Lucas Colucci, Ervin Győri, Abhishek Methuku
In this note, we improve on results of Hoppen, Kohayakawa and Lefmann about the maximum number of edge colorings without monochromatic copies of a star of a fixed size that a graph on $n$ vertices may admit. Our results rely on an improved application of an entropy inequality of Shearer.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Vertex Colorings without Rainbow or Monochromatic Subgraphs
本文研究了某些彩虹子图$R$和某些单色子图$M$是禁止的图的顶点着色.以前的工作集中在$R=M$。这里我们考虑更一般的情况，特别是$M=K_2$。
We show that any $2$-coloring of $\mathbb{N}$ contains infinitely many monochromatic sets of the form $\{x,y,xy,x+y\},$ and more generally monochromatic sets of the form $\{x_i,\prod x_i,\sum x_i: i\leq k\}$ for any $k\in\mathbb{N}.$ Along the way we prove a monochromatic products of sums theorem that extends Hindman's theorem and a colorful variant of this result that holds in any 'balanced' coloring.
A 21-Coloring of the Plane Without Monochromatic Unit-Area Rectangles
针对平面单色单位面积矩形的问题，研究人员将Kovač构造的无面积1单色矩形的平面着色的颜色数从21降至21。
A measure theoretic approach of the problem that there exits a finite unit-distance graphs in the plane that are not five (or four) colorable.
Rainbow monochromatic $k$-edge-connection colorings of graphs
边着色图中的路径称为单色路径，如果路径的所有边具有相同的颜色。如果每个$P_i$都是单色的，并且对于任意两个$i\neq j$，$P_i$和$P_j$具有不同的颜色，则我们称$k$路径为$P_1,\cdots,P_k$彩虹单色路径。一个图$G$的边染色称为彩虹单色$k$ -边连通染色（或简称$RMC_k$ -染色），如果$G$的每两个不同的顶点至少由$k$彩虹单色路连接。我们用$rmc_k(G)$来表示确保$G$具有$RMC_k$ -着色的最大颜色数，这个数称为彩虹单色$k$ -边连接数。证明了图的$RMC_k$ -染色的存在性，给出了图的$rmc_k(G)$的一些界，并给出了图的$rmc_k(G)$达到下界的图.我们还得到了$rmc_k(G(n,p))\geq f(n)$的阈值函数，其中$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor> k\geq 1$。
Any 2-coloring of the plane contains monochromatic unit rhombuses
研究证明平面任意二染色必含同色单位边非单位对角线菱形，回应了Axenovich等人问题。
Any two-coloring of the plane contains monochromatic 3-term arithmetic progressions
本文证实了Erdős等人关于平面二着色猜想的一个自然开放情形，证明了平面的任何二着色都包含任意3项等差数列的单色全等副本。
A Survey on Monochromatic Connections of Graphs
图的单色连接的概念是由Caro和Yuster在2011年提出的。近年来，关于这一问题的研究成果很多，本文试图将所有与之相关的结果进行归纳，首先对这些结果进行了介绍，然后将其分为以下几类：边的单色连通染色，点的单色连通染色，单色指数，全的单色连通染色.
Coloring the Real Line with Monochromatic Intervals
设D是正实数的有限集。距离图G（R，D）是顶点集为R（实数集）且两个顶点x，y相邻的图，如果|X-Y|属于D。证明了：对每一个正整数t>1，存在一个距离集D，使得G（R，D）的色数为t，且G（R，D）的t色真染色不允许单色区间.这一结果否定了[2]中的一个猜想。
Enumeration of monochromatic three term arithmetic progressions in two-colorings of any finite group
群着色中单色等差数列的存在性问题是一个极具挑战性的问题。许多定理只适用于阿贝尔群，因为非阿贝尔群的结果往往更难获得。在这个研究项目中，我们不仅确定存在性，而且研究更一般的计数问题。我们制定的计数问题作为一个问题，在真正的代数几何，然后使用最先进的计算方法在半定规划和表示论推导出的数量的下界单色等差数列在任何有限群。
Monochromatic connectivity and graph products
单色连通性的概念是由Caro和Yuster提出的。边有色图中的路径称为\emph{monochromatic path}，如果路径上的所有边都着色相同。$G$的边着色是\emph{monochromatic connection coloring}（简称$MC$ -着色），如果在$G$中的任意两个顶点之间有一条单色路连接。用$mc(G)$表示的\emph{monochromatic connection number}被定义为在图$G$的$MC$ -着色中使用的颜色的最大数目。本文研究了字典序积、强积、笛卡尔积和直积图的单色联络数，给出了这些积的几个上界和下界。
Erdős-Gallai-type results for colorful monochromatic connectivity of a graph
边有色图中的路径称为\emph{monochromatic path}，如果路径上的所有边都着色相同。$G$的边着色是\emph{monochromatic connection coloring}（简称MC-着色），如果在$G$中的任意两个顶点之间有一条单色路连接。\emph{monochromatic connection number}，记作$mc(G)$，定义为图$G$的MC-着色中使用的最大颜色数。这些概念是由Caro和Yuster提出的，他们得到了一些很好的结果。本文研究了$mc(G)$的两类Erdens-Gallai型问题，并完全解决了这两类问题.
