A comment to: On 3-colorable planar graphs without short cycles
S. Akbari, Behrooz Bagheri Gh
设G是一个图。证明了：如果G是一个不含{4，6，7}-圈且两个5-圈不共用一条边的可平面图，则G是3-可着色的.我们注意到这个结果的证明是不正确的。
Let G be a graph. It was proved that if G is a planar graph without {4, 6, 7}-cycles and without two 5-cycles sharing exactly one edge, then G 3-colorable. We observed that the proof of this result is not correct.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Planar digraphs of digirth five are 2-colorable
Neumann-Lara（1985）和Škrekovski证明了任意数位数至少为3的平面有向图是2-可着色的。我们证明了这个猜想的一个放松的版本：任何数位数至少为5的平面有向图是2-可着色的。结果也适用于列表着色的设置。
The square of a planar cubic graph is $7$-colorable
本文证明了G.Wegner在1977年提出的猜想：任何平面三次图的平方都是$7$ -可着色的.这里，$7$不能被$6$代替。
Planar graphs without 4-cycles adjacent to triangles are DP-4-colorable
单图的DP-染色（也称为对应染色）是列表染色的推广。已知与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是4-可选图，不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色图.本文证明了与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色的，这是上述两个结果的推广。
Tree-colorable maximal planar graphs
极大可平面图的树染色是一个真点$4$ -染色，使得由此染色导出的每个双色子图都是树.一个极大可平面图$G$是树可着色的，如果$G$有树可着色.本文证明了树可着色极大可平面图$G$至少含有四个奇顶点，且其$δ(G)\geq 4$是可着色极大平面图.此外，对于一个最小度为4的树可着色的最大可平面图，如果它恰好包含四个奇顶点，我们证明了由它的四个奇顶点导出的子图不是爪，并且不包含三角形。
Planar graphs without 7-cycles and butterflies are DP-4-colorable
DP-着色（也称为对应着色）是列表着色的一种推广，由Dvopelák和Postle在2017年引入。众所周知，存在不可4选的可平面图。可平面图是DP- $4$ -可着色的充分条件是近年来研究的热点.特别地，对于每个$k \in \{3, 4, 5, 6\}$，每个没有$k$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的。本文证明了不含$7$ -圈和蝴蝶的可平面图是DP- $4$ -可着色的.我们的证明可以很容易地修改，以证明其他充分条件，禁止集群形成的许多三角形。
Hu and Li investigate the signed graph version of Erd$\ddot{\mathrm{o}}$s problem: Is there a constant $c$ such that every signed planar graph without $k$-cycles, where $4\leq k\leq c$, is $3$-colorable and prove that each signed planar graph without cycles of length from 4 to 8 is 3-colorable. We give a very short and simple proof of this result and improve it, based on a recent observation.
Every planar graph without adjacent short cycles is 3-colorable
如果两个循环具有共同的边沿，则它们是{ \em相邻}的。设$G$是一个可平面图，对于任意两个相邻的圈$C_{1}$和$C_{2}$，我们有$|C_{1}| + |C_{2}| \geq 11$，特别地，当$|C_{1}| = 5$，$|C_{2}| \geq 7$ .证明了图$G$是3-可着色的.
Size of edge-critical uniquely 3-colorable planar graphs
一个图$G$是\emph{uniquely k-colorable}，如果$G$的色数是$k$，并且$G$只有一个$k$ -染色直到颜色的置换.唯一$k$可着色图$G$是边临界图，如果$G-e$对任何边$e\in E(G)$都不是唯一$k$可着色图. Mel'nikov和Steinberg [L. S.梅尔尼科夫河Steinberg，One counterexample for two aesthetures on three coloring，Discrete Math.20（1977）203-206]要求找到一个边临界3-可着色平面图的边数的精确上界。本文给出了边临界唯一3-可着色可平面图的一些性质，并证明了如果$G$是这样的具有$n(\geq6)$顶点的图，则$\frac{8}{3}n-\frac{17}{3}$改进了Matsumoto [N. Matsumoto，边临界唯一3-可着色可平面图的尺寸，Electron. J. Combin。20（3）（2013）$\#$ P49]。此外，我们还找到了一些边临界3-可着色的可平面图，它们的顶点为$n(=10,12, 14)$，边为$\frac{5}{2}n-7$.
