Counting colorings of a regular graph
一个正则图最多允许多少个（真）q-染色？Galvin和Tetali证明了在所有的n-顶点图中，d-正则图具有2d| n，没有一个图比完全二部图K_{d,d}的n/2d个副本的不交并允许更多的q-染色.本文给出了这一猜想的渐近证据，给出了一个n-顶点d-正则图允许的q-染色数的上界，该上界为a^n b^{n（1+o（1））/d}（其中a和b依赖于q，当d趋于无穷大时o（1）趋于0），它与K_{d,d}的n/2d个拷贝的q-染色数在o（1）项上一致.一个辅助结果是正则图的着色数的一个上界。例如，我们证明了对所有偶数q和固定ε> 0，存在δ=δ（ε，q）使得一个没有大小为n（1-ε）/2的独立集的n-顶点d-正则图允许的真q-染色数至多为（a-δ）^n.
2012-05-11 math.CO
Three coloring via triangle counting
在Steinberg的三着色猜想的第一个部分结果中，Abbott和Zhou使用计数论证证明了每个不具有长度为4到11的圈的可平面图是3-可着色的。在他们的证明中隐含了一个关于平面图的事实：在任何最小度为3的平面图中，如果没有两个三角形共享一条边，那么三角形构成的面严格小于小于2/3。我们证明了这个结果，结合Kostochka和Yancey的解决方案的矿石猜想k = 4，意味着每个可平面图没有周期的长度4至8是3-着色。
2022-09-10 math.CO
A Polynomial Method for Counting Colorings of Sparse Graphs
本文提出一种统一的多项式方法，为满足稀疏性条件的图的$S$-标号着色数给出指数下界，并利用$S$的结构改进下界适用性，从而改进了DP-着色、平面图色多项式、列表着色及符号图着色等各类着色数的枚举下界。
2024-10-19 math.CO
Counting List Colorings of Unlabeled Graphs
Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）
本文研究无标号图的列表着色计数问题，定义了无标号列表着色函数，并证明在k足够大时，该函数与经典色多项式相等。
2026-09-18 math.CO
A 112-Vertex Counterexample to the Petersen Coloring Conjecture
本文构造了112顶点的无桥三次图作为彼得森着色猜想的反例，经SAT求解器验证其无彼得森着色，结合相关定理可推出无穷多此类图无该着色。
2026-08-12 math.CO
Counting locally flat-foldable origami configurations via 3-coloring graphs
折纸，其中二维纸张折叠成复结构，被证明是丰富的组合和几何结构，其中大部分仍然是完全理解。在本文中，我们考虑\emph{flat origami}，其中材料片折叠成二维物体，并考虑由这种折叠形成的山（凸）和谷（凹）折痕，称为折痕图案的\emph{MV assignment}。我们建立了一个方法，给定一个平可折叠的折痕模式$C$在一定的条件下，创建一个可平面图$C^*$，其3-着色是在一对一的对应与局部有效的MV分配$C$。这减少了一般的，未解决的问题，枚举本地有效的MV分配的枚举3-着色的图。
2019-10-03 math.CO
Strong Edge-Coloring of Cubic Bipartite Graphs: A Counterexample
图$G$的强边着色$φ$为$G$的边分配颜色，使得每当$e_1$和$e_2$的距离不大于1时，$φ(e_1)\ne φ(e_2)$。它等价于$G$的线图的正方形的一个适当的点染色。1990年Faudree，Schelp，Gyárfás，and Tuza证明了：如果$G$是一个最大度为3且围长足够大的二部图，则$G$有最多5种颜色的强边染色。在2021年，这个猜想被卢扎尔、马恰约娃、什科维耶拉和索塔克推翻。在这里，我们给出了一个替代的建设，以反驳猜想。
2022-05-26 math.CO
The Total Coloring Conjecture holds for planar graphs without three special subgraphs
本文证明全染色猜想对最大度为六且不含蘑菇、帐篷和锥体三种子结构的平面图成立，从而推广了此前关于禁止4-扇的结果。
2025-07-17 math.CO
Counterexamples to the List Square Coloring Conjecture