Variations on Ramsey numbers and minimum numbers of monochromatic triangles in line $2$-colorings of configurations
本文探索了拉姆齐数与单色化配置中单色三角形的最小数变体，通过定义线2-着色配置并计算具体对称示例，扩展并完善了相关图论理论。
Two-coloring cubic graphs with small monochromatic components, but without singletons
本文结合小单色分量与无孤立点两个染色性质，证明存在常数c使每个三次图可2-染色，使每个单色分量顶点数介于2和c之间，并给出非平衡版本，作为Wegner猜想工具的松弛。
Enumeration of monochromatic three term arithmetic progressions in two-colorings of cyclic groups
拉姆齐理论中最困难的问题之一是确定元素被着色的群中单色等差数列的存在性。我们研究更难的问题，不仅要确定单色等差数列的存在性，而且还要计算它们。我们重新制定的枚举在真正的代数几何，然后使用最先进的半定规划和表示论的计算方法，以获得尖锐的，或明确的常数从尖锐的，下界的循环群的任何顺序。
We prove a known 2-coloring of the integers $[N] := \{1,2,3,\ldots,N\}$ minimizes the number of monochromatic arithmetic 3-progressions under certain restrictions. A monochromatic arithmetic progression is a set of equally-spaced integers that are all the same color. Previous work by Parrilo, Robertson and Saracino conjectured an optimal coloring for large $N$ that involves 12 colored blocks. Here, we prove that the conjecture is optimal among anti-symmetric colorings with 12 or fewer colored blocks. We leverage a connection to the coloring of the continuous interval $[0,1]$ used by Parrilo, R…
Some extremal results on the colorful monochromatic vertex-connectivity of a graph
顶点有色图中的一条路称为\emph{vertex-monochromatic path}，如果它的内部顶点具有相同的颜色.一个图的顶点着色称为\emph{monochromatic vertex-connection coloring}（简称\emph{MVC-coloring}），如果图中任意两个顶点之间存在一条顶点单色路连接.对于一个连通图$G$，定义\emph{monochromatic vertex-connection number}（用$mvc(G)$表示）为在$G$的一个\emph{MVC-coloring}中使用的最大颜色数。这些顶点版本的概念是自然的推广的彩色单色连通性的边缘版本，介绍了卡罗和Yuster。本文主要研究了单色点连通数$mvc(G)$的Erdens-Gallai型问题，并完全确定了它的精确值.此外，还给出了$mvc(G)$的Nordhaus-Gaddum型不等式.
On some variations of coloring problems of infinite words
给定集合$A$上自由半群$A^+$的有限染色（或有限划分），我们考虑了右端无限字$x\in A^ω$的各种类型的单色分解.一些更强的版本通常的概念单色因式分解的介绍。当连续块的连接是单色的时，因式分解被称为顺序单色。一个顺序单色分解被称为超单色分解，如果任意置换块的分解的任何级联具有相同的颜色的单个块。我们建立联系，并在某些情况下，这些分解和拉姆齐理论的基本结果，包括无限拉姆齐定理，Hindman的有限和定理，分区规则的IP集和密立根-泰勒定理的存在之间的等价关系。本文证明了对每个有限集$A$和几乎所有字$x\in A^ω,$的每个有限着色$φ: A^+\rightarrow C,$，在允许一个$φ$ -超单色分解的$x$生成的子移位中存在$y$，其中“几乎所有”指的是$A^ω.$上的Bernoulli测度
Erdős-Gallai-type results for total monochromatic connection of graphs
一个图称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个图的全染色是{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点通过一条路连接，且该路的边和内部顶点具有相同的颜色.对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，用$tmc(G)$表示，定义为$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。本文研究了$tmc(G)$的两类Erdens-Gallai型问题，并完全解决了它们.
