DP-3-colorability of planar graphs without cycles of length 4, 7 or 9
Yingli Kang, Ligang Jin, Xuding Zhu
本文证明了不含长为4，7或9的圈的可平面图是DP-3-可着色的.
This paper proves that every planar graph without cycles of length 4, 7, or 9 is DP-3-colorable.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The 3-colorability of planar graphs without cycles of length 4, 6 and 9
本文证明了不含长为4，6，9的圈的可平面图是3-可着色的。
On the Three Colorability of Planar Graphs
一个可平面图的色数不大于4，这是著名的四色定理所知道的，当可平面图是二部图时，色数等于2。当可平面图是偶三角剖分图或所有圈都大于3时，由Heawood定理和Grotszch定理可知，平面图的色数为3。当可平面图具有特定的圈长或三边圈（三角形）具有特定的距离分布时，关于这类图的三个可着色性已有许多的讨论和部分结果。本文给出了可平面图的一个新的三可染性准则，它是Heawood定理和Grotszch定理关于三角剖分和长度大于大于3的圈的推广.我们证明了具有不相交洞的三角化可平面图是3-可着色的当且仅当每个洞满足奇偶对称性质，其中洞是长度大于3的圈（面边界）。
DP-4-colorability of two classes of planar graphs
DP-着色（也称为对应着色）是Dvoprák和Postle（2017）最近引入的列表着色的推广。本文证明了可平面图$G$中不存在与$k$ -圈相邻的$4$ -圈时，对于$k=5$和$6$是DP-$4$-可着色的.作为结果，我们得到了两类新的$4$ -可选可平面图.我们在证明中使用了顶点的标识，实际上证明了一些短圈的每个预染色都可以扩展到整个图的更强的陈述。
Sufficient conditions on planar graphs to have a relaxed DP-$3$-colorability
DP-染色是单图列表染色的推广，列表染色中的许多结果都可以推广到DP-染色中。在这项工作中，我们引入了一个宽松的DP-染色，这是一个推广，如果一个宽松的列表着色。我们还证明了不含$4$ -圈或$6$ -圈的可平面图$G$是DP- $(k,d)^*$ -可着色的.紧接着，$G$是$(k,d)^*$可选择的。
(1,0,0)-colorability of planar graphs without cycles of length 4 or 6
一个图$G$是$(d_1,d_2,d_3)$ -可着色的，如果顶点集$V(G)$可以划分为三个子集$V_1,V_2$和$V_3$，使得对于$i\in\{1,2,3\}$，导出图$G[V_i]$的顶点度最大为$d_i$ .所以，$(0,0,0)$ -可着色性就是3-可着色性。著名的Steinberg猜想指出，每个不含长度为4或5的圈的平面图是3-可着色的。随着Cohen-Addad等人在2017年否定了这个猜想，一个类似的问题，对于给定的$i\in \{6,\ldots,9\}$，是否每个不含长度为4或$i$的圈的平面图都是3-可着色的，得到了越来越多的关注。在本文中，我们考虑这个问题的情况下$i=6$的不适当着色的观点。更精确地说，我们证明了每个不含长度为4或6的圈的平面图都是（1，0，0）-可着色的，这改进了以前的结果，即它们是（2，0，0）-可着色的，也是（1，1，0）-可着色的，并且改进了不含长度为4到6的圈的可平面图是（1，0，0）-可着色的.
