Square of Planar Graphs of Max Degree Four without Five Cycles
Eric Culver, Stephen G. Hartke
本文证明了最大度为4的无五圈可平面图的平方的可选性至多为12。关键词：可平面图，可选性AMS数学学科分类：05C15
We show that the choosability of the square of planar graphs of max degree 4 without five cycles is at most 12. Keywords: planar graph, choosability AMS Mathematics Subject Classification: 05C15
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Every planar graph without $i$-cycles adjacent simultaneously to $j$-cycles and $k$-cycles is DP-$4$-colorable when $\{i,j,k\}=\{3,4,5\}$
DP-染色是简单图列表染色的推广。列表着色中的许多结果可以推广到DP-着色中。Kim和Ozeki证明了没有$k$-圈的平面图，其中$k=3,4,5,$或$6$是DP-$4$-可着色的.最近，Kim和Yu推广了关于$3$-圈和$4$-圈的结果，证明了没有三角形邻接$4$-圈的平面图是DP-$4$-可着色的。Xu和Wu证明了不存在同时与$3$-圈和$4$-圈相邻的$5$-圈的平面图是$4$-可选的.本文推广了关于$5$-圈和与$4$-圈相邻的三角形的结果，证明了当$\{i,j,k\}=\{3,4,5\}.$时，没有$i$-圈同时与$j$-圈和$k$-圈相邻的平面图是DP-$4$-可染的.这也推广了徐和吴的结果.
Sufficient conditions on cycles that make planar graphs 4-choosable
Xu和Wu证明了：如果平面图$G$的每个$5$ -圈不同时与$3$ -圈和$4$ -圈相邻，则$G$是$4$ -可选的.在本文中，我们改进了这个结果如下。设$\{i, j, k, l\} = \{3,4,5,6\}.$对于任意选择的$i,$，如果平面图$G$的每个$i$ -圈不同时与$j$ -圈、$k$ -圈和$l$ -圈相邻，则$G$是$4$ -可选择的.
Generating the cycle space of planar graphs
证明了平面可分3-连通图$G$的圈空间是由一个${\rm Aut}(G)$ -不变圈套集生成的。我们还讨论了在较小的连通性的情况下的情况。
The Alon-Tarsi number of planar graphs without cycles of lengths $4$ and $l$
本文证明了：如果$G$是一个可平面图，对于某些$l\in\{5, 6, 7\}$，它不含4-圈和$l$ -圈，则存在一个匹配的$M$使得$AT(G-M)\leq 3$ .这意味着对于某些$l\in\{5, 6, 7\}$，每个不含4-圈和$l$ -圈的可平面图都是1-亏损3-可画的.
DP-3-colorability of planar graphs without cycles of length 4, 7 or 9
本文证明了不含长为4，7或9的圈的可平面图是DP-3-可着色的.
