Colorings v.s. list colorings of uniform hypergraphs
设$r$是具有$r\ge 2$的整数，$G$是连通的具有$m$边的$r$ -一致超图.通过改进超图的断圈定理，证明了：如果$k>\frac{m-1}{\ln(1+\sqrt{2})}\approx 1.135 (m-1)$，则允许最少着色的$G$的$k$ -列表分配是常数列表分配.这推广了Donner，Kassen和当前作者的图的先前结果。
2018-04-09 math.CO
Exponentially many Z5-colorings in simple planar graphs
每个n阶平面单图至少有2个^（n/9）Z5-染色。
2020-11-24 math.CO
$2$-distance, injective, and exact square list-coloring of planar graphs with maximum degree 4
在过去，各种基于距离的染色可平面图被介绍。我们把我们的重点放在其中的三个，即$2$ -距离着色，内射着色和确切的平方着色。$2$ -距离着色是顶点的真着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色;内射着色是顶点的着色，其中具有共同邻居的两个顶点不接收相同的颜色;精确正方形着色是顶点的着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色。证明了最大度为$Δ= 4$且围长至少为$4$的可平面图是$2$ -距离列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和注入列表$(Δ+ 5)$ -可着色图.此外，我们还证明了具有$Δ= 4$的可平面图是单射列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和精确正方形列表$(Δ+ 6)$ -可着色图.
2022-05-16 math.CO
Note on list star edge-coloring of subcubic graphs
图的{ \emph A星边染色}是不含双色路和长为4的圈的真边染色。在本文中，我们考虑这种着色的列表版本，并证明了每个次立方图的列表星色指数至多为$7$，回答了Dvopiák等人的问题（Star chromatic index，J.图论72（2013），313- 326）。
2017-09-11 math.CO
List-Coloring and Chromatic-Choosability -- A Dynamic Survey
Amrita Vishwa Vidyapeetham（阿迈塔维迪亚佩特大学）；Indian Institute of Technology-Madras（印度理工学院马德拉斯分校）
本文综述了列表染色和色可选择性的主要进展，重点介绍了已知等式成立的图类、存在非平凡间隙的图类以及证明这些结果的主要方法。
2026-07-01 math.CO
List-coloring graphs on surfaces with varying list-sizes
设$G$是一个嵌入在曲面$S_\varepsilon$上的图，其Euler亏格为$\varepsilon > 0$，$P\subseteq V(G)$是一组顶点，它们之间的距离至少为4.假设$G$的所有顶点都有$H(\varepsilon)$ -列表，并且$P$的顶点都是预着色的，其中$H(\varepsilon)=\Big\lfloor\frac{7 + \sqrt{24\varepsilon + 1}}{2}\Big\rfloor$是Heawood数。我们证明了$P$的着色扩展到$G$的列表着色，并且距离界为4是最佳可能的。我们的结果回答了Albertson关于将可平面图中一组相互远离的顶点的预着色扩展为图的5-列表着色的类似问题，并将Albertson和Hutchinson的结果推广到曲面上的列表着色扩展.
2013-01-01 math.CO
Sub-exponentially many 3-colorings of triangle-free planar graphs
Rassen证明了任意n阶无三角形可平面图都有指数多个3-染色，并证明了它至少有2^[n^（1/12）/20000]个不同的3-染色.我们证明了它至少有2^sqrt（n/362）个不同的3-着色。
2011-03-30 math.CO
Generalization of some results on list coloring and DP-coloring
本文利用DP-染色和变量退化的概念引入了DP-染色，并对以下文献的证明进行了改进：（i）不含$4$、$9$ -圈和来自$\{6, 7, 8\}$（R. Liu，S. Loeb，M. Rolek，Y. Yin，G. Yu，Graphs and Combinatorics 35（3）（2019）695-705），（ii）当$i$（P. Sittitrai，K. Nakprasit，arXiv：1801.06760（2019）preprint），（iii）每个可平面图都是$5$ -可选的（C. J. Combin. Theory Ser.B62（1994）180-181）。利用这种修改，我们得到了更多的结果列表着色，DP-着色，列表森林着色，变量退化。
2019-08-09 math.CO
DP-3-coloring of planar graphs without $4,9$-cycles and two cycles from $\{5,6,7,8\}$
列表着色的一个推广，现在称为DP着色，最近由Dvopelák和Postle引入。本质上，DP着色在邻顶点的颜色列表之间分配任意匹配，而不是像列表着色那样仅匹配相同的颜色。关于可平面图列表染色的一些结果已经被推广到DP染色的情形。我们注意到列表着色结果并不总是扩展到DP着色结果。本文的主要结果是证明了每个不含长为$\{4, a, b, 9\}$ for $a, b \in \{6, 7, 8\}$的圈的平面图都是DP-$3$-可着色的，推广了关于可平面图的$3$ -可选性的三个已有结果.