图$G$的正方形$G^2$是在$V(G)$上定义的图，使得如果$G$中的$u$和$v$之间的距离至多为2，则$G^2$中的两个顶点$u$和$v$相邻。令$χ(H)$和$χ_l(H)$分别为$H$的色数和列表色数。一个图$H$称为{ \em chromatic-choosable}，如果$χ_l (H) = χ(H)$。寻找可色选的图是一个有趣的问题。Kostochka和Woodall \cite{KW2001}证明了对每个图$G$都有$χ_l(G^2) = χ(G^2)$，这就是列表平方着色猜想.本文给出了该猜想的无穷多个反例。此外，我们表明，值$χ_l(G^2) - χ(G^2)$可以是任意大的。
2013-05-16 math.CO
A Note About Majority Colorings of Countable DAGs
本文通过构造一个需要3种颜色才能实现多数着色的可数DAG，否定了“2种颜色足以对每个可数DAG进行多数着色”的猜想。
2024-06-06 cs.DM math.CO
Disproving the Petersen Coloring Conjecture: Theoretical Analysis and an Infinite Family of Counterexamples
KU Leuven（荷语鲁汶大学）；Ghent University（根特大学）；Leiden University（莱顿大学）；Comenius University（布拉迪斯拉发康斯坦丁哲学者大学）；University of Modena and Reggio Emilia（摩德纳和雷焦艾米利亚大学）
针对Putman提出的112顶点彼得森着色猜想反例，本文给出不依赖大规模SAT计算的人类可验证证明，简化矛盾为彼得森图线图的结构性质，深化了对构造小装置的理解。
2026-10-01 math.CO
Counting unlabeled k-trees
我们计数未标记的k-树，通过适当地将它们着色为k+1种颜色，然后在颜色上的对称群的作用下计数这些着色的轨道。
2014-05-11 math.CO
Number of Distinguishing Colorings and Partitions
如果图$G$的非单位自同构不保留它，则图$G$的顶点着色称为可区分的（或对称性破缺），并且由$D(G)$表示的可区分数是这种着色所需的最小颜色数。本文研究了具有$k$颜色的图的非等价可区别染色的计数问题。本文给出了一个参数$Φ_k (G)$，它是图$G$的最多含有$k$颜色的非等价可区别染色的个数，它在计算字典积和图的$X$ -联的可区别数中的应用.我们研究这个指数（和其他一些类似的指数），这是一般难以计算。然后，我们证明了，如果一个图$G$，这是最小的颜色数$θ(G)$的区别阈值，使$k\geq θ(G)$，每个$k$ -染色的$G$是可区别的，然后，在某些特殊情况下，计数的数量可区别的颜色与$k$是非常容易的。我们计算$θ(G)$的一些类的图，包括Kneser图$K(n,2)$。然后，我们转向顶点划分，通过研究图$G$的区别染色分区;一个分区的顶点$G$诱导区别染色$G$。在这里，我们引入了$Ψ_k (G)$作为最多有$k$细胞的非等价可区别染色划分的数量，这是其可区别染色对应物的推广。
2020-05-08 math.CO
Counting Group Valued Graph Colorings
图的同态或着色的分拆函数有许多变体。这里考虑的情况是一个计数或硬约束问题，其中的范围或颜色图进行自由和顶点传递的阿贝尔群行动，使颜色与该组的元素。利用傅里叶变换得到了以无峡子图为索引项的着色数的展开式。这些项是颜色图的边密度a中的多项式与域的索引子图到互补颜色图中的着色的数量的乘积。a中的多项式与颜色组无关，并且该项具有到r的阶数（1-a），其中r是顶点数减去索引子图中的分量数。因此，如果（1-a）是小的，则存在由空子图索引的主项，该空子图是a中的多项式，并且对着色群的第一依赖性发生在最低阶校正中，该最低阶校正由图中的最短圈索引，并且是（1-a）到g-1的阶，其中g是这些最短圈的长度。主要定理被表述为互反定律。例子中，着色组是长周期和产品的短周期和邻顶点相邻的需要有遥远的，而不是不同的颜色。图的色多项式对应于使用任何群并取允许集作为单位元的补。
2012-04-05 math.CO
Cones of Theta Graphs are Enumeratively Chromatic-Choosable
School of Computing, University of South Alabama（南阿拉巴马大学计算机学院）；McGill-Toolen Catholic High School（麦吉尔-图伦天主教高中）；Department of Mathematics and Statistics, University of South Alabama（南阿拉巴马大学数学与统计系）；Department of Applied Mathematics, Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院应用数学系）；Alabama School of Math and Science（阿拉巴马数学与科学学校）；Department of Biomedical Sciences, University of South Alabama（南阿拉巴马大学生物医学科学系）