Hamiltonian cycles in 4-connected planar and projective planar triangulations with few 4-separators
惠特尼在1931年证明了每一个4连通平面三角剖分是哈密尔顿的。后来在1979年，Hakimi，Schmeichel和Schlassen证明了$n$顶点上的每个三角剖分至少有$2(n - 2)(n - 4)$哈密顿圈。沿着这个方向，Brinkmann，Souffriau和Van Cleemput建立了4连通平面三角剖分中哈密顿圈个数的线性下界。与此形成鲜明对比的是，Alahmadi、Aldred和Aldassen证明了平面或射影平面的每个5-连通三角剖分都有指数数量的哈密顿圈。这给出了研究具有少量4-分隔符的4-连通三角剖分的哈密顿圈的个数的动机。最近，Liu和Yu证明了每一个具有$O(n / \log n)$ 4-分隔符的4-连通平面三角剖分都有二次方个哈密顿圈.通过调整Alahmadi等人的框架，我们加强了前面提到的最后两个结果。证明了每个具有$O(n)$ 4-分隔符的4-连通平面或射影平面三角网都有指数多个哈密顿圈。
On planar regular graphs degree three without Hamiltonian cycles
给出了可平面图存在哈密顿圈的必要条件。给出了不含哈密顿圈的三度正则可平面图的例子。
Planar graphs without 4-cycles adjacent to triangles are DP-4-colorable
单图的DP-染色（也称为对应染色）是列表染色的推广。已知与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是4-可选图，不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色图.本文证明了与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色的，这是上述两个结果的推广。
Multiple DP-coloring of planar graphs without 3-cycles and normally adjacent 4-cycles
图的DP-染色的概念是Dvoprák和Postle在2015年引入的列表染色的推广。图的多重DP染色是多重列表染色的推广，由Bernshteyn，Kostochka和Zhu在2019年首次研究。本文证明了不含3-圈且正常邻接4-圈的可平面图对每个整数$m$是$(7m, 2m)$ -DP-可着色的.因此，任何不含3-圈且通常相邻4-圈的可平面图的强分数选择数至多为$7/2$。
Some conditions on 5-cycles that make planar graphs 4-choosable
考虑图的两个条件：（1）每个5-圈不是5-轮的子图，并且不与3-圈共用一条边;（2）每个5-圈不与两个3-圈相邻，也不与一个带弦的4-圈相邻。我们证明了如果可平面图$G$满足这些条件之一，则$G$是4-可选的。这就产生了如果可平面图$G$的每个5-圈不与3-圈相邻，则$G$是4-可选的。
Defective 2-colorings of planar graphs without 4-cycles and 5-cycles
设$G$是一个不含4-圈和5-圈的图.我们证明了对于每个正整数$k.$，判定$G$是否$(0,k)$ -可染的问题是NP-完全的。此外，我们对每个正整数$k.$构造了不含4-圈和5-圈的非$(1,k)$ -可染可平面图。最后，我们证明了$G$是$(d_1,d_2)$ -可染的，其中$(d_1,d_2)=(4,4), (3,5),$和$(2,9).$
Local fractional metric dimension of rotationally symmetric planar graphs arisen from planar chorded cycles
本文通过平面弦环的边并合构造新的旋转对称平面图族，确定其局部分数度量维数，并利用渐近行为证明存在常数或有界局部分数维数的图族。
An algorithm for finding Hamiltonian Cycles in Cubic Planar Graphs
首先证明了在三次可平面图中寻找哈密顿圈与在对偶图中寻找具有特定性质的树之间的一一对应关系。利用这些信息，我们构造了一个精确的算法，在三次可平面图中寻找哈密顿圈。我们的算法的最坏情况下的时间复杂度是O $(2^n)$。
The 3-colorability of planar graphs without cycles of length 4, 6 and 9
本文证明了不含长为4，6，9的圈的可平面图是3-可着色的。
A comment to: On 3-colorable planar graphs without short cycles
设G是一个图。证明了：如果G是一个不含{4，6，7}-圈且两个5-圈不共用一条边的可平面图，则G是3-可着色的.我们注意到这个结果的证明是不正确的。
Gaps in the cycle spectrum of 3-connected cubic planar graphs
证明了对任意自然数$k$，任意充分大的3-连通三次可平面图都有一个长在$[k,2k+9]$内的圈.我们还表明，这个界是接近最优的，通过构建，为每一个甚至$k\geq 4$，一个无限的家庭3-连通的三次可平面图，不包含周期的长度是在$[k,2k+1]$。
3-coloring triangle-free planar graphs with a precolored 9-cycle
给定一个无三角形的可平面图G和G中的一个9-圈C，刻画了C的3-染色不扩展到G的真3-染色的情形.当C是一个长度不超过8的圈时，这推广了以前的结果。
Every planar graph without adjacent short cycles is 3-colorable
如果两个循环具有共同的边沿，则它们是{ \em相邻}的。设$G$是一个可平面图，对于任意两个相邻的圈$C_{1}$和$C_{2}$，我们有$|C_{1}| + |C_{2}| \geq 11$，特别地，当$|C_{1}| = 5$，$|C_{2}| \geq 7$ .证明了图$G$是3-可着色的.
