3-coloring triangle-free planar graphs with a precolored 9-cycle
Ilkyoo Choi, Jan Ekstein, Přemysl Holub, Bernard Lidický
给定一个无三角形的可平面图G和G中的一个9-圈C，刻画了C的3-染色不扩展到G的真3-染色的情形.当C是一个长度不超过8的圈时，这推广了以前的结果。
Given a triangle-free planar graph G and a 9-cycle C in G, we characterize situations where a 3-coloring of C does not extend to a proper 3-coloring of G. This extends previous results when C is a cycle of length at most 8.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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3-coloring triangle-free planar graphs with a precolored 8-cycle
设G是一个平面无三角形图，C是G中长度不超过8的圈。我们刻画了C的3-染色不扩展到整个图的正常3-染色的所有情况。
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs II. Planar triangle-free graphs with two precolored 4-cycles
研究了具有两个相距较远的预着色4-圈$C_1$和$C_2$的无三角形平面图$G$的3-着色性质.我们证明了，无论是每一个预着色的$C_1\cup C_2$扩展到3-着色的$G$，或$G$包含两个特殊的子结构，唯一地确定其中3-着色的$C_1\cup C_2$扩展。作为推论，我们证明了存在一个常数$D>0$，使得如果$H$是一个平面无三角形图，且$S\subseteq V(H)$由两两距离至少为$D$的顶点组成，则$S$的每一个预染色都扩展到$H$的一个3-染色.这对Dvoák，Král'和Thomas的一个猜想给出了肯定的回答，并暗示了有界最大度的无三角形平面图的3-着色数的指数下界。
Extending edge colorings of distance-3 matchings in the Cartesian product of graphs
本文研究了在图的笛卡尔积中扩展预着色距离-3匹配的问题，证明了在满足一定条件时可以扩展为色数不超过的边着色。
Extending partial edge colorings of iterated cartesian products of cycles and paths
本文研究偶环与奇环迭代笛卡尔积的部分边着色扩展问题，在预着色边数受限或预着色边距离至少为4的条件下，证明存在与部分着色一致且色数最优的正常边着色，推广了超立方体的预着色扩展结果。
5-list-coloring planar graphs with distant precolored vertices
我们积极回答的问题，艾伯森问是否每个可平面图可以$5$列表着色，即使它包含预着色的顶点，只要他们足够远离对方。为了证明这一点，我们也给出了关于5-列表着色临界图的大小的界。特别地，如果G是一个可平面图，H是G的一个连通子图，L是G的顶点的颜色列表的赋值，使得|L（v）|若对V（G）-V（H）中的任意v>= 5且G不是L-可着色的，则G中有一个顶点数为O（|H| ^2）的子图不是L-可着色的.
Extending partial edge colorings of cartesian products of graphs
考虑图的笛卡儿积的部分边染色的扩张问题。更具体地说，我们提出了下面的Evans型猜想：如果$G$是一个图，其中至多$k$条预着色边的每个预着色都可以扩展为一个真$χ'(G)$ -边着色，那么$G \square K_2$的至多$k+1$条边的每个预着色都可以扩展为$G \square K_2$的一个真$(χ'(G) +1)$ -边着色.本文证明了这个猜想对树、完全和完全二部图以及最大度较小的图都成立。我们还证明了版本的猜想一般正则图的预着色的边缘是独立的。
Extending edge-colorings of distance-2 matchings in the hypercube
本文证明了在超立方体中预着色的距离-2匹配可以扩展为合适边着色的猜想，并推广到二分图的Cartesian积结构。
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs III. General surfaces
Dvoák，Král'和Thomas给出了曲面上无三角形图的结构关于3-着色的描述。然而，它们的描述包含两个子结构（都与嵌入平面中的具有两个预着色圈的图有关），其着色性质并不完全确定。在本文中，我们填补了这些空白。
List-coloring graphs on surfaces with varying list-sizes
设$G$是一个嵌入在曲面$S_\varepsilon$上的图，其Euler亏格为$\varepsilon > 0$，$P\subseteq V(G)$是一组顶点，它们之间的距离至少为4.假设$G$的所有顶点都有$H(\varepsilon)$ -列表，并且$P$的顶点都是预着色的，其中$H(\varepsilon)=\Big\lfloor\frac{7 + \sqrt{24\varepsilon + 1}}{2}\Big\rfloor$是Heawood数。我们证明了$P$的着色扩展到$G$的列表着色，并且距离界为4是最佳可能的。我们的结果回答了Albertson关于将可平面图中一组相互远离的顶点的预着色扩展为图的5-列表着色的类似问题，并将Albertson和Hutchinson的结果推广到曲面上的列表着色扩展.