Planar graphs without cycles of length 4 or 5 are (11:3)-colorable
一个图G是（a：b）-可着色的，如果存在{1，.，a}映射到G的顶点，使得分配给邻顶点的集合是不相交的。我们证明了每个不含长度为4或5的圈的可平面图都是（11：3）-可着色的，这是对最近被否定的Steinberg猜想的一个削弱.特别地，每个具有n个顶点的这样的图具有大小至少为3 n/11的独立集。
Planar graphs without 5-cycles and intersecting triangles are $(1,1,0)$-colorable
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含$5$ -圈和相交三角形的平面图都是$(0,0,0)$ -可着色的.本文证明了这类图是$(1,1,0)$ -可着色的.
Planar graphs with girth at least 5 are (3,4)-colorable
一个图是$(d_1, \ldots, d_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以被划分为$k$个非空子集，使得由$i$个部分导出的子图的最大度至多为$d_i$，对于每个$i\in\{1, \ldots, k\}$ .已知对于每对$(d_1, d_2)$，存在具有围长$4$的平面图，该平面图不是$(d_1, d_2)$可着色的。这引发了人们对寻找$(d_1, d_2)$对的兴趣，使得周长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的。给定$d_1\leq d_2$，已知围长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的，如果$d_1\geq 2$和$d_1+d_2\geq 8$或$d_1=1$和$d_2\geq 10$ .我们通过提供文献中第一对满足$d_1+d_2\leq 7$的$(d_1, d_2)$改进了上述结果，其中围长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的。也就是说，我们证明了围长至少为$5$的可平面图是$(3, 4)$ -可着色的。
Near-colorings: non-colorable graphs and NP-completeness
图G是（d_1，.，d_l）-可着色，如果G的顶点集可被划分为子集V_1，.，V_1，使得由V_i的顶点导出的图G[V_i]对所有1 <= i <= 1具有最大度至多为d_i。在本文中，我们专注于复杂性方面的这种着色时，l= 2，3。更精确地说，我们证明了：对于任意固定整数k，j，g，（k，j）不同形式（0，0）且g ≥ 3，或者每个围长至少为g的可平面图是（k，j）-可染的，或者判定围长至少为g的可平面图是否是（k，j）-可染的是NP-完全的.对于任意固定整数k，判定一个可平面图是（0，0，0）-可着色图还是非（k，k，1）-可着色图是（0，0，0）-可着色图是NP-完全的。此外，我们还证明了围长为5的非（3，1）-可着色可平面图和围长为7的非（2，0）-可着色可平面图.
Every planar graph without 4-cycles adjacent to two triangles is DP-4-colorable
Wang和Lih在2002年证明了任何不含相邻三角形的可平面图都是4-可选图。本文证明了每个与两个三角形相邻的不含任何4-圈的可平面图都是DP-4-可着色的，改进了Lam，Xu和Liu [Journal of Combin. Theory，Ser. B，76（1999）117- 126]，Cheng，Chen和Wang [Discrete Math.，339（2016）3052--3057]以及Kim和Yu [arXiv：1709.09809v1]。
Planar graphs without $5^{-}$-cycles at distance less than $3$ are $(\mathcal{I}, \mathcal{F})$-colorable
该研究针对平面图的$(\bma{I}, \bma{F})$-着色问题，证明了距离小于3的位置不含$5^{-}$-圈的平面图均满足该着色性质，拓展了平面图可着色性的相关结论。
Every planar graph without $i$-cycles adjacent simultaneously to $j$-cycles and $k$-cycles is DP-$4$-colorable when $\{i,j,k\}=\{3,4,5\}$
DP-染色是简单图列表染色的推广。列表着色中的许多结果可以推广到DP-着色中。Kim和Ozeki证明了没有$k$-圈的平面图，其中$k=3,4,5,$或$6$是DP-$4$-可着色的.最近，Kim和Yu推广了关于$3$-圈和$4$-圈的结果，证明了没有三角形邻接$4$-圈的平面图是DP-$4$-可着色的。Xu和Wu证明了不存在同时与$3$-圈和$4$-圈相邻的$5$-圈的平面图是$4$-可选的.本文推广了关于$5$-圈和与$4$-圈相邻的三角形的结果，证明了当$\{i,j,k\}=\{3,4,5\}.$时，没有$i$-圈同时与$j$-圈和$k$-圈相邻的平面图是DP-$4$-可染的.这也推广了徐和吴的结果.
