Any 2-coloring of the plane contains monochromatic unit rhombuses
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究证明平面任意二染色必含同色单位边非单位对角线菱形，回应了Axenovich等人问题。
2026-04-16 math.CO
Any two-coloring of the plane contains monochromatic 3-term arithmetic progressions
本文证实了Erdős等人关于平面二着色猜想的一个自然开放情形，证明了平面的任何二着色都包含任意3项等差数列的单色全等副本。
2024-07-22 math.CO
A Survey on Monochromatic Connections of Graphs
图的单色连接的概念是由Caro和Yuster在2011年提出的。近年来，关于这一问题的研究成果很多，本文试图将所有与之相关的结果进行归纳，首先对这些结果进行了介绍，然后将其分为以下几类：边的单色连通染色，点的单色连通染色，单色指数，全的单色连通染色.
2017-06-13 math.CO
Coloring the Real Line with Monochromatic Intervals
设D是正实数的有限集。距离图G（R，D）是顶点集为R（实数集）且两个顶点x，y相邻的图，如果|X-Y|属于D。证明了：对每一个正整数t>1，存在一个距离集D，使得G（R，D）的色数为t，且G（R，D）的t色真染色不允许单色区间.这一结果否定了[2]中的一个猜想。
2016-08-19 math.CO
Enumeration of monochromatic three term arithmetic progressions in two-colorings of any finite group
群着色中单色等差数列的存在性问题是一个极具挑战性的问题。许多定理只适用于阿贝尔群，因为非阿贝尔群的结果往往更难获得。在这个研究项目中，我们不仅确定存在性，而且研究更一般的计数问题。我们制定的计数问题作为一个问题，在真正的代数几何，然后使用最先进的计算方法在半定规划和表示论推导出的数量的下界单色等差数列在任何有限群。
2014-11-10 math.CO
Monochromatic connectivity and graph products
单色连通性的概念是由Caro和Yuster提出的。边有色图中的路径称为\emph{monochromatic path}，如果路径上的所有边都着色相同。$G$的边着色是\emph{monochromatic connection coloring}（简称$MC$ -着色），如果在$G$中的任意两个顶点之间有一条单色路连接。用$mc(G)$表示的\emph{monochromatic connection number}被定义为在图$G$的$MC$ -着色中使用的颜色的最大数目。本文研究了字典序积、强积、笛卡尔积和直积图的单色联络数，给出了这些积的几个上界和下界。
2015-05-06 math.CO
Erdős-Gallai-type results for colorful monochromatic connectivity of a graph
边有色图中的路径称为\emph{monochromatic path}，如果路径上的所有边都着色相同。$G$的边着色是\emph{monochromatic connection coloring}（简称MC-着色），如果在$G$中的任意两个顶点之间有一条单色路连接。\emph{monochromatic connection number}，记作$mc(G)$，定义为图$G$的MC-着色中使用的最大颜色数。这些概念是由Caro和Yuster提出的，他们得到了一些很好的结果。本文研究了$mc(G)$的两类Erdens-Gallai型问题，并完全解决了这两类问题.