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs I. Planar graphs with two triangles and 3-colorability of chains
Aksenov证明了在至多含有一个三角形的可平面图G中，每个4-圈的预染色都可以推广为G的3-染色。本文给出了具有两个三角形的可平面图的一个精确刻画，即4-圈的某些预染色不扩张。利用这个刻画，我们解决了无三角形可平面图中两个4-圈的预着色扩张问题，即预着色的4-圈被许多不相交的4-圈分隔开.后一个结果是在后续文件中使用的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面的结构的详细信息。
A Sufficient condition for DP-4-colorability
单图的DP-染色是列表染色的推广，也是带号图的带号染色的推广。已知对每个$k \in \{3, 4, 5, 6\}$，每个不含$C_k$的可平面图都是4-可选的.此外，Jin，Kang和Steffen \cite{JKS}证明了对于每个$k \in \{3, 4, 5, 6\}$，每个没有$C_k$的带符号可平面图是带符号4-可选的。本文证明了对每个$k \in \{3, 4, 5, 6\}$，每个不含$C_k$的可平面图都是4-DP-可着色的，这是上述结果的推广.
Deciding 4-colorability of planar triangulations
我们表明，不使用四色定理，对于每个平面三角剖分，其适当的顶点着色4种颜色的数量是一个行列式，因此可以在多项式时间内计算。特别是，我们可以有效地确定该数字是否为非零。
Intersections, circuits, and colorability of line segments
我们推导出尖锐的上限和下界的交叉点和封闭的区域，可以发生在具有一定结构的线段的集合中的数量的部分。我们考虑的片段，其基础可平面图是Halin图，仙人掌图，极大可平面图，和三角形自由可平面图，以及随机产生的片段集。我们还将这些结果应用到Erdens-Faber-Lovász（EFL）猜想的一个变体中，该猜想指出$m$线段的交点可以用$m$颜色着色，因此没有线段包含具有相同颜色的点。我们研究了一个与线段的EFL猜想相关的最优化问题，确定了它的复杂性，并给出了一些计算方法。
$(2,4)$-Colorability of Planar Graphs Excluding $3$-, $4$-, and $6$-Cycles
针对不含3-、4-、6-环的平面图的缺陷2-着色问题，本文在已有研究证明其为$(0,6)$-可着色和$(3,3)$-可着色的基础上，进一步证明这类图也具有$(2,4)$-可着色性。
A polynomial 3-colorability algorithm with automatic generation of NO 3-colorability (i.e. Co-NP) short proofs
本文给出了平面图3-可染性的判定算法，即判定问题（YES/NO）。该算法虽然不精确（可能产生误报），但有两个非常重要的特征：（i）它具有多项式复杂度;（ii）对于每个“否”答案，都会生成一个“简短”证明，这是非常有趣的，因为3-着色性是NP完全问题，因此其互补问题是Co-NP。因此，该算法是准确的，当它确定一个给定的平面图是不是3-着色，因为这是通过自动生成的简短的正式证明（也是人类可读的）验证。
11/4-colorability of subcubic triangle-free graphs
证明了除两个例外外，所有连通次立方无三角形图的分数色数不超过11/4，且该界紧，改进了平面图情形。研究问题为分数色数上界，方法为构造性证明，贡献在于紧界及例外刻画。
Three Colorability of an Arrangement Graph of Great Circles
