The chromatic number of the square of subcubic planar graphs
Wegner在1977年证明了最大度至多为$3$的可平面图的平方是$7$ -可着色的。我们证明了这个猜想使用放电方法和计算技术来验证可约配置。
2016-04-21 math.CO
Upper bounds on the odd graceful chromatic number of graphs
本文研究二部图的奇优美色数，给出若干仅依赖顶点数或其二部划分相关图色数的新上界。
2025-09-02 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. I. Odd holes
图中的奇洞是指一个诱导子图，它是一个长度至少为5的奇圈。1985年，A. Gyarfas猜想：对任意的t，存在n使得无K_t子图且无奇洞的图是n-列图。我们证明了这个猜想。
2015-08-28 math.CO
Strong chromatic index of subcubic planar multigraphs
一个重图的强色指数是使其边集可以是$k$ -着色的最小$k$，要求每个色类诱导一个匹配.证明了Faudree，Gyárfás，Schelp和Tuza的一个猜想，证明了最大度不超过3的平面重图的强色指数不超过9，这是一个尖锐的猜想.
2015-07-31 math.CO
On a conjecture about the strong odd chromatic number of planar graphs
Cochin University of Science and Technology（科钦科技大学）
本文研究了平面图的强奇数染色数，通过构造反例验证了一个关于其上界猜想的假设。
2026-02-03 math.CO
Topologically $4$-chromatic graphs and signatures of odd cycles
我们调查群论的“签名”的奇循环的一个图，和他们的连接拓扑障碍3-着色。在签名来自自由群的情况下，我们证明了具有平凡签名的奇圈的存在性等价于hom-complex的余指数至少为2（这意味着色数至少为4）。对于初等阿贝尔2-群的签名，证明了具有平凡签名的奇圈的存在是其hom-complex的指数至少为2的充分条件（这也意味着其色数至少为4）.
2016-02-23 math.CO
A strengthening on odd cycles in graphs of given chromatic number
Gyárfás解决了Bollobás和Erdás的一个猜想，证明了每个具有色数$k+1\geq 3$的图$G$包含具有$\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$不同奇长的圈。我们加强这一突出的结果表明，这样的$G$包含周期的$\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$连续奇数长度。一路上，结合极值和结构工具，我们证明了一个更强的声明，每个图的色数$k+1\geq 7$包含$k$周期的连续长度，除了一些块是$K_{k+1}$。作为推论，这证实了Verstraëte的一个猜想，并回答了Moore和West的一个问题。
2021-04-06 math.CO
A new upper bound on the acyclic chromatic indices of planar graphs
图$G$的无圈边染色是不产生双色圈的正常边染色。$G$的非循环色指数$a'(G)$是使得$G$具有使用$k$颜色的非循环边着色的最小整数$k$。证明了对任意简单图$G$，有最大度$Δ$的图，有$a'(G)\le Δ+2$.本文证明了：如果$G$是平面图，则$a'(G)\leqΔ+7$ .这改进了Basavaraju等人[{ \em可平面图的无环边着色}，SIAM J. Discrete Math.，25（2011），pp. 463-478]，它说每个平面图$G$都满足$a'(G)\leqΔ+12$。
2012-05-31 math.CO
On minimal triangle-free planar graphs with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在所有接受相同颜色的顶点的集合上导出的子图的最大度至多为k。k-亏色数$χ_k(G)$是使图G是（m，k）-列的最小正整数$m$.设f（m，k;tfp）是满足$χ_k(G)$ =m的无三角形可平面图的最小阶.本文证明了f（3，1;tfp）=11。
2015-01-19 math.CO
Another Proof of the Four Colour Theorem -- Part 2 -- Discharging a minimal 5-Chromatic Planar Graph
在RSST中，他们“用另一个巨大的手工检查证明来取代A&H要求的巨大的手工检查证明”（第18页）。在这里，可验证性的证明是在一个冗长的结构化手动检查证明中完成的，其全部内容在本文档中给出。
2022-09-17 math.CO
On the odd girth and the circular chromatic number of generalized Petersen graphs