2014-12-25 math.CO
On the distribution of monochromatic complete subgraphs and arithmetic progressions
作为统计拉姆齐理论问题，我们研究了（1）完全图的边2-染色上的单色完全子图和（2）区间2-染色上的单色等差数列的个数分布.我们提出了令人信服的证据，这两种分布是非常好的近似Delaporte分布。
2018-01-18 math.CO
Variations on Ramsey numbers and minimum numbers of monochromatic triangles in line $2$-colorings of configurations
本文探索了拉姆齐数与单色化配置中单色三角形的最小数变体，通过定义线2-着色配置并计算具体对称示例，扩展并完善了相关图论理论。
2024-04-26 math.CO
Two-coloring cubic graphs with small monochromatic components, but without singletons
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（HUN-REN 阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；University of Pannonia（佩奇大学）；Bolyai Institute, University of Szeged（塞格德大学博莱伊研究所）；University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）
本文结合小单色分量与无孤立点两个染色性质，证明存在常数c使每个三次图可2-染色，使每个单色分量顶点数介于2和c之间，并给出非平衡版本，作为Wegner猜想工具的松弛。
2026-09-28 math.CO
Enumeration of monochromatic three term arithmetic progressions in two-colorings of cyclic groups
拉姆齐理论中最困难的问题之一是确定元素被着色的群中单色等差数列的存在性。我们研究更难的问题，不仅要确定单色等差数列的存在性，而且还要计算它们。我们重新制定的枚举在真正的代数几何，然后使用最先进的半定规划和表示论的计算方法，以获得尖锐的，或明确的常数从尖锐的，下界的循环群的任何顺序。
2014-11-10 math.CO
Finding Large Monochromatic Diameter Two Subgraphs
给定n个顶点上的完全图的边的k种颜色的着色，通过考虑任意顶点的邻域，得出在至少1+（n-1）/k个顶点上存在单色直径为2的子图.我们表明，$k \ge 3$这是渐近最佳可能的，并且对于k=2，总是有一个单色直径两个子图上至少$\lceil {3 \over 4} n \rceil$顶点，这再次，是最佳可能的。
1999-08-30 math.CO
From discrete to continuous: Monochromatic 3-term arithmetic progressions
证明了整数$[N] := \{1,2,3,\ldots,N\}$的一个已知的2-着色在一定的限制下使单色算术3-级数的个数最小化。单色等差数列是一组颜色相同的等距整数。Parrilo，Robertson和Saracino以前的工作证明了大型$N$的最佳着色，涉及12个彩色块。在这里，我们证明了该猜想是最佳的反对称染色与12个或更少的彩色块。我们利用连接到连续区间$[0,1]$的着色所使用的Parrilo，罗伯逊，Saracino以及巴特勒，Costello和格雷厄姆。我们的证明识别类的着色与排列，然后计数的排列使用混合整数线性规划。
2023-01-01 math.CO
Some extremal results on the colorful monochromatic vertex-connectivity of a graph
顶点有色图中的一条路称为\emph{vertex-monochromatic path}，如果它的内部顶点具有相同的颜色.一个图的顶点着色称为\emph{monochromatic vertex-connection coloring}（简称\emph{MVC-coloring}），如果图中任意两个顶点之间存在一条顶点单色路连接.对于一个连通图$G$，定义\emph{monochromatic vertex-connection number}（用$mvc(G)$表示）为在$G$的一个\emph{MVC-coloring}中使用的最大颜色数。这些顶点版本的概念是自然的推广的彩色单色连通性的边缘版本，介绍了卡罗和Yuster。本文主要研究了单色点连通数$mvc(G)$的Erdens-Gallai型问题，并完全确定了它的精确值.此外，还给出了$mvc(G)$的Nordhaus-Gaddum型不等式.
2015-03-31 math.CO
On some variations of coloring problems of infinite words
给定集合$A$上自由半群$A^+$的有限染色（或有限划分），我们考虑了右端无限字$x\in A^ω$的各种类型的单色分解.一些更强的版本通常的概念单色因式分解的介绍。当连续块的连接是单色的时，因式分解被称为顺序单色。一个顺序单色分解被称为超单色分解，如果任意置换块的分解的任何级联具有相同的颜色的单个块。我们建立联系，并在某些情况下，这些分解和拉姆齐理论的基本结果，包括无限拉姆齐定理，Hindman的有限和定理，分区规则的IP集和密立根-泰勒定理的存在之间的等价关系。本文证明了对每个有限集$A$和几乎所有字$x\in A^ω,$的每个有限着色$φ: A^+\rightarrow C,$，在允许一个$φ$ -超单色分解的$x$生成的子移位中存在$y$，其中“几乎所有”指的是$A^ω.$上的Bernoulli测度
2015-08-10 math.CO
Erdős-Gallai-type results for total monochromatic connection of graphs
一个图称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个图的全染色是{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点通过一条路连接，且该路的边和内部顶点具有相同的颜色.对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，用$tmc(G)$表示，定义为$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。本文研究了$tmc(G)$的两类Erdens-Gallai型问题，并完全解决了它们.