Planar graphs without cycles of length from 4 to 7 are near-bipartite
一个图是近二部图，如果它的顶点集可以划分为一个独立集和一个诱导森林的集。本文证明了不含圈长为4 ~ 7的可平面图是近二部图。
Counting Hamiltonian cycles in planar triangulations
Hakimi，Schmeichel，and Schiassen在1979年证明了每个$4$连通的平面三角剖分$G$在$n$顶点上至少有$2(n-2)(n-4)$哈密顿圈，等式当且仅当$G$是双轮.本文证明了在$n$顶点上的每个$4$连通平面三角剖分都有$Ω(n^2)$哈密顿圈.证明了若$G$是$n$顶点上的$4$连通平面三角网，且$G$中任意两个$4$度顶点之间的距离至少为$3$，则$G$有$2^{Ω(n^{1/4})}$哈密顿圈.
Partitioning planar graphs without 4-cycles and 6-cycles into a forest and a disjoint union of paths
本文证明了不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可划分为两个集合，其中一个集合导出森林，另一个集合导出最大度至多为$2$的森林（等价于路的不交并）.注意，我们可以将森林的顶点集划分为两个独立的集合。然而，一对独立的集合组合可能不会导致森林。因此，我们的结果推广了Wang和Xu（2013）的结果，即不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可以划分为三个集合，其中一个集合导出最大度为2的图，其余两个是独立的集合.
DP-3-coloring of planar graphs without $4,9$-cycles and two cycles from $\{5,6,7,8\}$
列表着色的一个推广，现在称为DP着色，最近由Dvopelák和Postle引入。本质上，DP着色在邻顶点的颜色列表之间分配任意匹配，而不是像列表着色那样仅匹配相同的颜色。关于可平面图列表染色的一些结果已经被推广到DP染色的情形。我们注意到列表着色结果并不总是扩展到DP着色结果。本文的主要结果是证明了每个不含长为$\{4, a, b, 9\}$ for $a, b \in \{6, 7, 8\}$的圈的平面图都是DP-$3$-可着色的，推广了关于可平面图的$3$ -可选性的三个已有结果.
Every signed planar graph without cycles of length from 4 to 7 is 3-colorable
Hu和Li研究了Erd $\ddot{\mathrm{o}}$问题的带符号图版本：是否存在常数$c$使得每个不含$k$ -圈的带符号可平面图，其中$4\leq k\leq c$，是$3$ -可着色的，并证明了每个不含长度为4到8的圈的带符号可平面图是3-可着色的.我们给出了这个结果的一个非常简短和简单的证明，并根据最近的观察改进了它。
Every planar graph without adjacent cycles of length at most $8$ is $3$-choosable
DP-染色是列表染色的推广，由Dvopiák和Postle在2017年提出，他们证明了每个不含4到8圈的可平面图是3-可选的，这是由Borodin { \it et al.} 2007年本文证明了每一个相邻圈的长度至多为$8$的可平面图都是$3$ -可选的，推广了Dvotelák和Postle的结果.
