On a rainbow extremal problem for color-critical graphs
本文研究颜色临界图的彩虹极值问题，证明 Keevash 等人关于 4-颜色临界图及几乎所有 r>4 颜色临界图的猜想，并说明非颜色临界非二分图的两种自然构造均非极值。
2022-04-06 math.CO
Colouring set families without monochromatic k-chains
经典极值问题的着色版本可以追溯到Erdés和Rothschild，他们在1974年问哪个$n$ -顶点图在没有单色三角形的情况下具有最多的2-边着色。他们证明，答案是简单地给出了最大的三角形自由图。从那时起，这一类新的有色极值问题已被广泛研究的各种研究人员。在本文中，我们追求的Erdens-Rothschild版本的Sperner定理，在极值集理论的最大的反链的大小在布尔格的经典结果，和Erdenses '扩展到$k$ -链自由的家庭。给定$[n]$的子集的$\mathcal{F}$族，我们定义$\mathcal{F}$的$(r,k)$ -着色为没有任何单色$k$ -链$F_1 \subset F_2 \subset \dots \subset F_k$的集合的$r$ -着色.我们证明，$n$足够大的$k$，最大的$k$链自由的家庭也最大限度地增加了$(2,k)$着色的数量。我们还表明，中间的水平，$\binom{[n]}{\lfloor n/2 \rfloor}$，最大化的$(3,2)$ -着色的数量，并给出渐近结果的最大可能数量的$(r,k)$ -着色时，$r(k-1)$是可分的3。
2019-06-08 math.CO
Extremal problems and results related to Gallai-colorings
Gallai-染色（$k$ -染色）是一个不含彩虹三角形的完全图的边染色（颜色来自$\{1, 2, \ldots, k\}$）。给定一个图$H$和一个正整数$k$，$k$着色的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是使得完全图$K_n$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本的最小整数$n$。本文考虑与Gallai- $k$ -着色有关的两个极值问题.首先，我们确定不包含在任何彩虹三角形或单色三角形的$k$ -边着色的$K_n$的最大数量的边缘的上限和下限。其次，对于$n\geq GR_k(K_3)$，我们确定了$K_{n}$的Gallai- $k$ -着色中单色三角形的最小数目的上界和下界，得到了$k=3$的精确值。此外，我们还确定了由一个$K_4$和一条悬挂边组成的五点图的Gallai-Ramsey数$GR_k(K_4+e)$.
2021-07-30 math.CO
Colourings without monochromatic disjoint pairs
典型的极值问题是问一个结构在不包含禁止子结构的情况下可以有多大。1974年由Erdenses和Rothschild在极值图论的背景下提出的Erdens-Rothschild问题是一个着色扩展，要求一个结构可以有最大数量的着色，以避免被禁止的子结构的单色副本。著名的Erdens-Ko-Rado定理是极值集合论中的一个基本结果，它定义了没有一对不相交集合的集合族的大小，并且已经被扩展到其他几个离散设置。这些定理的Erdens-Rothschild扩张在最近几年也被研究，最著名的是Hoppen、Koyakayawa和Lefmann对集合族的研究，以及Hoppen、Lefmann和Odermann对向量空间的研究。在本文中，我们提出了一个统一的方法，交叉结构的Erdens-Rothschild问题，这使我们能够扩展以前的结果，往往与其他参数的地面集的大小上的尖锐的界限。在许多情况下，我们还讨论了哪些向量空间的家庭渐近最大化的Erdens-Rothschild染色的数量，从而解决了一个猜想的Hoppen，Lefmann和Odermann。
2018-01-09 math.CO
Upper bounds for the $MD$-numbers and characterization of extremal graphs