2018-09-20 math.CO
DP-coloring for planar graphs of diameter two
DP着色（也称为对应着色）是Dvourák和Postle（2017）引入的列表着色的推广。最近，Huang等人[https：//doi.org/10.1016/j.amc.2019.124562]证明了直径至多为2的可平面图是$4$ -可选的。本文证明了直径不超过2的可平面图是DP- $4$ -可着色的，这是上述结果的推广。
2019-10-23 math.CO
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
2014-02-21 math.CO
Coloring, List Coloring, and Painting Squares of Graphs (and other related problems)
Department of Mathematics, William and Mary（威廉与玛丽学院数学系）
本文综述了图的平方的着色、列表着色和涂色问题，特别是强边着色，主要关注平面图和其他稀疏图类。
2026-05-29 math.CO
Partial DP-Coloring
1980年，Albertson和Berman引入了部分着色。2000年，Albertson、Grossman和Haas引入了部分列表着色。在这里，我们开始研究部分着色，以便由Dvopelák和Postle在2015年引入的列表着色的有见地的推广，DP着色（或对应着色）。我们考虑DP-着色模拟部分列表着色猜想，它推广了一个自然界的部分着色。我们发现，虽然这部分DP着色猜想不成立，部分列表着色的几个结果可以扩展到部分DP着色。我们还研究了一个图与一个完全图的连接的部分DP-染色，并提出了几个有趣的开放问题。
2021-01-10 math.CO
On edge-colorings of bicubic planar graphs
在第一部分中，我们引入了双三次平面图的边染色度的概念，并证明了染色分次数的一些局部公式。在第二部分中，我们给出了Fisk关于平面双三次图的任意两个边3-染色是Kempe等价的一个结果的新证明。此外，我们表明，着色的程度表现良好的Kempe等价。
2013-12-02 math.CO
A variation on Heawood list-coloring for graphs on surfaces
我们证明了一个变化的Heawood列表着色的表面上的图形，仿照Mesquassen的平面5-列表着色定理。对于φ>0，将希伍德数定义为H（φ）=Floor（（7+Sqrt[24* φ +1]）/2）。本文证明了：除n =3外，嵌入到Euler亏格n>0的曲面上的每个图F都是列表着色的，当F的顶点有（H（n）-2）-列表，其它顶点都有H（n）-列表时，除非F的顶点上的诱导子图包含H（n）-1顶点上的完全图.
2013-05-20 math.CO
2-Distance Coloring of Planar Graphs with Specific Maximum Degree
Kalma Laboratory, Lebanese Univeristy（黎巴嫩大学卡尔马实验室）；Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学、法国国家科学研究中心、波尔多理工学院、LaBRI）
研究最大度数至少为6的平面图的2距离着色问题，探讨其着色方法及结果。
2026-01-18 math.CO
Analogue of DP-coloring on variable degeneracy and its applications on list vertex-arboricity and DP-coloring
在\cite{listnoC3adjC4}）中，Borodin和Ivanova证明了每个不含与$3$ -圈相邻的$4$-圈的可平面图都是列表顶点- $2$ -可省略的。事实上，他们证明了一个更普遍的结果。受这些结果和DP染色的启发，我们引入了包含列表顶点荫度的变量退化的一个推广。我们用这个概念推广了Borodin和Ivanova的一个一般结果。这一定理不仅推广了Borodin和Ivanova关于可平面图不含$3$ -圈的结果，而且推广了许多其他结果，包括Kim和Yu \cite{KimY}关于平面图不含$4$-圈的结果，即平面图是DP- $4$ -可着色的.
