Counting odd cycle free orientations of graphs
M. Bucić, B. Sudakov
在这个简短的说明中，我们确定的最大数目，在所有的$n$ -顶点图$G$，定向$G$不包含强连通圈$C_{2k+1}$。这回答了Araujo，Botler和Mota最近提出的一个问题的一部分。
In this short note we determine the maximum number, over all $n$-vertex graphs $G$, of orientations of $G$ containing no strongly connected cycle $C_{2k+1}$. This answers a part of a recent question of Araujo, Botler and Mota.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Tutte Polynomial of a Morphism of Matroids 6. A Multi-Faceted Counting Formula for Hyperplane Regions and Acyclic Orientations
证明了有序定向拟阵的某些定向相关参数的4元母函数是其Tutte多项式在（x + u，y+v）处的求值.这种评价包含作为特殊情况下的超平面安排和非循环的方向图中的区域计数。几个新的2-变量展开的Tutte多项式的定向拟阵作为推论。这一结果持有更普遍的定向拟阵的角度来看，与特定的特殊情况下，计数的有界区域超平面安排或双极非循环的方向图。在推论中，我们得到了Tutte多项式的偏导数作为相同取向参数的生成函数的表达式。
Counting orientations of random graphs with no directed k-cycles
该研究确定了二项随机图不含指定长度有向环的定向数的增长阶，解决了相关猜想，推进了随机图定向计数领域的研究。
The bipartite analogue of a classical spanning tree enumeration formula, Boolean functions, and their applications to counting odd spanning trees
本文通过经典生成树计数公式和布尔函数，给出了计算完全图中奇生成树的简单证明，并将其推广到完全二分图中。
Counting degree-constrained subgraphs and orientations
这篇短文的目的是宣传在统计物理和计算机科学中广为人知的规范变换方法（又名全息约化，重新参数化），但在组合学中鲜为人知。作为它的一个应用，我们给出了A. Schrijver证明了$d$ -正则图在$n$顶点上的欧拉方向数至少为$\left(\frac{\binom{d}{d/2}}{2^{d/2}}\right)^n$ .我们还表明，$d$ -正则图，甚至$d$总是至少有尽可能多的欧拉方向的$(d/2)$ -正则子图。
Counting odd cycles in locally dense graphs
证明了对任意给定的$\varepsilon>0$和$d\in [0,1]$，每个充分大的$(\varepsilon, d)$稠密图$G$对每个奇数$r$至少包含长度为$r$的$(d^r-\varepsilon)|V(G)|^r$圈.这里，$G$是$(\varepsilon, d)$ -稠密的意味着每个包含至少~ $\varepsilon\,|V(G)|$顶点的集合$X$至少跨越$\tfrac d2\, |X|^2$边，我们真正计数的是从$r$ -圈到$G$的同态的数目.结果解决了Y.小早川湾Nagle，V. Rödl，and M.沙赫特
Counting restricted orientations of random graphs
我们计数方向的$G(n,p)$避免某些类的定向图。特别地，我们研究了$T_r(n,p)$，其中$K_r$的每个拷贝都是传递的二项式随机图$G(n,p)$的方向数，以及$S_r(n,p)$，不包含$K_r$的强连通拷贝的$G(n,p)$的方向数。我们给出了正确的顺序增长的$\log T_r(n,p)$和$\log S_r(n,p)$的多对数因子，没有循环三角形的方向，这显着改善了艾伦，Kohayakawa，莫塔和Parente的结果。本文还讨论了单禁止定向图的问题，并提出了一些待解决的问题和解答。