对于边着色图$G$，如果$M$的边着色为相同的颜色，则称$G$的边割$M$为单色图。图$G$称为单色不连通图，如果图$G$的任意两个不同的顶点被单色边割分开.对于连通图$G$，$G$的单色断开数（或简称$MD$ -number），用$md(G)$表示，是为了使$G$单色断开而允许的最大颜色数。对于直径为1的图，它们是完全图，因此它们的$MD$ -数是$1$。对于直径至少为3的图，我们可以构造$2$ -连通图，使得它们的$MD$ -数可以任意大;而对于直径为2的图$G$，我们证明了如果$G$是$2$ -连通图，则$md(G)\leq 2$，如果$G$有割点，则$md(G)$等于$G$的块数.因此，我们将重点研究直径为2的PDMATHAMR-连通图，并分别给出了它们的$MD$ -数依赖于连通度和独立数的两个上界。我们还刻画了$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ -连通图（具有大连通度）的图，其$MD$ -数是$2$，并且$2$ -连通图（具有小连通度）的$MD$ -数达到上界$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor.$对于连通度小于$\frac n 2$的图，我们证明了如果图的连通度与其阶$n$是线性的，则它的$MD$ -数的上界是一个常数，这暗示我们留下一个猜想：对于$k$ -连通图$G$，$md(G)\leq…
2020-09-04 math.CO
Thresholds and Fluctuations for Colorful Arithmetic Progressions in Sparse Random Colorings
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；Stanford University（斯坦福大学）；Indian Statistical Institute, Kolkata（印度统计学院，加尔各答）
本文确定了稀疏随机着色中彩色等差数列出现的完整阈值区域，并刻画了其数量在可满足区域内的渐近正态性及阈值曲面上的三种泊松型波动状态。
2026-09-29 math.CO math.NT math.PR
Long monochromatic paths and cycles in 2-colored bipartite graphs
Gyárfás和Lehel以及独立的Faudree和Schelp证明了在$K_{n,n}$的边的任何2-着色中，至少在$2\lceil n/2\rceil$顶点上存在一条单色路，并且这是紧的。我们证明了这个结果的一个稳定性版本，即使主机图是不完整的;也就是说，如果$G$是$2n$顶点上的平衡二部图，其最小度至少为$(3/4+o(1))n$，则在$G$的边的每一个2-着色中，或者在至少$(1+o(1))n$顶点上存在单色圈，或者$G$的着色接近于极值着色--在这种情况下，$G$在至少$2\lceil n/2\rceil$顶点上具有单色路径，并且在至少$2\lfloor n/2\rfloor$顶点上具有单色循环。此外，我们确定了一个渐近紧界的最长单色圈的长度在2色平衡二部图的$2n$顶点的最小程度$δn$所有$0\leq δ\leq 1$。
2018-06-13 math.CO
On two problems in Ramsey-Turán theory
Alon，Balogh，Keevash和Sudakov证明了在所有的$n$ -顶点图中，对于所有固定的$k$和$r=2,3$，$(k-1)$ -分图Turán图最大化了不同的$r$ -边着色数，且没有单色的$K_k$.本文对具有次线性独立数的$n$ -顶点图中的$r=2$渐近地确定了这个函数。有些令人惊讶的是，与Alon-Balogh-Keevash-Sudakov的结果不同，Ramsey-Turán理论的极值构造作为一个自然的候选者，即使在2色的情况下，也不会最大化所有具有次线性独立数的图中没有单色团的不同边着色的数量。在第二个问题中，我们渐近地确定了具有$α(G)=o(n)$的$n$ -顶点无$K_k$图$G$中三角形的最大数目.这些极图具有与经典Ramsey-Turán问题的极图类似的结构，即~当边缘的数量最大化时。
2017-04-24 math.CO
A framework for the generalised Erdős-Rothschild problem and a resolution of the dichromatic triangle case
本文推广 Erdős–Rothschild 问题的分析框架，并对禁用二色三角形及不当着色团两类情形，在 s≥2、n 充分大时确定极值结构。
2025-02-17 math.CO
Extremal triangle-free and odd-cycle-free colourings of uncountable graphs