2018-08-21 math.CO
3-coloring triangle-free planar graphs with a precolored 9-cycle
给定一个无三角形的可平面图G和G中的一个9-圈C，刻画了C的3-染色不扩展到G的真3-染色的情形.当C是一个长度不超过8的圈时，这推广了以前的结果。
2017-09-27 math.CO
List coloring with requests
设G是一个具有列表赋值L的图.假设为某些顶点给定了首选颜色;当L-着色G时，这些首选颜色中有多少可以得到尊重？我们探讨了在这种情况下出现的几个自然问题，并提出了进一步研究的方向。
2018-11-17 math.CO
Online List Colorings with the Fixed Number of Colors
在线列表着色是图论中一个广泛研究的课题。一个图$G$是2-可画的，如果我们总是有一个策略来完成$G$的在线列表着色，其中每个顶点都有一个大小为2的颜色列表。本文主要研究了在线列表着色游戏，其中颜色的数量是事先已知的。我们说$G$是$[2,t]$ -paintable的，如果我们总是有一个策略来完成$G$的在线列表着色中的着色，其中我们提前知道恰好有$t$颜色，并且每个顶点都有一个大小为2的颜色列表。令$M(G)$表示其中$G$不是$[2,t]$可着色的最大$t$，并且$m(G)$表示其中$G$不是$[2,t]$可着色的最小$t \geq 2$。我们证明了如果$G$不是2-可画的，那么$2 \leq m(G) \leq 4,$和$n \leq M(G) \leq 2n-3.$。此外，我们分别用$m(G)\in \{2,3,4\}$和$M(G) \in \{n, n+1, 2n-3\},$刻画了$G$。
2015-03-23 math.CO
Multiple DP-coloring of planar graphs without 3-cycles and normally adjacent 4-cycles
图的DP-染色的概念是Dvoprák和Postle在2015年引入的列表染色的推广。图的多重DP染色是多重列表染色的推广，由Bernshteyn，Kostochka和Zhu在2019年首次研究。本文证明了不含3-圈且正常邻接4-圈的可平面图对每个整数$m$是$(7m, 2m)$ -DP-可着色的.因此，任何不含3-圈且通常相邻4-圈的可平面图的强分数选择数至多为$7/2$。
2022-01-28 math.CO
Triangle-free planar graphs with at most $64^{n^{0.731}}$ 3-colorings
Rassen证明了无三角形的可平面图有指数多的3-着色。最近，他通过提供具有$n$顶点和至多$2^{15n/\log_2 n}$ 3-着色的图的例子来反驳他的猜想。我们改进了他的建设，给这样的图的例子，最多$64^{n^{log_{9/2} 3}}<64^{n^{0.731}}$ 3-着色。我们推测这个指数是最优的。
2021-08-28 math.CO
A Unified Spiral Chain Coloring Algorithm for Planar Graphs
本文给出了可平面图的一个统一的图着色算法。在本文中分别讨论了可平面图的点着色、边着色、全着色和整着色问题。着色算法中的主要工具是螺旋链的使用，它在2004年已经被用于四色定理的非计算机证明中。本文还给出了用螺旋链染色证明四色定理的更精确的解释。然后，通过证明Vizing的全染色和最大顶点度为6的可平面图的全染色的其他著名定理，继续研究螺旋链染色的解。本文还证明了Kronk和Mitchem关于最大度为“Delta”的平面图是完全（“Delta”+4）-可染的猜想，最后讨论了螺旋链染色下可平面图的三种可染性。我们给出了Groetzsch定理的有效且简短的证明，即无三角形的可平面图是3-可着色的。
2007-11-27 math.CO
Strong edge coloring of planar graphs
图的强边染色是指距离至多为2的边具有不同颜色的真边染色。已知任意最大度为D的可平面图都有至多4D + 4色的强边染色。我们表明，3D + 6颜色足够的，如果图的围长为6，和3D颜色足够的，如果围长至少是7。此外，我们证明了围长至少为6的立方可平面图可以被最多9种颜色的强边染色。
2013-07-04 math.CO
On List Equitable Total Colorings of the Generalized Theta Graph