The maximum number of copies of an even cycle in a planar graph
我们解决了Cox和Martin的一个猜想，渐近确定每个$k\ge 2$的$C_{2k}$在$n$ -顶点可平面图的最大副本数。
Number of Hamiltonian cycles in planar triangulations
惠特尼在1931年证明了4-连通平面三角剖分是哈密尔顿的。Hakimi、Schmeichel和Schlassen在1979年证明了，如果$G$是一个4连通的平面三角网，其顶点是$n$，那么$G$至少包含$2(n-2)(n-4)$哈密顿圈，当且仅当$G$是一个双轮时，$G$相等。另一方面，最近的结果Alahmadi，Aldred，和Aldassen国家，有指数许多哈密顿圈在5-连通平面三角形。本文研究了4-连通平面$n$ -顶点三角剖分$G$，它不具有太多的分离4-圈或最小度为5。证明了若$G$有$O(n/{\log}_2 n)$分隔4-圈则$G$有$Ω(n^2)$哈密顿圈，若$δ(G)\ge 5$有$G$有$2^{Ω(n^{1/4})}$哈密顿圈.这两个结果改进了以前的工作。此外，证明涉及一个“双轮”结构，提供了进一步的证据，上述猜想。
Extremal problems on planar graphs without k edge-disjoint cycles
在20世纪60年代，Erdens和他的合作者开始研究图或可平面图在不含$k$边不交圈的$n$顶点上的最大边数.这个问题已经为$k\leq4$解决了。正如Bollobás所指出的那样，对于一般的$k$来说是非常困难的。最近，Tait和Tobin [J. Combin. Theory Ser. B，2017]证实了关于$n$ -顶点可平面图的最大谱半径的一个著名猜想。受上述结果的启发，我们考虑了不含$k$边不交圈的可平面图上的两个极值问题。本文首先确定了阶为$n$且度为$n-1$且不含$k$边不交圈的可平面图的最大边数。在此基础上，我们确定了所有可平面图的最大谱半径以及它的唯一极图的$n$顶点没有$k$边不交圈。最后，我们还讨论了一般图的几个极值问题。
Planar graphs without 7-cycles and butterflies are DP-4-colorable
DP-着色（也称为对应着色）是列表着色的一种推广，由Dvopelák和Postle在2017年引入。众所周知，存在不可4选的可平面图。可平面图是DP- $4$ -可着色的充分条件是近年来研究的热点.特别地，对于每个$k \in \{3, 4, 5, 6\}$，每个没有$k$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的。本文证明了不含$7$ -圈和蝴蝶的可平面图是DP- $4$ -可着色的.我们的证明可以很容易地修改，以证明其他充分条件，禁止集群形成的许多三角形。
Planar graphs without short even cycles are near-bipartite
一个图是{ \em near-bipartite}，如果它的顶点集可以划分为一个独立集和一个导出森林的集.很明显，近二部图是$3$ -可着色的.本文证明了在$\{4, 6, 8\}$中不含圈的可平面图是近二部图。
Relaxed DP-3-coloring of planar graphs without some cycles
该研究属于图论着色领域，在已有松弛DP着色的平面图相关结论基础上，证明了不含4环与6环、或不含4环与8环的平面图满足DP-(0, 2, 2)-可着色性，拓展了该方向的研究结果。
Planar Ramsey Numbers of Four Cycles Versus Wheels
对于两个给定的图$G$和$H$，平面Ramsey数$PR(G,H)$是最小整数$n$，使得$n$顶点上的每个可平面图$F$或者包含$G$的副本，或者其补图包含$H$的副本。本文首先刻画了无$C_4$平面图的一些结构性质，然后确定了无$C_4$平面图的所有平面Ramsey数$PR(C_4, W_n)$，对于$n\ge 3$ .
(I,F)-partition of planar graphs without cycles of length 4, 6, or 9
一个图$G$是$(I,F)$ -可分的，如果它的顶点集可以被分成两部分，使得一部分是独立集，另一部分导出森林.本文证明了任何不含长为$4, 6, 9$的圈的可平面图都是$(I,F)$ -可分的.