本文证明当G为θ图时，K₁∨G是枚举色可选的，其证明结合经典不等式、多项式方法与DP着色思想，回应了枚举色可选性的类似Ohba结论的猜想。
2026-10-14 math.CO
Hoffman colorings of graphs
本文研究非正则图的Hoffman界紧性，提出分解定理与组合定理以刻画Hoffman着色结构，完全分类锥图和线图的Hoffman可着色性，并导出计算连通Hoffman可着色图的算法。
2025-01-30 math.CO
Counting Colored Trees
Dartmouth College（达特茅斯学院）；Canisius University（卡尼西乌斯大学）；Iowa State University（爱荷华州立大学）；North Carolina School of Science and Mathematics（北卡罗来纳州科学与数学学校）；Institute of Discrete Mathematics, TU Graz（格拉茨工业大学离散数学研究所）；Department of Mathematics, Uppsala University（乌普萨拉大学数学系）
本文研究了根据特定着色规则计数平面树的问题，揭示了不同规则导致相同计数序列的条件，并给出了多种颜色下的计数序列及公式。
2026-07-22 math.CO
An Algebraic Approach for Counting DP-3-colorings of Sparse Graphs
DP-着色（或对应着色）是列表着色的一种推广，自2015年由Dvoprák和Postle引入以来一直被广泛研究。作为图$G$的色多项式$P(G,m)$和列表色函数$P_{\ell}(G,m)$的类似物，$G$的DP色函数，用$P_{DP}(G,m)$表示，计算所有可能的$m$ -折叠覆盖上的DP-着色的最小数目。因此，$P_{DP}(G,m) \le P_{\ell}(G,m) \le P(G,m)$。一个函数$f$是色附着的，如果对于每个图$G$，对于某些$a \geq χ(G)$的$f(G,a) = P(G,a)$意味着对于所有$m \geq a$的$f(G,m) = P(G,m)$。已知DP颜色函数不是色度粘附的，但是只有两个已知的图证明了这一点。设$G$是一个$n$ -顶点图，$\mathcal{H}$是$G$的一个3重覆盖，本文将$\mathcal{H}$与一个多项式$f_{G, \mathcal{H}} \in \mathbb{F}_3[x_1, \ldots, x_n]$相关联，使得$f_{G, \mathcal{H}}$的非零个数等于$G$的$\mathcal{H}$ -染色个数.然后，我们使用一个著名的结果阿隆和Füredi的非零的多项式的数量，建立一个非平凡的下界$P_{DP}(G,3)$时$2n > |E(G)|$。一个简单的结果是，$P_{DP}(G, 3)…
2023-03-17 math.CO
A counterexample to the $S_{10}$- and the $S_{12}$-Conjecture
本文针对图论中受Petersen染色猜想启发的$S_{10}$-染色和$S_{12}$-染色猜想，提出了一个反例以证明这两个猜想均不成立。
2025-09-17 math.CO
Coloring connections with counting mountain-valley assignments
我们调查了最近的尝试，列举了一些山谷的任务，让一个给定的折痕模式，以当地折叠单位。特别是，我们解决了这个问题的平方扭曲镶嵌和推广的方法用于更广泛的家庭的折痕图案。我们还描述了更困难的情况下，三浦ori和最近发现的双射与3顶点着色的网格图。
2016-01-12 cs.CG math.CO
Counting edge-colorings of a complete graph avoiding a rainbow $K_4$
Universidade Federal do Ceará (UFC)（塞阿拉联邦大学）
本文研究避免彩虹 $K_4$ 的完全图边着色计数，证明对 $r\ge25$ 大多数着色使用超过五种颜色，并给出指数增长率，结合容器法与图移除引理。
2026-09-22 math.CO
An FPTAS for Counting Proper Four-Colorings on Cubic Graphs
