An odd characterization of the generalized odd graphs
Edwin R. van Dam, Willem H. Haemers
本文证明了任何具有$d+1$不同特征值和奇围长$2d+1$的连通正则图都是距离正则的，特别是它是广义奇图。
We show that any connected regular graph with $d+1$ distinct eigenvalues and odd-girth $2d+1$ is distance-regular, and in particular that it is a generalized odd graph.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the odd girth and the circular chromatic number of generalized Petersen graphs
一类简单图如${\cal G}$称为{ \it奇围长闭}，如果对任意正整数$g$，存在一个图$G \in {\cal G}$，使得$G$的奇围长大于或等于$g$ .一个奇围长闭图类${\cal G}$称为{ \it奇五边形}，如果存在一个依赖于${\cal G}$的正整数$g^*$，使得任何一个其奇围长大于$g^*$的图$G \in {\cal G}$都与五圈同态（即是$C_{_{5}}$ -可着色的）.在这篇文章中，我们发现，寻找广义Petersen图的奇围长可以转化为一个整数规划问题，并使用此，我们显式地计算奇围长这样的图，表明类是奇围长封闭的。同时，在证明广义Petersen图是奇五边形图的基础上，我们研究了这类图的圆色数。
The study of odd graceful and odd strongly harmonious for bipartite graph
本文研究了奇优美图、奇强协调图、二部图以及它们之间的关系。我们证明了以下结果：（1）若G是奇强协调图，则G是奇优美图;（2）若G是二部奇优美图，则G是奇强协调图。
Generalized Andrásfai--Erdős--Sós theorems for odd cycles
本研究针对两类涉及奇环的广义Turán问题，建立了Andrásfai–Erdős–Sós型稳定性定理，拓展了Erdős五边形问题，强化了已有结论并简化了部分证明。
A 6-chromatic odd-distance graph in the plane
奇距离图的两个顶点被一条边连通当且仅当它们的欧氏距离是奇数。在平面上构造了一个6色奇距离图。
Odd Edge Colorings of Graphs with Odd Order
本文证明了所有奇阶4连通简单图都是奇3边着色图，并展示了4连通性是必要的。同时证明了奇阶连通欧拉图存在一条边e，使得G-e是奇2边着色图。
Odd edge-colorings of subdivisions of odd graphs
奇图是指所有顶点都是奇数度的有限图。给定的图$G$可分解为$k$奇子图，如果它的边集可划分为$k$子集，每个子集导出$G$的奇子图. $G$的这种分解存在的$k$的最小值是由Pyber（1991）引入的奇色指数$χ_{o}'(G)$。对于每一个$k\geqχ_{o}'(G)$，图$G$被称为是奇$k$ -边可着色的。除了两个特殊的例外，分别是奇$5$ -和奇$6$ -边可着色，其余的连接无环图是奇$4$ -边可着色的，而且其中一个颜色类可以减少到大小$\leq2$。此外，它已被证实，一个奇怪的$4$ -边着色的颜色类的大小最多$1$总是可以实现的。Atanasov等人（2016）根据值$χ_{o}'(G)\leq4$来表征次三次图类。在本文中，我们将他们的结果推广到奇图的所有细分的奇色指数的值的一个特征。这个更大的类$\mathcal{S}$是一个特别感兴趣的，因为它收集了所有的“最少的实例”的非奇图。作为我们的主要结果的前奏，我们表明，每一个连通图$G\in \mathcal{S}$需要最大数量的四种颜色，成为奇数$3$ -边着色后，删除一定的边缘。因此，我们提供了支持所提到的猜想证明它的所有细分的奇图。本文最后提出了一些问题，为可能的进一步工作。
Odd Colourings of Graph Products
奇染色数是Petruševski和Škrekovski提出的一个新的图参数。本文证明了具有所谓乘积结构的图具有有界奇染色数。利用关于$k$ -平面图的积结构的已知结果，这意味着$k$ -可平面图具有有界奇染色数，从而回答了Cranston，Lafflett和Song的一个问题.