一类简单图如${\cal G}$称为{ \it奇围长闭}，如果对任意正整数$g$，存在一个图$G \in {\cal G}$，使得$G$的奇围长大于或等于$g$ .一个奇围长闭图类${\cal G}$称为{ \it奇五边形}，如果存在一个依赖于${\cal G}$的正整数$g^*$，使得任何一个其奇围长大于$g^*$的图$G \in {\cal G}$都与五圈同态（即是$C_{_{5}}$ -可着色的）.在这篇文章中，我们发现，寻找广义Petersen图的奇围长可以转化为一个整数规划问题，并使用此，我们显式地计算奇围长这样的图，表明类是奇围长封闭的。同时，在证明广义Petersen图是奇五边形图的基础上，我们研究了这类图的圆色数。
2015-01-26 math.CO
Weak-odd chromatic index of special digraph classes
设$\partial^+_D(v)=\{vw|w\in N^+_D(v)\}$和$\partial^-_D(v)=\{uv|u\in N^-_D(v)\}$是$v$的半割，给出一个有向图$D=(V(D),A(D))$.一个映射$φ:A(D)\rightarrow [k]$称为$D$的弱奇$k$ -边染色，如果它满足以下条件：对于每个$v\in V(D)$，至少有一个颜色在$v$的每个非空半割上出现的次数为奇数。我们称最小整数$k$为$D$的弱奇色指数。当限制为2种颜色时，使用$def(D)$表示$D$的缺陷，即不满足上述条件的$D$中的最小顶点数。本文给出了半完全有向图和扩张竞赛图的弱奇色指数和亏度的一个描述性刻画，将竞赛图的结果推广到更广的类。并且开创了有向图上弱奇边覆盖的研究。
2022-02-17 math.CO
A new upper bound on the chromatic number of graphs with no odd $K_t$ minor
Gerards和Seymour证明了没有奇数$K_t$子图的图是$(t-1)$ -可着色的.这是对著名的哈德维格猜想的加强。Geelen等人证明了没有奇数$K_t$子式的图是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的.使用的方法，本作者和Postle最近开发的着色图没有$K_t$子，我们作出了第一次改进，这个界显示，每个图没有奇数$K_t$子是$O(t(\log t)^β)$ -着色的每一个$β> 1/4$。
2019-12-16 math.CO
Planar graphs and Stanley's Chromatic Functions
本文研究了图的色对称函数关于各种对称函数基的正性现象。给出了Gasharov关于$(3 + 1)$ -free偏序集的色对称函数的Schur-正性定理的一个新证明。我们提出了一个组合的舒尔系数的平面网络的解释。与Gasharov的证明相比，它给出了一个更清晰的取消过程的直观说明，并且在精神上与通过Lindstrom-Gessel-Viennot引理证明Schur函数的单项正性非常相似。我们应用类似的设备的$e$ -正性问题的色函数。继斯坦利，我们分析了某些类似的对称函数连接到图，而不是直接与图的色对称函数。引入了一个新的组合对象：单位区间阶的正确序列，并利用它重新证明了幂和对称函数的$G$ -模拟的单项正性.
2017-02-19 math.CO
Upper Bounds of the Odd Chromatic Number of a Graph in terms of its Thickness
本文研究图的奇色数上界，证明最小度至少为2倍厚度减1且围长至少为6的图可被6倍厚度种颜色奇染色。
2024-03-18 math.CO
The odd chromatic number of a toroidal graph is at most 9
可平面图是$4$ -可着色的。环形图是可以嵌入到环面上的图。证明了环图是$7$ -可着色的。一个图的正常染色称为\emph{odd}，如果每个非孤立点至少有一个颜色在其邻域中出现奇数次。图$ G $允许奇染色的最小颜色数记为$χ_{o}(G)$。本文证明了：若$G$是环面图，则$χ_{o}\left({G}\right)\le9$ ;注意，$K_7$是环面图，其上界不小于$7$ .
2022-06-12 math.CO
The edge chromatic number of outer-1-planar graphs
一个图是外1-平面的，如果它可以在平面上画，使得所有的顶点都在外面，并且每条边最多交叉一次。本文完全确定了外1-可平面图的边色数。
2014-05-14 cs.DM math.CO
The list chromatic index of simple graphs whose odd cycles intersect in at most one edge
本文研究了一类单图$\mathcal{G}^*$，其中每对不同的奇圈至多相交于一条边。给出了$\mathcal{G}^*$中图的结构特征，证明了每个$G \in \mathcal{G}^*$满足列表边着色猜想.当$Δ(G) \geq 4$时，我们证明了一个关于$L(G)$中的核完美定向的更强的结果，这意味着对于每个$m \geq 1$，$G$是$(mΔ(G):m)$ -边可选择的和$Δ(G)$ -边可涂的.