The $\mathbb{Z}$-Divisor Graph on $\mathbb{Q} \cap [1,7]$ is Planar and 3-Colorable
本文证明了满足 $m\leq 7n$ 的整数区间上的因子图是平面图，且 7 为最优界限，并进一步证明这些图可 3-着色。
Planar graphs without 4-cycles and close triangles are (2,0,0)-colorable
对于一组非负整数$c_1, \ldots, c_k$，图$G$的一个$(c_1, c_2,\ldots, c_k)$ -染色是将$V(G)$划分为$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$i$，$1\le i\le k, G[V_i]$的最大度至多为$c_i$ .证明了所有不含4-圈且三角形间边不少于两条的可平面图都是$(2,0,0)$ -可着色的.
An odd coloring of a graph $G$ is a proper coloring such that any non-isolated vertex in $G$ has a coloring appears odd times on its neighbors. The odd chromatic number, denoted by $χ_o(G)$, is the minimum number of colors that admits an odd coloring of $G$. Petruševski and Škrekovski in 2021 introduced this notion and proved that if $G$ is planar, then $χ_o(G)\le9$ and conjectured that $χ_o(G)\le5$. More recently, Petr and Portier improved $9$ to $8$. A graph is $1$-planar if it can be drawn in the plane so that each edge is crossed by at most one other edge. Cranston, Lafferty and Song showe…
Planar graphs having no cycle of length $4$, $6$ or $8$ are DP-3-colorable
本文证实了Dvořák和Postle的猜想，通过证明更强的结果：没有长度为4、6或8的圈的平面图是DP-3-可着色的。
Planar graphs without cycles of lengths 4 and 5 and close triangles are DP-3-colorable
Montassier，Raspaud，and Wang（2006）要求找到最小的正整数$d_0$和$d_1$，使得没有$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge d_0$的可平面图是$3$ -可选的，没有$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge d_1$的可平面图是$3$ -可选的，其中$d^Δ$是三角形之间的最小距离。结果显示，$2\le d_0\le 4$和$d_1\le 3$ .本文证明了下列可平面图是DP-3-可着色的：（1）不含$\{4,5\}$ -圈和$d^Δ\ge 3$的可平面图是DP- $3$ -可着色的;（2）不含$\{4,5,6\}$ -圈和$d^Δ\ge 2$的可平面图是DP- $3$ -可着色的. DP-着色是列表着色的推广，因此作为推论，$d_0\le 3$和$d_1\le 2$。实际上，我们证明了更强的声明，每个预着色的一些圈可以扩展到整个图。
(1,0,0)-colorability of planar graphs without cycles of length 4 or 6
一个图$G$是$(d_1,d_2,d_3)$ -可着色的，如果顶点集$V(G)$可以划分为三个子集$V_1,V_2$和$V_3$，使得对于$i\in\{1,2,3\}$，导出图$G[V_i]$的顶点度最大为$d_i$ .所以，$(0,0,0)$ -可着色性就是3-可着色性。著名的Steinberg猜想指出，每个不含长度为4或5的圈的平面图是3-可着色的。随着Cohen-Addad等人在2017年否定了这个猜想，一个类似的问题，对于给定的$i\in \{6,\ldots,9\}$，是否每个不含长度为4或$i$的圈的平面图都是3-可着色的，得到了越来越多的关注。在本文中，我们考虑这个问题的情况下$i=6$的不适当着色的观点。更精确地说，我们证明了每个不含长度为4或6的圈的平面图都是（1，0，0）-可着色的，这改进了以前的结果，即它们是（2，0，0）-可着色的，也是（1，1，0）-可着色的，并且改进了不含长度为4到6的圈的可平面图是（1，0，0）-可着色的.