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs I. Planar graphs with two triangles and 3-colorability of chains
Aksenov证明了在至多含有一个三角形的可平面图G中，每个4-圈的预染色都可以推广为G的3-染色。本文给出了具有两个三角形的可平面图的一个精确刻画，即4-圈的某些预染色不扩张。利用这个刻画，我们解决了无三角形可平面图中两个4-圈的预着色扩张问题，即预着色的4-圈被许多不相交的4-圈分隔开.后一个结果是在后续文件中使用的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面的结构的详细信息。
List precoloring extension in planar graphs
一个著名的结果是，不仅每个可平面图都可以用五种颜色适当地着色，而且无论如何将五种颜色的任意调色板分配给顶点，都可以为每个顶点从相应的调色板中选择一种颜色，从而得到的着色是适当的。这个结果被称为可平面图的5-可选性。艾伯森问是否可以通过预着色一些顶点是在一个足够大的距离，除了在一个图中扩展的Lassen定理。在这里，除其他外，我们回答的问题的情况下，当图不包含短周期分离precolored顶点，当有一个“宽”斯坦纳树包含所有的precolored顶点。
Sub-exponentially many 3-colorings of triangle-free planar graphs
Rassen证明了任意n阶无三角形可平面图都有指数多个3-染色，并证明了它至少有2^[n^（1/12）/20000]个不同的3-染色.我们证明了它至少有2^sqrt（n/362）个不同的3-着色。
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
A note on edge colorings distinguishing all triangles in a graph
本文研究图中区分所有三角形的边着色问题，作为区分极大星思想的扩展，估计了正常和一般着色下关于三角形的新不变量。
Triangle-free planar graphs with at most $64^{n^{0.731}}$ 3-colorings
Rassen证明了无三角形的可平面图有指数多的3-着色。最近，他通过提供具有$n$顶点和至多$2^{15n/\log_2 n}$ 3-着色的图的例子来反驳他的猜想。我们改进了他的建设，给这样的图的例子，最多$64^{n^{log_{9/2} 3}}<64^{n^{0.731}}$ 3-着色。我们推测这个指数是最优的。
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces II. 4-critical graphs in a disk
设G是围长至少为5的平面图。证明了如果G的圈C存在一个3-染色φ，且该φ不扩展到G的3-染色，则G有一个在O（|C|）个顶点上的子图H也不具有3-染色扩展φ.这是渐近最好的可能，并改善了以前的边界的Bassen。在本系列的下一篇论文中，我们将使用这个结果和相应的理论来证明一个推广到具有几个预着色圈的曲面上的图。
Triangle colorings require at least seven colors
我们证明了如果平面的着色具有距离为1的任意两点着色不同的性质，并且在一定条件下平面被划分为均匀着色的三角形，则它至少需要7种颜色。这也适用于使用均匀着色的多边形着色，如果它有一个点边界至少四个多边形。
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces V. Coloring planar graphs with distant anomalies
本文解决了Havel的一个问题，证明了存在一个绝对常数d，使得如果G是一个可平面图，其中每两个不同的三角形之间的距离至少为d，则G是3-可着色的.事实上，我们证明了一个更一般的定理。设G是一个可平面图，设H是G的一组连通子图，每个子图的大小都有界，使得H的每两个不同成员至少相距指定距离，并且G的所有三角形都包含在\bigcup{H}中。我们给出了G的3-着色φ存在的一个充分条件，使得对每个B \in H，φ对B的限制是以特定的方式约束的.