2017-11-18 math.CO
Anagram-Free Chromatic Number is not Pathwidth-Bounded
Anagram-free色数是一个新的图形参数，由Kamčev，Zuczak，and Sudakov（2017）和Wilson and Wood（2017）独立引入。本文证明了路宽为3的可平面图具有任意大的Anagram-free色数。更具体地说，我们描述了$2n$ -顶点可平面图的路径宽度为3与anagram自由色数$Ω(\log n)$。我们还描述了在$Ω(k\log n)$中具有任意色数的$kn$顶点图，其路宽为$2k-1$。
2018-02-27 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. II. Three steps towards Gyarfas' conjectures
Gyarfas在1985年证明了：对所有的$k$，$l$，任何没有团的大小大于$k$，也没有奇洞的长度大于$l$的图，其色数都是以$k$和$l$为界的.我们证明了三个较弱的命题：（1）每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度不等于5的奇洞：（2）对所有的$l$，每一个色数足够大的无三角形图都有一个长度大于$l$的奇洞或一个长度大于5的奇洞;（3）对所有的$k$，$l$，每个不存在团大小大于$k$且色数足够大的图都含有5-洞或长度大于$l$的洞.
2015-08-28 math.CO
Fractional balanced chromatic number and arboricity of planar (signed) graphs
本文构造平面符号图，证明其分数平衡色数可大于2，反驳了平面图分数树状度上界为2的猜想，并给出色数上确界至少为83/41、树状度极限为2+2/25的序列。
2025-05-22 math.CO
Remarks on planar edge-chromatic critical graphs
Vizing猜想的唯一公开的情形是$Δ= 6$，即每个具有$Δ\geq 6$的平面图都是1类图。我们给出了以下命题的一个简短证明：不存在6-临界平面图$G$，使得$G$的每个顶点至多与三个3-面关联. \cite{Wang_Xu_2013}中给出了一个更强有力的声明，不限于临界图。然而，那里给出的证明只对临界图有效。进一步证明了每个5-临界平面图都有一个3-面与一个$k$ -面$(k\in \{3,4\})$相邻.对于$Δ= 5$，我们的结果揭示了平面$5$ -临界图的结构，对于$Δ=6$，我们的结果支持了Vizing平面图猜想的正确性.
2017-02-24 math.CO
On the precise value of the strong chromatic-index of a planar graph with a large girth
图$G$的强$k$ -边染色是从$E(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得距离至多为2的每对不同的边接收不同的颜色。图$G$的强色指数$χ'_s(G)$是使$G$具有强$k$ -边染色的最小$k$.表示为$σ(G)=\max_{xy\in E(G)}\{\operatorname{deg}(x)+\operatorname{deg}(y)-1\}$。很容易看出，对于任何图$G$，都有$σ(G) \le χ'_s(G)$，并且当$G$是树时等式成立。对于最大度为$Δ$的可平面图$G$，利用四色定理证明了$χ'_s(G) \le 4 Δ+4$.然后在不同的$Δ$和周长条件下，将上限简化为$4Δ$，$3Δ+5$，$3Δ+1$，$3Δ$，$2Δ-1$。本文证明了：如果可平面图$G$的围长足够大，且是$σ(G)\geq Δ(G)+2$，则$G$的强色指数恰是$σ(G)$ .这个结果反映了一种直觉，即一个局部围长较大的可平面图看起来像一棵树。
2015-09-25 math.CO
Odd Chromatic Number of Graph Classes
一个图称为奇（分别，偶），如果每个顶点都有奇（分别，偶）度。Gallai证明了每个图都可以划分为两个偶诱导子图，或者划分为一个奇诱导子图和一个偶诱导子图。我们把划分成奇子图称为G的奇染色。Scott [Graphs and Combinatorics，2001]证明了一个图允许奇数着色当且仅当它有偶数个顶点。我们说一个图G是k-奇列图，如果它能被划分成至多k个奇导出子图。本文首次系统地研究了图类的奇染色和奇色数。特别地，我们考虑了一些类是否有界奇色数。我们的主要结果是：区间图、有界模宽图和有界最大度图都有界奇色数。
2023-03-06 cs.DM math.CO
Queue layouts and nonrepetitive colouring of planar graphs and powers of trees
Dujmović，Joret，Micek，Morin，Ueckerdt和Wood最近在[可平面图]中提出了有界图数，Journal of the ACM，第67卷，第4期，文章编号：22，August 2020]给出了可平面图的一些有吸引力的图积结构定理。他们利用乘积结构证明了可平面图具有有界非重复色数$48$ ;在[可平面图具有有界非重复色数，Advances in Combinatorics，5，11 pp，2020]中，作者证明了可平面图具有有界非重复色数$768$。本文还利用乘积结构定理，将可平面图的色数上界改进为$27$，将不重色数上界改进为$320$ .我们还研究了树木的力量。本文给出了树$T$的$k$次$T^k$的图积结构定理，并利用它给出了树$T^k$的非重复色数的一个上界.我们还给出了$T^k$的最小数的渐近紧上界.