Bijective counting of plane bipolar orientations and Schnyder woods
提出了一种双射$Φ$，它是在具有指定顶点数和面数的平面双极方向和具有指定端点的直立格点路径的不相交三元组之间。由于R，这产生了以下公式的组合证明。Baxter，用于具有$i$非极性顶点和$j$内面的平面双极方向的编号$Θ_{ij}$：$Θ_{ij}=2\frac{(i+j)!(i+j+1)!(i+j+2)!}{i!(i+1)!(i+2)!j!(j+1)!(j+2)!}$。此外，它表明，$Φ$专门用于双射Bernardi和Bonichon之间的Schnyder木材和非交叉对的Dyck字。
Cumulant expansion for counting Eulerian orientations
针对统计物理中冰型模型的配分函数即计数欧拉定向问题，本文利用Laplace变换累积量展开的新尾界，为具有良好展开性质且度数大于 $\log^{8} n$ 的一般图推导出了精度达 $O(n^{-c})$ 的渐近展开式。
Alternating odd cycles and orientations of Kneser-like graphs
本文研究特定图的定向问题，聚焦拓扑χ-染色图，探讨其是否存在避免交错奇环的定向或使所有最短奇环为交错奇环的定向，并针对Kneser图等多个图族给出结果。
A Meta-Algorithm for Creating Fast Algorithms for Counting ON Cells in Odd-Rule Cellular Automata
我们开发了一个元算法，给定一个多项式（在一个或多个变量中）和一个素数p，产生一个快速（对数时间）算法，该算法取一个正整数n，并输出每个剩余类模p作为系数出现的次数，当多项式被提升到n次幂时，系数被读取模p。
Counting Planar Eulerian Orientations
受Bonichon，Bousquet-Mélou，Dorbec和Pennarun的论文的启发，我们给出了一个函数方程组，它表示由边计数的平面欧拉方向的数目的普通生成函数$U(x),$。我们还将ogf $A(x)$，为4-valent平面欧拉方向计算顶点以类似的方式。后一个问题等价于随机格上的6顶点问题，该问题在数学物理中被广泛研究。虽然不能解决这些函数方程，他们立即提供多项式时间算法计算系数的生成函数。从这些算法中，我们得到了100项$U(x)$和90项$A(x).$这些系列的分析表明，他们都表现为$const\cdot (1 - μx)/\log(1 - μx),$，我们推测，$μ= 4π$欧拉方向计数的边缘和$μ=4\sqrt{3}π$ 4-valent欧拉方向计数的顶点。
Counting odd numbers in truncations of Pascal's triangle
Pascal三角形的“截断”是一个三角形数组，它满足通常的Pascal递归，但有一个边界条件，声明数组每行的某个终端数集为零。给出了Pascal三角形的一族自然截断，推广了一类Catalan三角形。每个数组中的数字被实现为二项式系数的差、某些格路径和表格的计数、以及多项式空间的某些线性变换的表示矩阵的条目。卢卡斯定理被应用于精确地确定那些截断的奇数条目的数量在每一行是一个权力的两个。
Counting $H$-free orientations of graphs
1974年，埃尔德什提出了以下问题。给定一个定向图$H$，确定或估计一个$n$ -顶点图的无$H$方向的最大可能数目。当$H$是锦标赛时，Alon和Yuster精确地确定了足够大的$n$的答案。一般来说，当$H$的底层无向图包含一个圈时，结合Kozma和Moran关于无$F$图个数的著名结果，可以得到精确的界.作为本文的主要贡献，我们解决了所有剩余的情况下，在渐近意义上，从而给出了一个比较完整的回答Erdés的问题。此外，当$H$是一个奇数周期，并且$n$足够大时，我们确定了答案，回答了Araújo，Botler和Mota的问题。
Counting triangles in graphs without vertex disjoint odd cycles