A note on transformations of edge colorings of chordless graphs and triangle-free graphs
本文指出通过对Bonamy等人（2023）关于无三角形图边着色Kempe变换结论的证明进行微小修改，可将该结论推广到包含无三角形图和无弦图的更大类简单图中。
Edge-colorings avoiding patterns in a triangle
对于正整数$n$和$r$，我们考虑具有最大数目的$r$ -边着色的$n$ -顶点图，其中没有三角形的副本，且恰好有两种颜色出现.证明了当$2 \leq r \leq 26$和$n$充分大时，二部Turán图$T_2(n)$在$n$的顶点上达到最大值.这是最好的可能性，因为$T_2(n)$对于$r \geq 27$颜色和$n \geq 3$不是极值。
Five-list-coloring graphs on surfaces III. One list of size one and one list of size two
设$G$是一个具有外圈$C$的平面图，$(L(v):v\in V(G))$是一族非空集. $G$的$L$ -着色是指$G$的一个（真）着色$ϕ$，使得对于$G$的每个顶点$v$，$ϕ(v)\in L(v)$. Rumassen证明了，如果$v_1,v_2\in V(C)$是相邻的，$L(v_1)\ne L(v_2)$，$|L(v)|\ge3$对于每个$v\in V(C)-\{v_1,v_2\}$和$|L(v)|\ge5$对于每个$v\in V(G)-V(C)$，那么$G$有一个$L$ -着色。当$v_1$和$v_2$不相邻时会发生什么？然后$L$着色不需要存在，但在本系列的第一篇论文中，我们已经证明了它存在，如果$|L(v_1)|,|L(v_2)|\ge2$。在这里，我们刻画当$L$ -着色存在，如果$|L(v_1)|\ge1$和$|L(v_2)|\ge2$。这个结果是一个引理，沿着同样的路线，我们将使用它来证明极小非$L$ -可着色平面图与两个有界长度的预着色圈是有界的大小。后一个结果有许多我们在别处所追求的应用。
Three coloring via triangle counting
在Steinberg的三着色猜想的第一个部分结果中，Abbott和Zhou使用计数论证证明了每个不具有长度为4到11的圈的可平面图是3-可着色的。在他们的证明中隐含了一个关于平面图的事实：在任何最小度为3的平面图中，如果没有两个三角形共享一条边，那么三角形构成的面严格小于小于2/3。我们证明了这个结果，结合Kostochka和Yancey的解决方案的矿石猜想k = 4，意味着每个可平面图没有周期的长度4至8是3-着色。
Do triangle-free planar graphs have exponentially many 3-colorings?