2016-12-16 math.CO
Partitioning a graph into monochromatic connected subgraphs
Haxell和Kohayakawa的一个著名结果表明，$r$着色的完全图的顶点可以划分为不同颜色的$r$单色连通子图;这是Erdens，Pyber和Gyárfás猜想的一个稍微弱的变体，该猜想指出存在一个划分为$r-1$单色连通子图的猜想。我们考虑这个问题的一个变种，其中的完全图被替换为一个图与大的最低程度，并证明两个代数Bal和DeBiasio，两个和三个颜色。
2017-08-20 math.CO
A Probabilistic Threshold for Monochromatic Arithmetic Progressions
我们表明，$\sqrt{k}\cdot r^{k/2}$是一个阈值区间长度，在温和的条件下，几乎每一个$r$着色的一个较长的长度区间包含一个单色$k$ -项算术级数，而几乎没有$r$着色的一个较短的长度区间包含一个单色$k$ -项等差数列。
2014-07-03 math.CO
Appendix for almost-rainbow edge-colorings of some small subgraphs
这篇文章的附录，“一些小的子图的几乎彩虹边染色”，包含了定理4.1的完整证明。
2012-09-20 math.CO
Vertex-monochromatic connectivity of strong digraphs
强有向图$D$的顶点染色是\emph{strong vertex-monochromatic connection coloring (SVMC-coloring)}，如果对于$D$中的每对$u, v$，都存在一条内部顶点都是同色的$(u,v)$ -路.令$smc_v(D)$表示有向图$D$的SVM-染色中使用的最大颜色数。当$D$是有向图的线图时，本文确定了$smc_v(D)$的值.另外，如果$T$是一个锦标赛，我们给出了条件，找到确切的值的$smc_v(T)$。
2019-02-26 math.CO
Monochromatic 4-term arithmetic progressions in 2-colorings of $\mathbb Z_n$
本文的动机是Wolf \cite{wolf}关于$\Z_p$中单色4项等差数列（简称4-AP）的最小个数的一个结果，其中$p$是素数. Wolf证明了$\Z_p$存在一个2-着色，其中单色4-AP比随机2-着色少0.000386%;证明是概率性的和非构造性的。在本文中，我们提出了一个明确的和简单的2-着色的单色4-AP比随机2-着色少9.3%的建设。这个问题使我们考虑在一般$n$的$\Z_n$中单色4-AP的最小数目。我们得到了$\Z_n$的所有2-着色中单色4-AP的最小数目的上界和下界。Wolf证明了$\Z_p$的任意2-着色至少有$(1/16+o(1))p^2$单色4-AP。我们将这个下界改进为$(7/96+o(1))p^2$。我们关于$\Z_n$的结果自然适用于$[n]$上的类似问题（即，$\{1,2,..., n\}$）。在2008年，Parillo、Robertson和Saracino \cite{prs}构造了$[n]$的2-着色，单色3-AP比随机2-着色少14.6%。2010年，Butler、Costello和Graham \cite{BCG}扩展了他们的方法，并使用广泛的计算机搜索来构建$[n]$的2-着色，其中单色4-AP比随机2-着色少17.35%（单色5-AP少26.8%）。我们的构造给出了$[n]$的2-着色，其中单色4-AP比随机2-着色少33.33%…
2011-07-14 math.CO math.NT
Large monochromatic components in colorings of complete hypergraphs
本文研究完全超图着色中最大单色连通分量的大小，推广了图论中的经典问题，给出了紧至$1+o(1)$因子的上下界，并探讨了顶点$s$-集合计数及两色特殊情形。
2023-12-24 math.CO
Linear-time algorithm for vertex 2-coloring without monochromatic triangles on planar graphs
在没有单色三角形的2-着色问题（或三角树2-着色）中，简单，连通，无向图的顶点被着色为“黑”或“白”，使得没有3个相互相邻的顶点具有相同的颜色。在本文中，我们肯定地回答了在我们以前的工作中提出的问题，即，是否存在一个算法解决平面图上的2-着色没有单色三角形线性时间复杂度。
2021-10-09 cs.DS math.CO
Highly connected monochromatic subgraphs of multicoloured graphs