本文确定了在禁止包含 $\ell+1$ 个顶点不相交奇圈的图中三角形副本的最大数量及其极图，推广了已有结论。
Counting degree-constrained orientations
研究图定向的计数问题，基于局部度约束，通过双重性公式和概率方法推导出定向计数公式，并应用于偶定向和混合欧拉-偶定向的计数。
The parameterised complexity of counting even and odd induced subgraphs
本文研究了给定图中边数为偶数的k-顶点诱导子图的计数问题，以及边数为奇数的k-顶点诱导子图的计数问题.我们证明了这两个问题是#W[1]-硬的参数时，k，事实上证明了一个更强的结果计数子图的属性，仅适用于一些子集的k-顶点子图，其中有一个偶数（分别为奇数）的边缘。另一方面，我们证明了偶数和奇数k-顶点诱导子图的计数问题都是一个FPTRAS问题。这些近似方案是基于一个令人惊讶的结构的结果，利用思想从拉姆齐理论。
Counting Unique-Sink Orientations
唯一汇方向（USO）是n-立方体图的方向的抽象类。我们考虑了与线性互补性问题有关的感兴趣的USO的一些类别。我们总结旧的，并显示新的下限和上界的大小，这样的一些类。此外，我们提供了一个K-矩阵的表征，其相应的USO。
Counting graph orientations with no directed triangles
Alon和Yuster证明了对于$n \geq 10^4$，任何$n$ -顶点图中每个$K_3$都是传递定向的，其定向数至多为$2^{\lfloor n^2/4\rfloor}$，并证明了$n$的精确下界应为$n \geq 8$ .我们证实了他们的猜想，此外，其特征的极值家庭显示，平衡的完全二部图与$n$顶点是唯一的$n$ -顶点图，正好有$2^{\lfloor n^2/4\rfloor}$这样的方向。
Proving a conjecture on chromatic polynomials by counting the number of acyclic orientations
阶为$n$的图$G$的色多项式$P(G,x)$可以表示为$\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{n-i}a_{i}x^i$，其中$a_i$被解释为$G$的具有恰好$i$分量的无破圈生成子图的个数.参数$ε(G)=\sum\limits_{i=1}^n (n-i)a_i/\sum\limits_{i=1}^n a_i$是$G$的无断圈生成子图的平均大小。在这篇文章中，我们证实并加强了Lundow和Markström在2006年提出的一个猜想，即对于任何一个既不是完全图$K_n$也不是$n$的树$T_n$的$G$，$ε(T_n)< ε(G)<ε(K_n)$成立.我们证明的最关键的一步是通过$G$的非循环定向的数目来获得所有$a_i$的解释。
Antimagic orientations of disconnected even regular graphs
具有$m$弧的有向图$D$的$labeling$是从$D$的弧集到$\{1,2,\ldots,m\}$的双射。如果$D$中没有两个顶点具有相同的顶点和，则$D$的标记是$antimagic$，其中用于标记的顶点$u \in V(D)$的顶点和是进入$u$的所有弧的标记的和减去离开$u$的所有弧的标记的和。如果$D$有反魔性标记，则图$G$的反魔性方向$D$是$antimagic$。Hefetz，M $\ddot{u}$ tze和Schwartz在[J. Graph Theory 64（2010）219-232]中提出了一个问题：是否每个图都有反魔方向？证明了对任意整数$d$，每一个至多有两个奇分支的2 $d$ -正则图都有反幻方向。本文研究了具有多个奇分支的2 PDMATHAMV-正则图.我们证明了任何含有奇分量的2 PDMATHAMV-正则图都有反魔定向，只要奇分量有足够的阶。
Counting orientations of graphs with no strongly connected tournaments