2021-03-12 math.CO
On Chromatic no. of 3K1-free graphs and R(3, k)
本文证明了：若G具有2号独立性，且团长Ω小于或等于11，则（1）若Ω为奇数，则色数小于或等于（Ω 2 + 12 Ω-13）/8;（2）若Ω为偶数，则色数小于或等于（Ω 2 + 10 Ω）/8.我们进一步推测，结果是真实的，一般为所有欧米茄。我们还猜想，（A）如果Ω是奇数，R（3，Ω）是偶数，则R（3，Ω）=（ω 2 + 8 ω-9）/4，（B）如果ω和R（3，Ω）都是奇数，则（ω 2 + 8 ω-13）/4，（C）如果ω和R（3，Ω）都是偶数，则R（3，Ω）=（Ω 2 + 6 Ω）/4，（D）如果Ω是偶数而R（3，Ω）是奇数，则（Ω 2 + 6 Ω-4）/4。我们再次验证ω小于或等于9的结果。
2013-03-04 math.CO
Clustered Colouring of Odd-$H$-Minor-Free Graphs
本文研究排除奇子式图类的聚类色数，通过改编Norin等人的证明方法，证明该色数与排除图H的树深密切相关。
2024-10-18 math.CO
Cliques and High Odd Holes in Graphs with Chromatic Number Equal to Maximum Degree
本文为满足色数等于最大度且非$\overline{C_7}$的连通图提供了一个统一自包含的证明，证明了其必然包含特定团或高奇洞，避免了先前研究中依赖强完美图定理的繁琐分类。
2025-08-13 math.CO
Maximum odd induced subgraph of a graph concerning its chromatic number
本文研究图的奇诱导子图最大阶数问题，证明 Scott 猜想对二部图不成立但对线图成立，并否定 Berman 等人的相关猜想。
2024-02-25 math.CO
On the chromatic number of the Erdős-Rényi orthogonal polarity graph
对于素数幂$q$，令$ER_q$表示Erdens-Rényi正交极性图。我们证明了如果$q$是一个奇素数的偶幂，那么$χ( ER_{q}) \leq 2 \sqrt{q} + O ( \sqrt{q} / \log q)$ .该上界最好是至多为2的常数因子。若$q$是奇素数的奇次幂，且满足不可约多项式的某些条件，则我们大大改进了$χ(ER_{q})$已知的上界.我们还证明了，对于足够大的$q$，每个$ER_q$包含一个子图，不是3-色的，并有最多36个顶点。
2014-09-14 math.CO
An improved bound on acyclic chromatic index of planar graphs
如果图$G$中不存在双色圈，则称图$G$的正常边染色是无圈的.用$χ'_a(G)$表示的$G$的非循环色指数是使得$G$具有非循环边$k$ -着色的最少颜色数$k$。Basavaraju等人[可平面图的无环边着色，SIAM J. Discrete Math.25（2）（2011），463- 478]表明，对于具有最大度$Δ(G)$的可平面图$G$，$χ'_a(G)\le Δ(G)+12$。本文将此界改进为$Δ(G)+10$。
2012-03-23 cs.DM math.CO
List Colouring Squares of Planar Graphs
1977年，Wegner证明了可平面图$G$的最大度$Δ\ge8$的平方的色数至多为$\bigl\lfloor\frac32Δ\bigr\rfloor+1$ .我们表明，它是最多$\frac32 Δ(1+o(1))$（其中$o(1)$是$Δ\to+\infty$），事实上，这是真实的列表色数和更一般的类图。
2017-05-15 math.CO
Face-degree bounds for planar critical graphs
唯一剩下的情况下，一个著名的猜想Vizing国家，没有可平面图的最大程度6和边色数7。我们引入了可平面图的参数，基于面的度，并研究了平面边色临界图的这些参数是否存在上界的问题。我们的研究结果提供了这些参数的最小反例Vizing的猜想的上界，从而提供了这样的图的部分特征，如果它们存在。对于$k \leq 5$，这些结果给出了平面边色临界图的结构。
2016-08-24 math.CO
On topological relaxations of chromatic conjectures
