An inverse theorem for generalized arithmetic progression with mild multiplicative property
本文证明了 $\F_p$ 中包含另外两个数列大乘积集的广义等差数列的结构定理。
2024-12-19 math.CO
On some problems of Harju concerning squarefree arithmetic progressions in infinite words
在最近的一篇论文中，Harju提出了三个关于无限词中无平方等差数列的公开问题。在本文中，我们解决了其中的两个问题。
2018-12-05 math.CO
Discrepancy One among Homogeneous Arithmetic Progressions
本文研究了Paul Erdos在1936年提出的关于齐次等差数列不一致性问题的一个限制。我们将注意力限制在齐次等差数列的有限集S上，并询问关于这个集合的偏差何时正好为1。我们回答这个问题时，S的大小为4或更少，并证明了一般的S的问题是NP-困难的，即使是差异1。
2016-01-12 math.CO
Integer colorings with no rainbow 3-term arithmetic progression
本文研究了三项等差数列的彩虹Erdens-Rothschild问题。我们得到了无彩虹3项等差数列的$[n]$的$r$ -着色的渐近数，并证明了具有此性质的典型着色是2-着色.我们还证明了在$[n]$的所有子集中，$[n]$达到彩虹3项无等差数列的$r$ -着色的最大数目.此外，还得到了$\mathbb{Z}_p$的彩虹3项无等差数列的$r$ -染色的确切个数，其中$p$是任意素数，$\mathbb{Z}_p$是$p$阶循环群.
2022-03-22 math.CO
On distribution of three-term arithmetic progressions in sparse subsets of F_p^n
证明了Fp ^n中典型随机集子集的Szemeredi正则引理的一个版本.作为应用，讨论了三项等差数列在稀疏集上分布的一个结果。
2010-04-22 math.CO
On arithmetic progressions in symmetric sets in finite field model
在有限域（乘积空间）模型中，考虑对称集上的等差数列的两个问题。首先，我们证明了一个包含$|S|=μ\cdot q^n$元素的对称集合$S\subseteq\mathbb{Z}_q^n$必须至少包含$δ(q,μ)\cdot q^n\cdot 2^n$等差数列$x,x+d,\ldots,x+(q-1)\cdot d$，使得差$d$被限制在$\{0,1\}^n$中。其次，我们证明了对于素数$p$，一个具有$|S|=μ\cdot p^n$元素的对称集合$S\subseteq\mathbb{F}^n_p$至少包含$μ^{C(p)}\cdot p^{2n}$长度为$p$的等差数列。这就证明了对称集合中较长的等差数列的定性行为与长度为3的数列相同。
2020-09-06 math.CO
Arithmetic Progressions in Abundance by Combinatorial Tools
利用整数的斯通-切赫紧化的代数结构，Furstenberg和Reynner证明了对于任意k，每个分段联会集包含k项等差数列的分段联会集。我们提出了一个纯粹的组合参数，允许直接从范德瓦尔登定理得出这一结果。
2008-09-10 math.CO
On the Union of Arithmetic Progressions
我们表明，对于每个$\varepsilon>0$有一个绝对常数$c(\varepsilon)>0$，使以下是真的。任何长度为$n$且两两不同的$n$等差数列的并集必须至少包含$c(\varepsilon)n^{2-\varepsilon}$元素。我们观察到，通过构造，人们可以找到$n$等差数列，每个长度为$n$，具有成对的不同差异，使得它们的并集的基数是$o(n^2)$。我们还提到了$n$等差数列的非对称情况，对于$n$和$\ell$的各种状态，每个级数的长度都是$\ell$。
2013-10-16 math.CO
Independent arithmetic progressions
证明了存在正常数$c$，使得顶点集$[n]$上至多有$c n^2/k^2 \log k$条边的任何图包含一个独立集的$k$阶集，其顶点构成一个等差数列.我们还将这个结果应用于拉姆齐理论中的几个问题。
2019-01-15 math.CO
Monochromatic arithmetic progressions in automatic sequences with group structure