设$S_k(n)$是$n$ -顶点图$G$的最大方向数，其中没有$K_k$的副本是强连通的.对于所有整数$n$，$k\geq 4$，其中$n\geq 5$或$k\geq 5$，我们证明了$S_k(n) = 2^{t_{k-1}(n)}$，其中$t_{k-1}(n)$是$n$ -顶点$(k-1)$ -分图$T_{k-1}(n)$的边数，并且$T_{k-1}(n)$是唯一具有此方向数的$n$ -顶点图。此外，$S_4(4) = 40$和这种最大化是唯一实现的$K_4$。
From Integer Sequences to Block Designs via Counting Walks in Graphs
我们定义了Oj（N）和Ej（N）类型的数以及相应的整数序列。我们证明，这些整数序列，例如，SO（N）和SE（N）分别对应于完全图中奇、偶游动的个数。然后，我们证明了有一个唯一的家庭的图，有完全相同的序列的奇数之间的连接节点和偶数之间的节点之间的步行距离为2，分别。这些图作为Kronecker积获得。证明了它们是区组设计的关联图，是距离正则图和Ramanujan图。
Counting occurrences of 132 in an even permutation
我们研究的生成函数的偶数（或奇数）排列的n个字母包含正好$r\gs0$出现132。它示出，找到这个功能为一个给定的r相当于一个例行检查的所有排列在$S_{2r}$。
Note about the complexity of the acyclic orientation with parity constraint problem
本文研究了具有奇偶约束的无环定向问题的复杂性，证明了在某些图中该问题为NP难。
On the Intriguing Problem of Counting (n+1,n+2)-Core Partitions into Odd Parts
Tewodros Amdeberhan和Armin Straub开始了对（s，t）-核心划分集合的子族进行计数的研究。虽然将（n+1，n+2）核划分为不同部分的枚举相对容易（实际上它等于斐波那契数F_{n+2}），但将（n+1，n+2）核划分为奇数部分的枚举仍然难以实现。斯特劳布计算了该序列的前11项，并要求一个“公式”，或至少是一种快速的方法来计算许多项。虽然我们无法找到一个“快速”算法，但我们确实找到了一个“更快”的算法，它使我们能够计算这个有趣的序列的23项。我们坚信这个序列有一个代数生成函数，因为“姐妹序列”（见文章）是OEIS序列A047749，它确实有一个代数生成函数。我们中的一个（DZ）承诺向OEIS捐赠100美元，以纪念第一个产生足够多的项来猜想（并非严格地证明）这个序列的生成函数的代数方程的人，另外100美元用于严格证明这个猜想。最后，我们还开发了算法，找到明确的生成函数的其他，更听话，家庭（n+1，n+2）-核心分区。
Counting up-up-or-down-down permutations
本文回答了Donald Knuth的问题，通过分析奇数长度上-上或下-下排列的最后一个元素，求出了其双变量指数生成函数，刻画了峰和谷均位于奇数位置的排列结构。
Counting faces of graphical zonotopes
图的带形$Z_Γ$的顶点数等于图$Γ$的非圈定向数是一个经典的事实。我们证明了$Z_Γ$的$f$ -多项式是作为$Γ$的色对称函数的$q$ -模拟的主要特化而得到的。
Even circuits of prescribed clockwise parity
我们证明了一个图有一个方向下，每个电路的偶数长度是顺时针奇数当且仅当该图不包含子图，这是在收缩后，最多一个电路的奇数长度，甚至细分K_{2,3}。事实上，我们给出了一个更一般的图形，有一个方向下，每一个甚至电路有一个规定的顺时针奇偶性的特点。这个问题的动机是研究的Pfavian图，这是图，有一个方向下，每一个交替电路是顺时针奇数。它们的意义在于，它们正是Kasteleyn列举完美匹配的强大方法可以应用的图。
Checking the admissibility of odd-vertex pairings is hard
纳什-威廉姆斯证明了每个图都有一个平衡的方向。他的证明中的一个关键要素是可接受的奇点配对。我们表明，对于两个略有不同的定义，允许奇顶点配对，决定是否一个给定的奇顶点配对是允许的是共同NP-完全的。这解决了弗兰克的问题。我们还表明，决定一个给定的图是否有一个方向，满足任意局部弧连通性的要求是NP完全的。