DP-coloring is a generalization of list coloring, which was introduced by Dvořák and Postle [J. Combin. Theory Ser. B 129 (2018) 38--54]. Zhang [Inform. Process. Lett. 113 (9) (2013) 354--356] showed that every planar graph with neither adjacent triangles nor 5-, 6-, 9-cycles is 3-choosable. Liu et al. [Discrete Math. 342 (2019) 178--189] showed that every planar graph without 4-, 5-, 6- and 9-cycles is DP-3-colorable. In this paper, we show that every planar graph with neither adjacent triangles nor 5-, 6-, 9-cycles is DP-3-colorable, which generalizes these results. Yu et al. gave three Bord…
Plane graphs without 4- and 5-cycles and without ext-triangular 7-cycles are 3-colorable
在[J. A.邦迪大学S. R. Murty，图论，Springer，Berlin，2008]是Steinberg的猜想，它指出每个不含4-和5-圈的可平面图是3-可着色的。本文证明了不含4-圈和5-圈的平面图是3-可着色的，如果它们不含外三角7-圈。这意味着（1）不含4-，5-，7-圈的可平面图是3-可着色的，（2）不含4-，5-，8-圈的可平面图是3-可着色的，这一结果覆盖了文献中由Steinberg猜想所激发的许多已知结果.
On uniquely k-list colorable planar graphs, graphs on surfaces, and regular graphs
一个图$G$称为唯一k-列表可着色（UPDMATHABMN LC），如果在它的顶点上存在一个颜色列表，比如说$L=\lbrace S_v \mid v \in V(G) \rbrace $，每个颜色的大小为$k$，使得从这个颜色列表中存在唯一的真列表着色$G$.一个图$G$被称为具有性质$M(k)$，如果它不是唯一的$k$ -列表可着色的. Mahmoodian和Mahdian刻画了所有具有性质$M(2)$的图.对于$k\geq 3$性质$M(k)$，仅对多部图进行了研究。在这里，我们发现$M(k)$上的边界嵌入在表面上的图，并获得新的结果可平面图。我们开始对$M(k)$上的正则图以及具有不同列表大小的图的界限进行一般性研究。
Planar graphs are 9/2-colorable
我们证明了每个可平面图$G$都有2重9-染色.特别地，这意味着$G$具有至多$\frac92$的分数色数。这是第一个证明（独立于四色定理）存在一个常数$k<5$使得每个平面$G$至多有$k$的分数色数.
Defective 2-colorings of planar graphs without 4-cycles and 5-cycles
设$G$是一个不含4-圈和5-圈的图.我们证明了对于每个正整数$k.$，判定$G$是否$(0,k)$ -可染的问题是NP-完全的。此外，我们对每个正整数$k.$构造了不含4-圈和5-圈的非$(1,k)$ -可染可平面图。最后，我们证明了$G$是$(d_1,d_2)$ -可染的，其中$(d_1,d_2)=(4,4), (3,5),$和$(2,9).$
Planar graphs without cycles of length 4 or 5 are $(7m:2m)$-DP-colorable
针对不含4-环或5-环的平面图着色问题，本文证明对任意正整数$m$，这类图均为$(7m:2m)$-DP-可着色的，也即$(7m,2m)$-可选的。
A sufficient condition for planar graphs with maximum degree eight to be totally 9-colorable
针对最大度为8的平面图的全着色问题，证明了不含4-扇子图的此类图全色数为9，给出了平面图全9-可着色的一个充分条件。
In the past various distance based colorings on planar graphs were introduced. We turn our focus to three of them, namely $2$-distance coloring, injective coloring, and exact square coloring. A $2$-distance coloring is a proper coloring of the vertices in which no two vertices at distance $2$ receive the same color, an injective coloring is a coloring of the vertices in which no two vertices with a common neighbor receive the same color, and an exact square coloring is a coloring of the vertices in which no two vertices at distance exactly $2$ receive the same color. We prove that planar graph…