我们考虑以下问题的Bollobas：给定r-着色的边的完全图的n个顶点，多大的k-连通子图，我们可以找到只使用一种颜色？我们解决这个问题的渐近时，r-1是一个素数的权力，正是2-和3-着色。
2007-02-13 math.CO
Monochromatic and heterochromatic subgraph problems in a randomly colored graph
设$K_n$是具有$n$顶点的完全图，$c_1, c_2, ..., c_r$是$r$不同颜色的图.假设我们在$c_1, c_2, ..., c_r$中随机均匀地对$K_n$的边缘着色。然后我们得到一个随机图，记为$\mathcal{K}_n^r$。本文研究了$\mathcal{K}_n^r$中几类单色和异色子图的渐近性质。在某些情况下，也得到了精确的门限函数。
2007-11-24 math.CO
Optimization Tools for Computing Colorings of $[1,\cdots ,n]$ with Few Monochromatic Solutions on $3$-variable Linear Equations
本文借助整数优化与半定优化工具，构造三变量非正则齐次线性方程的最优或近最优二着色，并将 Schur 方程的结果推广到多色情形。
2024-10-29 math.CO
Long monochromatic paths and cycles in 2-colored bipartite graphs
Gyárfás和Lehel以及独立的Faudree和Schelp证明了在$K_{n,n}$的边的任何2-着色中，至少在$2\lceil n/2\rceil$顶点上存在一条单色路，并且这是紧的。我们证明了这个结果的一个稳定性版本，即使主机图是不完整的;也就是说，如果$G$是$2n$顶点上的平衡二部图，其最小度至少为$(3/4+o(1))n$，则在$G$的边的每一个2-着色中，或者在至少$(1+o(1))n$顶点上存在单色圈，或者$G$的着色接近于极值着色--在这种情况下，$G$在至少$2\lceil n/2\rceil$顶点上具有单色路径，并且在至少$2\lfloor n/2\rfloor$顶点上具有单色循环。此外，我们确定了一个渐近紧界的最长单色圈的长度在2色平衡二部图的$2n$顶点的最小程度$δn$所有$0\leq δ\leq 1$。
2018-06-13 math.CO
A coloring of the plane without monochromatic right triangles
我们给出了一个完整的，正确的证明以下结果，早先声称的Erdos和Komjáth。如果连续统假设成立，那么平面的着色是可数的，没有单色的直角三角形。
2023-02-23 math.CO math.LO
On minimal colorings without monochromatic solutions to a linear equation
对于环R和线性齐次方程组L，如果L没有单色解，且着色使用尽可能少的颜色，则称R的非零元素的着色对于L是极小的。对于有理数q和正整数n，设E（q，n）表示方程$\sum_{i=0}^{n-2} q^{i}x_i = q^{n-1}x_{n-1}$。本文对方程E（q，3）（q在{3/2，2，3，4}中）、E（2，n）（n在{3，4，5，6}中）和x_1+x_2+x_3=4x_4的非零有理数的极小染色进行了分类。这些结果导致了几个开放的问题和最小着色的实现。
2010-09-21 math.CO
A note on the $k$-defect number: Vertex Coloring with a Fixed Number of Monochromatic Edges
University of the Witwatersrand（威特沃特斯兰德大学）；Albany State University（奥尔巴尼州立大学）
本文提出k-缺陷数概念，用于研究具有固定数量单色边的顶点着色问题，并扩展了色数的性质。
2026-03-01 math.CO
Coloring outerplanar graphs and planar 3-trees with small monochromatic components
本文继续研究了图的顶点着色问题，只要每个单色连通分支的基数相对较小，就允许相邻的顶点具有相同的颜色。我们专注于着色与两个和三个可用的颜色，并提出了改进的边界上的单色连通组件的大小为两个有意义的子类的平面图，即最大outerplanar图和完整的平面3-树。
2019-11-25 cs.DS math.CO
A 2-coloring of [1,n] can have (n^2)/22 + O(n) monochromatic Schur triples, but not less!