Counting Kernels in Directed Graphs with Arbitrary Orientations
该研究针对有向图核计数与判定的NP难问题，提出了不依赖边定向的模糊圆形区间图核多项式计数与存在时构造算法，并证明补可约图核问题一般NP难但阈值图子类可线性时间求解。
Complete regular dessins of odd prime power order
一个Dessin是一个连通的$2$着色的二部图到一个可定向的闭曲面中的$2$ -胞腔嵌入.一个Dessin是正则的，如果它的一组保色保向自同构正则地作用在边上。本文利用群论方法，确定并列举了具有奇素数幂阶完全二部基图的正则图的同构类。
Computing the permanental polynomials of bipartite graphs by Pfaffian orientation
图$G$的永久多项式是$π(G,x)\triangleq\mathrm{per}(xI-A(G))$。Yan和Zhang从二部图$G$有一个定向$G^e$使得每个圈都是奇定向的当且仅当它不包含$K_{2,3}$的偶剖分的结果出发，证明了这样一个二部图$G$的永久多项式可以表示为斜邻接矩阵$A(G^e)$的特征多项式.在本文中，我们首先证明了这个等式成立，只有当二部图$G$不包含$K_{2,3}$的偶细分。然后证明了这样的二部图是平面图。进一步证明了2连通二部图不包含$K_{2,3}$的偶剖分当且仅当它是平面1圈共振图。这意味着，每个循环是奇定向在任何Pfronan定向的2-连通二部图不包含甚至细分的$K_{2,3}$。作为应用，计算了几类二部图的永久多项式。
Some polynomial classes for the acyclic orientation with parity constraint problem
本文研究了无环定向问题中的奇偶约束，提出多项式类以确定无环T-奇定向的存在条件，并通过构造性证明展示了其在特定图结构中的可解性。
On the maximum number of spanning copies of an orientation in a tournament
对于具有$n$顶点的定向$H$，令$T(H)$表示在$n$ -顶点锦标赛中$H$的标记副本的最大可能数目。很容易看出，后者的$T(H) \ge n!/2^{e(H)}$是随机锦标赛中这种副本的预期数量。对于$n$奇数，令$R(H)$表示在$n$ -顶点规则竞赛中$H$的标记副本的最大可能数目。阿德勒等人证明，事实上，对于$H=C_n$的定向汉密尔顿循环，$T(C_n) \ge (e-o(1))n!/2^{n}$和它是由阿隆观察到，已经$R(C_n) \ge (e-o(1))n!/2^{n}$。对于有向Hamilton路$P_n$也有类似的结果。换句话说，对于Hamilton路径和圈，从期望参数导出的下界可以通过常数因子来改进。在本文中，我们显着扩展这些结果，并证明他们持有的一个更大的家庭的方向$H$，其中包括所有有界度欧拉方向和所有有界度平衡方向，以及许多其他。我们的方法的一个推论是，对于任何$k$ -具有$n$顶点的规则取向$H$，$T(H) \ge (e^k-o(1))n!/2^{e(H)}$，并且事实上，对于$n$奇数，$R(H) \ge (e^k-o(1))n!/2^{e(H)}$。
Truncated degree AT-orientations of outerplanar graphs
本文研究外平面图的截断度AT-定向问题，证明了除奇圈外的2-连通外平面图是5-截断度AT-定向的，2-连通二部外平面图是4-截断度AT-定向的，并由此改进了Hutchinson关于截断度可选择性及可涂色性的结果。
Counting critical subgraphs in $k$-critical graphs