Planar graphs with the maximum number of induced 4-cycles or 5-cycles
对于大的$n$，我们精确地确定了$n$顶点上的可平面图所能包含的诱导$C_4$和$C_5$子图的最大数目.我们表明，$K_{2,n-2}$唯一地达到这个最大值的$C_4$的情况下，我们确定的图形，达到最大值的$C_5$的情况下。这扩展了哈基米和舒梅切尔的一份文件和一份文件由高希，Gyagiri，Janzer，Paulos，Salia，和萨莫拉一起确定两个最大值渐近。
Improved Erdős-Pósa inequalities for odd cycles in planar graphs
本文改进了平面图中奇圈的埃罗什-波萨不等式，证明其比值不超过4，优于之前的6。
Min-max relations for odd cycles in planar graphs
设m（G）是图G的点不交奇圈的最大个数，t（G）是图G中使G为二分的顶点的最小个数.证明了当G是平面图时，t（G）<= 6 m（G）.这改进了Fiorini，Hardy，Reed和Vetta [Math. Program. B 110（2007），71-91]。
Planar graphs with distance of 3-cycles at least 2 and no cycles of lengths 5, 6, 7
本文证明3-圈距离至少为2且无5、6、7圈长的平面图是弱2-退化的，并可划分为一个无边子图和一个森林。
DP-3-coloring of planar graphs without certain cycles
DP-着色是列表着色的一种推广，它是由Dvotelák和Postle [J. Combin.理论系列B 129（2018）38- 54]。张[通知。过程Lett. 113（9）（2013）354- 356]证明了每个既不含相邻三角形也不含5-、6-、9-圈的可平面图是3-可选的。Liu等人[Discrete Math.342（2019）178--189]证明了每个不含4-、5-、6-和9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的。本文证明了任何既不含邻接三角形也不含5-圈、6-圈、9-圈的可平面图都是DP-3-可着色的，推广了这些结果。Yu等人给出了三个Bordeaux型结果，证明了：（i）三角形距离至少为3且不含4-、5-圈的可平面图是DP-3-可着色的，（ii）三角形距离至少为2且不含4-、5-、6-圈的可平面图是DP-3-可着色的;（iii）三角形距离至少为2且不含5-圈、6-圈、7-圈的可平面图是DP-3-可着色的.在最后一节中我们还给出了两个Bordeaux型结果：（i）任何既不含5-、6-、8-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的;（ii）任何既不含4-、5-、7-圈也不含距离小于2的三角形的平面图是DP-3-可着色的。
Simple numerical algorithm for generating Hamiltonian cycles and edge labels on planar cubic maps
本文提出了一种算法，利用该算法可以通过连续的边插入构造任意三次平面映射，同时为每种构型构造一组适当的边标号和哈密顿圈.我们提出了一个公开的Python实现该算法，并讨论了理论和数值支持其有效性，参考著名的四色定理。
$4$-choosability of planar graphs with $4$-cycles far apart via the Combinatorial Nullstellensatz
通过著名的Schlassen定理和Voigt描述的可平面图，我们知道每个可平面图都是$5$ -可选的，并且其界是紧的. 1999年，Lam，Xu和Liu在无$C_4$的可平面图上将$5$约化为$4$.本文应用著名的组合零点定理，设计了一个处理表着色问题的有效算法。同时，我们证明了可平面图$G$是$4$ -可选的，如果任意两个$4$ -圈在$G$中的距离至少为$5$，推广了Lam等人的结果.