The odd chromatic number of a planar graph is at most 8
Petruševski和Škrekovski \cite{odd9}最近引入了图的奇着色的概念：如果对于每个非孤立顶点$x \in V(G)$，存在一个颜色$c$在$N(x)$中出现奇数次，则称图$G$的真顶点着色为\emph{odd}。Petruševski和Škrekovski证明，任何可平面图$G$有一个奇怪的着色使用最$9$颜色，并与卡罗\cite{oddremarks}，表明$8$颜色是足够的一个重要的家庭的平面图。我们表明，$8$颜色足够的所有平面图。
On the maximum number of odd cycles in graphs without smaller odd cycles
证明了对每一个奇数$k \geq 7$，$n$顶点上的每一个不含长度小于$k$的奇圈的图至多含有长度为$k$的$(n/k)^k$圈.推广了Erdens在1984年提出的关于无三角形图中五边形的最大个数的结果，并渐近地确定了奇$k$的广义Turán数$\mathrm{ex}(n,C_k,C_{k-2})$.与之前五角大楼案例的结果相反，我们的证明不是计算机辅助的。
Analysis of Odd/odd vertex removal games on special graphs
我们分析了P. Ottaway提出的奇/奇顶点移除博弈。我们证明了每个二部图的Grundy值仅取决于图中边数的奇偶性，这是K的一个猜想的推广。谢尔顿我们还回答了一个问题，最初提出的谢尔顿和奥特韦的存在图的每一个Grundy值。我们证明，情况确实如此。
On Coloring the Odd-Distance Graph
我们提出了一个证明，使用谱技术，有没有有限可测染色的奇距离图。
Extremal graphs for odd-ballooning of bipartite graphs
本文确定了当t≥5时二部图的奇气球图的Turán数的范围，并推导出星图、路径和偶圈的奇气球图的Turán数。
Finite Prime Distance Graphs and 2-Odd Graphs
一个图$G$是一个素数距离图（分别是一个2-奇数图），如果它的顶点可以用不同的整数标记，使得对于任何两个邻顶点，它们的标签之差是素数（2或奇数）。我们证明了树、圈和二部图是素距离图，荷兰风车图和纸厂图是素距离图的充要条件是孪生素数猜想和dePolignac猜想分别成立.我们根据边着色给出了2-奇图的一个特征，并使用该特征来确定哪些形式为$Circ(n, \{1,k\})$的循环图是2-奇的，并证明了循环素距离图的结果。
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. I. Odd holes
图中的奇洞是指一个诱导子图，它是一个长度至少为5的奇圈。1985年，A. Gyarfas猜想：对任意的t，存在n使得无K_t子图且无奇洞的图是n-列图。我们证明了这个猜想。
The enumeration of odd spanning trees in graphs
本文提出了一种统一技术，通过多变量多项式枚举图中的奇 spanning 树，并推导了多种图类的计数公式。
Online coloring graphs with high girth and high oddgirth
本文给出了高围长图和高奇围长图的在线色数的上界，推广了Kier-stead算法，给出了既不含C3也不含C5的诱导子图的在线色数的上界.