2000年，Stan Wagon提出了以下问题。作为平面地图来看，每个带面体的面都是3-着色的吗？一个等价的问题，在不同的伪装下，是下面的：是安排图的大圆圈的领域总是顶点3-着色？(The布置图具有用于每个交点的顶点和用于直接连接两个交点的每个弧的边。假设没有三个圆相交于一点，所以这个排列图是4-正则的。在本文中，我们证明了所有如上定义的排列图都是3-可着色的。
On $k$-colorability of $(bull, H)$-free graphs
该研究针对不含bull图类的$k$-可着色NP难问题，刻画了含长导出圈的不含(bull,claw)图的$k$-可着色性，并给出多类不含bull相关子图的连通图的非4、非5着色完整刻画。
Density of $3$-critical signed graphs
本文扩展了圆形可着色性定义，证明了 $n$ 个顶点的 $3$-临界符号图至少有 $\ rac{3n-1}{2}$ 条边且界限渐近紧确，并得出围长至少为 $6$ 的符号平面图和射影平面图的相关 $3$-可着色性结论。
3-choosability of planar graphs with (<=4)-cycles far apart
一个图是k-可选的，如果它可以着色，只要每个顶点有一个至少k个可用颜色的列表。证明了如果可平面图G中长度不超过4的圈两两相距很远，则G是3-可选的.这类似于哈维尔关于三角形相距很远的可平面图的3-可着色性的问题。
Injective choosability of subcubic planar graphs with girth 6
图$G$的内射着色是指对图$G$的顶点进行颜色分配，使得具有公共邻居的任意两个顶点具有不同的颜色。一个图$G$是$k$ -可内射选择的，如果对任何列表分配$L$，其中$|L(v)| \geq k$对所有$v \in V(G)$，$G$有一个单射$L$ -着色.内射着色在纠错码理论中有应用，并且与其他可着色性概念密切相关。本文证明了围长至少为6的次立方可平面图是5-可内射选择图。这加强了Lužar、Škrekovski和Tancer的一个结果，即围长至少为7的次立方可平面图是5-可注入着色的。我们的结果也改进了其他几个结果在特定情况下。
Complexity of Coloring Graphs without Paths and Cycles
令$P_t$和$C_\ell$分别表示$t$顶点上的路径和$\ell$顶点上的循环。本文研究了无$(P_t,C_\ell)$图的$k$ -染色问题. Maffray和Morel，Bruce，Hoang和Sawada证明了$P_5$ -free图的3-可染性具有有限禁止导出子图的特征，而Hoang，Moore，Riskie，Sawada和Vatshelle证明了$k \geq 4$的$P_5$ -free图的$k$ -可染性不具有有限禁止导出子图的特征.这些作者还表明，通过计算机搜索的帮助下，4-着色的$(P_5,C_5)$ -自由图确实有一个有限的禁止诱导子图的特征。证明了对任意$k$，无$(P_6,C_4)$图的$k$ -可染性具有有限禁止诱导子图的特征.我们提供了$k=3$和$k=4$的禁止导出子图的完整列表。作为应用，我们得到了3-着色和4-着色无$(P_6,C_4)$图的多项式时间证明算法。（多项式时间算法已获得Golovach，Paulusma和宋，但这些算法没有证明）;为了补充这些结果，我们表明，在大多数其他情况下的$k$ -着色问题的$(P_t,C_\ell)$ -自由图是NP-完全的。具体来说，对于$\ell=5$，我们证明了$k$ -着色是NP-完全的$(P_t,C_5)$ -自由图时，$k \ge 4$和$t \ge 7$ ;对于$\ell \ge 6$，我们证…
A Unified Spiral Chain Coloring Algorithm for Planar Graphs