最优的Erdens-Rado定理对证明了着色$Δ_κ: [2^κ]^2 \rightarrow κ$记录两个功能之间的最小点的分歧。这种颜色没有单色三角形，或者更一般地说，奇数周期。我们调查了一些问题，调查$Δ_κ$是一个\emph{extremal}这样的三角形或奇数周期的自由着色的程度。我们首先介绍的概念，$Δ$ -回归和几乎$Δ$ -回归着色和研究的结构，必须出现这样的着色单色子图。我们还考虑的问题，是否$Δ_κ$具有最小的基数的任何\emph{maximal}三角形或奇数周期免费着色成$κ$。对于无奇循环的着色，我们肯定地解决了这个问题。
2020-03-05 math.CO math.LO
Extremal graphs for wheels
对于图$H$，用ex $(n,H)$表示的$H$的Turán数是无$n$ -点$H$ -图的最大边数.令$g(n,H)$表示在$K_n$的$2$ -边着色中不包含在$H$的任何单色副本中的边的最大数目。轮$W_m$是通过将单个顶点连接到长度为$m-1$的循环的所有顶点而形成的图。$W_{2k}$的图兰数由Simonovits在20世纪60年代确定。本文在$n$充分大的情况下，确定了ex $(n,W_{2k+1})$.我们还表明，足够大的$n$，$g(n,W_{2k+1})=\mbox{ex}(n,W_{2k+1})$，这证实了一个猜想所提出的Keevash和Sudakov奇数轮。
2021-05-12 math.CO
Ramsey multiplicity and extremal colorings for odd cycles
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学学院）；School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学数学与统计学院）
本文证实了关于奇圈阈值Ramsey重数的猜想，确定$m(C_k)=(k-1)!/2$，并刻画了$K_{2k-1}$的所有极值着色，为第二个确定$m(H)$的图族。
2026-09-18 math.CO
Path-monochromatic bounded depth rooted trees in (random) tournaments
本文研究竞赛图任意边着色中路径单色根树的保证规模，确定一般及有界深度情形的极值，并分析随机竞赛图中的典型值。
2024-04-04 math.CO
On edges not in monochromatic copies of a fixed bipartite graph
设$H$是一个固定图。将$f(n,H)$表示为在完全图$K_n$的2-边着色中不包含在$H$的任何单色副本中的最大边数，并且将$ex(n,H)$表示为$H$的{\it Turán数}。一个简单的下限显示了任何$H$和$n$的$f(n,H)\ge ex(n,H)$。在\cite{KS2}中，Keevash和Sudakov证明了如果$H$是一个边色临界图或$C_4$，那么$f(n,H)= ex(n,H)$对大的$n$成立，并且他们问当$n$足够大时，这个等式是否对任何图$H$成立。在本文中，我们提供了一个肯定的答案，一个丰富的无限族的二部图$H$，包括所有偶圈和完全二部图$K_{s,t}$的$t>s^2-3s+3$或$(s,t)\in\{(3,3),(4,7)\}$。另外，我们证明了对于所有这样的$H$，$K_n$的2-边着色$c$达到最大数$f(n,H)$当且仅当$c$中的一个色类诱导$ex(n,H)$的极值图.我们还得到了二部图的一个多染色推广。最后对相关问题进行了讨论。
2016-05-30 math.CO
Edge-colorings of graphs avoiding complete graphs with a prescribed coloring
给定图$F$和整数$r \ge 2$，$F$的边集的划分$\widehat{F}$至多分成$r$类，以及图$G$，定义$c_{r, \widehat{F}}(G)$为$G$的边的$r$ -着色的数目，所述$G$的边不包含$F$的副本，使得由着色引起的边划分与$F$的边同构。我们认为$\widehat{F}$是应该避免的着色模式。主要的问题是，对于一个足够大的$n$，找到（极值）图$G$ $n$顶点最大化$c_{r, \widehat{F}}(G)$。这个问题推广了Erd{ \H o}s和Rothschild的问题，他们最初询问了不包含单色团的着色的数量（这等价于$F$是团并且分区$\widehat{F}$包含单个类的情况）。本文利用Hölder不等式和Zykov对称化证明了：对于任何$r \geq 2$，$k \geq 3$和团$K_k$的任何模式$\widehat{K_k}$，存在一个完全多部图是极值图.此外，如果模式$\widehat{K_k}$至少有两个类，除了两个非常小的模式（在三个或四个顶点上），每个极值图必须是一个完全多部图。在$r=3$和$\widehat{F}$是彩虹三角形的情况下（即，其中$F=K_3$和每个部分是单点的），我们证明了一个极图必须是几乎完全图.仍然为$r=3$，我们扩展了Alon，Balogh，Keevash和Sudakov的单色模式的结果，一些模…