A Probabilistic Threshold for Monochromatic Arithmetic Progressions
我们表明，$\sqrt{k}\cdot r^{k/2}$是一个阈值区间长度，在温和的条件下，几乎每一个$r$着色的一个较长的长度区间包含一个单色$k$ -项算术级数，而几乎没有$r$着色的一个较短的长度区间包含一个单色$k$ -项等差数列。
For a fixed simple digraph $F$ and a given simple digraph $D$, an $F$-free $k$-coloring of $D$ is a vertex-coloring in which no induced copy of $F$ in $D$ is monochromatic. We study the complexity of deciding for fixed $F$ and $k$ whether a given simple digraph admits an $F$-free $k$-coloring. Our main focus is on the restriction of the problem to planar input digraphs, where it is only interesting to study the cases $k \in \{2,3\}$. From known results it follows that for every fixed digraph $F$ whose underlying graph is not a forest, every planar digraph $D$ admits an $F$-free $2$-coloring, a…
Vertex-monochromatic connectivity of strong digraphs
强有向图$D$的顶点染色是\emph{strong vertex-monochromatic connection coloring (SVMC-coloring)}，如果对于$D$中的每对$u, v$，都存在一条内部顶点都是同色的$(u,v)$ -路.令$smc_v(D)$表示有向图$D$的SVM-染色中使用的最大颜色数。当$D$是有向图的线图时，本文确定了$smc_v(D)$的值.另外，如果$T$是一个锦标赛，我们给出了条件，找到确切的值的$smc_v(T)$。
Monochromatic 4-term arithmetic progressions in 2-colorings of $\mathbb Z_n$
本文的动机是Wolf \cite{wolf}关于$\Z_p$中单色4项等差数列（简称4-AP）的最小个数的一个结果，其中$p$是素数. Wolf证明了$\Z_p$存在一个2-着色，其中单色4-AP比随机2-着色少0.000386%;证明是概率性的和非构造性的。在本文中，我们提出了一个明确的和简单的2-着色的单色4-AP比随机2-着色少9.3%的建设。这个问题使我们考虑在一般$n$的$\Z_n$中单色4-AP的最小数目。我们得到了$\Z_n$的所有2-着色中单色4-AP的最小数目的上界和下界。Wolf证明了$\Z_p$的任意2-着色至少有$(1/16+o(1))p^2$单色4-AP。我们将这个下界改进为$(7/96+o(1))p^2$。我们关于$\Z_n$的结果自然适用于$[n]$上的类似问题（即，$\{1,2,..., n\}$）。在2008年，Parillo、Robertson和Saracino \cite{prs}构造了$[n]$的2-着色，单色3-AP比随机2-着色少14.6%。2010年，Butler、Costello和Graham \cite{BCG}扩展了他们的方法，并使用广泛的计算机搜索来构建$[n]$的2-着色，其中单色4-AP比随机2-着色少17.35%（单色5-AP少26.8%）。我们的构造给出了$[n]$的2-着色，其中单色4-AP比随机2-着色少33.33%…
On the distribution of monochromatic complete subgraphs and arithmetic progressions
作为统计拉姆齐理论问题，我们研究了（1）完全图的边2-染色上的单色完全子图和（2）区间2-染色上的单色等差数列的个数分布.我们提出了令人信服的证据，这两种分布是非常好的近似Delaporte分布。
Large monochromatic components in colorings of complete hypergraphs
本文研究完全超图着色中最大单色连通分量的大小，推广了图论中的经典问题，给出了紧至$1+o(1)$因子的上下界，并探讨了顶点$s$-集合计数及两色特殊情形。
In the problem of 2-coloring without monochromatic triangles (or triangle-tree 2-coloring), vertices of the simple, connected, undirected graph are colored with either 'black' or 'white' such that there are no 3 mutually adjacent vertices of the same color. In this paper we are positively answering the question posed in our previous work, namely, if there exists an algorithm solving 2-coloring without monochromatic triangles on planar graphs with linear-time complexity.