本文给出了可平面图的一个统一的图着色算法。在本文中分别讨论了可平面图的点着色、边着色、全着色和整着色问题。着色算法中的主要工具是螺旋链的使用，它在2004年已经被用于四色定理的非计算机证明中。本文还给出了用螺旋链染色证明四色定理的更精确的解释。然后，通过证明Vizing的全染色和最大顶点度为6的可平面图的全染色的其他著名定理，继续研究螺旋链染色的解。本文还证明了Kronk和Mitchem关于最大度为“Delta”的平面图是完全（“Delta”+4）-可染的猜想，最后讨论了螺旋链染色下可平面图的三种可染性。我们给出了Groetzsch定理的有效且简短的证明，即无三角形的可平面图是3-可着色的。
5-cycles in the complement of minimal prime graphs
本文研究了最小素图补图的循环结构，证明了补图中每条边都包含在5环中，强化了关于诱导5环的存在性结论。
Further Extensions of the Grötzsch Theorem
Grötzsch定理指出每个无三角形可平面图都有一个真$3$ -染色。在它的许多推广中，Grünbaum和Aksenov的一个，给出了至多有三个三角形的可平面图的$3$ -可着色性，也许是最著名的。将子图的$3$ -染色推广到整个图也得到了很大的关注。本文考虑至多含有一个三角形的可平面图的$3$ -染色。特别地，我们证明了任意两个不邻顶点的预染色和长度至多为$4$的面的预染色可以推广到图的$3$ -染色。另外，我们证明了对于度至多为$3$的每个顶点，其邻域的同色预染色扩展到图的$3$ -染色.后一个结果意味着对一个关于adjacent着色的猜想的肯定回答。所有的结果都是紧密的。
Every planar graph without $i$-cycles adjacent simultaneously to $j$-cycles and $k$-cycles is DP-$4$-colorable when $\{i,j,k\}=\{3,4,5\}$
DP-染色是简单图列表染色的推广。列表着色中的许多结果可以推广到DP-着色中。Kim和Ozeki证明了没有$k$-圈的平面图，其中$k=3,4,5,$或$6$是DP-$4$-可着色的.最近，Kim和Yu推广了关于$3$-圈和$4$-圈的结果，证明了没有三角形邻接$4$-圈的平面图是DP-$4$-可着色的。Xu和Wu证明了不存在同时与$3$-圈和$4$-圈相邻的$5$-圈的平面图是$4$-可选的.本文推广了关于$5$-圈和与$4$-圈相邻的三角形的结果，证明了当$\{i,j,k\}=\{3,4,5\}.$时，没有$i$-圈同时与$j$-圈和$k$-圈相邻的平面图是DP-$4$-可染的.这也推广了徐和吴的结果.
Sufficient conditions on cycles that make planar graphs 4-choosable
Xu和Wu证明了：如果平面图$G$的每个$5$ -圈不同时与$3$ -圈和$4$ -圈相邻，则$G$是$4$ -可选的.在本文中，我们改进了这个结果如下。设$\{i, j, k, l\} = \{3,4,5,6\}.$对于任意选择的$i,$，如果平面图$G$的每个$i$ -圈不同时与$j$ -圈、$k$ -圈和$l$ -圈相邻，则$G$是$4$ -可选择的.
Generating the cycle space of planar graphs
证明了平面可分3-连通图$G$的圈空间是由一个${\rm Aut}(G)$ -不变圈套集生成的。我们还讨论了在较小的连通性的情况下的情况。
Square of Planar Graphs of Max Degree Four without Five Cycles
本文证明了最大度为4的无五圈可平面图的平方的可选性至多为12。关键词：可平面图，可选性AMS数学学科分类：05C15
The Alon-Tarsi number of planar graphs without cycles of lengths $4$ and $l$
本文证明了：如果$G$是一个可平面图，对于某些$l\in\{5, 6, 7\}$，它不含4-圈和$l$ -圈，则存在一个匹配的$M$使得$AT(G-M)\leq 3$ .这意味着对于某些$l\in\{5, 6, 7\}$，每个不含4-圈和$l$ -圈的可平面图都是1-亏损3-可画的.