图着色可以说是近似计数领域中研究最彻底的问题。证明了存在一个完全多项式时间（随机）近似方案（FPTAS/FPRAS），用于计算只要$q \geq Δ+ 1$的正确着色数，其中$q$是图的颜色数，$Δ$是图的最大度. $q = Δ+ 1$的界是$Δ$ -正则无限树上Gibbs测度的唯一性阈值.然而，即使对于任何固定的$Δ\geq 3$（$Δ=1, 2$的情况是微不足道的），该猜想仍然是开放的。本文设计了一个计算图的最大度$3$的正确$4$ -着色数的FPTAS，从而在$Δ=3$的情况下证实了猜想.这是第一次达到这个最佳界的$q = Δ+ 1$。以前，最好的FPRAS需要$q > \frac{11}{6} Δ$和最好的确定性FPTAS需要$q > 2.581Δ+ 1$一般的图。在$Δ=3$的情况下，最好的先前结果是用于计数正确5-着色的FPRAS。我们注意到，有一个障碍，以超越$q = Δ+ 2$单点Glauber动力学为基础的FPRAS，我们克服了相关衰减方法。此外，我们开发了一些新的技术的相关衰减的方法，可以找到应用在其他近似计数问题。
2016-11-13 cs.DS math.CO
Crumby colorings -- red-blue vertex partition of subcubic graphs regarding a conjecture of Thomassen
Eschlassen提出了以下猜想：每个$3$ -连通三次图都有一个红-蓝顶点着色使得蓝色子图的最大度至多为$1$（即由一个匹配顶点和一些孤立顶点组成）且红色子图的最小度至少为$1$且不含$3$ -边路.由于这种着色中所有单色分量都很小且存在一定的不规则性，我们称这种着色为\emph{crumby}。最近，Bellitto，Klimošová，Merker，Witkowski和Yuditsky \cite{counter}构造了一个无穷族，反驳了上述猜想.它们的原型反例是$2$ -连通的平面的，但包含一个$K_4$ -子环和一个$5$ -环。这使得上述猜想对于一些重要的图类是开放的：外平面图，$K_4$ -minor-free图，二部图。在这方面，我们证明了$2$ -连通的外平面图，$K_4$的细分和$1$ -细分的三次图允许crumby染色。如果每条边至少被细分一次，则$G$的细分是{ \it真正的}。我们证明了任何亚三次图的每个真正的细分都允许crumby染色。我们稍微概括了其中的一些结果，并制定了一些approaches。
2022-12-08 math.CO
Coloring the power graph of a semigroup
设$G$是半群.幂图$\mathcal{P}(G)$的顶点是$G$的元素，并且两个元素相邻当且仅当其中一个是另一个的幂。我们证明了$\mathcal{P}(G)$的色数至多是可数的，从而回答了最近的一个问题。
2016-07-01 math.CO
Symmetric colorings of polypolyhedra
多面体（后R. Lang）是边传递的1-β的化合物。有54个拓扑上不同的多面体，每个都有二十面体，立方八面体或四面体对称，所有这些都可以实现为每个骨架边缘一个模块的模块化折纸模型。考虑一个着色，其中给定组件的每条边接收不同的颜色，并且着色（直到全局颜色置换）在多面体的对称群下是不变的。在五个相交的四面体上，每种颜色的边缘在模型上形成视觉带，并对应于十二面体图上的匹配。我们统计了这类着色的数目，并给出了三个证明。对于每一个非多边形分量的多面体，都有一个对应的匹配着色，我们计算这些匹配着色的数量。对于某些非多边形分量的多面体，存在相应的视带着色，并统计了这些视带着色的个数。
2015-12-01 math.CO math.MG
Color or cover
如果一个三角化球面上除两个顶点外的所有顶点都具有可被$k$整除的度数，则例外顶点不相邻。利用染色单值性证明了$k=2$的这一定理。对于$k = 3, 4, 5$，必须使用柏拉图立体顶点的着色。与着色单值性，人们可以联想到一个分支覆盖。这推广到两个三角曲面之间的空间芽。我们还讨论了Belyi曲面和锥度量的常曲率的关系。
2015-11-20 math.CO math.GT
Schröder Coloring and Applications
我们提出了几个双射，在组合对象计数的施罗德数，然后使用（通过着色）的建设和枚举的合理施罗德道路的整数斜率，有序有根树，和简单的有根outerplanar地图。另一方面，我们推导出部分贝尔多项式身份的小和大的施罗德数，这使我们能够获得明确的枚举公式。
2019-08-21 math.CO
A Polynomial-Time Algorithm for Coloring Perfect Graphs Based on Walk Counting
Princeton University（普林斯顿大学）