证明了无三角形的可平面图具有指数数量的$3$ -染色。我们证明了这个猜想等价于下面的陈述：存在正实数$α$使得当$G$是可平面图且$A$是其边的子集且其删除使得$G$是无三角形的时，存在$A$的子集$A'$，其大小至少为$α|A|$使得$G-(A\setminus A')$是$3$ -可着色的.这种等价性使我们能够研究限制性的情况，在那里我们可以证明这个陈述是真的。
Variations on Ramsey numbers and minimum numbers of monochromatic triangles in line $2$-colorings of configurations
本文探索了拉姆齐数与单色化配置中单色三角形的最小数变体，通过定义线2-着色配置并计算具体对称示例，扩展并完善了相关图论理论。
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces III. Graphs of girth five
我们证明了围长至少为5的4-临界图的大小是由它的亏格的一个线性函数有界的。这加强了以前的约束的大小，这样的图给出的Dracassen。它也作为基本情况下的结构描述的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面，提出了在未来的文件，这一系列。
Choosability of planar graphs of girth 5
Rumassen证明了围长为5的平面图是列表可着色的，使得所有顶点都有大小为2或3的列表，并且列表大小为2的顶点都与外表面关联，形成一个独立集。我们提出了一个加强这一结果，放松限制的顶点与列表的大小为2。这个结果被用来限制具有一个预着色面的3-列表着色临界平面图的大小。
List-coloring embedded graphs
对于亏格为g的任意固定曲面Sigma，我们给出了一个算法，通过在时间O上分配一个长度为3的列表来判定嵌入Sigma的围长至少为5的图G是否可着色（|V（G）|).此外，我们可以允许至多具有s个分量的子图（任何大小）被预着色，代价是将算法的时间复杂度增加到O（|V（G）|^{K（g+s）+1}）;在这两种情况下，隐藏在O符号中的乘法常数取决于g和s。这也使我们能够找到这样一个着色时，它的存在。该算法的思想可以应用于其他类似的问题，例如，曲面上图的5-列表染色。
A Coloring Algorithm for Triangle-Free Graphs
本文给出了一个随机算法，该算法使用O（Δ（G）/ log Δ（G））的颜色对n个顶点的无三角形图G的顶点进行适当着色，其中Δ（G）是G的最大度.该算法的时间复杂度为O（n \Delta 2（G）logΔ（G）），且成功的概率很高，只要Δ（G）大于log^{1+ε}n（ε为正常数）.对于无三角形的图，颜色的数量最好是一个常数。结果给出了无三角形图的色数的一个尖锐上界的算法证明，该上界的存在性是由Kim和Johansson分别建立的。
Planar graphs without 4-cycles adjacent to triangles are DP-4-colorable
单图的DP-染色（也称为对应染色）是列表染色的推广。已知与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是4-可选图，不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色图.本文证明了与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色的，这是上述两个结果的推广。
Coloring triangles in graphs
本文研究图中三角形着色的定量性质，定义诱导 Ramsey 数 $R_{\ ext{ind}}^Δ(F)$，并针对若干特定图类研究其大小，以改进已有的塔型上界。
Extremal problems and results related to Gallai-colorings
Gallai-染色（$k$ -染色）是一个不含彩虹三角形的完全图的边染色（颜色来自$\{1, 2, \ldots, k\}$）。给定一个图$H$和一个正整数$k$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是使得完全图$K_n$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本的最小整数$n$。本文考虑与Gallai- $k$ -着色有关的两个极值问题.首先，我们确定不包含在任何彩虹三角形或单色三角形的$k$ -边着色的$K_n$的最大数量的边缘的上限和下限。其次，对于$n\geq GR_k(K_3)$，我们确定了$K_{n}$的Gallai- $k$ -着色中单色三角形的最小数目的上界和下界，得到了$k=3$的精确值。此外，我们还确定了由一个$K_4$和一条悬挂边组成的五点图的Gallai-Ramsey数$GR_k(K_4+e)$.
Precoloring 3-extension on outerplanar graphs
本文研究了外平面图的预着色扩展问题，证明了在特定条件下，预着色可以扩展为图的3着色。
List Coloring Triangle-Free Hypergraphs
超图中的三角形是不同顶点u，v，w和不同边e，f，g的集合，其中u，v \in e，v，w \in f，w，u \in g，且\{u，v，w\} \cap e \cap f \cap g= \emptyset。一个超图中顶点的i度是包含它的大小为i的边的个数.本文证明了对于某个绝对正的常数c，每一个具有最大3度Δ 3和最大2度Δ 2的秩为3的无三角形超图（边的大小为2或3），其列色数至多为cmax {Δ 2/ log{Δ 2}}，（Δ 3/ log{Δ 3}）^（1/2）}.这推广了Johansson的一个结果和Frieze与第二作者的一个结果。
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces IV. Bounding face sizes of 4-critical graphs
设G是一个含t个三角形的4-临界图，嵌入亏格g的曲面中.设c是G中不限制2-胞腔面的4-圈数。证明了G的（>=5）-面的长度之和至多在g+t+c-1中是线性的.
