Every signed planar graph without cycles of length from 4 to 7 is 3-colorable
Hu和Li研究了Erd $\ddot{\mathrm{o}}$问题的带符号图版本：是否存在常数$c$使得每个不含$k$ -圈的带符号可平面图，其中$4\leq k\leq c$，是$3$ -可着色的，并证明了每个不含长度为4到8的圈的带符号可平面图是3-可着色的.我们给出了这个结果的一个非常简短和简单的证明，并根据最近的观察改进了它。
2022-05-03 math.CO
Every planar graph without adjacent short cycles is 3-colorable
如果两个循环具有共同的边沿，则它们是{ \em相邻}的。设$G$是一个可平面图，对于任意两个相邻的圈$C_{1}$和$C_{2}$，我们有$|C_{1}| + |C_{2}| \geq 11$，特别地，当$|C_{1}| = 5$，$|C_{2}| \geq 7$ .证明了图$G$是3-可着色的.
2010-04-05 math.CO
Size of edge-critical uniquely 3-colorable planar graphs
一个图$G$是\emph{uniquely k-colorable}，如果$G$的色数是$k$，并且$G$只有一个$k$ -染色直到颜色的置换.唯一$k$可着色图$G$是边临界图，如果$G-e$对任何边$e\in E(G)$都不是唯一$k$可着色图. Mel'nikov和Steinberg [L. S.梅尔尼科夫河Steinberg，One counterexample for two aesthetures on three coloring，Discrete Math.20（1977）203-206]要求找到一个边临界3-可着色平面图的边数的精确上界。本文给出了边临界唯一3-可着色可平面图的一些性质，并证明了如果$G$是这样的具有$n(\geq6)$顶点的图，则$\frac{8}{3}n-\frac{17}{3}$改进了Matsumoto [N. Matsumoto，边临界唯一3-可着色可平面图的尺寸，Electron. J. Combin。20（3）（2013）$\#$ P49]。此外，我们还找到了一些边临界3-可着色的可平面图，它们的顶点为$n(=10,12, 14)$，边为$\frac{5}{2}n-7$.
2013-12-29 math.CO
Planar graphs without cycles of length 4 or 5 are (11:3)-colorable
一个图G是（a：b）-可着色的，如果存在{1，.，a}映射到G的顶点，使得分配给邻顶点的集合是不相交的。我们证明了每个不含长度为4或5的圈的可平面图都是（11：3）-可着色的，这是对最近被否定的Steinberg猜想的一个削弱.特别地，每个具有n个顶点的这样的图具有大小至少为3 n/11的独立集。
2019-07-14 math.CO
Planar graphs without 5-cycles and intersecting triangles are $(1,1,0)$-colorable
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含$5$ -圈和相交三角形的平面图都是$(0,0,0)$ -可着色的.本文证明了这类图是$(1,1,0)$ -可着色的.
2014-09-26 math.CO
Planar graphs with girth at least 5 are (3,4)-colorable
一个图是$(d_1, \ldots, d_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以被划分为$k$个非空子集，使得由$i$个部分导出的子图的最大度至多为$d_i$，对于每个$i\in\{1, \ldots, k\}$ .已知对于每对$(d_1, d_2)$，存在具有围长$4$的平面图，该平面图不是$(d_1, d_2)$可着色的。这引发了人们对寻找$(d_1, d_2)$对的兴趣，使得周长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的。给定$d_1\leq d_2$，已知围长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的，如果$d_1\geq 2$和$d_1+d_2\geq 8$或$d_1=1$和$d_2\geq 10$ .我们通过提供文献中第一对满足$d_1+d_2\leq 7$的$(d_1, d_2)$改进了上述结果，其中围长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的。也就是说，我们证明了围长至少为$5$的可平面图是$(3, 4)$ -可着色的。
2019-08-08 math.CO
Near-colorings: non-colorable graphs and NP-completeness
图G是（d_1，.，d_l）-可着色，如果G的顶点集可被划分为子集V_1，.，V_1，使得由V_i的顶点导出的图G[V_i]对所有1 <= i <= 1具有最大度至多为d_i。在本文中，我们专注于复杂性方面的这种着色时，l= 2，3。更精确地说，我们证明了：对于任意固定整数k，j，g，（k，j）不同形式（0，0）且g ≥ 3，或者每个围长至少为g的可平面图是（k，j）-可染的，或者判定围长至少为g的可平面图是否是（k，j）-可染的是NP-完全的.对于任意固定整数k，判定一个可平面图是（0，0，0）-可着色图还是非（k，k，1）-可着色图是（0，0，0）-可着色图是NP-完全的。此外，我们还证明了围长为5的非（3，1）-可着色可平面图和围长为7的非（2，0）-可着色可平面图.