Planar Graphs with Ore-degree at Most seven is strongly $13$-edge-colorable
本文证明Ore度至多7的平面图强色指数不超过13，解决Chen等人的猜想，采用放电法与组合零点定理。
Some New Methods for Constructing 4-critical Planar Graphs
如果对于$G$的每条边$e$，$G$是$k$ -可着色的，而$G-e$不是$k$ -可着色的，则称图$G$是$k$ -关键的.本文提出了由两个或多个小的4-临界图构造一个大的4-临界可平面图的新方法。
Partition subcubic planar graphs into independent sets
本文研究次三次平面图的packing $(1^{\ell}, 2^k)$-染色，证明了每个次三次平面图都是packing $(1,2^5)$-可染色的，且该结果是最优且紧的。
On a Sufficient Condition for Planar Graphs of Maximum Degree 6 to be Totally 7-Colorable
图的全$k$ -染色是将$k$颜色分配给图的顶点和边，使得没有两个相邻或关联的元素接收相同的颜色。全染色猜想（TCC）指出，每个简单图$G$都有全（$Δ(G)+2$）-染色，其中$Δ(G)$是$G$的最大度.这一猜想已被最大度至少为7或至多为5的可平面图所证实，即，TCC的唯一开放情况是最大度数6。已知$Δ(G) \geq 9$或$Δ(G) \in \{7, 8\}$的任意平面图$G$都有全$(Δ(G) + 1)$ -染色.特别地，在[Shen and Wang，“On the 7 total colorability of可平面图with maximum degree 6 and without 4-cycles”，Graphs and Combinatorics，25：401-407，2009]中，作者证明了每个最大度为6且不含4-cycles的平面图具有全7-染色。本文改进了这一结果，证明了最大度为6的无钻石无房子平面图是完全7-可染的，如果对某些$\{p,q,\ell\}\in \{\{3,4,4\},\{3,3,4\}\}$，每个6-顶点不与两个相邻的4-圈关联或不与3个$p,q,\ell$圈关联.
A relaxation of Steinberg's Conjecture
一个图是$(c_1, c_2, ..., c_k)$ -可着色的，如果顶点集可以被划分成$k$集$V_1,V_2, ..., V_k$，使得对于每个$i: 1\leq i\leq k$，子图$G[V_i]$具有最大度至多$c_i$。证明了不含4-圈和5-圈的可平面图是$(1, 1, 0)$ -可着色图和$(3,0,0)$ -可着色图.这是Steinberg猜想的一个放松，即每个不含4-和5-圈的可平面图都是适当的3-可着色的（即，$(0,0,0)$ -可着色）。
Alon-Tarsi number of signed planar graphs
设$(G,σ)$是任意带符号的可平面图。证明了$(G,σ)$的Alon-Tarsi数至多为5，推广了Zhu最近关于无符号情形的结果.另外，如果$(G,σ)$是$2$ -可着色的，则$(G,σ)$具有至多4的Alon-Tarsi数。我们还构造了一个符号可平面图，它是$2$ -可着色的，但不是$3$ -可选的。
Relaxed DP-3-coloring of planar graphs without some cycles
该研究属于图论着色领域，在已有松弛DP着色的平面图相关结论基础上，证明了不含4环与6环、或不含4环与8环的平面图满足DP-(0, 2, 2)-可着色性，拓展了该方向的研究结果。
3-colorable planar graphs have an intersection segment representation using 3 slopes
本文证明了3色可图的平面图可以使用3种斜率的线段表示，解决了Scheinerman关于平面图交集图的猜想。
Every toroidal graph without triangles adjacent to $5$-cycles is DP-$4$-colorable
DP-着色，也称为对应着色，是由Dvo{zhi}{á}k和Postle引入的。它是列表着色的一个推广。本文证明了，除非是具有欧拉示性数$ε(G) = 0$的2-连通$4$ -正则图，否则每个与$5$ -圈相邻的不含三角形的连通环面图的最小度至多为3.因此，任何不含与$5$ -圈相邻的三角形的环形图都是DP- $4$ -可着色的。最后证明了不含两个确定子图的可平面图是DP- $4$ -可着色的。作为直接结果，（i）每个没有$3$ -圈邻近$4$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（ii）每个没有$3$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（iii）每个没有$4$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的.