2003年，Kostochka、Pelsmajer和West提出了一个类似于公平着色的列表，称为公平可选择性。图$G$的$k$分配$L$将$k$可用颜色的列表$L(v)$分配给每个$v \in V(G)$，并且$G$的公平$L$着色是$G$的适当着色$f$，使得每个$v \in V(G)$和$f$的每个颜色类的$f(v) \in L(v)$具有至多$\lceil |V(G)|/k \rceil$的大小.在2018年，Kaul、Mudrock和Pelsmajer随后引入了列表公平全着色猜想，该猜想指出如果$T$是某个简单图的全图，则$T$对于每个$k \geq \max \{χ_\ell(T), Δ(T)/2 + 2 \}$都是公平$k$ -可选择的，其中$Δ(T)$是$T$中顶点的最大度，$χ_\ell(T)$是$T$的列表色数。本文证明了恒星剖分的列表均匀全染色猜想和广义theta图。
2019-08-02 math.CO
Improved square coloring of planar graphs
正方形着色是图着色的一种变体，其中距离为2的顶点必须接收不同的颜色。当考虑可平面图时，最著名的猜想（Wegner，1977）指出，$\frac32Δ+1$颜色足以使每个最大度的平面图$Δ$平方着色。这个猜想已被证明是渐近图与大的最大程度。我们认为这里的可平面图与小的最大程度，并表明$2Δ+7$颜色是足够的，这提高了最好的已知的界限时，$6\leqslant Δ\leqslant 31$。
2021-12-23 math.CO
Equitable Coloring in 1-Planar Graphs
本文证明最大度不超过$r$的1-平面图在$r\ge13$时均可进行公平$r$-着色，推广了公平着色相关结论。
2023-11-25 math.CO
List strong edge coloring of some classes of graphs
图的{ \em强边染色}是图的正常边染色，其中每个色类都是诱导匹配。图的{ \em强色数}是图的强边染色所需的最少颜色数。以类似的方式，我们可以定义列表形式的强边染色和列表形式的强色指数。本文证明了：如果$G$是一个最大度至多为4且最大平均度小于$3$的图，则其列表强色指数至多为$3Δ+ 1$，其中$Δ$是$G$的最大度.另外，我们证明了如果$G$是一个可平面图，其最大度至少为$4$，围长至少为$7$，则列表强色指数至多为$3Δ$ .
2017-04-14 math.CO
Some concepts in list coloring
本文研究了唯一列表可着色图.一个图G被称为是唯一k-列表可着色的，如果它允许一个k-列表分配，从该分配G有一个唯一的列表着色。G不是唯一k-列表可染的最小k称为G的M-数。本文证明了任何无三角形且色数为色数k+1的图都是唯一k-列表可染的。给出了图的M-数的一个界，并利用这个界证明了每个可平面图的M-数至多为4。在图中引入了列表临界性，刻画了所有3-列表临界图.证明了每个$χ_\ell$ -临界图都是$χ'$ -临界图，并证明了这个猜想与著名的列表着色猜想是等价的.
2008-01-02 math.CO
List majority edge-colorings of graphs
本文将有限图的多数边着色理论推广到无限图，在列表设定下证明了无悬挂边的无限图可用大小为4的列表实现多数边着色，并由此证实了线图的不友好划分猜想。
2023-12-01 math.CO
List coloring of matroids and base exchange properties
一个拟阵的着色是给它的基集的元素分配颜色。我们只限于适当的着色--那些相同颜色的元素形成一个独立集的着色。Seymour证明了一个$k$ -可着色拟阵也可以从任何大小为$k$的列表中着色。我们将这个定理推广到列表仍然具有固定大小但不一定相等的情况。对于任何固定大小的列表分配$\ell$，我们证明，如果一个拟阵是着色从一个特定的列表大小$\ell$，那么它是着色从任何列表大小$\ell$。这给出了一个显式的充要条件，使一个拟阵从任何固定大小的列表中可列表着色。作为一个应用，我们展示了如何使用我们的条件，以获得几个基地交换性质。
2014-12-10 math.CO
DP-3-coloring of some planar graphs
本文用统一的方法证明了几类可平面图是DP- $3$ -可着色图，推广了$3$ -可选图的相应结果.