2013-06-05 math.CO
Every planar graph without 4-cycles adjacent to two triangles is DP-4-colorable
Wang和Lih在2002年证明了任何不含相邻三角形的可平面图都是4-可选图。本文证明了每个与两个三角形相邻的不含任何4-圈的可平面图都是DP-4-可着色的，改进了Lam，Xu和Liu [Journal of Combin. Theory，Ser. B，76（1999）117- 126]，Cheng，Chen和Wang [Discrete Math.，339（2016）3052--3057]以及Kim和Yu [arXiv：1709.09809v1]。
2018-04-21 math.CO
Planar graphs without $5^{-}$-cycles at distance less than $3$ are $(\mathcal{I}, \mathcal{F})$-colorable
该研究针对平面图的$(\bma{I}, \bma{F})$-着色问题，证明了距离小于3的位置不含$5^{-}$-圈的平面图均满足该着色性质，拓展了平面图可着色性的相关结论。
2023-11-06 math.CO
Every planar graph without $i$-cycles adjacent simultaneously to $j$-cycles and $k$-cycles is DP-$4$-colorable when $\{i,j,k\}=\{3,4,5\}$
DP-染色是简单图列表染色的推广。列表着色中的许多结果可以推广到DP-着色中。Kim和Ozeki证明了没有$k$-圈的平面图，其中$k=3,4,5,$或$6$是DP-$4$-可着色的.最近，Kim和Yu推广了关于$3$-圈和$4$-圈的结果，证明了没有三角形邻接$4$-圈的平面图是DP-$4$-可着色的。Xu和Wu证明了不存在同时与$3$-圈和$4$-圈相邻的$5$-圈的平面图是$4$-可选的.本文推广了关于$5$-圈和与$4$-圈相邻的三角形的结果，证明了当$\{i,j,k\}=\{3,4,5\}.$时，没有$i$-圈同时与$j$-圈和$k$-圈相邻的平面图是DP-$4$-可染的.这也推广了徐和吴的结果.
2018-01-31 math.CO
The $\mathbb{Z}$-Divisor Graph on $\mathbb{Q} \cap [1,7]$ is Planar and 3-Colorable
Baylor University（贝勒大学）
本文证明了满足 $m\leq 7n$ 的整数区间上的因子图是平面图，且 7 为最优界限，并进一步证明这些图可 3-着色。
2026-09-22 math.CO
Planar graphs without 4-cycles and close triangles are (2,0,0)-colorable
对于一组非负整数$c_1, \ldots, c_k$，图$G$的一个$(c_1, c_2,\ldots, c_k)$ -染色是将$V(G)$划分为$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$i$，$1\le i\le k, G[V_i]$的最大度至多为$c_i$ .证明了所有不含4-圈且三角形间边不少于两条的可平面图都是$(2,0,0)$ -可着色的.