Optimization Tools for Computing Colorings of $[1,\cdots ,n]$ with Few Monochromatic Solutions on $3$-variable Linear Equations
本文借助整数优化与半定优化工具，构造三变量非正则齐次线性方程的最优或近最优二着色，并将 Schur 方程的结果推广到多色情形。
Long monochromatic paths and cycles in 2-colored bipartite graphs
Gyárfás和Lehel以及独立的Faudree和Schelp证明了在$K_{n,n}$的边的任何2-着色中，至少在$2\lceil n/2\rceil$顶点上存在一条单色路，并且这是紧的。我们证明了这个结果的一个稳定性版本，即使主机图是不完整的;也就是说，如果$G$是$2n$顶点上的平衡二部图，其最小度至少为$(3/4+o(1))n$，则在$G$的边的每一个2-着色中，或者在至少$(1+o(1))n$顶点上存在单色圈，或者$G$的着色接近于极值着色--在这种情况下，$G$在至少$2\lceil n/2\rceil$顶点上具有单色路径，并且在至少$2\lfloor n/2\rfloor$顶点上具有单色循环。此外，我们确定了一个渐近紧界的最长单色圈的长度在2色平衡二部图的$2n$顶点的最小程度$δn$所有$0\leq δ\leq 1$。
We give a full, correct proof of the following result, earlier claimed by Erdős and Komjáth. If the Continuum Hypothesis holds then there is a coloring of the plane with countably many colors, with no monocolored right triangle.
On minimal colorings without monochromatic solutions to a linear equation
对于环R和线性齐次方程组L，如果L没有单色解，且着色使用尽可能少的颜色，则称R的非零元素的着色对于L是极小的。对于有理数q和正整数n，设E（q，n）表示方程$\sum_{i=0}^{n-2} q^{i}x_i = q^{n-1}x_{n-1}$。本文对方程E（q，3）（q在{3/2，2，3，4}中）、E（2，n）（n在{3，4，5，6}中）和x_1+x_2+x_3=4x_4的非零有理数的极小染色进行了分类。这些结果导致了几个开放的问题和最小着色的实现。
A note on the $k$-defect number: Vertex Coloring with a Fixed Number of Monochromatic Edges
本文提出k-缺陷数概念，用于研究具有固定数量单色边的顶点着色问题，并扩展了色数的性质。
Coloring outerplanar graphs and planar 3-trees with small monochromatic components
本文继续研究了图的顶点着色问题，只要每个单色连通分支的基数相对较小，就允许相邻的顶点具有相同的颜色。我们专注于着色与两个和三个可用的颜色，并提出了改进的边界上的单色连通组件的大小为两个有意义的子类的平面图，即最大outerplanar图和完整的平面3-树。
A 2-coloring of [1,n] can have (n^2)/22 + O(n) monochromatic Schur triples, but not less!