我们确定在某些自动序列的单色等差数列的长度的渐近增长率。特别是，我们看看（单侧）不动点的非周期性，原始，双射替代和自旋替代，这是概括的Thue-莫尔斯和鲁丁-夏皮罗替代，分别。对于这样的无限的话，我们表明，存在一个子序列$\left\{d_n\right\}$的差异沿其最大长度$A(d_n)$的单色等差数列（固定差$d_n$）增长至少在$d_n$多项式。增长指数的显式上界和下界可以从与替换相关联的有限群导出。作为一个应用，我们得到的范德瓦尔登型数的一类着色参数化的字母表的大小和长度的替代。
2023-02-24 math.CO math.DS
John-type theorems for generalized arithmetic progressions and iterated sumsets
弗里茨·约翰的一个经典定理允许人们把直到常数的凸体描述为椭球。在这篇文章中，我们建立了类似的描述广义（即多维）等差数列在适当的（即无碰撞）广义等差数列，在无挠和挠设置。我们还得到了任意阿贝尔群中迭代和集的一个类似的性质，从而加强和推广了Szemerédi和Vu的结果。
2008-05-21 math.CO
Words avoiding repetitions in arithmetic progressions
卡尔皮在一个4个字母的字母表上构造了一个无限的单词，它避免了由奇差的等差数列索引的所有序列中的平方。我们展示了卡尔皮的建设和折纸词之间的连接。我们扩展了Carpi的结果，通过构建不可数的许多字，避免平方等差数列的奇差。在奇差的等差数列中，我们还构造了避免重叠的无限字和避免任意大平方的无限字。我们使用这些词来构造二维整数格的标号，使得通过格的任何线都遇到无平方的（分别是）。标签序列。
2006-09-12 math.CO
Finite sums of arithmetic progressions
本文给出了van der Waerden-Brauer定理和Hindman定理的双重推广的一个纯组合证明。我们也给出了它的有限版本的塔界。
2019-05-06 math.CO
On Double 3-Term Arithmetic Progressions
本文主要研究是否每一个有界间隙的正整数递增序列$x_1x_2x_3...$都必须包含一个双3项等差数列，即，三个术语$x_i$、$x_j$和$x_k$，即$i + k = 2j$和$x_i + x_k = 2x_j$。我们考虑了一些变化的问题，讨论了一些相关的双重等差数列的性质，并提出了一些结果，通过使用RamseyScript，一个高级脚本语言。
2013-11-16 math.CO
On the asymptotic minimum number of monochromatic 3-term arithmetic progressions
设V（n）是{1，2，.，}的任意2-着色中单色3项等差数列的最小个数n}。我们证明了（1675/32768）n^2（1+o（1））<= V（n）<=（117/2192）n^2（1+o（1））.因此，我们发现V（n）严格大于相应的Schur三元组数（即（1/22）n^2（1+o（1））。此外，我们还证明了V（n）=（1/16）n^2（1+o（1））的猜想以及一个更一般的猜想是不成立的。
2006-09-20 math.CO math.OC
A Generalisation of a Result on Monotone Arithmetic Progressions in Permutations of the Positive Integers
该论文推广了正整数排列中避免特定单调等差数列的构造，证明对任意k≥1，存在排列避免长度为4且公差不被2^k整除的等差数列。
2024-05-25 math.CO
Sub-Ramsey numbers for arithmetic progressions
让整数$1,\ldots,n$被分配颜色。Szemerédi的定理意味着，如果有一个密集的颜色类，那么有一个长度为3的等差数列。研究了长度为3的全多色等差数列的色类的条件。令$f(n)$是最小整数$k$，使得存在$\{1, \ldots, n\}$的着色，而不存在长度为3的完全多色等差数列，并且使得每种颜色最多出现在$k$整数上。当$n$足够大时，我们给出了$f(n)$的一个精确值，并给出了所有的极值着色.特别是，我们表明，$f(n)= 8n/17 + O(1)$。这完全回答了阿隆、卡罗和图扎的一个问题。
2016-05-24 math.CO
Two-colorings of normed spaces without long monochromatic unit arithmetic progressions
该研究构造了配备最大度量的n维欧氏空间的二染色，证明满足特定间距与直径条件的有限实数集无单色等距拷贝，并推论任意赋范空间可二染色使足够长的单位等差数列含双色点。