2018-06-20 math.CO
1-planar graphs are odd 13-colorable
图$G$的奇染色是指图$G$中任意非孤立点的染色在其邻点上出现奇数次的真染色。奇色数，记作$χ_o(G)$，是允许$G$的奇染色的最小颜色数。Petruševski和Škrekovski在2021年引入了这个概念，并证明了如果$G$是平面的，那么$χ_o(G)\le9$和证明了$χ_o(G)\le5$。最近，Petr和Portier将$9$改进为$8$。一个图是$1$ -平面的，如果它可以画在平面上，使得每一条边最多与另一条边相交。Cranston，Laffeine和Song证明了每个$1$ -平面图都是奇$23$ -可染的.本文改进了这一结果，证明了每个$1$ -平面图都是奇$13$ -可染的.
2022-06-28 math.CO
Planar graphs having no cycle of length $4$, $6$ or $8$ are DP-3-colorable
本文证实了Dvořák和Postle的猜想，通过证明更强的结果：没有长度为4、6或8的圈的平面图是DP-3-可着色的。
2024-12-26 math.CO
Planar graphs without cycles of lengths 4 and 5 and close triangles are DP-3-colorable
Montassier，Raspaud，and Wang（2006）要求找到最小的正整数$d_0$和$d_1$，使得没有$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge d_0$的可平面图是$3$ -可选的，没有$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge d_1$的可平面图是$3$ -可选的，其中$d^Δ$是三角形之间的最小距离。结果显示，$2\le d_0\le 4$和$d_1\le 3$ .本文证明了下列可平面图是DP-3-可着色的：（1）不含$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge 3$的可平面图是DP- $3$ -可着色的;（2）不含$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge 2$的可平面图是DP- $3$ -可着色的. DP-着色是列表着色的推广，因此作为推论，$d_0\le 3$和$d_1\le 2$。实际上，我们证明了更强的声明，每个预着色的一些圈可以扩展到整个图。
2018-09-04 math.CO
(1,0,0)-colorability of planar graphs without cycles of length 4 or 6
一个图$G$是$(d_1,d_2,d_3)$ -可着色的，如果顶点集$V(G)$可以划分为三个子集$V_1,V_2$和$V_3$，使得对于$i\in\{1,2,3\}$，导出图$G[V_i]$的顶点度最大为$d_i$ .所以，$(0,0,0)$ -可着色性就是3-可着色性。著名的Steinberg猜想指出，每个不含长度为4或5的圈的平面图是3-可着色的。随着Cohen-Addad等人在2017年否定了这个猜想，一个类似的问题，对于给定的$i\in \{6,\ldots,9\}$，是否每个不含长度为4或$i$的圈的平面图都是3-可着色的，得到了越来越多的关注。在本文中，我们考虑这个问题的情况下$i=6$的不适当着色的观点。更精确地说，我们证明了每个不含长度为4或6的圈的平面图都是（1，0，0）-可着色的，这改进了以前的结果，即它们是（2，0，0）-可着色的，也是（1，1，0）-可着色的，并且改进了不含长度为4到6的圈的可平面图是（1，0，0）-可着色的.
2020-01-01 math.CO
DP-3-coloring of planar graphs without certain cycles
DP-着色是列表着色的一种推广，它是由Dvotelák和Postle [J. Combin.理论系列B 129（2018）38- 54]。张[通知。过程Lett. 113（9）（2013）354- 356]证明了每个既不含相邻三角形也不含5-、6-、9-圈的可平面图是3-可选的。Liu等人[Discrete Math.342（2019）178--189]证明了每个不含4-、5-、6-和9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的。本文证明了任何既不含邻接三角形也不含5-圈、6-圈、9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的，推广了这些结果。Yu等人给出了三个Bordeaux型结果，证明了：（i）三角形距离至少为3且不含4-、5-圈的可平面图是DP-3-可着色的，（ii）三角形距离至少为2且不含4-、5-、6-圈的可平面图是DP-3-可着色的;（iii）三角形距离至少为2且不含5-圈、6-圈、7-圈的可平面图是DP-3-可着色的.在最后一节中我们还给出了两个Bordeaux型结果：（i）任何既不含5-、6-、8-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的;（ii）任何既不含4-、5-、7-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的。
2021-03-22 math.CO
Plane graphs without 4- and 5-cycles and without ext-triangular 7-cycles are 3-colorable
在[J. A.邦迪大学S. R. Murty，图论，Springer，Berlin，2008]是Steinberg的猜想，它指出每个不含4-和5-圈的可平面图是3-可着色的。本文证明了不含4-圈和5-圈的平面图是3-可着色的，如果它们不含外三角7-圈。这意味着（1）不含4-，5-，7-圈的可平面图是3-可着色的，（2）不含4-，5-，8-圈的可平面图是3-可着色的，这一结果覆盖了文献中由Steinberg猜想所激发的许多已知结果.