Hamiltonian cycles in 4-connected planar and projective planar triangulations with few 4-separators
惠特尼在1931年证明了每一个4连通平面三角剖分是哈密尔顿的。后来在1979年，Hakimi，Schmeichel和Schlassen证明了$n$顶点上的每个三角剖分至少有$2(n - 2)(n - 4)$哈密顿圈。沿着这个方向，Brinkmann，Souffriau和Van Cleemput建立了4连通平面三角剖分中哈密顿圈个数的线性下界。与此形成鲜明对比的是，Alahmadi、Aldred和Aldassen证明了平面或射影平面的每个5-连通三角剖分都有指数数量的哈密顿圈。这给出了研究具有少量4-分隔符的4-连通三角剖分的哈密顿圈的个数的动机。最近，Liu和Yu证明了每一个具有$O(n / \log n)$ 4-分隔符的4-连通平面三角剖分都有二次方个哈密顿圈.通过调整Alahmadi等人的框架，我们加强了前面提到的最后两个结果。证明了每个具有$O(n)$ 4-分隔符的4-连通平面或射影平面三角网都有指数多个哈密顿圈。
On planar regular graphs degree three without Hamiltonian cycles
给出了可平面图存在哈密顿圈的必要条件。给出了不含哈密顿圈的三度正则可平面图的例子。
Planar graphs without 4-cycles adjacent to triangles are DP-4-colorable
单图的DP-染色（也称为对应染色）是列表染色的推广。已知与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是4-可选图，不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色图.本文证明了与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色的，这是上述两个结果的推广。
Multiple DP-coloring of planar graphs without 3-cycles and normally adjacent 4-cycles
图的DP-染色的概念是Dvoprák和Postle在2015年引入的列表染色的推广。图的多重DP染色是多重列表染色的推广，由Bernshteyn，Kostochka和Zhu在2019年首次研究。本文证明了不含3-圈且正常邻接4-圈的可平面图对每个整数$m$是$(7m, 2m)$ -DP-可着色的.因此，任何不含3-圈且通常相邻4-圈的可平面图的强分数选择数至多为$7/2$。
Some conditions on 5-cycles that make planar graphs 4-choosable
考虑图的两个条件：（1）每个5-圈不是5-轮的子图，并且不与3-圈共用一条边;（2）每个5-圈不与两个3-圈相邻，也不与一个带弦的4-圈相邻。我们证明了如果可平面图$G$满足这些条件之一，则$G$是4-可选的。这就产生了如果可平面图$G$的每个5-圈不与3-圈相邻，则$G$是4-可选的。
Defective 2-colorings of planar graphs without 4-cycles and 5-cycles
设$G$是一个不含4-圈和5-圈的图.我们证明了对于每个正整数$k.$，判定$G$是否$(0,k)$ -可染的问题是NP-完全的。此外，我们对每个正整数$k.$构造了不含4-圈和5-圈的非$(1,k)$ -可染可平面图。最后，我们证明了$G$是$(d_1,d_2)$ -可染的，其中$(d_1,d_2)=(4,4), (3,5),$和$(2,9).$
Local fractional metric dimension of rotationally symmetric planar graphs arisen from planar chorded cycles
本文通过平面弦环的边并合构造新的旋转对称平面图族，确定其局部分数度量维数，并利用渐近行为证明存在常数或有界局部分数维数的图族。
An algorithm for finding Hamiltonian Cycles in Cubic Planar Graphs
首先证明了在三次可平面图中寻找哈密顿圈与在对偶图中寻找具有特定性质的树之间的一一对应关系。利用这些信息，我们构造了一个精确的算法，在三次可平面图中寻找哈密顿圈。我们的算法的最坏情况下的时间复杂度是O $(2^n)$。
A comment to: On 3-colorable planar graphs without short cycles
设G是一个图。证明了：如果G是一个不含{4，6，7}-圈且两个5-圈不共用一条边的可平面图，则G是3-可着色的.我们注意到这个结果的证明是不正确的。
Gaps in the cycle spectrum of 3-connected cubic planar graphs
证明了对任意自然数$k$，任意充分大的3-连通三次可平面图都有一个长在$[k,2k+9]$内的圈.我们还表明，这个界是接近最优的，通过构建，为每一个甚至$k\geq 4$，一个无限的家庭3-连通的三次可平面图，不包含周期的长度是在$[k,2k+1]$。
On a Sufficient Condition for Planar Graphs of Maximum Degree 6 to be Totally 7-Colorable
图的全$k$ -染色是将$k$颜色分配给图的顶点和边，使得没有两个相邻或关联的元素接收相同的颜色。全染色猜想（TCC）指出，每个简单图$G$都有全（$Δ(G)+2$）-染色，其中$Δ(G)$是$G$的最大度.这一猜想已被最大度至少为7或至多为5的可平面图所证实，即，TCC的唯一开放情况是最大度数6。已知$Δ(G) \geq 9$或$Δ(G) \in \{7, 8\}$的任意平面图$G$都有全$(Δ(G) + 1)$ -染色.特别地，在[Shen and Wang，“On the 7 total colorability of可平面图with maximum degree 6 and without 4-cycles”，Graphs and Combinatorics，25：401-407，2009]中，作者证明了每个最大度为6且不含4-cycles的平面图具有全7-染色。本文改进了这一结果，证明了最大度为6的无钻石无房子平面图是完全7-可染的，如果对某些$\{p,q,\ell\}\in \{\{3,4,4\},\{3,3,4\}\}$，每个6-顶点不与两个相邻的4-圈关联或不与3个$p,q,\ell$圈关联.