2018-09-19 math.CO
Five-list-coloring graphs on surfaces III. One list of size one and one list of size two
设$G$是一个具有外圈$C$的平面图，$(L(v):v\in V(G))$是一族非空集. $G$的$L$ -着色是指$G$的一个（真）着色$ϕ$，使得对于$G$的每个顶点$v$，$ϕ(v)\in L(v)$. Rumassen证明了，如果$v_1,v_2\in V(C)$是相邻的，$L(v_1)\ne L(v_2)$，$|L(v)|\ge3$对于每个$v\in V(C)-\{v_1,v_2\}$和$|L(v)|\ge5$对于每个$v\in V(G)-V(C)$，那么$G$有一个$L$ -着色。当$v_1$和$v_2$不相邻时会发生什么？然后$L$着色不需要存在，但在本系列的第一篇论文中，我们已经证明了它存在，如果$|L(v_1)|,|L(v_2)|\ge2$。在这里，我们刻画当$L$ -着色存在，如果$|L(v_1)|\ge1$和$|L(v_2)|\ge2$。这个结果是一个引理，沿着同样的路线，我们将使用它来证明极小非$L$ -可着色平面图与两个有界长度的预着色圈是有界的大小。后一个结果有许多我们在别处所追求的应用。
2016-08-19 math.CO
An update on reconfiguring $10$-colorings of planar graphs
图$G$的$k$ -着色的重构图$R_k(G)$具有作为顶点集的$G$的所有可能的适当$k$ -着色的集合，并且如果两个着色在恰好一个顶点的颜色上不同，则两个着色是相邻的。Bousquet和Perarnau（2016）关于有界退化图的一个结果意味着，如果$G$是具有$n$顶点的平面图，则$R_{12}(G)$的直径至多为$6n$。我们改进了图的颜色数，证明了对于每一个有$n$顶点的平面图$G$，$R_{10}(G)$的直径至多为$8n$.
2020-02-13 math.CO
Relaxed DP-3-coloring of planar graphs without some cycles
该研究属于图论着色领域，在已有松弛DP着色的平面图相关结论基础上，证明了不含4环与6环、或不含4环与8环的平面图满足DP-(0, 2, 2)-可着色性，拓展了该方向的研究结果。
2023-11-05 math.CO
Total Equitable List Coloring
图的均匀着色是指图的正常着色，使得图的色类的大小相差至多1。一个图$G$是$k$ -可均匀着色的，如果存在一个$G$的均匀着色，它使用$k$颜色，每个颜色出现在$G$的$\lfloor |V(G)|/k \rfloor$或$\lceil |V(G)|/k \rceil$顶点上. 1994年，Fu证明了对任何简单图$G$，只要有$k \geq \max\{χ(T(G)), Δ(G)+2\}$，$G$的全图$T(G)$是$k$ -可着色的，其中$χ(T(G))$是$G$的全图的色数，$Δ(G)$是$G$的最大度.我们研究列表着色模拟。列表着色要求从指定的颜色列表$L(v)$对每个顶点$v$着色。一个图是$k$ -可选的，如果它有一个适当的列表着色，只要顶点有大小为$k$的列表.一个图是公平$k$ -可选的，如果它有一个适当的列表着色，只要顶点有大小为$k$的列表，其中每种颜色最多用于$\lceil |V(G)|/k \rceil$顶点.在Fu猜想的基础上，我们猜想：对于任何简单图$G$，只要$k \geq \max\{χ_l(T(G)), Δ(G)+2\}$，$T(G)$是$k$ -可公平选择的，其中$χ_l(T(G))$是$T(G)$的列表色数.我们证明了这一猜想的所有图满足$Δ(G) \leq 2$，同时也研究了相关的问题的公平选择的权力的道路和循环。
2018-03-20 math.CO