该研究提出基于图论操作的多项式时间算法，核心是通过迭代计算加权路径判定完美图是否含给定大小团，权重先统一初始化再依上次迭代路径计数更新，用于对完美图进行最优着色。
2026-07-13 cs.DM cs.DS math.CO
Counting subgraphs of coloring graphs using shadow graphs
本文提出利用影子图色多项式显式构造着色图中诱导子图计数多项式的方法，给出超立方体情形公式，并以同色对多项式、不同色多项式的图对反驳相关猜想。
2025-10-04 math.CO
Online coloring of short interval graphs and two-count interval graphs
Kean University（基恩大学）
本文研究了σ-区间图和两计数区间图的在线着色问题，证明了σ-区间图的在线着色竞争比下界为3，而两计数区间图的贪心算法First-Fit的竞争比为4，且在不同条件下给出了更优的竞争比下界。
2026-04-30 cs.DS math.CO
Polynomials Counting Group Colorings in Graphs
Guangzhou University（广州大学）
本文定义了α-兼容图和循环分配多项式，用于计数图中的(A,f)-着色，并展示了多项式系数与可接受分配的关系。
2026-01-22 math.CO
Counting Packings of List-colorings of Graphs
本文研究图的列表着色装填计数，定义装填枚举函数，证明大色数下表色与列表情形相等，并将稀疏图装填数界推广为指数下界。
2025-03-17 math.CO
Anti-Ramsey theory problems, lattice point counts on polytopes, and Hodge structures on the cohomology of toric varieties
我们发现图族$G$和$G$的子图$H$，使得避免$H$的单色着色的$G$的边着色的数目由格点计数或某一环面簇上同调的Hodge结构决定。一般来说，这给出了一类具有几何结构的“反拉姆齐理论问题”。例如，我们发现一个拉姆齐数类这样的图。关键的观察是，我们以前的结果表示的辅助单纯复形的$h$ -向量的单纯色多项式可以重新解释为一个边染色的图避免单色染色指定的禁用子图。专门单纯复形所产生的三角形的多面体（如单模三角），我们得到家庭的图形和禁止的子图，避免单色着色的禁止的子图的边着色取决于格点计数或霍奇结构上同调的环面品种。
2022-06-14 math.AG math.AT math.CO
Counterexamples to two conjectures on modular edge colorings of graphs
College of Mathematics and System Sciences, Xinjiang University（新疆大学数学与系统科学学院）
本文针对图的模边着色领域的两个猜想构造了反例，证明相关猜想不成立，得到了特定 $0_k$-图的模边色数下界，否定了两个关于 $\chi_k'(G)$ 上界的结论。
2026-08-12 math.CO
Counting Strict Gridlock on Graphs
本文研究图上分布式着色问题，提出一种新的着色框架，用于分析网络上达成共识的障碍。通过定义一种特定的着色方式，探讨了在有限信息下群体无法达成统一着色的数学度量。
2026-03-18 math.CO physics.soc-ph
An Extremal Problem on Rainbow Spanning Trees in Graphs
如果边有色图的每条边都具有不同的颜色，则它的生成树是彩虹图。本文考虑图$G$中彩虹生成树个数的最大化和最小化的自然极值问题。这样的问题显然需要对着色进行限制才有意义。对于边着色使用$n-1$颜色和没有彩虹周期，在文献中称为JL着色，原来是一个特别好的方式计数的彩虹生成树，我们完全解决了这个问题的JL着色完全图$K_n$和完全二部图$K_{n,m}$。在这两种情况下，我们发现严格的上限和下界，特别是$K_n$的下界，证明有一个意想不到的混乱和有趣的行为。我们进一步研究了这个问题的一般图的JL-着色，并证明了几个结果，包括表征图的JL-着色实现最低可能的彩虹生成树的数量。我们建立其他结果一般$n-1$着色，包括提供一个类似的基尔霍夫的矩阵树定理，产生一种方式计数彩虹生成树在一般的图形$G$。
2020-08-06 math.CO
Coloring closed Noetherian graphs
若G是σ紧Polish空间上的闭Noether图，且没有无限团，则G是可数色的且不存在Vitali集，这与无选择集合论ZF+DC是一致的.