Large subgraphs in rainbow-triangle free colorings
Fox-Grinshpun-Pach证明了不含彩虹三角形的$n$顶点上的完全图的每一个$3$ -着色都包含一个最多使用两种颜色的大小为$Ω\left(n^{1/3}\log^2 n\right)$的团，并且这个界紧到常数因子.我们表明，如果不是寻找大集团，只试图找到大色数的子图，可以做得更好。我们证明了每一个这样的着色都包含一个色数至少为$n^{2/3}$的$2$着色子图，并且这是最好的可能。我们进一步证明了对于固定正整数$s,r$与$s\leq r$，完全图的边在$n$顶点上的每一个$r$ -着色都包含一个子图，该子图使用最多的$s$颜色并且色数至少为$n^{s/r}$，这是最好的可能.福克斯-格林什潘-帕奇以前展示了这个结果的一个集团版本。作为一个直接推论，我们的结果，我们得到了一个推广的著名定理的Erdens-Szekeres，其中指出，任何序列的$n$号码包含一个单调的子序列的长度至少$\sqrt{n}$。我们证明了如果$n$顶点竞赛图的边的$r$着色不包含彩虹三角形，则在$n^{s/r}$顶点上存在$s$着色的有向路，这是最佳可能的。这就部分地回答了陆恭蕙的一个问题。
Exponentially Many 4-List-Colorings of Triangle-Free Graphs on Surfaces
证明了平面图$G$在$n$顶点上至少有$2^{n/9}$不同的$L$ -着色，如果$L$是$G$的5-列表-赋值，至少有$2^{n/10000}$不同的$L$ -着色，如果$L$是$G$的3-列表-赋值，并且$G$的围长至少为5。Postle和Thomas证明了：如果$G$是一个图，它的$n$顶点嵌入在一个属$g$的曲面$Σ$上，则存在常数$ε,c_g > 0$使得如果$G$具有$L$着色，然后$G$有至少$c_g2^{εn}$不同的$L$ -着色如果$L$是$G$或如果$L$是$G$和$G$的3列表分配腰围至少有五更一般地，他们证明了存在常数$ε,α>0$，使得如果$G$是一个图，其$n$顶点嵌入在固定亏格$g$的表面$Σ$中，则$H$是$G$的真子图，并且$ϕ$是$H$的一个$L$ -着色，其扩展到$G$的一个$L$ -着色，则如果$L$是5-列表分配或者如果$L$是3-列表分配并且$G$具有至少5的围长，则$ϕ$扩展到$G$的至少$2^{ε(n - α(g + |V(H)|))}$不同的$L$着色。我们证明了同样的结果，如果$G$是三角自由和$L$是一个4-列表分配的$G$，其中$ε=\frac{1}{8}$，和$α= 130$。
A sharp threshold for random graphs with a monochromatic triangle in every edge coloring
设$\R$是所有有限图$G$的集合，它具有Ramsey性质，即$G$的边被两种颜色着色都产生单色三角形.在本文中，我们建立了一个尖锐的阈值随机图的性质。设$G(n,p)$是$n$顶点上边概率为$p$的随机图.我们证明，存在一个功能$\hat c=\hat c(n)$与$0<c<\hat c<C$，使任何$\eps > 0$，$n$趋于无穷大$$Pr[G(n,(1-\eps)\hat c/\sqrt{n}) \in \R ] \to 0$$和$$Pr [ G(n,(1+\eps)\hat c/\sqrt{n}) \in \R ] \to 1.$$一个重要的工具，用于证明和独立的兴趣是一个推广的Szemerédi的正则引理，以一定的超图设置。
DP-3-coloring of planar graphs without certain cycles
DP-着色是列表着色的一种推广，它是由Dvotelák和Postle [J. Combin.理论系列B 129（2018）38- 54]。张[通知。过程Lett. 113（9）（2013）354- 356]证明了每个既不含相邻三角形也不含5-、6-、9-圈的可平面图是3-可选的。Liu等人[Discrete Math.342（2019）178--189]证明了每个不含4-、5-、6-和9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的。本文证明了任何既不含邻接三角形也不含5-圈、6-圈、9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的，推广了这些结果。