我们证明了[1，n]的2-着色所能具有的单色Schur三元组的最小数量（渐近）是（n^2）/22 + O（n）.这是由Tomasz Schoen独立解决的。
A sharp threshold for random graphs with a monochromatic triangle in every edge coloring
设$\R$是所有有限图$G$的集合，它具有Ramsey性质，即$G$的边被两种颜色着色都产生单色三角形.在本文中，我们建立了一个尖锐的阈值随机图的性质。设$G(n,p)$是$n$顶点上边概率为$p$的随机图.我们证明，存在一个功能$\hat c=\hat c(n)$与$0<c<\hat c<C$，使任何$\eps > 0$，$n$趋于无穷大$$Pr[G(n,(1-\eps)\hat c/\sqrt{n}) \in \R ] \to 0$$和$$Pr [ G(n,(1+\eps)\hat c/\sqrt{n}) \in \R ] \to 1.$$一个重要的工具，用于证明和独立的兴趣是一个推广的Szemerédi的正则引理，以一定的超图设置。
The half-monochromatic colorings of plane graphs with even polygonal faces
本文研究了平面图中偶多边形面的半单色着色问题，给出了基于独立数的着色颜色数上界。
Given an $r$-edge-coloring of the complete graph $K_n$, what is the largest number of edges in a monochromatic connected component? This natural question has only recently received the attention it deserves, with work by two disjoint subsets of the authors resolving it for the first two special cases, when $r = 2$ or $3$. Here we introduce a general framework for studying this problem and apply it to fully resolve the $r = 4$ case, showing that any $4$-edge-coloring of $K_n$ contains a monochromatic component with at least $\frac{1}{12}\binom{n}{2}$ edges, where the constant $\frac{1}{12}$ is …
Monochromatic Progressions in Random Colorings
Let N^{+}(k)= 2^{k/2} k^{3/2} f(k) and N^{-}(k)= 2^{k/2} k^{1/2} g(k) where 1=o(f(k)) and g(k)=o(1). We show that the probability of a random 2-coloring of {1,2,...,N^{+}(k)} containing a monochromatic k-term arithmetic progression approaches 1, and the probability of a random 2-coloring of {1,2,...,N^{-}(k)} containing a monochromatic k-term arithmetic progression approaches 0, for large k. This improves an upper bound due to Brown, who had established an analogous result for N^{+}(k)= 2^k log k f(k).
Covering complete $r$-partite hypergraphs with few monochromatic components
本文证明了在特定条件下，通过少量单色组件可以覆盖完整的$r$-部超图，解决了Gyárfás和Király的猜想，并给出了二分图的覆盖结论。
Symmetric monochromatic subsets in colorings of the Lobachevsky plane
我们证明，对于每一个分区的罗巴切夫斯基平面到1000多个博雷尔件的分区的细胞之一包含一个无界中心对称子集。
Non-Monochromatic and Conflict-Free Coloring on Tree Spaces and Planar Network Spaces
众所周知，在$\mathbb{R}^1$中的任何n个区间的集合允许两种颜色的非单色着色和三种颜色的无冲突着色。我们调查的推广，这一结果着色的对象在更复杂的1维空间，即所谓的树空间和平面网络空间。
A Gallai-coloring (Gallai-$k$-coloring) is an edge-coloring (with colors from $\{1, 2, \ldots, k\}$) of a complete graph without rainbow triangles. Given a graph $H$ and a positive integer $k$, the $k$-colored Gallai-Ramsey number $GR_k(H)$ is the minimum integer $n$ such that every Gallai-$k$-coloring of the complete graph $K_n$ contains a monochromatic copy of $H$. In this paper, we consider two extremal problems related to Gallai-$k$-colorings. First, we determine upper and lower bounds for the maximum number of edges that are not contained in any rainbow triangle or monochromatic triangle …
Coverings by few monochromatic pieces - a transition between two Ramsey problems