2017-02-24 math.CO
On uniquely k-list colorable planar graphs, graphs on surfaces, and regular graphs
一个图$G$称为唯一k-列表可着色（UPDMATHABMN LC），如果在它的顶点上存在一个颜色列表，比如说$L=\lbrace S_v \mid v \in V(G) \rbrace $，每个颜色的大小为$k$，使得从这个颜色列表中存在唯一的真列表着色$G$.一个图$G$被称为具有性质$M(k)$，如果它不是唯一的$k$ -列表可着色的. Mahmoodian和Mahdian刻画了所有具有性质$M(2)$的图.对于$k\geq 3$性质$M(k)$，仅对多部图进行了研究。在这里，我们发现$M(k)$上的边界嵌入在表面上的图，并获得新的结果可平面图。我们开始对$M(k)$上的正则图以及具有不同列表大小的图的界限进行一般性研究。
2017-05-21 math.CO
Defective 2-colorings of planar graphs without 4-cycles and 5-cycles
设$G$是一个不含4-圈和5-圈的图.我们证明了对于每个正整数$k.$，判定$G$是否$(0,k)$ -可染的问题是NP-完全的。此外，我们对每个正整数$k.$构造了不含4-圈和5-圈的非$(1,k)$ -可染可平面图。最后，我们证明了$G$是$(d_1,d_2)$ -可染的，其中$(d_1,d_2)=(4,4), (3,5),$和$(2,9).$
2016-11-30 math.CO
Planar graphs without cycles of length 4 or 5 are $(7m:2m)$-DP-colorable
针对不含4-环或5-环的平面图着色问题，本文证明对任意正整数$m$，这类图均为$(7m:2m)$-DP-可着色的，也即$(7m,2m)$-可选的。
2025-11-17 math.CO
A sufficient condition for planar graphs with maximum degree eight to be totally 9-colorable
针对最大度为8的平面图的全着色问题，证明了不含4-扇子图的此类图全色数为9，给出了平面图全9-可着色的一个充分条件。
2025-09-04 math.CO
$2$-distance, injective, and exact square list-coloring of planar graphs with maximum degree 4
在过去，各种基于距离的染色可平面图被介绍。我们把我们的重点放在其中的三个，即$2$ -距离着色，内射着色和确切的平方着色。$2$ -距离着色是顶点的真着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色;内射着色是顶点的着色，其中具有共同邻居的两个顶点不接收相同的颜色;精确正方形着色是顶点的着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色。证明了最大度为$Δ= 4$且围长至少为$4$的可平面图是$2$ -距离列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和注入列表$(Δ+ 5)$ -可着色图.此外，我们还证明了具有$Δ= 4$的可平面图是单射列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和精确正方形列表$(Δ+ 6)$ -可着色图.