Yu等人给出了三个Bordeaux型结果，证明了：（i）三角形距离至少为3且不含4-、5-圈的可平面图是DP-3-可着色的，（ii）三角形距离至少为2且不含4-、5-、6-圈的可平面图是DP-3-可着色的;（iii）三角形距离至少为2且不含5-圈、6-圈、7-圈的可平面图是DP-3-可着色的.在最后一节中我们还给出了两个Bordeaux型结果：（i）任何既不含5-、6-、8-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的;（ii）任何既不含4-、5-、7-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的。
Triangle-free graphs of tree-width t are ceil((t + 3)/2)-colorable
证明了树宽为t的无三角形图的色数至多为ceil（（t + 3）/2），并证明了这个界是紧的.本文还建立了树宽为t的图的着色与路宽为t的图的在线着色之间的联系。
Linear-time algorithm for vertex 2-coloring without monochromatic triangles on planar graphs
在没有单色三角形的2-着色问题（或三角树2-着色）中，简单，连通，无向图的顶点被着色为“黑”或“白”，使得没有3个相互相邻的顶点具有相同的颜色。在本文中，我们肯定地回答了在我们以前的工作中提出的问题，即，是否存在一个算法解决平面图上的2-着色没有单色三角形线性时间复杂度。
Counting Gallai 3-colorings of complete graphs
n-顶点完全图K_n的边染色是Gallai染色，如果它不包含任何彩虹三角形，即边被三种不同颜色着色的三角形。本文证明了K_n的最多三种颜色的Gallai着色数至多为7（n+1）*2^{n选2}，从而改进了已知的\frac{3}{2} *（n-1）的上界. * 2^{（n-1）choose 2} in [Discrete Mathematics，2017].
Full Characterization of Color Degree Sequences in Complete Graphs Without Tricolored Triangles
该研究针对不含三色三角形的完全图Gallai着色，完整刻画了所有可行颜色度序列的充要条件，并由此给出2018年相关最小颜色度结论的新证明，推动了图论着色问题的研究。
A coloring of the plane without monochromatic right triangles
我们给出了一个完整的，正确的证明以下结果，早先声称的Erdos和Komjáth。如果连续统假设成立，那么平面的着色是可数的，没有单色的直角三角形。
The number of Gallai k-colorings of complete graphs
$n$ -顶点完全图$K_n$的边染色是Gallai染色，如果它不包含任何彩虹三角形，即边被三种不同颜色着色的三角形。我们证明了对于大的$n$和每一个具有$k\le 2^{n/4300}$的$k$，$K_n$的最多使用$k$给定颜色的Gallai着色的数目是$(\binom{k}{2}+o_n(1))\,2^{\binom{n}{2}}$。我们的结果是渐近最佳可能的，并意味着，对于这些$k$，几乎所有的Gallai $k$ -着色只使用两种颜色。但是，对于$k \ge Ω(2^{2n})$，情况并非如此。
Three-coloring graphs with no induced seven-vertex path I : the triangle-free case
本文给出了一个多项式时间算法，它判定一个给定的无三角形且无导出七点路的图是否是3-可着色的，如果存在，则给出一个显式染色。
Three-coloring graphs with no induced seven-vertex path II : using a triangle
本文给出了一个多项式时间算法，该算法判定一个含有三角形且无导出七点路的图是否是3-可着色的，如果存在，则给出一个显式染色。在以前的工作中，我们给出了无诱导七点路的无三角形图的三着色的多项式时间算法，结合我们的工作，我们证明了无诱导七点路的图的三着色可以在多项式时间内完成.