Correspondence coloring and its application to list-coloring planar graphs without cycles of lengths 4 to 8
我们介绍了一个新的变种图着色称为对应着色，推广列表着色，并允许减少以前只可能为普通着色。利用这个工具，我们证明了排除长度为4到8的圈足以保证可平面图的3-可选性，从而回答了Borodin的一个问题。
Highly-connected planar cubic graphs with few or many Hamilton cycles
本文研究了具有高圈边连通度的平面三次图中Hamilton圈的个数，回答了Chia和Jassen提出的两个问题（“On the number of longest and almost longest cycles in cubic graphs”，Ars Combin. 104，307- 320，2012）关于这些族中的极值图。特别地，我们发现了一类循环$5$ -边连通平面三次图，它们比广义Petersen图$P(2n,2)$具有更多的Hamilton圈.图本身是富勒烯图，对应于某些被称为纳米管的碳分子-更准确地说，该家族由（固定）宽度$5$和增加长度的锯齿形纳米管组成。为了计算纳米管中的Hamilton圈，我们开发了受统计物理学的转移矩阵启发的方法。我们概述了这些方法如何可以适应计数更大（但仍然固定）的宽度的纳米管中的汉密尔顿周期，与警告，所得到的表达式涉及矩阵的权力。我们还考虑了具有少量Hamilton圈的循环$4$ -边连通的三次可平面图，并给出了一个这样的图的无限族，每个图都恰好具有$4$ Hamilton圈.最后我们考虑了这两类图的“另一个极端”，从而研究了具有多个Hamilton圈的循环$4$ -边连通三次平面图和具有少个Hamilton圈的循环$5$ -边连通三次可平面图.在每一种情况下，我们提出了部分结果，例子和插图关于图的几个或多个Hamilton圈。
Orientable embeddings and orientable cycle double covers of projective-planar graphs
在图的闭2-胞腔嵌入中，每个面同胚于一个开圆盘，并且被图中的一个圈所包围。可定向强嵌入猜想是指每个2-连通图在某个可定向曲面中有一个闭的2-胞腔嵌入。这同时包含了圈双覆盖猜想和强嵌入猜想。本文证明了2-连通投影平面立方图在某个可定向曲面中有一个闭2-胞腔嵌入。证明的三个主要部分是：（1）将不可定向嵌入转化为可定向嵌入的外科手术方法;（2）三次图的可定向闭2-胞嵌入或可定向圈双覆盖的4-圈约化;（3）三次图的射影-平面嵌入的结构结果。我们证明了2-边连通的射影-可平面图（不一定是立方的）有可定向圈双覆盖。
Counterexamples to a conjecture of Merker on 3-connected cubic planar graphs with a large cycle spectrum gap
Merker证明了，如果$k \ge 2$是一个整数，$G$是一个周长至少为$k$的3连通三次可平面图，那么$G$的圈长集必须包含区间$[k, 2k+2]$中的至少一个元素.本文证明了对每一个偶数$k \ge 6$都有无穷多个反例。
$(3,1)^*$-choosability of planar graphs without adjacent short cycles
图$G$的列表分配是将颜色的列表$L(v)$分配给每个顶点$v\in V(G)$的函数$L$。$(L,d)^*$ -着色是将颜色$π(v)\in L(v)$分配给每个顶点$v\in V(G)$的映射$π$，使得至多$v$的$d$邻居接收颜色$π(v)$。一个图$G$称为$(k,d)^*$ -可选的，如果它允许对每个列表分配$L$都有一个$(L,d)^*$ -着色，而对所有的$v\in V(G)$都有$|L(v)|\ge k$. 2001年Lih等在\cite{LSWZ-01}中证明了不含4-圈和$l$ -圈的可平面图是$(3,1)^*$ -可选的，其中$l\in \{5,6,7\}$ .后来，Dong和Xu证明了不含4-圈和l-圈的可平面图是$(3,1)^*$ -可选的，其中$l\in \{8,9\}$ .存在含有4-圈的可平面图，它们不是$(3,1)^*$ -可选择的（Crown，Crown and Woodall，1986 \cite{CCW-86}）.这部分地解释了在所有上述已知的可平面图的$(3,1)^*$ -可选性的充分条件中4-圈是完全禁止的。在本文中，我们允许4-圈不相邻相对较短的圈。更准确地说，我们证明了每个平面图没有4-圈相邻的3-和4-圈是$(3,1)^*$ -选择。这是对上述所有成果的共同加强。作为结果，我们还部分地回答了Xu和Zhang的一个问题\cite{…
Every planar graph without 4-cycles adjacent to two triangles is DP-4-colorable