2022-05-16 math.CO
Planar Graphs with Ore-degree at Most seven is strongly $13$-edge-colorable
本文证明Ore度至多7的平面图强色指数不超过13，解决Chen等人的猜想，采用放电法与组合零点定理。
2025-09-08 math.CO
Some New Methods for Constructing 4-critical Planar Graphs
如果对于$G$的每条边$e$，$G$是$k$ -可着色的，而$G-e$不是$k$ -可着色的，则称图$G$是$k$ -关键的.本文提出了由两个或多个小的4-临界图构造一个大的4-临界可平面图的新方法。
2015-09-02 math.CO
Partition subcubic planar graphs into independent sets
本文研究次三次平面图的packing $(1^{\ell}, 2^k)$-染色，证明了每个次三次平面图都是packing $(1,2^5)$-可染色的，且该结果是最优且紧的。
2025-06-25 math.CO
On a Sufficient Condition for Planar Graphs of Maximum Degree 6 to be Totally 7-Colorable
图的全$k$ -染色是将$k$颜色分配给图的顶点和边，使得没有两个相邻或关联的元素接收相同的颜色。全染色猜想（TCC）指出，每个简单图$G$都有全（$Δ(G)+2$）-染色，其中$Δ(G)$是$G$的最大度.这一猜想已被最大度至少为7或至多为5的可平面图所证实，即，TCC的唯一开放情况是最大度数6。已知$Δ(G) \geq 9$或$Δ(G) \in \{7, 8\}$的任意平面图$G$都有全$(Δ(G) + 1)$ -染色.特别地，在[Shen and Wang，“On the 7 total colorability of可平面图with maximum degree 6 and without 4-cycles”，Graphs and Combinatorics，25：401-407，2009]中，作者证明了每个最大度为6且不含4-cycles的平面图具有全7-染色。本文改进了这一结果，证明了最大度为6的无钻石无房子平面图是完全7-可染的，如果对某些$\{p,q,\ell\}\in \{\{3,4,4\},\{3,3,4\}\}$，每个6-顶点不与两个相邻的4-圈关联或不与3个$p,q,\ell$圈关联.
2018-12-01 math.CO
A relaxation of Steinberg's Conjecture
一个图是$(c_1, c_2, ..., c_k)$ -可着色的，如果顶点集可以被划分成$k$集$V_1,V_2, ..., V_k$，使得对于每个$i: 1\leq i\leq k$，子图$G[V_i]$具有最大度至多$c_i$。证明了不含4-圈和5-圈的可平面图是$(1, 1, 0)$ -可着色图和$(3,0,0)$ -可着色图.这是Steinberg猜想的一个放松，即每个不含4-和5-圈的可平面图都是适当的3-可着色的（即，$(0,0,0)$ -可着色）。
2012-08-16 math.CO
Alon-Tarsi number of signed planar graphs
设$(G,σ)$是任意带符号的可平面图。证明了$(G,σ)$的Alon-Tarsi数至多为5，推广了Zhu最近关于无符号情形的结果.另外，如果$(G,σ)$是$2$ -可着色的，则$(G,σ)$具有至多4的Alon-Tarsi数。我们还构造了一个符号可平面图，它是$2$ -可着色的，但不是$3$ -可选的。
2018-09-09 math.CO
Relaxed DP-3-coloring of planar graphs without some cycles
该研究属于图论着色领域，在已有松弛DP着色的平面图相关结论基础上，证明了不含4环与6环、或不含4环与8环的平面图满足DP-(0, 2, 2)-可着色性，拓展了该方向的研究结果。
2023-11-05 math.CO
3-colorable planar graphs have an intersection segment representation using 3 slopes
LIRMM, Université de Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学，法国国家科学研究中心）
本文证明了3色可图的平面图可以使用3种斜率的线段表示，解决了Scheinerman关于平面图交集图的猜想。
2025-11-25 cs.DM math.CO
Every toroidal graph without triangles adjacent to $5$-cycles is DP-$4$-colorable
DP-着色，也称为对应着色，是由Dvo{zhi}{á}k和Postle引入的。它是列表着色的一个推广。本文证明了，除非是具有欧拉示性数$ε(G) = 0$的2-连通$4$ -正则图，否则每个与$5$ -圈相邻的不含三角形的连通环面图的最小度至多为3.因此，任何不含与$5$ -圈相邻的三角形的环形图都是DP- $4$ -可着色的。最后证明了不含两个确定子图的可平面图是DP- $4$ -可着色的。作为直接结果，（i）每个没有$3$ -圈邻近$4$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（ii）每个没有$3$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（iii）每个没有$4$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的.