（广义）拉姆齐理论中的典型问题是求一个具有t种颜色的完全图K_n的任意边着色中必须存在的族F（例如匹配、路、圈、连通子图）的最大单色成员的阶。另一个方面是寻找F中划分或覆盖每个边着色完全图的顶点集的单色成员的最小数目。这里我们提出了一个连接这些区域的问题：对于固定的正整数s，t，在K_n的每一个t色边染色中，至少有多少个顶点可以被F的不超过s个单色成员的顶点所覆盖。本文提出了几个问题和解决方法，其中包括Cockayne和Lorimer关于单色匹配的一个著名结果的可能推广，我们证明了其中的一个初步步骤：当s=t-1时，我们确定K_n的每一个t-染色中有多少个顶点可以被s个单色匹配覆盖。
Monochromatic graph decompositions and monochromatic piercing inspired by anti-Ramsey colorings
本研究作为反拉姆齐理论相关三部曲的终篇，针对任意图和图族定义两类推广函数，开发方法推导其渐近紧结果，拓展了反拉姆齐着色的研究范畴。
Colorful monochromatic connectivity of random graphs
一个连通图$G$的边染色称为{\it单色连通染色}（简称MC-染色），由Caro和Yuster提出，如果图$G$的任意两个顶点之间有一条单色路连接.令$mc(G)$表示图$G$的MC-着色中使用的最大颜色数。注意，如果$G$不连通，则MC-着色不存在，在这种情况下，我们简单地让$mc(G)=0$。我们使用$G(n,p)$来表示Erdös-Rényi随机图模型，其中每个$\binom{n}{2}$顶点对以概率$p$独立于其他顶点对的方式出现为边。对于任何函数$f(n)$满足$1\leq f(n)<\frac{1}{2}n(n-1)$，我们表明，如果$\ell n \log n\leq f(n)<\frac{1}{2}n(n-1)$其中$\ell\in \mathbb{R}^+$，那么$p=\frac{f(n)+n\log\log n}{n^2}$是一个尖锐的阈值函数的属性$mc\left(G\left(n,p\right)\right)\ge f(n)$;如果$f(n)=o(n\log n)$，那么$p=\frac{\log n}{n}$是一个尖锐的阈值函数的属性$mc\left(G\left(n,p\right)\right)\ge f(n)$。
An edge-coloring of a connected graph $G$ is called a {\em monochromatic connection coloring} (MC-coloring for short) if any two vertices of $G$ are connected by a monochromatic path in $G$. For a connected graph $G$, the {\em monochromatic connection number} (MC-number for short) of $G$, denoted by $mc(G)$, is the maximum number of colors that ensure $G$ has a monochromatic connection coloring by using this number of colors. This concept was introduced by Caro and Yuster in 2011. They proved that $mc(G)\leq m-n+k$ if $G$ is not a $k$-connected graph. In this paper we depict all graphs with $m…
Canonical theorems in geometric Ramsey theory
本文证明了在欧几里得空间中，任何锐角三角形或m维单位超立方体在任何着色下必然存在单色或彩虹副本。
On the monochromatic Schur Triples type problem
本文讨论了Ronald Graham提出的一个问题，即在$[1,n]$的所有2-着色上，对于$a \geq 1$，单色$\{x,y,x+ay\}$三元组的最小数目.本文给出了$a=1$原情形的一个新的证明。我们表明，这样的三元组的最小数目是最多$\frac{n^2}{2a(a^2+2a+3)} + O(n)$时，$a \geq 2$。我们还找到了一个新的上限的最小数目，在所有$r$ -着色的$[1,n]$，单色舒尔三元组，$r \geq 3$。
Are monochromatic Pythagorean triples unavoidable under morphic colorings ?
毕达哥拉斯三元组是正整数a，b，c $\in$ N ${}^{+}$的三元组，满足a ${}^2$ + b ${}^2$ = c ${}^2$。对于N ${}^{+}$的任何有限着色，是否至少有一个毕达哥拉斯三元组是单色的？换句话说，迪奥-番汀方程X ${}^2$ + Y ${}^2$ = Z ${}^2$是正则的吗？这个问题，最近通过大量的SAT计算解决了2-着色[Heule等人，2016年]，仍然广泛开放的k着色与k $\ge$ 3。本文引入了N ~+的态射染色，它是具有部分乘法性质的有限群中的一种特殊染色。我们发现，对于许多形态着色2和3的颜色，单色毕达哥拉斯三元组是不可避免的，在相当小的整数间隔。
Gyárfas proved that every coloring of the edges of $K_n$ with $t+1$ colors contains a monochromatic connected component of size at least $n/t$. Later, Gyárfás and Sárközy asked for which values of $γ=γ(t)$ does the following strengthening for almost complete graphs hold: if $G$ is an $n$-vertex graph with minimum degree at least $(1-γ)n$, then every $(t+1)$-edge coloring of $G$ contains a monochromatic component of size at least $n/t$. We show $γ= 1/(6t^3)$ suffices, improving a result of DeBiasio, Krueger, and Sárközy.