Odd minors or odd immersions in graphs with independence number two
针对独立数为2的图，在Kühn等人反驳奇Hadwiger猜想的背景下，证明这类图必包含K_{⌈n/2⌉}作为奇子式或全奇浸入，完善了相关图论结论。
The girth, odd girth, distance function, and diameter of generalized Johnson graphs
本文针对广义Johnson图$J(v,k,i)$，推导出其围长、奇围长、距离函数和直径的精确公式，为理解该图族的结构特性提供了理论基础。
Odd Prime Graph Labelings
奇素数标号是素数标号的一种变体，其中阶为~ $n$的图的顶点用不同的奇数$1$到$2n-1$标号，使得邻顶点的标号是互素的。本文研究了许多不同类型的图，包括不交并圈，堆叠棱柱，和特殊类型的毛毛虫，通过使用各种方法来构造奇素数标号。我们还证明了一个猜想，所有的素数图有一个奇怪的素数标签的进展。
Odd coloring of sparse graphs and planar graphs
一个图的{ \it奇$c$ -染色}是一个真$c$ -染色，使得每个非孤立点都有一个颜色在其邻域上出现奇数次.这一概念最近由Petru \v sevski和\v Skrekovski提出，并引起了相当大的关注。Cranston研究了最大平均度有界的图的奇染色，证明了每一个具有$mad(G)\leq \frac{4c-4}{c+1}$的图$G$对$c\geq 4$都有$c$-奇染色，并证明了对$c\in\{5, 6\}$的猜想.特别地，围长至少为$7$和$6$的可平面图分别具有奇$5$ -染色和奇$6$ -染色.我们完全解决了克兰斯顿猜想。对于$c\geq 7$，我们表明，该猜想是真实的，在一个更强的形式，隐含地建议由克兰斯顿，但对于$c=4$，我们构造反例，其中都包含$5$ -循环。另一方面，我们证明了一个图$G$与$mad(G)<\frac{22}{9}$和没有诱导$5$ -圈有一个奇$4$ -染色。这意味着围长至少为11的平面图具有奇$4$ -染色。我们还证明了围长至少为5的平面图有奇$6$ -染色。
A spectral condition for odd cycles in graphs
本文给出了给定阶图中奇圈存在的一个清晰的谱条件。我们还证明了一个相关的稳定性结果。
Every toroidal graphs without adjacent triangles is odd 8-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果$χ_o(G)\le k$是奇数，我们说$G$是奇数$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。Tian和Yin证明了每个环形图都是奇$9$ -可染的，每个不含$3$ -圈的环形图都是奇$9$ -可染的.本文证明了不含相邻$3$ -圈的环形图是奇$8$ -可染的.
Every graph contains a linearly sized induced subgraph with all degrees odd
证明了$n$上的无孤立点的图$G$包含一个诱导子图，其大小至少为$n/10000$且度都是奇数.这解决了图论中一个古老而著名的猜想。
Remarks on odd colorings of graphs
称图$G$的正常点着色$φ$是奇数的，如果对每个非孤立点$x\in V(G)$都存在一个颜色$c$使得$φ^{-1}(c)\cap N(x)$是奇数大小的.在$G$的任何奇数着色中，最小的颜色数，记作$χ_o(G)$，是奇数色数。奇数着色最近在[M.~]中引入。彼得鲁舍夫斯基河~Škrekovski：\textit{Colorings with neighborhood parity condition} ]。本文讨论了这个新的图参数的各种基本性质，用奇色数刻画了无圈图和超立方体，建立了关于退化度或最大度的几个上界，并提出了几个问题和疑问.
Generalized rainbow Turán numbers of odd cycles
给定图$F$和$H$，广义彩虹图兰数$\text{ex}(n,F,\text{rainbow-}H)$是在一个具有适当边染色且不包含$H$彩虹拷贝的$n$ -顶点图中$F$的最大拷贝数. B. Janzer确定了所有$s\geq 4$和$t\geq 3$的$\text{ex}(n,C_s,\text{rainbow-}C_t)$的数量级，以及O. Janzer暗示$\text{ex}(n,C_3,\text{rainbow-}C_{2k})=O(n^{1+1/k})$。我们证明了相应的上限为其余的情况下，表明$\text{ex}(n,C_3,\text{rainbow-}C_{2k+1})=O(n^{1+1/k})$。这与$k$偶数的已知下限相匹配，并且被证明对于$k$奇数是紧的。
Alternating odd cycles and orientations of Kneser-like graphs
本文研究特定图的定向问题，聚焦拓扑χ-染色图，探讨其是否存在避免交错奇环的定向或使所有最短奇环为交错奇环的定向，并针对Kneser图等多个图族给出结果。
Odd 4-coloring of outerplanar graphs
本研究针对外平面图的奇着色问题，证明连通外平面图可奇4着色的充要条件是其含非5长环拷贝的块，完善了该类图奇4着色的完整刻画。
Extremal graphs for odd-ballooning of paths and stars
本文利用Simonovits逐步归纳引理，统一确定了q≥3时星与路径的奇膨胀图的极值图，完善了此前分情况的相关研究结果。
On a conjecture about the strong odd chromatic number of planar graphs
本文研究了平面图的强奇数染色数，通过构造反例验证了一个关于其上界猜想的假设。
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. VIII. Long odd holes
证明了Andras Gyarfas的一个猜想：对任意的k，t，任何团数不超过k且色数足够大的图都有一个长度不小于t的奇洞.