Gallai在1984年问，如果任何$k$ -临界图的$n$顶点包含至少$n$不同的$(k-1)$ -临界子图。答案对于$k\leq 3$来说是微不足道的。改进了Stiebitz，Abbott和Zhou在1995年的一个结果，证明了对所有的$k\geq 4$，这样的图包含$Ω(n^{1/(k-1)})$不同的$(k-1)$ -临界子图.从那时起没有取得进展，直到最近，野兔解决的情况下$k=4$表明，任何$4$ -关键图的$n$顶点包含至少$(8n-29)/3$奇数周期。本文主要研究4-临界图，并开发了一些新的计算具有指定奇偶性的圈数的工具。我们的主要结果表明，任何$n$顶点上的$4$ -临界图都含有$Ω(n^2)$奇圈，它被无穷多个图紧到一个常数因子。作为关键的一步，我们证明了3-连通非二部图的相同界，这可能是独立的兴趣。利用这些工具，我们也给出了$k=4$的一个很短的证明。此外，我们改进了Abbott和Zhou长期以来的下界为$Ω(n^{1/(k-2)})$的一般情况下$k\geq 5$。在最后一节中，我们还将讨论$k$ -临界图的一些相关问题。
On Galvin orientations of line graphs and list-edge-colouring
引入了线图Galvin定向的概念，推广了Galvin在证明二部图的列表边着色猜想中的思想.如果L（G）关于k有一个恰当的Galvin定向，则它直接意味着G是k-列表-边列，但反之则不成立。更强的性质是研究图的形式“二分加边”，彼得森图，团，和单图没有奇数周期的长度为5或更长。
Counting weighted independent sets beyond the permanent
Jerrum，Sinclair and Vigoda（2004）证明了任何方阵的积和式都可以在多项式时间内估计。这种计算可以被看作是近似的二分图中的边加权匹配的分区函数。等价地，这可以被视为近似二分图的线图中的顶点加权独立集的划分函数。二部图的线图是完美图，并且被称为精确的（爪，钻石，奇洞）-自由图类。那么，Jerrum、Sinclair和Vigoda的结果能延伸多远呢？我们首先表明，它扩展到（爪，奇洞）-免费的图，然后表明，它扩展到更大的类（叉，奇洞）-免费的图。我们的技术是基于图分解，这一直是最近的工作在结构图论的焦点，并在Chvatal和Sbihi（1988），Maffray和里德（1999）和Lozin和Milanic（2008）的结构结果。
Counting substructures I: color critical graphs
设$F$是一个含有边的图，边的删除减少了它的色数。我们证明了严格的界限上的副本的数量$F$在一个图的规定数量的顶点和边。我们的结果扩展了Simonovits的结果，他们证明了$F$有一个拷贝，以及Rademacher，Erd \H os和Lovász-Simonovits的结果，当$F$是完全图时，他们证明了类似的计数结果。我们定理的一个最简单的例子是下面的新结果。存在一个绝对正常数$c$，使得如果$n$足够大且$1 \le q < cn$，则每个具有$n$偶数边和$n^2/4 +q$边的$n$顶点图至少包含五个循环的$q(n/2)(n/2-1)(n/2-2)$拷贝。类似的陈述适用于任何奇数循环，并且界限是最佳可能的。
The list chromatic index of simple graphs whose odd cycles intersect in at most one edge
本文研究了一类单图$\mathcal{G}^*$，其中每对不同的奇圈至多相交于一条边。给出了$\mathcal{G}^*$中图的结构特征，证明了每个$G \in \mathcal{G}^*$满足列表边着色猜想.当$Δ(G) \geq 4$时，我们证明了一个关于$L(G)$中的核完美定向的更强的结果，这意味着对于每个$m \geq 1$，$G$是$(mΔ(G):m)$ -边可选择的和$Δ(G)$ -边可涂的.
Independent sets in discrete tori of odd sidelength
本文针对奇长度环笛卡尔幂的独立集计数这一未解决问题，给出了三角形笛卡尔幂的紧下界猜想与任意奇环的精度稍低的下界，并介绍了团簇展开法和等周不等式两种研究路径。
A Matrix-Theoretic Exact Formula for Counting Primes in Intervals Between Consecutive Odd Squares
本文提出一个基于矩阵理论的精确公式，用于计算连续奇数平方区间内的素数个数，通过矩阵乘法的性质，推导出素数计数的等价条件，并验证了该条件在特定范围内的有效性。
Counting independent sets in cubic graphs of given girth