3-coloring triangle-free planar graphs with a precolored 9-cycle
给定一个无三角形的可平面图G和G中的一个9-圈C，刻画了C的3-染色不扩展到G的真3-染色的情形.当C是一个长度不超过8的圈时，这推广了以前的结果。
Every planar graph without adjacent short cycles is 3-colorable
如果两个循环具有共同的边沿，则它们是{ \em相邻}的。设$G$是一个可平面图，对于任意两个相邻的圈$C_{1}$和$C_{2}$，我们有$|C_{1}| + |C_{2}| \geq 11$，特别地，当$|C_{1}| = 5$，$|C_{2}| \geq 7$ .证明了图$G$是3-可着色的.
Planar graphs without cycles of length from 4 to 7 are near-bipartite
一个图是近二部图，如果它的顶点集可以划分为一个独立集和一个诱导森林的集。本文证明了不含圈长为4 ~ 7的可平面图是近二部图。
Counting Hamiltonian cycles in planar triangulations
Hakimi，Schmeichel，and Schiassen在1979年证明了每个$4$连通的平面三角剖分$G$在$n$顶点上至少有$2(n-2)(n-4)$哈密顿圈，等式当且仅当$G$是双轮.本文证明了在$n$顶点上的每个$4$连通平面三角剖分都有$Ω(n^2)$哈密顿圈.证明了若$G$是$n$顶点上的$4$连通平面三角网，且$G$中任意两个$4$度顶点之间的距离至少为$3$，则$G$有$2^{Ω(n^{1/4})}$哈密顿圈.
Partitioning planar graphs without 4-cycles and 6-cycles into a forest and a disjoint union of paths
本文证明了不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可划分为两个集合，其中一个集合导出森林，另一个集合导出最大度至多为$2$的森林（等价于路的不交并）.注意，我们可以将森林的顶点集划分为两个独立的集合。然而，一对独立的集合组合可能不会导致森林。因此，我们的结果推广了Wang和Xu（2013）的结果，即不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可以划分为三个集合，其中一个集合导出最大度为2的图，其余两个是独立的集合.
DP-3-coloring of planar graphs without $4,9$-cycles and two cycles from $\{5,6,7,8\}$
列表着色的一个推广，现在称为DP着色，最近由Dvopelák和Postle引入。本质上，DP着色在邻顶点的颜色列表之间分配任意匹配，而不是像列表着色那样仅匹配相同的颜色。关于可平面图列表染色的一些结果已经被推广到DP染色的情形。我们注意到列表着色结果并不总是扩展到DP着色结果。本文的主要结果是证明了每个不含长为$\{4, a, b, 9\}$ for $a, b \in \{6, 7, 8\}$的圈的平面图都是DP-$3$-可着色的，推广了关于可平面图的$3$ -可选性的三个已有结果.
Every signed planar graph without cycles of length from 4 to 7 is 3-colorable
Hu和Li研究了Erd $\ddot{\mathrm{o}}$问题的带符号图版本：是否存在常数$c$使得每个不含$k$ -圈的带符号可平面图，其中$4\leq k\leq c$，是$3$ -可着色的，并证明了每个不含长度为4到8的圈的带符号可平面图是3-可着色的.我们给出了这个结果的一个非常简短和简单的证明，并根据最近的观察改进了它。
Every planar graph without adjacent cycles of length at most $8$ is $3$-choosable
DP-染色是列表染色的推广，由Dvopiák和Postle在2017年提出，他们证明了每个不含4到8圈的可平面图是3-可选的，这是由Borodin { \it et al.} 2007年本文证明了每一个相邻圈的长度至多为$8$的可平面图都是$3$ -可选的，推广了Dvotelák和Postle的结果.