Recursive Relationships in the Classes of Odd Graphs and Middle Levels Graphs
奇图类$O_n$和中间水平图类$B_n$分别构成Kneser图和二部Kneser图的一个参数子类。特别是这两个类都是顶点传递的，同时拒绝关于它们的哈密顿性的确定性结论，因此受到关于Lovász猜想的审查。在本文中，我们将建立中间层图总是可以嵌入到奇数图和更高度数的中间层图中，此外，这种嵌入允许我们在两个类中定义一个递归关系，该关系可用于将$O_{n-1}$（分别为$B_{n-1}$）中的路径提升到$O_n$（分别为$B_n$）中的路径。这种嵌入也引起了一类双正则图的自然形成，这些双正则图给出了奇图、中间水平图和Catalan数之间的联系。
Odd extensions of transitive groups via symmetric graphs
在处理数学对象的对称性时，一个基本问题是确定它们的全自同构群。在本文中，这个问题被认为是在上下文中的偶/奇置换二分法。更准确地说：当存在的自同构在图的顶点集上充当偶置换，称为{ \em偶自同构}，则强制存在的自同构充当奇置换，称为{ \em奇自同构}。作为解决上述问题的第一步，给出了三次对称图中奇自同构存在性的完整信息。
Two-arc-transitive graphs of odd order -- II
证明了次数至少为10的交错群中奇指数的每个子群都具有交错的所有不溶合成因子。然后给出了包含交错群或对称群的奇阶2-弧传递图的分类。这是第二个一系列的文件，旨在对分类的2弧传递图的奇数秩序。
On graphs with a large chromatic number containing no small odd cycles
本文给出了具有大色数且不含小奇圈的图的顶点数的下界。
1-planar graphs are odd 13-colorable
图$G$的奇染色是指图$G$中任意非孤立点的染色在其邻点上出现奇数次的真染色。奇色数，记作$χ_o(G)$，是允许$G$的奇染色的最小颜色数。Petruševski和Škrekovski在2021年引入了这个概念，并证明了如果$G$是平面的，那么$χ_o(G)\le9$和证明了$χ_o(G)\le5$。最近，Petr和Portier将$9$改进为$8$。一个图是$1$ -平面的，如果它可以画在平面上，使得每一条边最多与另一条边相交。Cranston，Laffeine和Song证明了每个$1$ -平面图都是奇$23$ -可染的.本文改进了这一结果，证明了每个$1$ -平面图都是奇$13$ -可染的.
The odd chromatic number of a toroidal graph is at most 9
可平面图是$4$ -可着色的。环形图是可以嵌入到环面上的图。证明了环图是$7$ -可着色的。一个图的正常染色称为\emph{odd}，如果每个非孤立点至少有一个颜色在其邻域中出现奇数次。图$ G $允许奇染色的最小颜色数记为$χ_{o}(G)$。本文证明了：若$G$是环面图，则$χ_{o}\left({G}\right)\le9$ ;注意，$K_7$是环面图，其上界不小于$7$ .