More on total monochromatic connection of graphs
一个图称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个图的全染色是{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点由一条路连接，且这条路上的边和内部顶点具有相同的颜色。对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，记为$tmc(G)$，定义为在$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。注意，如果$G$不连通，则TMC着色不存在，在这种情况下，我们简单地让$tmc(G)=0$。本文首先分别用$tmc(G)=3,4,5,6,m+n-2,m+n-3$和$m+n-4$刻画了所有阶为$n$和大小为$m$的图.然后，我们确定了一个随机图有$tmc(G)\geq f(n)$的阈值函数，其中$f(n)$是满足$1\leq f(n)<\frac{1}{2}n(n-1)+n$的函数。最后，我们证明了对于给定的连通图$G$，以及具有$L\leq m+n$的正整数$L$，判定是否为$tmc(G)\geq L$是NP-完全的。
Monochromatic balanced components, matchings, and paths in multicolored complete bipartite graphs
众所周知，在完全二部图$K_{n,n}$的边的每一个$r$ -染色中，都存在一个至少有${2n\over r}$顶点的单色连通分支.这将是有趣的，知道我们是否可以额外要求，这个大的组件是平衡的，也就是说，它是真的，在每一个$r$着色的$K_{n,n}$有一个单色组件，满足双方在至少$n/r$顶点？四十多年前，Gyárfás和Lehel以及Faudree和Schelp分别证明了任何$2$着色的$K_{n,n}$都包含一个单色的$P_n$。最近，Bucić，Letzter和Sudakov证明了每个$3$着色的$K_{n,n}$包含一个大小为$\lceil n/3 \rceil$的单色连通匹配（一个边在同一连通分量中的匹配）。因此，对于$1\leq r\leq 3$，答案是肯定的。我们提供了一个简短的证明（一个非对称版本）的原始问题$1\leq r\leq 3$，也就是说，每一个$r$着色的$K_{m,n}$有一个单色组件，满足每一侧的$1/r$比例的部分大小。然后，有点令人惊讶的是，我们表明，这个问题的答案是“不”的所有$r\ge 4$。例如，存在$K_{n,n}$的$4$ -着色，其中最大的平衡单色分量在两个分类中都具有$n/5$顶点（而不是$n/4$）。我们的结构是基于$P_4$的$r$ -色二分Ramsey数的下界，表示为$f(r)$，这是最小的整数$\ell$，使得在每个$r$…
Monochromatic $k$-edge-connection colorings of graphs
边着色图$G$中的路径称为单色的，如果路径上的任意两条边具有相同的颜色。对于$k\geq 2$，边着色图$G$称为单色$k$边连通的，如果$G$的每两个不同的顶点由至少$k$边不相交的单色路连接，而$G$被称为均匀单色$k$ -边连接，如果每两个不同的顶点至少由$k$边连接，不相交的单色路径，使得这些$k$路径的所有边缘用相同的颜色着色。我们分别使用$mc_k(G)$和$umc_k(G)$来表示确保$G$为单色$k$ -边连接和$G$为均匀单色$k$ -边连接的最大颜色数。本文首先猜想，对于任何$k$ -边连通图$G$，$mc_k(G)=e(G)-e(H)+\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$，其中$H$是$G$的最小$k$ -边连通生成子图.我们验证了$k=2$的猜想。证明了当$k\geq4$为偶数时对$G=K_{k+1}$的猜想，当$k\geq4$为偶数时对$G=K_{k,n}$的猜想，以及当$k=3$和$n\geq k$为偶数时对$G=K_{k,n}$的猜想.当$G$是极小$k$ -边连通图时，我们给出了$mc_k(G)$的一个上界，即，$mc_k(G)\leq k-1$，和当$G=K_{k,n}$时的$mc_k(G)\leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$。对于一致单色$k$ -边连通，证明了对所有的$k$，有$umc_k(G)=e(G…
Face $S_3$-colorings and Petrie monochromatic circuits for efficient total arc colorings of cubic maps of girth 4
研究立方图的高效全着色方法，探讨girth为4的图的全着色特性，并提出相关猜想。
Let G be a vertex-colored graph. We call a vertex cut S of G a monochromatic vertex cut if the vertices of S are colored with the same color. The graph G is monochromatically vertex-disconnected if any two nonadjacent vertices of G has a monochromatic vertex cut separating them. The monochromatic vertex-disconnection number of G, denoted by mvd(G), is the maximum number of colors that are used to make G monochromatically vertex-disconnected. In this paper, we propose an algorithm to compute mvd(G) and give an mvd-coloring of the graph G. We run this algorithm with an example written in Java. T…
