，则两个着色是相邻的。我们利用一个受Matrassen结果启发的列表着色技术证明了：对于一个具有$n$顶点的可平面图$G$，$R_{10}(G)$的直径至多为$8n$;如果$G$是无三角形的，则$R_7(G)$的直径至多为$7n$ .
2020-06-16 math.CO
Star Coloring of the Cartesian Product of Cycles
如果图$G$的每两个颜色类诱导一个森林，森林的每个分支都是星，则称$G$的一个正常顶点着色为星着色，这意味着在$G$中不存在双色的$P_4$.本文证明了除$C_3 \square C_3$和$C_3 \square C_5$外，任意两个圈的笛卡儿积都有$5$ -星染色.
2019-06-15 math.CO