The maximum number of copies of an even cycle in a planar graph
我们解决了Cox和Martin的一个猜想，渐近确定每个$k\ge 2$的$C_{2k}$在$n$ -顶点可平面图的最大副本数。
Number of Hamiltonian cycles in planar triangulations
惠特尼在1931年证明了4-连通平面三角剖分是哈密尔顿的。Hakimi、Schmeichel和Schlassen在1979年证明了，如果$G$是一个4连通的平面三角网，其顶点是$n$，那么$G$至少包含$2(n-2)(n-4)$哈密顿圈，当且仅当$G$是一个双轮时，$G$相等。另一方面，最近的结果Alahmadi，Aldred，和Aldassen国家，有指数许多哈密顿圈在5-连通平面三角形。本文研究了4-连通平面$n$ -顶点三角剖分$G$，它不具有太多的分离4-圈或最小度为5。证明了若$G$有$O(n/{\log}_2 n)$分隔4-圈则$G$有$Ω(n^2)$哈密顿圈，若$δ(G)\ge 5$有$G$有$2^{Ω(n^{1/4})}$哈密顿圈.这两个结果改进了以前的工作。此外，证明涉及一个“双轮”结构，提供了进一步的证据，上述猜想。
Extremal problems on planar graphs without k edge-disjoint cycles
在20世纪60年代，Erdens和他的合作者开始研究图或可平面图在不含$k$边不交圈的$n$顶点上的最大边数.这个问题已经为$k\leq4$解决了。正如Bollobás所指出的那样，对于一般的$k$来说是非常困难的。最近，Tait和Tobin [J. Combin. Theory Ser. B，2017]证实了关于$n$ -顶点可平面图的最大谱半径的一个著名猜想。受上述结果的启发，我们考虑了不含$k$边不交圈的可平面图上的两个极值问题。本文首先确定了阶为$n$且度为$n-1$且不含$k$边不交圈的可平面图的最大边数。在此基础上，我们确定了所有可平面图的最大谱半径以及它的唯一极图的$n$顶点没有$k$边不交圈。最后，我们还讨论了一般图的几个极值问题。
Planar graphs without 7-cycles and butterflies are DP-4-colorable
DP-着色（也称为对应着色）是列表着色的一种推广，由Dvopelák和Postle在2017年引入。众所周知，存在不可4选的可平面图。可平面图是DP- $4$ -可着色的充分条件是近年来研究的热点.特别地，对于每个$k \in \{3, 4, 5, 6\}$，每个没有$k$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的。本文证明了不含$7$ -圈和蝴蝶的可平面图是DP- $4$ -可着色的.我们的证明可以很容易地修改，以证明其他充分条件，禁止集群形成的许多三角形。
Planar graphs without short even cycles are near-bipartite
一个图是{ \em near-bipartite}，如果它的顶点集可以划分为一个独立集和一个导出森林的集.很明显，近二部图是$3$ -可着色的.本文证明了在$\{4, 6, 8\}$中不含圈的可平面图是近二部图。
Relaxed DP-3-coloring of planar graphs without some cycles
该研究属于图论着色领域，在已有松弛DP着色的平面图相关结论基础上，证明了不含4环与6环、或不含4环与8环的平面图满足DP-(0, 2, 2)-可着色性，拓展了该方向的研究结果。
Planar Ramsey Numbers of Four Cycles Versus Wheels
对于两个给定的图$G$和$H$，平面Ramsey数$PR(G,H)$是最小整数$n$，使得$n$顶点上的每个可平面图$F$或者包含$G$的副本，或者其补图包含$H$的副本。本文首先刻画了无$C_4$平面图的一些结构性质，然后确定了无$C_4$平面图的所有平面Ramsey数$PR(C_4, W_n)$，对于$n\ge 3$ .