关于色数有几个著名的未解定理，它们被放松并已被证明对分数色数成立。讨论了色数的拓扑下界的类似松弛。特别是，我们证明了这样一个放松的版本是真实的Behzad-Vizing猜想，并讨论了Hedetniemi和Hadwiger的代数从这个角度来看。对于后者，第一作者与G.塔尔多斯，我们在这里主要关心的是，所谓的奇哈德维格猜想在这方面看起来要困难得多。证明了奇Hadwiger猜想对任意固定色数的足够大的Kneser图和Schrijver图成立。
2010-02-24 math.CO
Degeneracy and Colorings of Squares of Planar Graphs without 4-Cycles
本文证明了关于无4-圈可平面图的染色平方的几个结果。首先，我们证明了如果$G$是这样的图，那么$G^2$是$(Δ(G)+72)$ -退化的。这意味着一个上界的$Δ(G)+73$的色数$G^2$以及对几个变种的色数，如列表色数，油漆数，阿隆-Tarsi数，和对应色数。我们还表明，如果$Δ(G)$是足够大的，那么这些参数的$G^2$的上限都可以降低到$Δ(G)+2$（这是最好的可能）。为了补充这些结果，我们证明了4-循环在具有此属性方面是独一无二的。具体地说，让$S$是一个有限的正整数列表，其中有$4\notin S$。对于每个常数$C$，我们构造了一个平面图$G_{S,C}$，它不含长在$S$中的圈，但对于其中的$χ(G_{S,C}^2) > Δ(G_{S,C})+C$ .
2019-09-24 math.CO
The strong chromatic index of 1-planar graphs
本文证明了最大平均度为$\bar{d}$的图的强色指数上界为$(2\bar{d}-1)\chi'$，并由此得出1-平面图强色指数至多$14\Delta$，改进了Bensmail等人的$24\Delta$界。
2025-01-14 math.CO
Grid Representations and the Chromatic Number
图形的网格绘制将顶点映射到网格点，将边映射到线段，避免网格点表示其他顶点。我们表明，有一些网格点，一些线段的任意网格图必须相交。这个数与色数密切相关。其次，我们研究了在网格中绘制一个图需要多少列，引入了一些新的$\NP$ -完全问题。最后，我们证明了任何可平面图都有一个平面网格图，其中每个线段恰好包含两个网格点。这一结果证明了David Flores-Peñaloza和Francisco Javier Zaragoza Martinez提出的问题。
2012-04-01 math.CO
The chromatic number of heptagraphs
空穴是长度至少为4的诱导环。如果一个图没有长度为3或4的圈，也没有长度至少为7的奇数洞，则称它为五角图;如果一个图没有长度小于小于7的圈，也没有长度至少为9的奇数洞，则称它为七角图。令$ł\ge 2$为整数。目前的作者证明了一个图是4-可着色的，如果它没有长度小于$2ł+1$的圈，也没有长度至少为$2ł+3$的奇洞. Chudnovsky和Seymour证明了Plummer和Zha的一个猜想，每个五边形都是3-可着色的。根据他们的想法，我们证明了每个七边形都是3-可着色的。
2022-06-03 math.CO
On the Strong Chromatic Index of Sparse Graphs
图$G$的强色指数，记为$χ_s'(G)$，是对$G$进行边着色所需的最少颜色数，使得距离至多为2的边接收不同的颜色。表示为$χ_{s,\ell}'(G)$的强列表色度索引是最小整数$k$，使得如果将大小为$k$的任意列表分配给每个边缘，则$G$可以从距离至多为2的边缘接收不同颜色的那些列表中进行边缘着色。本文利用放电方法、组合零点定理和计算证明了：如果$G$是一个次三次平面图，且有$\operatorname{girth}(G) \geq 41$，则有$χ_{s,\ell}'(G) \leq 5$，从而回答了Borodin和Ivanova [Precise upper bounding for the strong edge chromatic number of sparse planar graphs，Discuss.图论，33（4），（2014）759- 770]。我们进一步证明了如果$G$是一个次立方平面图，并且$\operatorname{girth}(G) \geq 30$，那么$χ_s'(G) \leq 5$，改进了同一篇文章中的一个界。最后，如果$G$是一个最大度不超过4的平面图，且$\operatorname{girth}(G) \geq 28$，则有$χ_s'(G) \leq 7$，改进了Wang和Zhao在[Odd graphs and its applic…