我们证明了[1，n]的2-着色所能具有的单色Schur三元组的最小数量（渐近）是（n^2）/22 + O（n）.这是由Tomasz Schoen独立解决的。
1998-08-12 math.CO math.LO
A sharp threshold for random graphs with a monochromatic triangle in every edge coloring
设$\R$是所有有限图$G$的集合，它具有Ramsey性质，即$G$的边被两种颜色着色都产生单色三角形.在本文中，我们建立了一个尖锐的阈值随机图的性质。设$G(n,p)$是$n$顶点上边概率为$p$的随机图.我们证明，存在一个功能$\hat c=\hat c(n)$与$0<c<\hat c<C$，使任何$\eps > 0$，$n$趋于无穷大$$Pr[G(n,(1-\eps)\hat c/\sqrt{n}) \in \R ] \to 0$$和$$Pr [ G(n,(1+\eps)\hat c/\sqrt{n}) \in \R ] \to 1.$$一个重要的工具，用于证明和独立的兴趣是一个推广的Szemerédi的正则引理，以一定的超图设置。
2004-10-18 math.CO
Graph colorings with restricted bicolored subgraphs: II. The graph coloring game
我们考虑图着色游戏，一个游戏中，两个球员轮流适当的着色图的顶点，一个球员试图完成适当的着色，和其他球员试图阻止适当的着色。证明了如果图$G$有一个适当的染色，且每个双色子图的对策色数是有界的，则$G$的对策色数是有界的.作为这个结果的推论，我们证明了对于两个具有有界对策色数的图$G_1$和$G_2$，笛卡儿积$G_1 \square G_2$具有有界对策色数，回答了X.竹我们还得到了两个图的强积$G_1 \boxtimes G_2$的对策色数的一个上界。
2021-11-08 math.CO
The half-monochromatic colorings of plane graphs with even polygonal faces
Nihon University（日本大学）
本文研究了平面图中偶多边形面的半单色着色问题，给出了基于独立数的着色颜色数上界。
2026-02-23 math.CO math.GT
Graph colorings with restricted bicolored subgraphs: I. Acyclic, star, and treewidth colorings
我们证明了对任意固定整数$m \geq 1$，最大度$Δ$的图有一个用$O(Δ^{(m+1)/m})$颜色着色的图，其中每个连通的双色子图至多包含$m$边.这一结果统一了先前已知的上界的颜色的数量足够的某些类型的图着色，包括星形着色，其中$O(Δ^{3/2})$颜色足够，和非循环着色，其中$O(Δ^{4/3})$颜色足够。我们的证明使用了Alon，McDiarmid和Reed的概率方法。这个结果也给出了以前未知的上界，包括这样一个事实，即最大程度$Δ$的图有一个适当的着色与$O(Δ^{9/8})$颜色，其中每个双色子图是平面的，以及一个适当的着色与$O(Δ^{13/12})$颜色，其中每个双色子图有树宽最多$3$。
2022-09-23 math.CO
Monochromatic components with many edges
给定完全图$K_n$的一个$r$ -边染色，一个单色连通分支的最大边数是多少？这个自然的问题只是最近才得到应有的重视，两个不相交的子集的作者解决了它的前两个特殊情况下，当$r = 2$或$3$。在这里，我们介绍了一个通用的框架来研究这个问题，并将其应用到充分解决$r = 4$的情况下，显示任何$4$ -边着色的$K_n$包含一个单色组件，至少$\frac{1}{12}\binom{n}{2}$边缘，其中常数$\frac{1}{12}$是最佳的，只有当着色匹配一定的建设Gyárfás。
2022-08-31 math.CO
Rainbow induced subgraphs in proper vertex colorings
对于给定的图$H$，我们定义$ρ(H)$为图$G$的最小阶，使得$G$的每一个真点染色都包含一个与$H$同构的彩虹诱导子图.我们给出了$ρ(H)$的上界和下界，计算了某些类图的精确值，并考虑了一个有趣的组合问题与路径的$ρ(H)$的计算。本研究的动机是一些想法，在线图着色算法。