2016-05-27 math.CO
Extremal and Ramsey results on graph blowups
最近，Souza引入了Blowup Ramsey数作为二分Ramsey数的推广。对于图$G$和$H$，如果$G$的每个$r$ -边着色都包含$H$的单色副本，则称为$G\overset{r}{\longrightarrow} H$。令$H[t]$表示$H$的$t$ -爆破。然后将$G,H,r,$和$t$的Blowup Ramsey数定义为最小$n$，使得$G[n] \overset{r}{\longrightarrow} H[t]$。Souza证明了$n$的下界在$t$中是指数的，并证明了指数常数不依赖于$G$。我们证明，依赖于$G$的指数常数确实是不必要的，但猜想，一些依赖于$G$是不可避免的。苏扎和我们的证明中的一个重要步骤是Nikiforov定理，它说如果一个图包含$H$的可能副本的常数部分，那么它包含对数大小的$H$的爆破。我们还提供了一个新的证明这个定理具有更好的定量依赖。
2020-04-06 math.CO
Colorful Exponential Random Graph Models
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；Barcelona School of Economics（巴塞罗那经济管理学院）；Boston University（波士顿大学）；Max Planck Institute of Molecular Cell Biology and Genetics（马克斯·普朗克分子细胞生物学与遗传学研究所）；Center for Systems Biology（系统生物学中心）
本文研究彩色指数随机图模型（ERGMs），利用概率图子框架推导极限自由能变分表示，建立零温两层选择原理，结合数值实验分析诱导楔和彩虹三角形ERGMs的结构与对称性破缺。
2026-09-01 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Towards characterizing locally common graphs
如果完全图的2-边染色中H的单色副本数被随机染色渐近最小化，则称图H是公共图。常见图的分类是极值图论中最有趣的问题之一。本文研究了Csóka，Hubai和Lovász [arXiv：1912.02926]所考虑的弱局部公共图的概念，其中图被要求是关于随机2-边染色的扰动的最小化。我们给出了一个完整的分析的12个初始项在泰勒级数确定的单色副本的数量H在这样的扰动和分类图H基于这种分析分为三类：图的I类是弱局部共同的，图的II类是不是弱局部共同的，图的III类不能确定为弱局部共同或不基于初始12项。作为推论，我们得到了图是公共图的新的必要条件和图是非公共图的新的充分条件。
2022-04-26 math.CO
Islands in minor-closed classes. I. Bounded treewidth and separators
图类的聚类色数是最小整数$t$，使得对于某些$C$，该类中每个图的顶点都可以用$t$着色，使得每个单色分量的大小至多为$C$ .证明了可嵌入曲面的图类的簇色数为4，证明了Esperet和Ochem的猜想.此外，我们研究了这个概念的列表形式，并利用给定的簇列表色数刻画了有界树宽图的次闭类。我们进一步加强了上述结果，解决了次闭类自举渗流的一些极值问题。
2017-10-07 math.CO
Extremal properties of flood-filling games
本文系统研究 Flood-It 游戏中使图单色所需的最大洪水操作次数，给出任意图的上下界并证明对树紧，同时探讨高边密度图的上界改进。
2019-07-24 cs.DM math.CO
Ramsey multiplicity and the Turán coloring
本文证明 Turán 染色对无限族图是唯一的极值染色，首次确定了 Burr-Rosta 猜想失效图的 Ramsey 多重性常数，并给出条件性的三色结果。
2023-06-27 math.CO
Monochromatic graph decompositions inspired by anti-Ramsey theory and the odd-coloring problem