2022-11-24 math.CO math.MG
On monochromatic arithmetic progressions in binary words associated with pattern sequences
本文研究由二进制展开中固定模式出现次数奇偶性生成的二元词，重点刻画 Rudin–Shapiro 词及一般模式序列中单色算术 progression 的长度上界与极值。
2023-07-17 math.CO math.NT
Monochromatic 4-term arithmetic progressions in 2-colorings of $\mathbb Z_n$
本文的动机是Wolf \cite{wolf}关于$\Z_p$中单色4项等差数列（简称4-AP）的最小个数的一个结果，其中$p$是素数. Wolf证明了$\Z_p$存在一个2-着色，其中单色4-AP比随机2-着色少0.000386%;证明是概率性的和非构造性的。在本文中，我们提出了一个明确的和简单的2-着色的单色4-AP比随机2-着色少9.3%的建设。这个问题使我们考虑在一般$n$的$\Z_n$中单色4-AP的最小数目。我们得到了$\Z_n$的所有2-着色中单色4-AP的最小数目的上界和下界。Wolf证明了$\Z_p$的任意2-着色至少有$(1/16+o(1))p^2$单色4-AP。我们将这个下界改进为$(7/96+o(1))p^2$。我们关于$\Z_n$的结果自然适用于$[n]$上的类似问题（即，$\{1,2,..., n\}$）。在2008年，Parillo、Robertson和Saracino \cite{prs}构造了$[n]$的2-着色，单色3-AP比随机2-着色少14.6%。2010年，Butler、Costello和Graham \cite{BCG}扩展了他们的方法，并使用广泛的计算机搜索来构建$[n]$的2-着色，其中单色4-AP比随机2-着色少17.35%（单色5-AP少26.8%）。我们的构造给出了$[n]$的2-着色，其中单色4-AP比随机2-着色少33.33%…
2011-07-14 math.CO math.NT
Forbidden arithmetic progressions in permutations of subsets of the integers
避免长度为$5$的等差数列的正整数排列在（Davis et al，1977）中被构造，这意味着避免长度为$7$的等差数列的整数排列的存在。我们构造了一个整数的置换，避免了长度为$6$的等差数列。我们还证明了$\frac{1}{2}$在正整数子集的较低密度上的下界，可以进行置换以避免长度$4$的等差数列，锐化来自（LeSaulnier和Vijay，2011）的$\frac{1}{3}$的下界。此外，我们还推广了关于禁用等差数列的几个结果，构造了避免广义等差数列的置换。
2018-03-15 cs.DM math.CO
Three-term arithmetic progressions in subsets of $\mathbb{F}_q^{\infty}$ of large Fourier dimension
我们表明，$\mathbb{F}_q^{\infty}$的大傅立叶维数的子集必须包含三项等差数列。这与Shmerkin构造的傅立叶维度$1$的$\mathbb{R}$的子集形成对比，没有三项等差数列。
2020-03-03 math.CA math.CO
A quantitative improvement for Roth's theorem on arithmetic progressions
本文改进了三项等差数列的Roth定理的定量估计，证明了若$A\subset\{1,\ldots,N\}$不含非平凡三项等差数列，则$\lvert A\rvert\ll N(\log\log N)^4/\log N$ .用同样的方法，我们也改进了$\mathbb{F}_q[t]$上类似问题的界，以及在和集中求长等差数列的界。
2014-06-18 math.CO math.NT
Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions
证明了如果$A\subset \{1,\ldots,N\}$不含非平凡的三项等差数列，则对于某个绝对常数$c>0$，有$\lvert A\rvert \ll N/(\log N)^{1+c}$.特别是，这证明了第一个非平凡的情况下，猜想的Erdans对等差数列。
2021-09-01 math.CO math.NT
Long Arithmetic Progressions in Critical Sets
在本文中，我们证明：如果0 < d < 1，且p是一个充分大的素数，则如果S是Z/pZ的一个子集，在Z/pZ的所有至少有dp个元素的子集中具有最少数量的三项等差数列，则S有一个长度至少为log^{1/4+o（1）} x的等差数列。