2015-08-14 math.CO
Chromatic properties of generic planar configurations of points
我们研究了平面上点的一般构型（也称为序型）的Orchard关系。我们引入无穷小闭点，并分析了这个概念与果园关系的关系。第二部分的文件涉及单色配置（果园关系）。我们给出了所有单色配置的完整列表，最多7点，并提出了一些单色配置的建设和家庭。
2002-10-03 math.CO math.GT
Note on robust coloring of planar graphs
本文研究平面图的稳健色数，通过构造一个满足 $χ_1(G) = 3$ 的无限平面图族，解决了 Bacsó 等人近期提出的关于稳健染色的一个问题。
2024-10-10 math.CO
Remarks on odd colorings of graphs
称图$G$的正常点着色$φ$是奇数的，如果对每个非孤立点$x\in V(G)$都存在一个颜色$c$使得$φ^{-1}(c)\cap N(x)$是奇数大小的.在$G$的任何奇数着色中，最小的颜色数，记作$χ_o(G)$，是奇数色数。奇数着色最近在[M.~]中引入。彼得鲁舍夫斯基河~Škrekovski：\textit{Colorings with neighborhood parity condition} ]。本文讨论了这个新的图参数的各种基本性质，用奇色数刻画了无圈图和超立方体，建立了关于退化度或最大度的几个上界，并提出了几个问题和疑问.
2022-07-20 math.CO
Further result on acyclic chromatic index of planar graphs
图$G$的非圈边染色是指图的每一圈至少被三种颜色着色的正常边染色。图$G$的无圈边着色指数$\chiup_{a}'(G)$是图$G$的无圈边着色中的最少颜色数。证明了对于任意具有最大度$Δ(G)$的单图$G$，有$\chiup'_{a}(G)\leq Δ(G) + 2$.本文证明了可平面图$G$的边染色是$Δ(G) + 6$色的.
2015-08-26 cs.DM math.CO
The average degree of edge chromatic critical graphs with maximum degree seven
本文通过对$4$或$5$顶点上的路的几个新的邻接引理的研究，证明了7-临界图的平均度至少为6。它包含Vizing的可平面图猜想，可平面图具有最大程度$7$和它的推广，图嵌入在一个表面的非负欧拉示性数由于Sanders和Zhao（J. Combin. Theory Ser.B83（2001）201-212和J. Combin. Theory Ser.B87（2003）254-263）和Zhang（Graphs and Combinatorics 16（2000）467-495）。
2023-01-05 math.CO
Planar graphs have bounded nonrepetitive chromatic number
一个图的着色是“非重复”的，如果对于偶数阶的每条路径，路径的前半部分的颜色序列不同于后半部分的颜色序列。我们证明了可平面图具有非重复染色，且颜色数有界，从而证明了Alon，Grytczuk，Haluszczak和Riordan（2002）的一个猜想.我们还概括了这一结果的图有界欧拉属，图不包括一个固定的未成年人，图不包括一个固定的拓扑未成年人。
2022-01-20 cs.DM math.CO
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
2014-02-21 math.CO
Acyclic chromatic index of triangle-free 1-planar graphs
图$G$的非圈边染色是指图的每一圈至少被三种颜色着色的正常边染色。图$G$的无圈边着色指数$\chiup_{a}'(G)$是图$G$的无圈边着色中的最少颜色数。证明了对于任意具有最大度$Δ(G)$的单图$G$，有$\chiup'_{a}(G)\leq Δ(G) + 2$.一个图是{ \em $1$ -planar}，如果它可以画在平面上，使得每个边最多与另一个边相交。本文证明了每一个无三角形的$1$ -可平面图$G$都有一个带$Δ(G) + 16$色的无圈边染色.