Improved Erdős-Pósa inequalities for odd cycles in planar graphs
本文改进了平面图中奇圈的埃罗什-波萨不等式，证明其比值不超过4，优于之前的6。
A new upper bound on the chromatic number of graphs with no odd $K_t$ minor
Gerards和Seymour证明了没有奇数$K_t$子图的图是$(t-1)$ -可着色的.这是对著名的哈德维格猜想的加强。Geelen等人证明了没有奇数$K_t$子式的图是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的.使用的方法，本作者和Postle最近开发的着色图没有$K_t$子，我们作出了第一次改进，这个界显示，每个图没有奇数$K_t$子是$O(t(\log t)^β)$ -着色的每一个$β> 1/4$。
Odd Properly Colored Cycles in Edge-Colored Graphs
本文研究边着色图中奇数正常着色圈的存在性判定，并作为副产品给出检测给定边集中具有偶数或奇数条边的图中完美匹配的方法。
Graphs with bounded tree-width and large odd-girth are almost bipartite
证明了对于每个$k$和每个$\varepsilon>0$，存在$g$使得每个树宽最多为$k$且奇围长至少为$g$的图的圆色数最多为$2+\varepsilon$。
Generalized short monochromatic odd cycles
本文推广Janzer和Yip的结果，证明对$K_{r^k+1}$的任意$k$-边染色，存在色数至少$r+1$且直径为$O(k^{3/2}r^{k/2}\log r)$的单色子图，回答了Noga Alon的问题。
Solution to a conjecture on the maximum skew-spectral radius of odd-cycle graphs
设$G$是一个不含偶圈的简单图，称为奇圈图。Cavers等人[Cavers等人，邻接矩阵of graphs，线性代数Appl.436（2012），4512- 1829]表明，对于$G$的每个方向$σ$，$G^σ$的谱半径是相同的，并且等于$G$的最大匹配根。他们提出了一个猜想，即在$n$阶的奇圈图$G$中，达到最大斜谱半径的图同构于单顶点度$n-1$且大小为$m=\lfloor 3(n-1)/2\rfloor$的奇圈图.本文利用Kelmans变换给出了该猜想的一个证明。给出了给定阶数$n$和大小$m$的奇圈图的最大匹配根的精确上界，并刻画了极图.
Odd-order Cayley graphs with commutator subgroup of order pq are hamiltonian
证明了：若G是奇阶非平凡有限群，其换位子群[G，G]是p^mq ^n阶循环的，其中p和q是素数，则G上的每个连通Cayley图都有一个哈密顿圈.
Odd decompositions of eulerian graphs
本文证明了欧拉图$G$允许分解成$k$的奇长闭迹当且仅当它至少包含$k$两两边不相交的奇回路和$k\equiv |E(G)|\pmod{2}$ .我们猜想具有$d\ge 1$的奇阶连通$2d$ -正则图可分解为具有公共顶点的$d$奇闭迹，并对$d\le 3$验证了这一猜想.情况$d=3$是至关重要的确定流数的签署欧拉图，这是在一个单独的文件（arXiv：1408.1703v2）。证明我们的猜想$d=3$是令人惊讶的困难，并要求使用的签名图作为一个方便的技术工具。
Every toroidal graph without $3$-cycles is odd $7$-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果是$χ_o(G)\le k$，我们说$G$是$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。本文证明了不含$3$ -圈的环形图是奇$7$ -可染的.因此，任何不含$3$ -圈的平面图都是奇$7$ -可着色的.也就是说，如果解决了围绕$3$ -圈的其余情形，就可以证明每个环形图都是$7$ -可着色的。
Restricting Odd Antiholes in Critical Graphs via List Coloring
本研究针对固定最大度的临界图，结合列表着色定理，探究奇反洞的结构，证明了临界图中奇反洞的长度上界，验证了极端情况的刻画，并构造反例说明下界可达，还提出了相关染色猜想。
On strong odd colorings of graphs
本文研究图的强奇着色问题，回答了平面图强奇色数是否存在常数界这一公开问题，并进一步探讨了树、单圈图和图乘积上的强奇着色性质。
A Note on Odd Colorings of 1-Planar Graphs
本文研究1-平面图的奇数着色问题，证明每个1-平面图都可进行奇数23-着色。
Monomial generalized almost perfect nonlinear functions