2004-03-05 math.CO math.NT
Monochromatic Hilbert cubes and arithmetic progressions
Van der Waerden数$W(k,r)$表示最小的$n$，使得只要$[n]$是$r$ -着色的，就存在长度为$k$的单色算术级数。类似地，希尔伯特立方数$h(k,r)$表示最小的$n$，使得只要$[n]$是$r$ -着色的，就存在一个单色仿射$k$ -立方，也就是说，对于某些$|A|=k$和$x_0 \in \mathbb{Z}$，存在一个形式为$$\left\{x_0 + \sum_{b \in B} b : B \subseteq A\right\}$$的集合。我们证明了希尔伯特立方数和范德瓦尔登数之间的关系。令$k \geq 3$为整数。那么对于每个$ε>0$，存在一个$c > 0$，使得$$h(k,4) \ge \min\{W(\lfloor c k^2\rfloor, 2), 2^{k^{2.5-ε}}\}.$$因此，我们在$W(k,2)$显著大于$2^k$的条件下改进了$h(k,4)$的现有技术下限。在另一个方向上，这表明如果希尔伯特立方数接近其现有技术的下限，则$W(k,2)$在$k$中至多是双指数的。我们还证明了对任何Sidon集$A \subset \mathbb{Z}$，都有$$\left|\left\{\sum_{b \in B} b : B \subseteq A\right\}\right| = Ω( |A|^3) .$$的最优结果
2018-05-23 math.CO math.NT
On Non-intersecting Arithmetic Progressions
我们证明了：如果有k个整数的不相交的等差数列，其中公差2 <= q_1，.，q_k <= x，则k < x exp（（-1/6 + o（1））sqrt（logx loglog x））.这改进了Szemeredi和Erdos的一个结果。
2002-08-30 math.CO math.NT
On sets of integers not containing long arithmetic progressions
我们构造{1，...，N}的基数至少为Nexp（-C（log N）^{1/（k+1）}），不包含长度为2^k+1的等差数列。这推广了Behrend（1946）关于不包含长度为3的伪数列的集合的一个结果。
2001-08-22 math.CO math.NT
Some further results on squarefree arithmetic progressions in infinite words
在最近的一篇论文中，我们中的一个人提出了三个关于无限词中无平方等差数列的公开问题。本文解决了这些问题并证明了一些新的结果。
2019-01-18 cs.FL math.CO
Integer Sets of Large Harmonic Sum Which Avoid Long Arithmetic Progressions
本研究给出数字受限整数集不含k项算术级数的条件，通过大规模搜索找到不含4项与10项算术级数且调和和优于传统贪心构造的整数集，可高效计算相关集合与调和和。
2025-09-04 math.CO math.NT
Monochromatic arithmetic progressions in the Fibonacci, Thue-Morse, and Rudin-Shapiro words
本文研究 Fibonacci 词中固定公差最长单色等差数列的长度与位置，结合圆周旋转动力学与 Walnut 自动定理证明给出长度公式，并推广到 Thue-Morse 和 Rudin-Shapiro 词。
2025-06-11 cs.FL math.CO math.DS
Arithmetic progressions in sets with small sumsets
本文给出了一个初等证明：如果$A$是一个有限的数集，且$A+_GA$的和集$|A+_GA|\leq c|A|$沿稠密图$G$很小，则$A$包含$k$ -项等差数列.
2005-03-28 math.CO math.NT
Unrolling residues to avoid progressions
我们考虑用$r$颜色着色$[n]={1,2,...,n}$以最小化单色$k$项等差数列（或简称$k$ -AP）的数目的问题。我们展示了如何通过一个展开过程将$\mathbb{Z}_m$的着色扩展到$[n]$的着色，从而避免了非平凡的$k$-AP。特别地，通过使用残基对$\mathbb{Z}_m$进行着色，我们产生了最佳已知的着色，用于最小化单色$k$-AP的数量，用于对$r$和$k$的几个小值用$r$颜色进行着色.