2016-09-06 cs.DM math.CO
Alternating odd cycles and orientations of Kneser-like graphs
本文研究特定图的定向问题，聚焦拓扑χ-染色图，探讨其是否存在避免交错奇环的定向或使所有最短奇环为交错奇环的定向，并针对Kneser图等多个图族给出结果。
2025-08-25 math.CO
Nonrepetitive colourings of graphs excluding a fixed immersion or topological minor
证明了不含固定浸入的图具有有界的非重复色数。更一般地说，我们证明，如果$H$是一个固定的可平面图，有一个平面嵌入的所有顶点的度至少为4的一个单一的面，然后图排除$H$作为一个拓扑子有界非重复色数。这是已知的具有有界非重复色数的图的最大类。
2017-04-16 math.CO
On the chromatic number of a family of odd hole free graphs
洞是长度至少为4的诱导环，奇洞是奇数长度的洞。一个满房子是由一个顶点组成的一个图，该顶点与$K_4$中的一条边的两端相邻。设$H$是7个顶点上的圈的补。Chudnovsky等人[6]证明了：每个（odd hole，$K_4$）-free图是4-可着色的，如果它没有$H$作为导出子图，则它是3-可着色的.本文利用Chudnovsky等人的证明技巧，将这一结论推广到无（奇洞，满堂）图，证明了对于无（奇洞，满堂）图$G$，$χ(G)\le ω(G)+1$，等式成立当且仅当$ω(G)=3$和$G$有$H$作为导出子图.
2021-10-25 cs.DM math.CO
Planar graphs are 9/2-colorable
我们证明了每个可平面图$G$都有2重9-染色.特别地，这意味着$G$具有至多$\frac92$的分数色数。这是第一个证明（独立于四色定理）存在一个常数$k<5$使得每个平面$G$至多有$k$的分数色数.
2016-09-20 math.CO
On chromatic symmetric homology and planarity of graphs
本文证明非平面图的色对称同调在双次数(1,0)中必含 Z_2 挠率，证实了相关猜想，并以 Kuratowski 定理进行递归论证。
2022-07-19 math.AT math.CO math.RT
Chromatic Polynomials of Planar Triangulations, the Tutte Upper Bound, and Chromatic Zeros
Tutte证明了如果$G_{pt}$是一个平面三角剖分，$P(G_{pt},q)$是它的色多项式，则有$|P(G_{pt},τ+1)| \le (τ-1)^{n-5}$，其中$τ=(1+\sqrt{5} \,)/2$和$n$是$G_{pt}$中的顶点数.在这里，我们研究的比率$r(G_{pt})=|P(G_{pt},τ+1)|/(τ-1)^{n-5}$的各种平面三角剖分。我们构建无限递归家庭的平面三角形$G_{pt,m}$依赖于一个参数$m$线性相关的$n$，并表明，如果$P(G_{pt,m},q)$只涉及一个单一的权力的多项式，然后$r(G_{pt,m})$接近零指数快速$n \to \infty$。我们还构建了无限递归家庭，其中$P(G_{pt,m},q)$是某些功能的权力和显示，对于这些，$r(G_{pt,m})$可能会接近一个有限的非零常数为$n \to \infty$。研究了Tutte上界与观测到的$τ+1$附近的色零点之间的联系.我们报告了第一个已知的图，其中最接近$τ+1$的零（S）不是真实的，而是一个复共轭对。最后，我们讨论了与非零基态熵的Potts反铁磁体在这些家庭的图。
2011-10-26 math-ph math.CO math.MP
An Improved Upper Bound for the Strong Odd Chromatic Number of Planar Graphs
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
本文将平面图强奇数色数的上界从388改进至368，还构造了强奇数色数为20的平面图，回应了相关研究问题。
2026-08-05 cs.DM math.CO