Flexible DP-4-coloring of planar graphs without 4-cycles and intersecting triangles
本文证明了无4-圈且无相交三角形的平面图是加权ε-柔性DP-4-可染色的，改进了已有结果中从3-圈距离至少2到无相交三角形的条件，并将列表柔性推广到加权DP柔性。
Coloring equilateral triangles
本研究在集合论框架下证明，相对于不可达基数，ZF+DC成立时欧氏空间等边三角形超图有可数色数，但平面等腰三角形超图不具备该性质，推进了几何超图着色与集合论相容性研究。
Further Extensions of the Grötzsch Theorem
Grötzsch定理指出每个无三角形可平面图都有一个真$3$ -染色。在它的许多推广中，Grünbaum和Aksenov的一个，给出了至多有三个三角形的可平面图的$3$ -可着色性，也许是最著名的。将子图的$3$ -染色推广到整个图也得到了很大的关注。本文考虑至多含有一个三角形的可平面图的$3$ -染色。特别地，我们证明了任意两个不邻顶点的预染色和长度至多为$4$的面的预染色可以推广到图的$3$ -染色。另外，我们证明了对于度至多为$3$的每个顶点，其邻域的同色预染色扩展到图的$3$ -染色.后一个结果意味着对一个关于adjacent着色的猜想的肯定回答。所有的结果都是紧密的。
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces VI. 3-colorability of quadrangulations
我们给出了一个线性时间算法，以确定3-着色（并找到一个3-着色，如果它存在）的四边形的一个固定的表面。该算法还允许规定着色有限数量的顶点。
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces VII. A linear-time algorithm
本文给出了一个判定嵌入固定曲面的无三角形图的3-可着色性的线性时间算法，以及一个判定嵌入固定曲面的无三角形图的3-可着色性的二次时间算法。该算法还允许规定着色的有限数量的顶点。
The Erdős-Hajnal conjecture for rainbow triangles
证明了不含彩虹三角形的n个顶点的完全图的边的每一个3-着色都包含一个至多使用两种颜色的阶为Omega（n^{1/3}log^2 n）的集合，并且这个界是紧到常数因子的.这验证了Hajnal的猜想，这是著名的Erdens-Hajnal猜想的一个推广。我们进一步建立了这个结果的推广。对于固定的正整数s和r，其中s最多为r，我们确定一个常数c_{r,s}，使得以下成立。不含彩虹三角形的n个顶点上的完全图的边的每一个r-染色都包含一个至多使用s个颜色的阶Omega（n^{r（r-1）/s（s-1）}（\log n）^{ c_{r,s} }）的集合，并且除了隐含的常数因子外，这个界是紧的.下界的证明利用了Gallai对完全图的彩虹三角形自由边着色的分类，Ramsey定理的一个新的加权扩展，以及边加权图中的一个差异不等式。上界的证明使用Erdans关于Ramsey数的下界，考虑没有大单色团的完全图的2-边着色的字典积。
Long heterochromatic paths in heterochromatic triangle free graphs
在本文中，所考虑的图总是边着色的。本文研究了无异色三角形图的长异色路。考虑了两类图，一类是具有Gallai染色的完全图，即，一类是无异色三角形的完全图，另一类是有$k$ -好着色的无异色三角形的图，即，最小颜色度至少为$k$。对于异色无三角形图$K_n$，我们得到，对于每个顶点$v\in V(K_n)$，$K_n$有一个异色$v$ -路的长度至少$d^c(v)$ ;而对于异色无三角形图$G$，我们证明，如果，对于任何顶点$v\in V(G)$，$d^c(v)\geq k\geq 6$，那么$G$的异色路的长度至少$\frac{3k}{4}$。
Edge Coloring of Triangle-Free 1-Planar Graphs
本文证明了具有最大度$Δ\geq7$的无三角1-可平面图都可以用放电法进行$Δ$ -染色.