2022-03-17 math.CO math.LO
A polynomial criterion for DP-coloring of uncrowded hypergraphs
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学上海数学中心）
研究证明，对于固定整数r≥2和任意ε>0，足够大的稀疏(r+1)超图在最大度Δ下，列表着色数上限为(1+ε)(rΔ/logΔ)^{1/r}。通过半随机列表着色nibble方法，结合主动边着色约束和二项式度数界控制，最终完成着色。
2026-11-10 math.CO
Independent sets, cliques, and colorings in graphons
研究了图子的色数与团数、分数色数、b-色数和分数团数的对应关系。建立了图子集上独立集多面体的一些基本性质，以及分数色数与分数团数之间的对偶性质。我们提出了完美图子的概念，并根据奇圈及其补圈的诱导密度来刻画它们。
2019-06-04 math.CO
Odd coloring of sparse graphs and planar graphs
一个图的{ \it奇$c$ -染色}是一个真$c$ -染色，使得每个非孤立点都有一个颜色在其邻域上出现奇数次.这一概念最近由Petru \v sevski和\v Skrekovski提出，并引起了相当大的关注。Cranston研究了最大平均度有界的图的奇染色，证明了每一个具有$mad(G)\leq \frac{4c-4}{c+1}$的图$G$对$c\geq 4$都有$c$-奇染色，并证明了对$c\in\{5, 6\}$的猜想.特别地，围长至少为$7$和$6$的可平面图分别具有奇$5$ -染色和奇$6$ -染色.我们完全解决了克兰斯顿猜想。对于$c\geq 7$，我们表明，该猜想是真实的，在一个更强的形式，隐含地建议由克兰斯顿，但对于$c=4$，我们构造反例，其中都包含$5$ -循环。另一方面，我们证明了一个图$G$与$mad(G)<\frac{22}{9}$和没有诱导$5$ -圈有一个奇$4$ -染色。这意味着围长至少为11的平面图具有奇$4$ -染色。我们还证明了围长至少为5的平面图有奇$6$ -染色。
2022-12-23 math.CO
The Borowiecki-Broere Generalized Total Coloring Conjecture for Planar Graphs
New York University（纽约大学）
本文证明了每个有限简单平面图均存在四色广义全染色，即正常四顶点染色可扩展为四色森林边染色，且边色异于端点色，证明结合三角剖分计数不等式与拟阵划分定理，并给出 Lean 4 形式化。
2026-10-02 math.CO
A State Calculus for Graph Coloring
本文讨论了平面地图四色着色问题的一种新的形式。我们给出了一些替代的方法来制定着色问题，包括重言式的扩展类似于彭罗斯的扩展，和扩展的彭罗斯的扩展计数着色的任意三次图的浸入在平面上。
2016-06-15 math.CO math.GT
Circular Coloring and Fractional Coloring in Planar Graphs
我们研究了以下关于循环着色的Steinberg型问题：对于奇数$k\ge 3$，最小数$f(k)$是多少，使得每个周长$k$的平面图不具有长度从$k+1$到$f(k)$的圈，允许与奇数圈$C_k$同构（或者等价地，是循环的$(k,\frac{k-1}{2})$ -可着色）。关于Steinberg猜想的已知结果和反例表明，$f(3)\in\{6,7\}$ .本文证明了$f(k)$存在的充要条件是$k$是奇素数。此外，我们证明了，对于任何素数$p\ge 5$，$$p^2-\frac{5}{2}p+\frac{3}{2}\le f(p)\le 2p^2+2p-5.$$我们猜想，$f(p)\le p^2-2p$，并观察到，这个猜想的真实性意味着Jaeger的猜想，每个平面图的围长$2p-2$有一个同态$C_p$的任何素数$p\ge 5$。证明了一个相关的分数着色结果：对于任意奇数$k\ge 5$，每个周长为$k$且长度为$k+1$到$\lfloor\frac{22k}{3}\rfloor$的平面图都是分数$(k:\frac{k-1}{2})$ -可着色的.