2019-08-14 cs.DM math.CO
Every toroidal graph without $3$-cycles is odd $7$-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果是$χ_o(G)\le k$，我们说$G$是$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。本文证明了不含$3$ -圈的环形图是奇$7$ -可染的.因此，任何不含$3$ -圈的平面图都是奇$7$ -可着色的.也就是说，如果解决了围绕$3$ -圈的其余情形，就可以证明每个环形图都是$7$ -可着色的。
2022-06-13 math.CO
Characterizations of 2-Colorable (Bipartite) and 3-Colorable Graphs
图$G=(V,E)$中的边$\emph{uv}$通过有序对$ab$的\emph{directional labeling}是边$uv$的标记，使得在从$u$到$v$的方向上$uv$上的标记是$\ell(uv)=ab$，并且$\ell(vu)=ba$。利用有序对$ab$和$ba$对图的边进行方向标号，得到了2-可着色（二部）图和3-可着色图的新刻画.此外，我们还得到了2-可着色图和3-可着色图的方向邻接矩阵的刻画。
2013-03-30 math.CO
Fractional coloring of planar graphs of girth five
一个图G是（a：b）-可着色的，如果存在{1，.，a}映射到G的顶点，使得分配给邻顶点的集合是不相交的。我们首先证明了对任意无三角形的可平面图G和G的顶点x，图G有一个集合被{1，.，6}使得|phi（v）|对于G的每个顶点v>=2，并且|phi（x）|=3。作为推论，每个n个顶点的无三角形的可平面图都是（6 n：2n+1）-可着色的。利用这个结果，我们进一步证明了：对于每个Delta，存在一个常数M_Delta使得每个围长至少为5且度最大的可平面图G是（6 M_Delta：2 M_Delta +1）-可着色的.因此，围长至少为5且最大度Delta有界的可平面图的分数色数至多为3-3/（2M_Delta+1）。
2018-09-14 math.CO
Improper coloring of graphs on surfaces
一个图$G$是$(d_1,\ldots,d_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分成$k$集$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$i\in\{1, \ldots, k\}$，由$V_i$诱导的$G$的子图在至多$d_i$处具有最大度.四色定理指出每个平面图都是$(0,0,0,0)$ -可着色的，Cowen，Cowen，和Woodall的一个经典结果表明每个平面图都是$(2,2,2)$ -可着色的.在本文中，我们将这两个结果推广到曲面上的图。也就是说，我们证明了每一个可嵌入到欧拉亏格$g>0$的曲面上的图都是$(0,0,0,9g-4)$ -可着色的和$(2,2,9g-4)$ -可着色的。此外，这些图也是$(0,0,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的和$(2,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的。我们还证明了每一个可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的无三角形图都是$(0, 0, O(g))$ -可着色的。这是Grötzsch定理的一个扩展，该定理指出无三角形平面图是$(0, 0, 0)$ -可着色的。最后证明了任意围长至少为7的可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的图都是$(0,O(\sqrt{g}))$ -可着色的.所有这些结果在几个方面都是最好的，因为围长条件是尖锐的，恒定的最大程度不能得到改善，并且取决于$g$的最…
2018-10-29 math.CO
Maximal ambiguously k-colorable graphs
一个图是模糊k-可着色的，如果它的顶点集允许两个不同的划分，每个划分至多为k个背斜。我们用二次矩阵给出了极大模糊k-可着色图的充分刻画。作为应用，我们计算了一个模糊k-可着色图所能拥有的最大边数，并刻画了其极值图。
2016-06-27 math.CO
Constructing a Family of 4-Critical Planar Graphs with High Edge-Density
一个图$G=(V,E)$是$k$ -临界图，如果$G$不是$(k -1)$ -可着色的，但$G-e$对每个$e\in E(G)$都是$(k-1)$ -可着色的.本文构造了一类具有$n$顶点和$\frac{7n-13}{3}$边的4-临界可平面图。因此，这改进了Abbott和Zhou获得的最大边缘密度的界。我们猜想这是4-临界平面图的最大边密度。
2015-09-02 math.CO
The edge colorings of $K_{5}$-minor free graphs
1965年，Vizing证明了每个具有最大度$Δ\geq 8$的可平面图$G$是边$Δ$ -可着色的.证明了平面图$G$是边$Δ$ -可着色的，并且证明了平面图$G$的最大度为$Δ=7$.本文推广了上述结果，证明了最大度$Δ$至少为7的无$K_5$ -子图是边$Δ$ -可着色的.