本文证明了围长至少为5的三次图的独立多项式（和独立集总数）的一个紧上界。该界限是通过Heawood图，Fano平面的点/线关联图的工会来实现的。我们还给出了无三角形三次图的独立集总数的一个紧下界。这个界限是通过Petersen图的并集来实现的。我们猜想，事实上所有的摩尔图是极值的缩放数量的独立集的正则图的给定的最小围长，最大化这个数量，如果他们的围长是偶数和最小化，如果奇数。希伍德图和彼得森图是这个猜想的例子，还有完全图、完全二部图和圈。
Beyond Degree Choosability
设$G$是一个度为$Δ$的连通图. Brooks定理指出，除非$G$是完全图或奇圈，否则$G$具有$Δ$ -染色。一个图$G$是\emph{degree-choosable}，如果$G$可以从它的列表中适当地着色，每当每个顶点$v$得到一个$d(v)$颜色的列表。在列表着色的背景下，布鲁克斯定理可以被加强为以下内容。每个连通图$G$都是度可选的，除非$G$的每个块都是完全图或奇圈;这样的图$G$是\emph{Gallai tree}。这个度选择性的结果进一步加强到Alon-Tarsi方向;这些是$G$的方向，其中具有偶数条边的生成欧拉子图的数量不同于具有奇数条边的生成欧拉子图的数量。一个图$G$是\emph{degree-AT}，如果$G$有一个Alon-Tarsi方向，其中每个顶点的入度至少为1。Alon和Tarsi证明，如果$G$是度-AT，那么$G$也是度-可选的。Hladky、Kral和Schauz证明了一个连通图是度-AT当且仅当它不是Gallai树。本文考虑了图对$(G,x)$，其中$G$是一个连通图，$x$是$V(G)$中的某个指定顶点.我们的特点对，使$G$没有Alon-Tarsi方向，其中每个顶点的入度至少为1和$x$入度至少为2。当$G$是2-连通时，特征描述很简单。
Solution to a conjecture on the maximum skew-spectral radius of odd-cycle graphs
设$G$是一个不含偶圈的简单图，称为奇圈图。Cavers等人[Cavers等人，邻接矩阵of graphs，线性代数Appl.436（2012），4512- 1829]表明，对于$G$的每个方向$σ$，$G^σ$的谱半径是相同的，并且等于$G$的最大匹配根。他们提出了一个猜想，即在$n$阶的奇圈图$G$中，达到最大斜谱半径的图同构于单顶点度$n-1$且大小为$m=\lfloor 3(n-1)/2\rfloor$的奇圈图.本文利用Kelmans变换给出了该猜想的一个证明。给出了给定阶数$n$和大小$m$的奇圈图的最大匹配根的精确上界，并刻画了极图.
Quasirandom forcing orientations of cycles
本文推广环的循环定向拟随机强制判定结果，证明奇环无强制定向，给出偶环定向的充分与必要条件，并分类长度至多10的环。
Tournaments and Even Graphs are Equinumerous
本文证明了关于互不同构偶图与竞赛图数量相等的猜想，通过多次应用 Cauchy-Frobenius 定理的计数论证完成证明。
A note on counting flows in signed graphs
Tutte发起了研究无零流，并证明了以下基本定理：对于每一个图$G$有一个多项式$f$，使每一个阿贝尔组$Γ$的顺序$n$，数量的无零$Γ$ -流的$G$是$f(n)$。对于符号图（具有双向定向），情况更加微妙。对于有限群$Γ$，设$ε_2(Γ)$是最大整数$d$，使得$Γ$有一个子群同构于$\mathbb{Z}_2^d$。本文证明了：对于任意带符号图$G$和$d \ge 0$，存在多项式$f_d$，使得对于任意阿贝尔群$Γ$，$f_d(n)$是$G$中无零$Γ$ -流的个数，其中$ε_2(Γ) = d$和$|Γ| = 2^d n$。Beck和Zaslavsky先前已经建立了这个结果的特殊情况，当$d=0$（即，当$Γ$具有奇数阶时）。
The Alon-Tarsi Number of A Toroidal Grid
图$G$的Alon-Tarsi数$AT(G)$是最小的$k$，对于该最小的$k$，存在具有最大入度$k-1$的$G$的定向$D$，使得D中包含的偶循环和奇循环的数目不同。本文证明了环形网格$T_{m,n}=C_m\Box C_n$的Alon-Tarsi数在$m,n$均为奇数时等于$4$，在其它情况下等于$3$.