(I,F)-partition of planar graphs without cycles of length 4, 6, or 9
一个图$G$是$(I,F)$ -可分的，如果它的顶点集可以被分成两部分，使得一部分是独立集，另一部分导出森林.本文证明了任何不含长为$4, 6, 9$的圈的可平面图都是$(I,F)$ -可分的.
Planar graphs with the maximum number of induced 4-cycles or 5-cycles
对于大的$n$，我们精确地确定了$n$顶点上的可平面图所能包含的诱导$C_4$和$C_5$子图的最大数目.我们表明，$K_{2,n-2}$唯一地达到这个最大值的$C_4$的情况下，我们确定的图形，达到最大值的$C_5$的情况下。这扩展了哈基米和舒梅切尔的一份文件和一份文件由高希，Gyagiri，Janzer，Paulos，Salia，和萨莫拉一起确定两个最大值渐近。
Improved Erdős-Pósa inequalities for odd cycles in planar graphs
本文改进了平面图中奇圈的埃罗什-波萨不等式，证明其比值不超过4，优于之前的6。
Min-max relations for odd cycles in planar graphs
设m（G）是图G的点不交奇圈的最大个数，t（G）是图G中使G为二分的顶点的最小个数.证明了当G是平面图时，t（G）<= 6 m（G）.这改进了Fiorini，Hardy，Reed和Vetta [Math. Program. B 110（2007），71-91]。
Planar graphs with distance of 3-cycles at least 2 and no cycles of lengths 5, 6, 7
本文证明3-圈距离至少为2且无5、6、7圈长的平面图是弱2-退化的，并可划分为一个无边子图和一个森林。
DP-3-coloring of planar graphs without certain cycles
DP-着色是列表着色的一种推广，它是由Dvotelák和Postle [J. Combin.理论系列B 129（2018）38- 54]。张[通知。过程Lett. 113（9）（2013）354- 356]证明了每个既不含相邻三角形也不含5-、6-、9-圈的可平面图是3-可选的。Liu等人[Discrete Math.342（2019）178--189]证明了每个不含4-、5-、6-和9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的。本文证明了任何既不含邻接三角形也不含5-圈、6-圈、9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的，推广了这些结果。Yu等人给出了三个Bordeaux型结果，证明了：（i）三角形距离至少为3且不含4-、5-圈的可平面图是DP-3-可着色的，（ii）三角形距离至少为2且不含4-、5-、6-圈的可平面图是DP-3-可着色的;（iii）三角形距离至少为2且不含5-圈、6-圈、7-圈的可平面图是DP-3-可着色的.在最后一节中我们还给出了两个Bordeaux型结果：（i）任何既不含5-、6-、8-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的;（ii）任何既不含4-、5-、7-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的。
Simple numerical algorithm for generating Hamiltonian cycles and edge labels on planar cubic maps
本文提出了一种算法，利用该算法可以通过连续的边插入构造任意三次平面映射，同时为每种构型构造一组适当的边标号和哈密顿圈.我们提出了一个公开的Python实现该算法，并讨论了理论和数值支持其有效性，参考著名的四色定理。
$4$-choosability of planar graphs with $4$-cycles far apart via the Combinatorial Nullstellensatz
通过著名的Schlassen定理和Voigt描述的可平面图，我们知道每个可平面图都是$5$ -可选的，并且其界是紧的. 1999年，Lam，Xu和Liu在无$C_4$的可平面图上将$5$约化为$4$.本文应用著名的组合零点定理，设计了一个处理表着色问题的有效算法。同时，我们证明了可平面图$G$是$4$ -可选的，如果任意两个$4$ -圈在$G$中的距离至少为$5$，推广了Lam等人的结果.
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