2020-07-01 math.CO
On Rainbow Cycles and Proper Edge Colorings of Generalized Polygons
一个单图$G$的边着色称为\textit{proper rainbow-cycle-forbidding}（PRCF），如果没有两个关联边接收相同的颜色，并且对于$G$中的任何一个圈，该圈中至少有两个边接收相同的颜色.如果图$G$允许PRCF边着色，则它被定义为\textit{PRCF-good}，否则它被认为是\textit{PRCF-bad}。在最近的工作中，Hoffman等人研究了PRCF边着色，并发现了许多围长小于或等于4的PRCF-坏图的例子。然后，他们问是否存在这样的图具有周长大于4。在我们的工作中，我们给出了一个简单的计数参数表明，霍夫曼-辛格尔顿图回答这个问题的情况下，围长5肯定的。然后，它表明，某些广义多边形，构造足够大的顺序，也是PRCF坏，从而证明存在的PRCF坏图的围长为6，8，12，和16。
2021-06-09 math.CO
Ramsey multiplicity and the Turán coloring
本文证明 Turán 染色对无限族图是唯一的极值染色，首次确定了 Burr-Rosta 猜想失效图的 Ramsey 多重性常数，并给出条件性的三色结果。
2023-06-27 math.CO
Counting patterns in colored orthogonal arrays
设$S$是一个正交数组$OA(d,k)$，$c$是它的基集$X$的$r$ -染色.我们给出了一个组合恒等式，它将$S$中的向量数与$c$下给定的颜色模式与颜色类的基数联系起来。几个应用程序的身份被认为是。其中，我们证明了整数区间$[1,n]$的每一个均匀$r$ --染色至少有$1/2(n/r)^2+O(n)$单色Schur三元组。我们还表明，在一个正交表$OA(d,d-1)$，单色矢量的每种颜色的数量只取决于错过该颜色的矢量的数量和颜色类的基数。
2011-04-01 math.CO
On the Chromatic Polynomial and Counting DP-Colorings
图$G$的色多项式，记为$P(G,m)$，等于$G$的真$m$ -染色的个数.图$G$的列表色函数，记作$P_{\ell}(G,m)$，是自1992年以来一直在研究的色多项式的列表模拟，主要是通过与相应的色多项式的比较。DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvotelák和Postle引入的列表着色的推广。在本文中，我们介绍了一个DP-着色模拟的色多项式称为DP色函数，表示$P_{DP}(G,m)$，并提出了几个基本的开放问题，其中一些进展。出于已知的结果与列表颜色函数，我们表明，虽然DP颜色函数的行为类似于列表颜色函数的一些图，也有一些令人惊讶的差异。例如，Wang，Qian和Yan最近证明了，如果$G$是一个有$l$边的连通图，则$P_{\ell}(G,m)=P(G,m)$无论何时都是$m > \frac{l-1}{\ln(1+ \sqrt{2})}$，但我们将证明，对于任何$g \geq 3$，都存在一个图$G$，其围长$g$使得当$m$足够大时$P_{DP}(G,m) < P(G,m)$。我们还研究了固定图$G$的$P(G,m) - P_{DP}(G,m)$的渐近性。我们开发的技术来计算$P_{DP}(G,m)$准确，并将其应用到某些类的图，如弦图，单圈图，和周期的和弦。最后，我们取得了进展，表明任何图$G$，有一个$p$，使$P_{DP}(G \vee K_p, m) =…
2020-07-10 cs.DM math.CO
Coloring a graph with $Δ-1$ colors: Conjectures equivalent to the Borodin-Kostochka conjecture that appear weaker
Borodin和Kostochka证明了具有最大度$Δ\ge 9$的图$G$满足$χ\le \max\{ω, Δ-1\}$ .我们对Borodin-Kostochka猜想的最小反例进行了深入的研究。我们的主要工具是识别$f$可选择的图连接，其中每个顶点$v$有$f(v) = d(v) - 1$.由于这样的连接不能是一个导出子图的顶点临界图与$χ= Δ$，我们有丰富的结构信息的最小反例的Borodin-Kostochka猜想。我们的主要结果证明了某些比Borodin-Kostochka猜想弱的猜想实际上与Borodin-Kostochka猜想等价，其中一个等价猜想是：任何具有$χ\ge Δ= 9$的图都包含$K_3 * \bar{K_6}$作为子图.