Total monochromatic connection of graphs
一个图被称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。全着色图中的路径是{ \it全单色路径}，如果路径上的所有边和内部顶点具有相同的颜色。一个图的全染色是一个{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点由图的全单色路连通。对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，记为$tmc(G)$，定义为在$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。这些概念的灵感来自连通图$G$的单色连接数$mc(G)$、单色顶点连接数$mvc(G)$和全彩虹连接数$trc(G)$的概念。令$l(T)$表示树$T$的叶子数，并且令$l(G)=\max\{ l(T) | $ $T$是连通图$G$的$G$ $\}$的生成树。本文证明了存在许多图$G$使得$tmc(G)=m-n+2+l(G)$，并且证明了对几乎所有的图$G$，$tmc(G)=m-n+2+l(G)$成立.进一步，我们将$tmc(G)$与$mvc(G)$和$mc(G)$分别进行了比较，得到了存在图$G$使得$tmc(G)$不小于$mvc(G)$，反之亦然，并且$tmc(G)=mc(G)+l(G)$对几乎所有的图都成立.最后，证明了$tmc(G)\leq mc(G)+mvc(G)$和等式成立当且仅当$G$是完全图.
A property on monochromatic copies of graphs containing a triangle
本文证明了每个包含$K_3$且至少有四条边的图都不是strongly common，推广了Jagger等人关于包含$K_4$的图不是common的著名定理。
Large almost monochromatic subsets in hypergraphs
我们发现，对于所有的$\ell$和$ε>0$有一个恒定的$c=c(\ell,ε)>0$，使每个$\ell$着色的三元组的$N$元素集包含一个子集$S$的大小$c\sqrt{\log N}$，使至少$1-ε$分数的三元组的$S$具有相同的颜色。这一结果与常数$c$紧密相关，并回答了Erdens和Hajnal在1989年提出的关于超图的差异的一个开放问题.对于$\ell \geq 4$颜色，已知存在$N$元素集的三元组的$\ell$ -着色，该$N$元素集的最大单色子集仅具有基数$Θ(\log \log N)$。因此，我们的结果表明，最大几乎单色子集的$\ell$着色的三元组必须包含的是远远大于相应的单色子集。这与图形形成鲜明对比，在图形中，这两个量具有相同的数量级。为了证明我们的结果，我们得到了完全多部3-一致超图的$\ell$ -色Ramsey数的一个新的上界，它回答了Erdés和Hajnal的另一个公开问题.
On vertex coloring without monochromatic triangles
我们研究了经典顶点着色问题的一个松弛问题，即无向简单图的顶点着色问题，使得没有单色三角形。我们给出了经典和参数化算法的问题的第一个分类。几个计算复杂性的结果也被提出，这改善了以前的结果中发现的文献。本文提出了无向简单图的一个新的结构参数--无三角形色数$χ_3$。我们用其他已知的结构参数来约束$χ_3$。我们还提出了两类图有趣的着色性质，发挥关键作用，证明有用的观察我们的问题。我们在本文中给出/提出了几个问题，以鼓励在图着色领域的新研究。
High girth hypergraphs with unavoidable monochromatic or rainbow edges
Erdens和Hajnal的一个经典结果是：对任意整数$k, r, g \geq 2$，存在围长至少为$g$且色数至少为$k$的$r$ -一致超图.这意味着存在稀疏超图，使得在其顶点的任何着色中，至多有$k-1$颜色，存在单色超边。证明了对任意整数$r, g\geq 2$，存在周长至少为$g$的$r$ -一致超图，使得其顶点的任意着色都有单色边或彩虹边.我们给出了一个概率和确定性证明这一结果。
Consider a two-player game between players Builder and Painter. Painter begins the game by picking a coloring of the edges of $K_n$, which is hidden from Builder. In each round, Builder points to an edge and Painter reveals its color. Builder's goal is to locate a particular monochromatic structure in Painter's coloring by revealing the color of as few edges as possible. The fewest number of turns required for Builder to win this game is known as the restricted online Ramsey number. In this paper, we consider the situation where this "particular monochromatic structure" is a large matching or …
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