本研究针对受反拉姆齐理论与奇着色启发的极值边着色问题，定义函数f(n,G|F)，给出三类关键结果：存在常数保证特定着色下G拷贝的存在性、奇图类下f(n,Kₖ|F)的渐近形式，以及小图在多奇/偶约束图族下f(n,G|F)的精确值。
2024-08-08 math.CO
Universal Limit Theorems in Graph Coloring Problems With Connections to Extremal Combinatorics
本文证明了一般随机图的均匀随机着色中单色边数的极限定理。这些可以被看作是生日问题的一般化（有两个朋友生日相同的概率是多少？）。它表明，如果颜色的数量增长到无穷大，渐近分布是一个泊松混合或正常的仅取决于在图中的边的数量和颜色的数量的比率的限制行为。这个结果适用于任何图序列，确定性或随机。另一方面，当颜色的数量固定时，确定渐近正态性的充要条件。最后，利用稠密图极限理论中的一些结果，刻画了稠密图的收敛序列的渐近（非正态）分布。的证明是基于矩计算的结果Erd \H OS和阿隆的极值子图计数。作为结果，一个简单的证明阿隆的结果，估计的同构副本的数量的一个给定长度的图与固定数量的边缘，提出。
2014-12-05 math.CO math.PR
Common graphs with arbitrary chromatic number
本文针对任意正整数 k，构造了连通的 k-色公共图，解决了关于公共图色数的长期开放问题，并推广了已有结果。
2024-08-21 math.CO
The Rado Multiplicity Problem in Vector Spaces over Finite Fields
本文将 flag algebra 方法扩展至有限域向量空间，确定了 F_3^n 的 3-着色中单色 3-AP 的最小数量，并给出 F_5^n 的 2-着色中单色 4-AP 最小数量的首个非平凡下界。
2023-04-01 math.CO math.NT math.OC
Density version of the Ramsey problem and the directed Ramsey problem
我们讨论的一个变种的拉姆齐和有向拉姆齐问题。首先，考虑一个完全图的$n$顶点和一个双染色的边缘，使得每一个边缘是着色与至少一种颜色和双着色的边缘$|E_{RB}|$的数量是给定的。我们的目标是找到一个单色集团的最大尺寸$f$，这是保证这样的着色。类似地，在第二个问题中，我们考虑$n$顶点上的半完全有向图，使得双向边数$|E_{bi}|$已给定。我们的目标是限制的大小$F$的最大传递子锦标赛，保证这样的有向图。应用概率和分析工具和建设性的方法，我们表明，如果$|E_{RB}|=|E_{bi}| = p{n\choose 2}$，（$p\in [0,1)$），那么$f, F < C_p\log(n)$，其中$C_p$只依赖于$p$，而如果$m={n \choose 2} - |E_{RB}| <n^{3/2}$，那么$f= Θ(\frac{n^2}{m+n})$。后一种情况与Turán型极值图论密切相关。
2016-01-21 math.CO
Extended commonality of paths and cycles via Schur convexity
一个图$H$是\emph{common}，如果在完全图$K_n$的2-边着色中，$H$的单色副本的数量通过随机着色渐近最小化，或者等价地，$t_H(W)+t_H(1-W)\geq 2^{1-e(H)}$对每个图$W:[0,1]^2\rightarrow [0,1]$成立，其中$t_H(.)$表示图$H$的同态密度。路径和圈是公共的是极值图论最早的基石之一，这是Mulholland和Smith（1959）、Goodman（1959）和Sidorenko（1989）提出的。我们证明了一个图同态不等式，它扩展了路和圈的公共性。也就是说，当$H$是一条路或一个圈，而$W:[0,1]^2\rightarrow\mathbb{R}$是一个有界对称可测函数时，就称为$t_H(W)+t_H(1-W)\geq t_{K_2}(W)^{e(H)} +t_{K_2}(1-W)^{e(H)}$。这回答了Sidorenko在1989年提出的一个问题，他证明了一个稍微弱一些的关于偶数长度路径的结果来证明奇数循环的共性。此外，它还以强有力的形式解决了Behague、Morrison和Noel最近提出的一个猜想，他们询问不等式是否适用于图子$W$和奇循环$H$。我们的证明使用Schur凸的完全齐次对称函数，这可能是独立的利益。
2022-10-03 math.CO