2011-05-18 math.CO
Monochromatic bounded degree subgraph partitions
设${\cal{F}}=\{F_1,F_2,\ldots\}$是一个图序列，使得$F_n$是一个顶点数为$n$且最大度至多为$Δ$的图.我们证明了存在一个绝对常数$C$，使得任意2-边着色完全图的顶点最多可以从${\cal{F}}$划分为$2^{CΔ\logΔ}$顶点不相交的单色图副本.如果每个$F_n$都是二部的，那么我们可以将这个界改进为$2^{C Δ}$ ;这个结果对于常数$C$是最优的。
2014-05-29 math.CO
Monochromatic Progressions in Random Colorings
Let N^{+}(k)= 2^{k/2} k^{3/2} f(k) and N^{-}(k)= 2^{k/2} k^{1/2} g(k) where 1=o(f(k)) and g(k)=o(1). We show that the probability of a random 2-coloring of {1,2,...,N^{+}(k)} containing a monochromatic k-term arithmetic progression approaches 1, and the probability of a random 2-coloring of {1,2,...,N^{-}(k)} containing a monochromatic k-term arithmetic progression approaches 0, for large k. This improves an upper bound due to Brown, who had established an analogous result for N^{+}(k)= 2^k log k f(k).
2012-06-06 cs.DM math.CO
Covering complete $r$-partite hypergraphs with few monochromatic components
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文证明了在特定条件下，通过少量单色组件可以覆盖完整的$r$-部超图，解决了Gyárfás和Király的猜想，并给出了二分图的覆盖结论。
2026-03-05 math.CO
Symmetric monochromatic subsets in colorings of the Lobachevsky plane
我们证明，对于每一个分区的罗巴切夫斯基平面到1000多个博雷尔件的分区的细胞之一包含一个无界中心对称子集。
2008-04-08 math.CO math.GN
The order of monochromatic subgraphs with a given minimum degree
设$G$是一个图。对于给定的正整数$d$，设$f_G(d)$表示最大整数$t$，使得在$G$的边的每一个双色着色中，都存在最小度至少为$d$且阶至少为$t$的单色子图.对于$n > k > d$，让$f(n,k,d)$表示$f_G(d)$的最小值，其中$G$在所有具有$n$顶点和最小度至少为$k$的图上。在本文中，我们建立$f(n,k,d)$时，$k$或$n-k$是固定的，和$n$是足够大的。我们还考虑了允许两种以上颜色的情况。
2002-12-30 math.CO
Non-Monochromatic and Conflict-Free Coloring on Tree Spaces and Planar Network Spaces
众所周知，在$\mathbb{R}^1$中的任何n个区间的集合允许两种颜色的非单色着色和三种颜色的无冲突着色。我们调查的推广，这一结果着色的对象在更复杂的1维空间，即所谓的树空间和平面网络空间。
2018-05-07 cs.CG cs.DM math.CO
On the Profile of Multiplicities of Complete Subgraphs