定义了广义几乎完美非线性函数，以满足几乎完美非线性函数的一些基本性质对偶特征的推广。本文研究了奇特征单项GAPN函数。特别地，我们给出了奇特征有限域上代数次数为最大或最小的单项GAPN函数。
Spectral radius of graphs with given size and odd girth
设$\mathcal{G}(m,k)$是具有大小为$m$和奇围长（最短奇圈的长度）$k$的图的集合。本文确定了当$m$为奇数时，使$\mathcal{G}(m,k)$的谱半径最大的图.作为副产品，我们证明，有一个数字$η(m)>\sqrt{m-k+3}$，使每个非二部图$G$的大小$m$和谱半径$ρ\ge η(m)$必须包含一个奇数圈的长度小于$k$，除非$m$是奇数和$G\cong SK_{k,m}$，这是通过细分一个边缘$k-2$倍的完全二部$K_{2,\frac{m-k+2}{2}}$。这个结果包含了[Discrete Math.345（2022）]和\cite{li-peng}的主要结果，也解决了\cite{li-peng}中的猜想。
Even-cycle decompositions of graphs with no odd-$K_4$-minor
图G的偶圈分解是将E（G）划分为偶数长度的圈。显然，每一个欧拉二部图都有偶圈分解。Seymour（1981）证明了每一个具有偶数条边的2-连通无环欧拉可平面图也允许偶圈分解。后来，Zhang（1994）将其推广到没有$K_5$ -子式的图。我们的主要定理给出了图的偶圈分解存在的充分条件。也就是说，我们证明了每一个2-连通无环欧拉奇- $K_4$ -minor-free图的边数为偶数，有一个偶圈分解。这是最可能的，因为“odd- $K_4$ -minor-free”不能用“odd- $K_5$ -minor-free”代替。主要的技术成分是一类奇- $K_4$ -minor-free图的结构特征，这是由于Lovász，Seymour，Schrijver和Truemper。
On Graph Odd Edge-Colorings and Odd Edge-Coverings
本文完全解决了关于图的奇边着色与奇边覆盖的两个猜想，并证明了更强的奇 3-边覆盖存在性结果。
Terwilliger algebra of Odd graphs
在[The Terwilliger algebra of the Johnson schemes，Discrete Mathematics 307（2007）1621- 1635]中，Levstein和Maldonado计算了当$J(n,m)$. $J(2m+1,m)$的距离- $m$图是奇图$O_{m+1}$ .本文确定了$O_{m+1}$的Terwilliger代数并给出了其依据。
Orthogonal graphs over Galois rings of odd characteristic
假定$ν$是正整数，并且是$δ=0, 1$或$2$。本文引入奇特征Galois环上的正交图$Γ^{2ν+δ}$，并证明它是弧传递的.此外，我们计算它的参数作为一个准强正则图。特别地，我们证明了当$ν\geq 2$是强正则图时，$Γ^{2+δ}$是强正则图，而$Γ^{2ν+1}$是严格Deza图.
Upper bounds on the odd graceful chromatic number of graphs
本文研究二部图的奇优美色数，给出若干仅依赖顶点数或其二部划分相关图色数的新上界。
Counting odd cycle free orientations of graphs
在这个简短的说明中，我们确定的最大数目，在所有的$n$ -顶点图$G$，定向$G$不包含强连通圈$C_{2k+1}$。这回答了Araujo，Botler和Mota最近提出的一个问题的一部分。
Even pairs in square-free Berge graphs with no odd prism
我们考虑一类不含奇棱柱和正方形（四个顶点上的圈）的Berge图。我们证明了这类图G中的每一个都是团或有偶对，正如Everett和Reed所指出的那样。这个结果被用来设计一个多项式时间算法来优化着色这个类中的每个图。
Borodin-Kostochka Conjecture holds for odd-hole-free graphs
本文证明了Borodin-Kostochka猜想在无奇洞图上成立，即当最大度至少为9时，色数不超过最大度减1与团数的较大者。
The odd-even invariant and Hamiltonian circuits in tope graphs
本文考虑超平面中心排列拓扑图中Hamilton回路的存在性问题。一些结果描述了在安排和奇偶不变量的安排中的哈密顿电路的存在之间的连接。结合这一点，我们提出了一些结果的奇偶不变量的界限。这里给出的结果可以更一般地表示为定向拟阵，并且在该设置中仍然有效。
The maximum number of cliques in graphs with bounded odd circumference
本文给出了具有有界奇周长的图的团数的精确上界。这个推广的Turán型结果是著名的Erdés定理和Gallai定理的推广，也是Luo最近结果的加强。具有有界偶数周长的图的相同界是李宁定理的一个平凡应用。
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