2019-05-18 math.CO
Transitive and Gallai colorings
本文将Gallai着色与传递着色推广到拟阵、Coxeter系统和交换代数，证明最大颜色数等于拟阵的秩，并得到A型根系着色计数函数的对称性与Schur正性。
2023-09-20 math.CO
Correlation decay and deterministic FPTAS for counting list-colorings of a graph
我们提出了一个确定性的算法，近似计数的数量列表着色的图。在图是无三角形的，每个列表的大小至少为$αΔ$的条件下，得到了如下结果，其中$α$是大于$α^{**}=2.8432...$的任意常数，$Δ$是图的最大度.对于每个列表的大小是一个大常数的情况下，我们显示了存在一个\emph{deterministic} FPTAS计算列表着色的总数。相同的确定性算法具有复杂性$2^{O(\log^2 n)}$，没有对列表大小的任何假设，其中$n$是实例大小。我们进一步扩展我们的方法，离散马尔可夫随机场（MRF）模型。在一定的假设下，有关的字母表的大小，度的图形和相互作用的潜力，我们再次构建一个确定性的FPTAS计算的MRF的分区函数。我们的结果不是基于现有的最强大的计数技术-快速混合马尔可夫链方法。相反，我们建立在统计物理学的概念，特别是相关现象的衰减及其对无限图中吉布斯测度唯一性的影响。这种方法在最近的两篇论文\cite{BandyopadhyayGamarnikCounting}和\cite{weitzCounting}中提出。这种方法的原理是，相关性衰减特性可以相对于某些\emph{computation tree}来建立，这与相对于给定节点的图论邻域的传统相关性衰减特性相反。这允许在对数深度处截断计算，以便在多项式时间内获得多项式精度。
2007-02-25 math.CO math.PR
The forb-flex method for odd coloring and proper conflict-free coloring of planar graphs
本研究提出贪心着色新工具forb-flex方法，结合放电法改进了平面图奇着色与正常无冲突着色的色数上界，优化了已有研究结果。
2024-01-26 math.CO
Proper Conflict-free Coloring of Graphs with Large Maximum Degree
本研究针对图的正常无冲突着色问题，基于通用框架结合Rosenfeld计数方法，给出大最大度下图的列表着色上界及渐近最优的分数着色结果，推进了相关猜想的研究。
2024-03-07 math.CO
Inside-Out Polytopes
我们提出了一个共同的推广计算的合理多面体格点和计数适当的图形着色，无零流的图形，幻方和图形，反幻方和图形，组成的一个整数的部分是部分不同的，和广义拉丁方。我们的方法是将Ehrhart的格点计数理论推广到由超平面排列分割的凸多胞体。我们特别开发的应用程序，图和签名图着色，组成的整数，和antimagic标签。
2005-08-15 math.CO
The Chromatic Polynomial of a Digraph
Neumann-Lara定义的有向图的无圈染色是顶点染色，使得没有单色有向圈出现。通过对所谓的Neumann-Lara-coflow（NL-coflow）进行计数，可以对使用$k$颜色的这种着色的数量进行计数，NL-coflow在$k$中构建多项式。我们将提出一个表示这个多项式使用全循环子有向图，形成一个分次偏序集$Q$。此外，我们将分解我们的NL-coflow多项式，它成为一个有向图的色多项式乘以颜色的数量的组件的数量，检查偏序集的特殊结构的全循环子有向图固定的底层无向图。在对称有向图的情况下，这种分解将证实我们的有向图的色多项式与基础无向图的色多项式相等。
2022-04-28 math.CO