设$G$是一个完全图在$n$顶点上的$2$ -染色，对于足够大的$n$ .我们证明了$G$包含至少$n^{(\frac{1}{4} - o(1))\log n}$单色完全子图的大小$r$，其中\[ 0.3\log n < r < 0.7\log n. \]以前已知的下限的单色完全子图的总数，由于Székely是$n^{0.1576\log n}$。我们还证明了$G$至少包含$n^{\frac{1}{7} \log n} $大小为$\frac{1}{2}\log n$的单色完全子图。如果进一步假设$G$中最大的单色完全子图的大小为$(\frac{1}{2} + o(1))\log n$（这是一个众所周知的公开问题，这样的图是否存在），那么对于每个常数$0 \le c \le \frac{1}{2}$，我们确定（直到低阶项）大小为$c \log n$的单色完全子图的数量。我们这样做是通过证明一个下界相匹配（低序项）以前的上限塞凯伊。例如，大小为$\frac{1}{2} \log n$的单色完全子图的个数为$n^{\frac{1}{8}(4 - \log e \pm o(1))\log n} \simeq n^{0.32 \log n}$。
2019-01-07 math.CO
Extremal problems and results related to Gallai-colorings
Gallai-染色（$k$ -染色）是一个不含彩虹三角形的完全图的边染色（颜色来自$\{1, 2, \ldots, k\}$）。给定一个图$H$和一个正整数$k$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是使得完全图$K_n$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本的最小整数$n$。本文考虑与Gallai- $k$ -着色有关的两个极值问题.首先，我们确定不包含在任何彩虹三角形或单色三角形的$k$ -边着色的$K_n$的最大数量的边缘的上限和下限。其次，对于$n\geq GR_k(K_3)$，我们确定了$K_{n}$的Gallai- $k$ -着色中单色三角形的最小数目的上界和下界，得到了$k=3$的精确值。此外，我们还确定了由一个$K_4$和一条悬挂边组成的五点图的Gallai-Ramsey数$GR_k(K_4+e)$.
2021-07-30 math.CO
Partitioning Edge-Coloured Complete Symmetric Digraphs into Monochromatic Complete Subgraphs
设$K_{\mathbb{N}}$是正整数上的完全对称有向图。我们利用DeBiasio和McKenney的一个问题，构造了$K_{\mathbb{N}}$的边的$2$ -着色，其中每条单色路径的密度为~ $0$ .然而，如果我们限制单色路径的长度在一种颜色，那么没有上面的例子可以存在：我们表明，每一个$(r+1)$ -边着色完全对称有向图（任意无限基数）不包含任何颜色$i\leq r$的边长度$\ell_i$的有向路径可以覆盖的颜色$r+1$的$\prod_{i\leq r} \ell_i$成对不相交的单色完全对称有向图。此外，我们提出了一个稳定版本的可数情况下的后一个结果：我们证明了边着色是唯一确定的一个大子图，只要上密度的单色路径的颜色$r+1$是有界的$\prod_{i\in [r]}\frac{1}{\ell_i}$。
2018-05-04 math.CO
Coverings by few monochromatic pieces - a transition between two Ramsey problems
（广义）拉姆齐理论中的典型问题是求一个具有t种颜色的完全图K_n的任意边着色中必须存在的族F（例如匹配、路、圈、连通子图）的最大单色成员的阶。另一个方面是寻找F中划分或覆盖每个边着色完全图的顶点集的单色成员的最小数目。这里我们提出了一个连接这些区域的问题：对于固定的正整数s，t，在K_n的每一个t色边染色中，至少有多少个顶点可以被F的不超过s个单色成员的顶点所覆盖。本文提出了几个问题和解决方法，其中包括Cockayne和Lorimer关于单色匹配的一个著名结果的可能推广，我们证明了其中的一个初步步骤：当s=t-1时，我们确定K_n的每一个t-染色中有多少个顶点可以被s个单色匹配覆盖。
2013-04-03 math.CO
Monochromatic graph decompositions and monochromatic piercing inspired by anti-Ramsey colorings
本研究作为反拉姆齐理论相关三部曲的终篇，针对任意图和图族定义两类推广函数，开发方法推导其渐近紧结果，拓展了反拉姆齐着色的研究范畴。