2020-02-24 math.CO
Vertex partitions of $(C_3,C_4,C_6)$-free planar graphs
一个图是$(k_1,k_2)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分为一个最大度至多为$k_1$的图和一个最大度至多为$k_2$的图.证明了每个无$(C_3,C_4,C_6)$的平面图都是$(0,6)$ -可着色的.我们还证明了判定一个无$(C_3,C_4,C_6)$的平面图是否是$(0,3)$ -可着色的是NP-完全的。
2017-11-23 cs.DM math.CO
Strictly $k$-colorable graphs
本文形式化并研究了Xuding Zhu提出的可选择性细化尺度下的紧性概念，定义了严格可着色图，并完整刻画了所有严格可着色的完全多部图。
2023-07-11 math.CO
Perfectly Colorable Graphs
我们定义了图$G$的完美染色为$G$的一个恰当染色，使得$G$的每个连通诱导子图$H$恰好使用$ω(H)$许多颜色，其中$ω(H)$是$H$的团数.一个图是完全可着色的，如果它允许一个完美着色。我们证明了完全可着色图类就是完全无爪图类。因此，完全可着色图可以在线性时间内被识别和着色。
2011-08-12 math.CO
Triangle-free Uniquely 3-Edge Colorable Cubic Graphs
本文给出了无限多个无三角形的唯一3边可着色三次图的新例子。此前已知的唯一一张这样的图是Tutte在1976年给出的。
2015-08-27 math.CO
Uniquely 2-List Colorable Graphs
一个图称为唯一列表可着色的，如果它允许一个列表分配，导致一个唯一的列表着色。我们研究唯一列表可着色图的颜色使用的数量上的限制。在这种方法中，我们推广了一个定理，唯一的2-列表着色图的特点。本文引入了图的唯一色数表，并对它作了一个猜想，它是著名的Brooks定理的推广。
2008-01-02 math.CO
Graphs with no $K_9^=$ minor are 10-colorable
Hadwiger猜想认为任何没有$K_t$子图的图都是$(t - 1)$ -可着色的。这一点已在$t \le 6$中得到证明，但在$t \ge 7$中仍是开放的。作为这个猜想的一个变体，没有$K_t^=$子图的图已经被考虑，其中$K_t^=$表示去掉两条边的完全图。已经证明，没有$K_t^=$子图的图对于$t \in \{7, 8\}$是$(2t - 8)$可着色的。在本文中，我们将这个结果推广到$t = 9$的情况，并证明了没有$K_9^=$子图的图是$10$ -可着色的。
2018-09-16 math.CO
A note on uniquely 10-colorable graphs
本文证明了当k ≤ 10时，任何具有唯一k-染色的色数k的图都存在k阶团子式.