Wang和Lih在2002年证明了任何不含相邻三角形的可平面图都是4-可选图。本文证明了每个与两个三角形相邻的不含任何4-圈的可平面图都是DP-4-可着色的，改进了Lam，Xu和Liu [Journal of Combin. Theory，Ser. B，76（1999）117- 126]，Cheng，Chen和Wang [Discrete Math.，339（2016）3052--3057]以及Kim和Yu [arXiv：1709.09809v1]。
Planar graphs without cycles of lengths 4 and 5 and close triangles are DP-3-colorable
Montassier，Raspaud，and Wang（2006）要求找到最小的正整数$d_0$和$d_1$，使得没有$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge d_0$的可平面图是$3$ -可选的，没有$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge d_1$的可平面图是$3$ -可选的，其中$d^Δ$是三角形之间的最小距离。结果显示，$2\le d_0\le 4$和$d_1\le 3$ .本文证明了下列可平面图是DP-3-可着色的：（1）不含$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge 3$的可平面图是DP- $3$ -可着色的;（2）不含$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge 2$的可平面图是DP- $3$ -可着色的. DP-着色是列表着色的推广，因此作为推论，$d_0\le 3$和$d_1\le 2$。实际上，我们证明了更强的声明，每个预着色的一些圈可以扩展到整个图。
Extremal planar graphs with no cycles of particular lengths
本文估计了某些图$H$的平面Turán数$\mathrm{ex}_\mathcal{P}(n,H)$，即，不包含$H$作为子图的$n$顶点的平面图$G$中的最大边数。本文给出了当$H=C_5$是偶圈时的一个新的简短证明，并研究了$G$是二部或无三角圈以及$H$是短偶圈的情形.这些证明大多是Ghosh，Gyamri，Martin，Paulos和Xiao在arXiv：2004.14094中介绍的“贡献方法”的新应用或变体。
On Choosability with Separation of Planar Graphs with Forbidden Cycles
本文研究了图的列表着色的一种约束形式--带分离的可选性。图G上的一个（k，d）-列表分配L是一个函数，它给每个顶点v分配一个至少包含k种颜色的列表L（v），并且对于任意相邻的一对xy，列表L（x）和L（y）最多共享d种颜色。一个图G是（k，d）-可选的，如果对每个（k，d）-列表分配L，G都存在一个L-染色.这个概念也被称为分离的可选择性。证明了不含4-圈的可平面图是（3，1）-可选图，不含5-圈和6-圈的可平面图是（3，1）-可选图.此外，我们给出了另一个稍微强一点的证明，证明了无三角形可平面图是$(3,1)$ -可选的。
Planar Turán number of two adjacent cycles
该研究针对平面图Turán数问题，确定了由一条边连接两个不交环构成的$C_3$-$C_3$与$C_3$-$C_4$两类图的平面图Turán数，补充了相邻环结构的平面图极值边数结果。
List-coloring the Squares of Planar Graphs without 4-Cycles and 5-Cycles
设$G$是一个不含4-圈和5-圈的平面图，它具有最大度$Δ\ge 32$ .我们证明了$χ_{\ell}(G^2)\le Δ+3$ .对于任意大的最大度$Δ$，存在围长为6的可平面图$G_Δ$，且$χ(G_Δ^2)=Δ+2$ .因此，我们的界限在1以内是最优的。此外，我们的界限来自着色greetings在一个良好的秩序，所以立即扩展到在线列表着色的界限。此外，我们还证明了$L(p,q)$ -标记的界。具体地，$λ_{2,1}(G)\le Δ+8$，更一般地，$λ_{p,q}(G)\le (2q-1)Δ+6p-2q-2$，对于正整数$p$和$q$，具有$p\ge q$。同样，这些边界来自贪婪着色，所以它们立即扩展到这个问题的列表着色和在线列表着色变体。
Longest and shortest cycles in random planar graphs