2025-01-16 math.CO
Colorful monochromatic connectivity of random graphs
一个连通图$G$的边染色称为{\it单色连通染色}（简称MC-染色），由Caro和Yuster提出，如果图$G$的任意两个顶点之间有一条单色路连接.令$mc(G)$表示图$G$的MC-着色中使用的最大颜色数。注意，如果$G$不连通，则MC-着色不存在，在这种情况下，我们简单地让$mc(G)=0$。我们使用$G(n,p)$来表示Erdös-Rényi随机图模型，其中每个$\binom{n}{2}$顶点对以概率$p$独立于其他顶点对的方式出现为边。对于任何函数$f(n)$满足$1\leq f(n)<\frac{1}{2}n(n-1)$，我们表明，如果$\ell n \log n\leq f(n)<\frac{1}{2}n(n-1)$其中$\ell\in \mathbb{R}^+$，那么$p=\frac{f(n)+n\log\log n}{n^2}$是一个尖锐的阈值函数的属性$mc\left(G\left(n,p\right)\right)\ge f(n)$;如果$f(n)=o(n\log n)$，那么$p=\frac{\log n}{n}$是一个尖锐的阈值函数的属性$mc\left(G\left(n,p\right)\right)\ge f(n)$。
2014-12-31 math.CO
Extremal graphs and classification of planar graphs by MC-numbers
连通图$G$的边染色称为{ \em单色连通染色}（简称MC-染色），如果$G$的任意两个顶点通过$G$中的单色路连通.对于连通图$G$，$G$的{ \em单色连接数}（简称MC数），记为$mc(G)$，是使用该颜色数时，保证$G$具有单色连接着色的最大颜色数。这个概念是由Caro和Yuster在2011年提出的。他们证明了如果$G$不是$k$ -连通图，则$mc(G)\leq m-n+k$.在本文中，如果$G$是$k$ -连通图，但不是$(k+1)$ -连通图，我们用$mc(G)=m-n+k+1$和$mc(G)= m-n+k$刻画了所有图.我们还证明了$mc(G)\leq m-n+4$如果$G$是一个平面图，并分类所有的可平面图的单色连通数。
2020-10-14 math.CO
Canonical theorems in geometric Ramsey theory
Eötvös Loránd University（罗兰大学）；KIT（卡尔斯鲁厄理工学院）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文证明了在欧几里得空间中，任何锐角三角形或m维单位超立方体在任何着色下必然存在单色或彩虹副本。
2025-06-10 math.CO
On the monochromatic Schur Triples type problem
本文讨论了Ronald Graham提出的一个问题，即在$[1,n]$的所有2-着色上，对于$a \geq 1$，单色$\{x,y,x+ay\}$三元组的最小数目.本文给出了$a=1$原情形的一个新的证明。我们表明，这样的三元组的最小数目是最多$\frac{n^2}{2a(a^2+2a+3)} + O(n)$时，$a \geq 2$。我们还找到了一个新的上限的最小数目，在所有$r$ -着色的$[1,n]$，单色舒尔三元组，$r \geq 3$。
2016-09-28 math.CO
Are monochromatic Pythagorean triples unavoidable under morphic colorings ?
毕达哥拉斯三元组是正整数a，b，c $\in$ N ${}^{+}$的三元组，满足a ${}^2$ + b ${}^2$ = c ${}^2$。对于N ${}^{+}$的任何有限着色，是否至少有一个毕达哥拉斯三元组是单色的？换句话说，迪奥-番汀方程X ${}^2$ + Y ${}^2$ = Z ${}^2$是正则的吗？这个问题，最近通过大量的SAT计算解决了2-着色[Heule等人，2016年]，仍然广泛开放的k着色与k $\ge$ 3。本文引入了N ~+的态射染色，它是具有部分乘法性质的有限群中的一种特殊染色。我们发现，对于许多形态着色2和3的颜色，单色毕达哥拉斯三元组是不可避免的，在相当小的整数间隔。
2017-04-24 cs.DM math.CO math.NT