Exponentially Many 4-List-Colorings of Triangle-Free Graphs on Surfaces
证明了平面图$G$在$n$顶点上至少有$2^{n/9}$不同的$L$ -着色，如果$L$是$G$的5-列表-赋值，至少有$2^{n/10000}$不同的$L$ -着色，如果$L$是$G$的3-列表-赋值，并且$G$的围长至少为5。Postle和Thomas证明了：如果$G$是一个图，它的$n$顶点嵌入在一个属$g$的曲面$Σ$上，则存在常数$ε,c_g > 0$使得如果$G$具有$L$着色，然后$G$有至少$c_g2^{εn}$不同的$L$ -着色如果$L$是$G$或如果$L$是$G$和$G$的3列表分配腰围至少有五更一般地，他们证明了存在常数$ε,α>0$，使得如果$G$是一个图，其$n$顶点嵌入在固定亏格$g$的表面$Σ$中，则$H$是$G$的真子图，并且$ϕ$是$H$的一个$L$ -着色，其扩展到$G$的一个$L$ -着色，则如果$L$是5-列表分配或者如果$L$是3-列表分配并且$G$具有至少5的围长，则$ϕ$扩展到$G$的至少$2^{ε(n - α(g + |V(H)|))}$不同的$L$着色。我们证明了同样的结果，如果$G$是三角自由和$L$是一个4-列表分配的$G$，其中$ε=\frac{1}{8}$，和$α= 130$。
2016-02-15 math.CO
The list-coloring function of signed graphs
已知对于图$G$的任何$k$ -列表分配$L$，$G$的$L$ -列表着色的数目至少是当$k>(m-1)/\ln(1+\sqrt{2})$ .本文将Whitney的破环定理推广到符号图的$L$ -染色，证明了如果$k> \binom{m}{3}+\binom{m}{4}+m-1$，则对任意的$k$ -赋值$L$，具有$m$边的符号图$Σ$的$L$ -染色数至少是$Σ$的真$k$ -染色数.此外，如果$L$不含$0$（相应地，包括$0$）和$k$是偶数（分别，奇数），则$k$的下限$\binom{m}{3}+\binom{m}{4}+m-1$可以改进为$(m-1)/\ln(1+\sqrt{2})$。
2022-07-12 math.CO
Colorings of oriented planar graphs avoiding a monochromatic subgraph
对于固定的简单有向图$F$和给定的简单有向图$D$，$D$的无$F$ $k$染色是其中$D$中没有$F$的诱导拷贝是单色的顶点染色.本文研究了对于固定的$F$和$k$，判定给定的简单有向图是否允许$F$ -free $k$ -染色的复杂性.我们的主要重点是限制的问题，平面输入有向图，它是唯一有趣的研究情况$k \in \{2,3\}$。由已知的结果可知，对于每个其基础图不是森林的固定有向图$F$，每个平面有向图$D$允许一个$F$ -free $2$ -染色;对于每个具有$Δ(F) \ge 3$的固定有向图$F$，每个定向平面图$D$允许一个$F$ -free $3$ -染色.相反，我们表明，如果$F$是一个方向的路径的长度至少$2$，那么它是NP-难决定是否一个非循环和平面输入有向图$D$承认$F$ -免费$2$ -染色。- 如果$F$是一条长度至少为$1$路的方向，则判定一个无圈平面输入有向图$D$是否允许$F$ -自由$3$ -染色是NP-困难的。
2022-06-07 math.CO
Planar graphs have two-coloring number at most 8
证明了任意可平面图的二色数至多为8。这解决了Kierstead等人[SIAM J. Discrete Math. 23（2009），1548- 1560]。结果是最优的。
2018-06-21 math.CO
Frugal coloring in planar graphs with maximum degree 4 and 5
Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）；University of West Bohemia（西波希米亚大学）
该研究针对最大度为4和5的平面图，证明其2-节俭着色分别可使用7种和10种颜色，是Wegner猜想的部分变体结果。
2026-10-12 math.CO
List-coloring the Squares of Planar Graphs without 4-Cycles and 5-Cycles
设$G$是一个不含4-圈和5-圈的平面图，它具有最大度$Δ\ge 32$ .我们证明了$χ_{\ell}(G^2)\le Δ+3$ .对于任意大的最大度$Δ$，存在围长为6的可平面图$G_Δ$，且$χ(G_Δ^2)=Δ+2$ .因此，我们的界限在1以内是最优的。此外，我们的界限来自着色greetings在一个良好的秩序，所以立即扩展到在线列表着色的界限。此外，我们还证明了$L(p,q)$ -标记的界。具体地，$λ_{2,1}(G)\le Δ+8$，更一般地，$λ_{p,q}(G)\le (2q-1)Δ+6p-2q-2$，对于正整数$p$和$q$，具有$p\ge q$。同样，这些边界来自贪婪着色，所以它们立即扩展到这个问题的列表着色和在线列表着色变体。
2015-05-13 math.CO
A Lower Bound for Partial List Colorings
设G是一个n点图，其表色数为$χ_\ell$ .假设G的每个顶点都被赋予一个t颜色的列表。Albertson、Grossman和Haas推测至少$t n / {χ_\ell}$顶点可以从这些列表中着色。我们证明了可着色顶点数的一个下界。作为一个推论，我们证明了至少有6/7的限制数可以着色。
1998-05-13 math.CO
Equitable coloring of graphs beyond planarity
针对IC-平面图和NIC-平面图的均匀Δ-着色问题，本文将Zhang证明的IC-平面图阈值从Δ≥12降至Δ≥10、NIC-平面图阈值从Δ≥13降至Δ≥11，优化了两类图均匀着色的最大度条件。
2025-04-17 math.CO
Extracting list colorings from large independent sets
我们将Kostochka和Yancey的核引理应用于其逻辑结论。其结果是一种神奇的方法，可以从一个独立集的存在性中得出关于列表着色（和在线列表着色）的结论。我们用它来证明在线列表着色的布鲁克斯定理的Ore度版本。图$G$中边$xy$的Ore度为$θ(xy) = d_G(x) + d_G(y)$。$G$的矿石级为$θ(G) = \max_{xy\in E(G)}θ(xy)$。我们证明了每个具有$θ\ge18$和$ω\le\fracθ{2}$的图都是在线$\left\lfloor \fracθ{2}\right\rfloor $可选择的。此外，我们还证明了在线列表着色无三角形图的一个上界：$χ_{OL}\leΔ+1-\lfloor\frac{1}{4}\lg(Δ)\rfloor$。最后，我们把Gallai树刻画为连通图$G$，它至少有$|G|$边没有独立集。
2015-12-26 math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces V. Coloring planar graphs with distant anomalies
本文解决了Havel的一个问题，证明了存在一个绝对常数d，使得如果G是一个可平面图，其中每两个不同的三角形之间的距离至少为d，则G是3-可着色的.事实上，我们证明了一个更一般的定理。设G是一个可平面图，设H是G的一组连通子图，每个子图的大小都有界，使得H的每两个不同成员至少相距指定距离，并且G的所有三角形都包含在\bigcup{H}中。我们给出了G的3-着色φ存在的一个充分条件，使得对每个B \in H，φ对B的限制是以特定的方式约束的.