设$P(n,m)$是从顶点集$\{1, \ldots, n\}$上所有有$m=m(n)$边的可平面图类中随机均匀选取的图.我们研究了当$P(n,m)$.更准确地说，我们确定的最长和最短的周期在$P(n,m)$的临界范围内时，$m=n/2+o(n)$的长度的渐近顺序。此外，我们还描述了当$n^{2/3}\ll m-n/2\ll n$在弱超临界状态下$P(n,m)$的嵌段结构。
The Minimum Number of $4$-Cycles in a Maximal Planar Graph with Small Number of Vertices
针对 Hakimi 与 Schmeichel 关于少量顶点极大平面图中4-环最小数目的未决猜想，本文予以证明，补全了该严格下界在所有小顶点数情形下的可达性。
Planar graphs without cycles of length 4 or 5 are (11:3)-colorable
一个图G是（a：b）-可着色的，如果存在{1，.，a}映射到G的顶点，使得分配给邻顶点的集合是不相交的。我们证明了每个不含长度为4或5的圈的可平面图都是（11：3）-可着色的，这是对最近被否定的Steinberg猜想的一个削弱.特别地，每个具有n个顶点的这样的图具有大小至少为3 n/11的独立集。
The square of every subcubic planar graph without 4-cycles and 5-cycles is 7-choosable
本文证明了不含4-圈和5-圈的次三次平面图的平方是7-可选的，改进了Kim和Lian关于围长至少为6的次三次平面图的结果。
An improved integrality gap for disjoint cycles in planar graphs
提出新贪心取整算法解决平面图不可交叉环族环包装问题，将自然包装LP整数间隙上界改进至略小于3.5，并得出改进的Erdős-Pósa比率。
Planar graphs without 4-cycles and close triangles are (2,0,0)-colorable
对于一组非负整数$c_1, \ldots, c_k$，图$G$的一个$(c_1, c_2,\ldots, c_k)$ -染色是将$V(G)$划分为$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$i$，$1\le i\le k, G[V_i]$的最大度至多为$c_i$ .证明了所有不含4-圈且三角形间边不少于两条的可平面图都是$(2,0,0)$ -可着色的.
Planar graphs without 5-cycles and intersecting triangles are $(1,1,0)$-colorable
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含$5$ -圈和相交三角形的平面图都是$(0,0,0)$ -可着色的.本文证明了这类图是$(1,1,0)$ -可着色的.
Planar graphs having no cycle of length $4$, $6$ or $8$ are DP-3-colorable
本文证实了Dvořák和Postle的猜想，通过证明更强的结果：没有长度为4、6或8的圈的平面图是DP-3-可着色的。
1-Planar graphs without 6-cycles are 6-choosable
研究不含6-圈的1-平面图的可选择性问题，通过证明其为5-退化图，得出此类图是6-可选择的结论，核心方法是利用图的退化性及相关性质进行论证。
Partitioning planar graphs without $4$-cycles and $5$-cycles into bounded degree forests
1976年，Steinberg证明了不含$4$ -圈和$5$ -圈的可平面图是$3$ -可着色的.这个猜想吸引了许多研究人员大约40年，直到最近被Cohen-Addad等人（2017）推翻。然而，着色可平面图与限制的周期长度仍然是一个活跃的研究领域，在这个特定的图形类的兴趣仍然存在。设$G$是一个不含$4$ -圈和$5$ -圈的平面图.对于满足$d_1+d_2\geq8$和$d_2\geq d_1\geq 2$的整数$d_1$和$d_2$，已知$V(G)$可以被划分为两个集合$V_1$和$V_2$，其中每个$V_i$诱导最大度至多为$d_i$的图。由于Steinberg猜想是假的，因此不能保证将$V(G)$划分为两个集合，其中一个集合诱导空图，另一个集合诱导森林。我们的主要定理是在上述两个研究方向的交叉点。我们证明了$V(G)$可以划分为两个集合$V_1$和$V_2$，其中$V_1$诱导最大度至多为$3$的森林，$V_2$诱导最大度至多为$4$的森林;这既是对Steinberg猜想的放松，也是对Sittitrai和Nakprasit（2019）结果的更强形式的加强。
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