2020-02-19 math.CO
Note on 3-Choosability of Planar Graphs with Maximum Degree 4
判定一个可平面图（即使是最大度的图$4$）是否是$3$ -可着色的是NP-完全的。确定平面图的子类是$3$ -可着色的有很长的历史，但自从Grötzsch的结果，三角形自由可平面图是这样的，大部分的努力集中在解决哈维尔和斯坦伯格的图。本文证明了作为任意二部平面图的中间图的子图得到的最大度平面图$4$是$3$ -可选的.这些图允许有闭合的三角形（甚至是关联的），并且没有禁止的短圈，因此代表了与上述图推断的完全不同的一类图。
2019-06-16 math.CO
Graphs with girth $2\ell+1$ and without longer odd holes are $3$-colorable
对于一个数$\ell\geq 2$，设$\mathcal{G}_{\ell}$表示围长为$2\ell+1$且没有长度大于$2\ell+1$的奇洞的图族. Plummer和Zha证明了$\mathcal{G}_2$中的3-连通和内部4-连通图都是3-可着色的. Wu、Xu和Xu证明了$\bigcup_{\ell\geq2}\mathcal{G}_{\ell}$中的每个图都是3-可着色的。Chudnovsky等人和Wu等人，分别证明了$\mathcal{G}_2$和$\mathcal{G}_3$中的所有图都是3-可着色的。本文证明了$\bigcup_{\ell\geq5}\mathcal{G}_{\ell}$中的所有图都是3-可着色的。
2022-12-31 math.CO
On uniquely list colorable graphs
设G是n个顶点的图，对G中的每个顶点v，存在一个k色表L（v），使得G在这个表集合中有唯一的真染色，则G称为唯一k-表可着色图.最近M。Mahdian和E.S. Mahmoodian刻画了唯一2-列表可着色图。在这里，我们陈述的一些结果，这将铺平道路的唯一k-列表着色图的特征。这一概念与图着色中的定义集和拉丁方中的临界集之间存在联系。
1999-06-02 math.CO
DP-3-colorability of planar graphs without cycles of length 4, 7 or 9
本文证明了不含长为4，7或9的圈的可平面图是DP-3-可着色的.
2023-03-08 math.CO
$(2,4)$-Colorability of Planar Graphs Excluding $3$-, $4$-, and $6$-Cycles
针对不含3-、4-、6-环的平面图的缺陷2-着色问题，本文在已有研究证明其为$(0,6)$-可着色和$(3,3)$-可着色的基础上，进一步证明这类图也具有$(2,4)$-可着色性。
2025-01-13 math.CO
Short proofs of coloring theorems on planar graphs
Kostochka和Yancey最近给出了k-临界n-顶点图的边数的下界，给出了著名的Grötzsch定理的半页证明，即每个平面无三角形图都是3-可着色的.本文利用同样的界给出了可平面图3-染色的其它已知定理的简短证明，其中包括Grünbaum-Aksenov定理：每个至多有三个三角形的平面图都是3-染色的。证明了无三角形可平面图通过添加次数不超过4的顶点而得到的图是3-可着色的。
2012-11-16 cs.DM math.CO
Every toroidal graphs without adjacent triangles is odd 8-colorable
奇染色是一种带有附加限制的真染色，即每个非孤立顶点都有某种颜色在其邻域中出现奇数次。可以确保图$G$的奇着色的最小颜色数$k$由$χ_o(G)$表示。如果$χ_o(G)\le k$是奇数，我们说$G$是奇数$k$ -可着色的。这个概念最近由Petruševski和Škrekovski引入，他们证明了如果$G$是平面的，那么$ χ_{o}(G) \leq 9 $。环形图是可以嵌入到环面上的图。请注意，$K_7$是一个环形图，$χ_{o}(G)\leq7$。Tian和Yin证明了每个环形图都是奇$9$ -可染的，每个不含$3$ -圈的环形图都是奇$9$ -可染的.本文证明了不含相邻$3$ -圈的环形图是奇$8$ -可染的.
2022-06-15 math.CO
Flows of 3-edge-colorable cubic signed graphs
Bouchet在1983年证明了每一个流可容许的符号图都有一个无处为零的6-流，这等价于对三次符号图的限制。本文证明了每一个流容许的$3$ -边可着色的三次符号图都存在一个无零$10$ -流。这与四色定理一起意味着每个流容许的无桥平面符号图容许一个无处零的$10$ -流。作为一个副产品，我们还表明，每一个流允许的哈密顿符号图承认无处零$8$ -流。
2022-11-03 math.CO