2020-04-15 math.CO
A Note on Odd Colorings of 1-Planar Graphs
本文研究1-平面图的奇数着色问题，证明每个1-平面图都可进行奇数23-着色。
2022-02-28 math.CO
A Note on Partial List Colorings
设$G$是一个点数为$n$且列色数为$χ_\ell(G)=χ_\ell$的单图.假设为$0\leq t\leq χ_\ell$和$G$的每个顶点分配了一个$t$颜色列表。Albertson、Grossman和Haas [1]指出，至少$G$的$\frac{tn}{χ_\ell}$顶点可以从这些列表中着色。在本文中，我们发现了一些新的结果，有助于我们表明，猜想是正确的，至少有一半的号码集$\{1,2,...,χ_\ell(G)-1\}$的部分列表着色。此外，我们还引入了一个新的相关猜想，最后给出了关于这个猜想的一些结果。
2008-05-21 math.CO
Additive colorings of planar graphs
图$G$的一个\emph{additive coloring}是正整数$\{1,2,...,k\}$到$G$的顶点的赋值，使得对于每两个相邻的顶点，分配给它们的邻居的数的和是不同的。存在$G$加性着色的最小数$k$由$η(G)$表示。我们证明了对每个平面图$G$，都有$η(G)\leqslant 468$.这改进了由于Norin而导致的先前绑定的$η(G)\leqslant 5544$。利用组合零点定理和平面超图的色数证明了该定理。我们还证明了3-可着色可平面图的$η(G)\leqslant 36$和围长至少为13的平面图的$η(G)\leqslant 4$。在一组理论版本的问题，我们表明，对于每个$r\geqslant 2$有一个$r$ -色图$G_{r}$没有添加剂着色的任何阿贝尔组的顺序$r$的元素。
2012-02-06 math.CO
Complete colorings of planar graphs
本文研究了围长为4的平面图、外可平面图、可平面图和嵌在曲面上的图的消色差数和伪消色差数。给出了极大嵌入图的渐近紧结果和下界。
2018-04-06 math.CO
Restricted extension of sparse partial edge colorings of complete graphs
给定一个完全图$K_n$的部分边染色和$K_n$的非着色边的允许颜色列表，我们能不能仅用列表中的颜色将部分边染色扩展到$K_n$的正常边染色？我们证明了这个问题有一个肯定的答案的情况下，部分边着色和颜色列表满足一定的稀疏性条件。
2019-12-16 math.CO
Equitable Colorings of Planar Graphs without Short Cycles
图的\emph{equitable coloring}是图的一个正常顶点染色，使得每两个色类的大小相差至多1。Chen，Lih，and Wu证明了每个连通图$G$具有最大度$Δ\geq 2$都具有与$Δ$颜色相等的着色，除非$G$是完全图或奇圈或$Δ$是奇的，并且$G=K_{Δ,Δ}.$ Nakprasit证明了该猜想对最大度至少为9的可平面图成立。Zhu和Bu证明了对于每个最大度至少为8的无$C_3$的平面图和对于每个最大度至少为7的无$C_4$和$C_5$的平面图，该猜想成立.本文证明了该猜想对各种情况下的可平面图都成立，特别是对最大度至少为6的无$C_3$的平面图和最大度至少为7的无$C_4$的平面图都成立，改进或推广了朱和卜关于均匀着色的结果.此外，我们还证明了对于围长至少为6且最大度至少为5的平面图，该猜想成立。
2012-03-02 math.CO
On-line list coloring of matroids
若相同颜色的元素构成一个独立集，则称拟阵的染色是真的。Seymour的一个定理断言，一个k-可着色拟阵也可以从任何大小为k的列表中着色。本文将这一定理推广到在线情形。我们证明，着色的拟阵从大小为k的列表是可能的，即使在列表中的颜色的外观恢复颜色的颜色由对手，而我们的工作是分配一个颜色后，立即恢复。我们还证明了一个更一般的加权版本，我们的结果与不同大小的列表。由此得到了一般情况下拟阵列表可着色的一个简单的充要条件。我们使用的主要工具是多基交换性质，我们给出了一个简单的证明。
2013-02-10 math.CO
Sum list coloring, the sum choice number, and sc-greedy graphs
设G =（V，E）是一个图，f是一个函数，它给G的顶点分配列表大小.称G是f-可选的，如果对于G的每个顶点的色表的赋值，如果其色表的大小与f一致，则存在G从这些色表中的正常染色。和选择数是G的所有可选择函数f上f的列表大小之和的最小值。图的和选择数总是至多为和|V| + |E|。当G的和选择数等于这个上界时，称G是sc-贪婪的.本文确定了所有五点图的和选择数，证明了圈树是sc-贪婪的，并给出了和表染色的一些新的一般性结果。
2013-05-08 math.CO