Gallai colorings and domination in multipartite digraphs
设D是一个不含循环三角形的有向图，其顶点被划分为A_1，…，独立顶点的A_t。一个集合$U=\cup_{i\in S} A_i$称为一个大小为|S|的支配集，如果对于任何顶点$v\in \cup_{i\notin S} A_i$，U中有一个w使得（w，v）在E（D）中。设beta（D）是D的最大独立集的基数，其顶点来自D的不同分类。我们的主要结果是存在h=h（beta（D））使得D有一个大小不超过h的控制集。这一结果被应用于解决一个与广义Gallai染色有关的问题，即不含三色三角形的图的边染色。
Total coloring of 1-toroidal graphs of maximum degree at least 11 and no adjacent triangles
图$G$的{ \em全着色}是对$G$的顶点和边的颜色分配，使得每对相邻/关联元素接收不同的颜色。图$G$的{ \em色数}，记为$\chiup''(G)$，是图$G$的全色中的最小颜色数。著名的全染色猜想（TCC）指出，每个具有最大度$Δ$的图都允许至多有$Δ+ 2$色的全染色.一个图是{ \em $1$ -toroidal}，如果它可以画在环面上，使得每条边至多与另一条边相交。本文研究了$1$ -环面图的全染色问题，证明了对于最大度至少为~ $11$且三角形有一定限制的$1$ -环面图，TCC是成立的.因此，如果$G$是一个$1$ -环形图，其最大度$Δ$至少为~ $11$且没有相邻三角形，则$G$允许至多有$Δ+ 2$色的全染色。
Packing colorings of subcubic outerplanar graphs
给定一个图$G$和一个正整数的非减序列$S=(s_1,\ldots,s_k)$，如果对$c^{-1}(i)$中任意两个不同的顶点$x$和$y$，$x$和$y$之间的距离大于$s_i$，则称这个映射$c:V(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$是$G$的$S$ -填充染色.使图$G$存在$(1,2,\ldots,k)$ -填充染色的最小整数$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_ρ(G)$。问题的有界性的包装色数类的次三次（平面）图进行了研究，在几个较早的文件，最近它被确定为不变量是无界的类的所有次三次图。本文证明了任何2-连通二部次立方外平面图的填充色数都是$7$有界的。进一步证明了每个次三次无三角形外平面图都有$(1,2,2,2)$ -填充染色，并且存在一个次三次无三角形外平面图不允许有$(1,2,2,2)$ -填充染色.此外，还存在一个不允许$(1,2,2,3)$ -填充染色的次立方无三角形外平面图.对于二部外平面图，我们给出了一个类似的二分法：每个这样的图都允许$S=(1,3,\ldots,3)$的$S$ -填充染色，其中$3$出现$Δ$次（$Δ$是顶点的最大度），并且如果序列$S$中的一个整数$3$被$4$替换，则这个性质不成立。
A property on monochromatic copies of graphs containing a triangle
本文证明了每个包含$K_3$且至少有四条边的图都不是strongly common，推广了Jagger等人关于包含$K_4$的图不是common的著名定理。
Acyclic edge coloring conjecture is true on planar graphs without intersecting triangles
图$G$的无圈边染色是不产生双色圈的正常边染色。Fiam{\displaystyle Fiam}ik（1978）和Alon，Sudakov and Zaks（2001）提出的无圈边着色猜想指出：每个具有最大度$Δ$的简单图都是无圈边$(Δ+ 2)$ -可着色的。尽管有许多里程碑，猜想仍然开放，即使是平面图。本文肯定地证实了关于不含相交三角形的平面图的猜想。我们这样做的第一个显示，放电的方法，每一个平面图没有相交的三角形必须至少有一个指定的六个群体的局部结构，然后证明了猜想的concursoring某些边缘在每个这样的局部结构和归纳的边缘数的图形。
Coloring triangle-free L-graphs with $O(\log\log n)$ colors
证明了平面上$n$ L形的无三角形交图的色数为$O(\log\log n)$。这改进了先前的$O(\log n)$的界（McGuinness，1996）并且匹配已知的下界构造（Pawlik等人，2013年）。
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