2012-09-12 math.CO math.NT
Maximal subsets free of arithmetic progressions in arbitrary sets
考虑在给定的长度为$n$的集合中，确定不含长度为$k$的等差数列的子集的最大基数问题.证明了在一定意义下考虑区间$[1,\dots, n]$是充分的。这项研究延续了科姆洛斯、苏约克和塞梅雷迪的工作。
2020-10-09 math.CO math.NT
Narrow arithmetic progressions in the primes
我们研究公差尽可能小的素数中的等差数列。Tao和Ziegler证明了，对于任意大的$k \geq 3$和$N$，对于一个未指定的常数$L_k$，在直到$N$的素数（的任意正密度子集）中存在非平凡的$k$ -项等差数列，具有公差$O((\log N)^{L_k})$。在这项工作中，我们获得了具有精确值$L_k = (k-1) 2^{k-2}$的该陈述。这是通过证明Szemerédi定理的一个相对版本的狭窄的进展需要更简单的伪随机性假设的精神，最近的工作康伦，福克斯和赵。
2015-09-16 math.CO math.NT
Asymptotics of partition parts in arithmetic progressions
研究算术级数中分拆部分的分布，通过分析生成函数中的非模艾森斯坦级数，获得捕获所有指数增长项的新近结果。
2025-09-25 math.CO math.NT
On The Hereditary Discrepancy of Homogeneous Arithmetic Progressions
我们证明了齐次等差数列的遗传差异是由$n^{1/O(\log \log n)}$下界。这个界限紧到指数中的常数。我们的下界是通过证明布尔立方体$\{0, 1\}^d$的子立方体的集合系统的差异的指数下界。
2015-04-09 math.CO math.NT
Arithmetic and Geometric Progressions in Productsets over Finite Fields
给定$q$元素的有限域$\F_q$的两个元素集$\cA, \cB \subseteq \F_q$，证明了乘积集$$ \cA\cB = \{ab | a \in \cA, b \in\cB\} $$包含长度为$k \ge 3$的等差数列，条件是$k<p$，其中$p$是$\F_q$的特征，且$# \cA # \cB \ge 3q^{2d-2/k}$ .我们还考虑了移位乘积集$\cA\cB +h$中的等比数列，对于$f \in \F_q$，得到了类似的结果。
2007-11-13 math.CO math.NT
Arithmetic Progressions with Restricted Digits
对于一个整数$b \geqslant 2$和一个集合$S\subset \{0,\cdots,b-1\}$，我们定义Kempner集合$\mathcal{K}(S,b)$为所有非负整数的集合，这些非负整数的基$b$数字展开式只包含来自$S$的数字.这些研究稀疏集提供了丰富的设置加性数论，在本文中，我们研究了各种问题有关的外观等差数列在这些集合。特别是，对于所有的$b$，我们确定的最大长度的等差数列，省略了一个基地- $b$数字。
2018-09-07 math.CO math.NT
Arithmetic progressions in sets of small doubling
我们证明了如果任意阿贝尔群的有限的、足够大的子集A满足小加倍条件|A + A| <（log |A|）^{1 -n} |A|，则A必须包含其项不全相等的三项等差数列，并且A + A必须包含等差数列或子群的陪集，其大小至少为exp^[ c（log |A|）^{delta} ]。这扩展了类似的结果获得桑德斯和，分别由Croot，Laba和Sisask的情况下，该组是整数或有限域。
2013-10-09 math.CO math.NT
Dimensions of sets which uniformly avoid arithmetic progressions
我们提供的$\mathbb{R}$，一致避免有限的等差数列的尺寸集的估计。更确切地说，如果存在$ε>0$使得在$F$的$εΔ$邻域内不能找到长度$k$和间隙长度$Δ>0$的算术级数，则我们说$F$一致地避免长度$k \geq 3$的等差数列。我们的主要结果是一个明确的上界的Assouad（从而Hausdorff）维数的$k$和$ε$等集。在另一个方向，我们提供的例子集，一致避免等差数列的一个给定的长度，但仍然有相对较大的Hausdorff维数。我们也考虑这些问题的高维类似物，其中等差数列被替换为算术补丁躺在一个超平面。因此，我们得到一个离散化版本的“反向Kakeya问题”：我们表明，如果一组$\mathbb{R}^d$的尺寸是足够大的，那么它密切接近等差数列在每个方向。
2017-05-09 math.CA math.CO math.MG
On long arithmetic progressions in binary Morse-like words
本文研究了二进制Morse类词中的长等差数列存在性，提出了在Thue-Morse词及广义Thue-Morse词中的相关结果，其论证方法受启发于van der Waerden关于整数有限着色中单色等差数列存在性的证明。
2021-02-09 cs.DM math.CO math.DS
Upper tails for arithmetic progressions in random subsets
我们研究了在{1，…，n}，建立指数边界，该指数边界最好是指数中的常数因子。证明也延伸到舒尔三倍，更一般地说，随机诱导子超图的“几乎线性”k-均匀超图的边缘数。
2016-12-27 math.CO math.NT math.PR
Almost arithmetic progressions in the primes and other large sets
格林和陶的一个著名而深刻的结果指出，素数包含任意长的等差数列。在本文中，我提供了一个简单的论证，证明素数任意地接近任意长的等差数列。这一论点也适用于Erdens-Turán意义上的“大集合”。这个证明很简短，完全独立，目的是给出一个启发式的解释，为什么素数和其他大集合具有算术结构。
2019-07-18 math.CA math.CO math.HO