Pseudo Unique Sink Orientations
唯一汇点方向（USO）是$n$维立方体图（$n$ -立方体）的一种方向，使得每个面（子立方体）都有唯一汇点.唯一汇方向的数量为$n^{Θ(2^n)}$。如果一个立方体方向不是USO，它包含一个伪唯一汇方向（pseudo unique sink orientation，PUSO）：一个子立方体的方向，使得它的每一个正确的面都有一个唯一的汇，但子立方体本身没有。本文对$n$ -立方体的PUSO进行了刻画和计数。我们发现，PUSO有一个更刚性的结构比USO和它们的数量是之间的$2^{Ω(2^{n-\log n})}$和$2^{O(2^n)}$这是可以忽略不计的USO的数量。作为工具，我们介绍和表征两个新的类的普遍服务义务：边界普遍服务义务（普遍服务义务，出现的方面的PUSO），和奇怪的普遍服务义务，这是双重的边界普遍服务义务，但更容易理解。
A family of counterexamples for a conjecture of Berge on $α$-diperfect digraphs
设$D$是一个有向图。$D$的独立集$S$和$D$的路划分$\mathcal{P}$是正交的，如果每条路$P \in \mathcal{P}$恰好包含$S$的一个顶点。1982年，Berge定义了$α$ -双完全有向图类.一个有向图$D$是$α$ -双完全的，如果对于$D$的每个最大独立集$S$，都有一个与$S$正交的$D$的路划分$\mathcal{P}$，并且这个性质对$D$的每个导出子图都成立.反定向奇循环是具有$k\geq2$的奇循环PDMATHAMR的定向，其中每个顶点$x_0,x_1,x_2,x_3,x_5,x_7\ldots,x_{2k-1}$是源或宿。Berge证明了一个有向图$D$是$α$ -双完全的当且仅当$D$不包含反有向奇圈作为导出子有向图.在本文中，我们证明了这个猜想是假的，展示了一个无限的家庭的方向的补充奇循环至少有7个顶点，是不是$α$ -双完美的。
The Kontsevich graph orientation morphism revisited
定向态射$Or(\cdot)(P)\colon γ\mapsto\dot{P}$将有限维仿射流形$N^d$上的双向量空间$P$上的微分多项式流$\dot{P}=Q(P)$与有限无向图$γ$（的和）相关联，该图具有有序边集并且没有多条边和单圈。已知关于顶点扩展微分$d=[{\bullet}\!\!{-}\!{-}\!\!{\bullet},\cdot]$的$d$ -上循环$\boldsymbolγ\in\ker d$由$Or$映射到泊松上循环$Q(P)\in\ker\,[\![ P,{\cdot}]\!]$，即映射到泊松双向量$P$的无穷小对称性。利用任意$d$维仿射实Poisson流形$N^d$上奇余切丛$ΠT^* N^d$的边序以及奇偶奇导和奇偶偶导，给出了定向态射$Or$的公式.我们用（非）定向图本身来表示这个公式，即没有明确引用$ΠT^* N^d$上的超数学。
Super-Walk Formulae for Even and Odd Laplacians in Finite Graphs
有限图中从一个顶点到另一个顶点的行走次数可以用邻接矩阵来计数。在本文中，我们证明了两个定理，连接图拉普拉斯算子与两种类型的图中的游动。通过定义两种类型的游动并给有限图定向，可以很容易地计算出每种游动从一个元素到另一个固定长度的元素的符号总数。
Inventory Loops (i.e. Counting Sequences) have Pre-period $2\max S_1+60$
库存序列$(S_0, S_1, S_2, ...)$是映射$f$的迭代，通过对其数字化描述取整数来粗略定义（例如，$f(1381)=211318$，因为“$1381$“有两个$1$、一个$3$和一个$8$）。我们的工作分析了无限基下的迭代。已知任何正数的起始值最终都是周期性的[1]（例如，$S_0=1381$达到1周期$f(3122331418)=3122331418$）。所有可能循环的参数化也是已知的[2，3]。我们回答布朗斯坦和弗伦克尔的开放问题的26年显示前期的任何这样的起始值不超过$2M+60$其中$M=\max S_1$。奇怪的是，循环周期仅在$O(\log\log M)$迭代之后就可以确定。
Counting the number of non-isotopic Taniguchi semifields
该研究刻画了Taniguchi半域的合痕条件，给出非合痕Taniguchi半域数量的精确上下界，证明其是渐近最大的奇阶半域族，核心方法是利用群论分析半域自合痕群的大子群判定合痕。
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