Odd coloring is a proper coloring with an additional restriction that every non-isolated vertex has some color that appears an odd number of times in its neighborhood. The minimum number of colors $k$ that can ensure an odd coloring of a graph $G$ is denoted by $χ_o(G)$. We say $G$ is $k$-colorable if $χ_o(G)\le k$. This notion is introduced very recently by Petruševski and Škrekovski, who proved that if $G$ is planar then $ χ_{o}(G) \leq 9 $. A toroidal graph is a graph that can be embedded on a torus. Note that a $K_7$ is a toroidal graph, $χ_{o}(G)\leq7$. In this paper, we proved that, ever…
Fractional coloring of planar graphs of girth five
一个图G是（a：b）-可着色的，如果存在{1，.，a}映射到G的顶点，使得分配给邻顶点的集合是不相交的。我们首先证明了对任意无三角形的可平面图G和G的顶点x，图G有一个集合被{1，.，6}使得|phi（v）|对于G的每个顶点v>=2，并且|phi（x）|=3。作为推论，每个n个顶点的无三角形的可平面图都是（6 n：2n+1）-可着色的。利用这个结果，我们进一步证明了：对于每个Delta，存在一个常数M_Delta使得每个围长至少为5且度最大的可平面图G是（6 M_Delta：2 M_Delta +1）-可着色的.因此，围长至少为5且最大度Delta有界的可平面图的分数色数至多为3-3/（2M_Delta+1）。
Improper coloring of graphs on surfaces
一个图$G$是$(d_1,\ldots,d_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分成$k$集$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$i\in\{1, \ldots, k\}$，由$V_i$诱导的$G$的子图在至多$d_i$处具有最大度.四色定理指出每个平面图都是$(0,0,0,0)$ -可着色的，Cowen，Cowen，和Woodall的一个经典结果表明每个平面图都是$(2,2,2)$ -可着色的.在本文中，我们将这两个结果推广到曲面上的图。也就是说，我们证明了每一个可嵌入到欧拉亏格$g>0$的曲面上的图都是$(0,0,0,9g-4)$ -可着色的和$(2,2,9g-4)$ -可着色的。此外，这些图也是$(0,0,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的和$(2,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的。我们还证明了每一个可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的无三角形图都是$(0, 0, O(g))$ -可着色的。这是Grötzsch定理的一个扩展，该定理指出无三角形平面图是$(0, 0, 0)$ -可着色的。最后证明了任意围长至少为7的可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的图都是$(0,O(\sqrt{g}))$ -可着色的.所有这些结果在几个方面都是最好的，因为围长条件是尖锐的，恒定的最大程度不能得到改善，并且取决于$g$的最…
Constructing a Family of 4-Critical Planar Graphs with High Edge-Density
一个图$G=(V,E)$是$k$ -临界图，如果$G$不是$(k -1)$ -可着色的，但$G-e$对每个$e\in E(G)$都是$(k-1)$ -可着色的.本文构造了一类具有$n$顶点和$\frac{7n-13}{3}$边的4-临界可平面图。因此，这改进了Abbott和Zhou获得的最大边缘密度的界。我们猜想这是4-临界平面图的最大边密度。
The edge colorings of $K_{5}$-minor free graphs
1965年，Vizing证明了每个具有最大度$Δ\geq 8$的可平面图$G$是边$Δ$ -可着色的.证明了平面图$G$是边$Δ$ -可着色的，并且证明了平面图$G$的最大度为$Δ=7$.本文推广了上述结果，证明了最大度$Δ$至少为7的无$K_5$ -子图是边$Δ$ -可着色的.
Vertex partitions of $(C_3,C_4,C_6)$-free planar graphs
一个图是$(k_1,k_2)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分为一个最大度至多为$k_1$的图和一个最大度至多为$k_2$的图.证明了每个无$(C_3,C_4,C_6)$的平面图都是$(0,6)$ -可着色的.我们还证明了判定一个无$(C_3,C_4,C_6)$的平面图是否是$(0,3)$ -可着色的是NP-完全的。
Note on 3-Choosability of Planar Graphs with Maximum Degree 4
判定一个可平面图（即使是最大度的图$4$）是否是$3$ -可着色的是NP-完全的。确定平面图的子类是$3$ -可着色的有很长的历史，但自从Grötzsch的结果，三角形自由可平面图是这样的，大部分的努力集中在解决哈维尔和斯坦伯格的图。本文证明了作为任意二部平面图的中间图的子图得到的最大度平面图$4$是$3$ -可选的.这些图允许有闭合的三角形（甚至是关联的），并且没有禁止的短圈，因此代表了与上述图推断的完全不同的一类图。
This paper proves that every planar graph without cycles of length 4, 7, or 9 is DP-3-colorable.
$(2,4)$-Colorability of Planar Graphs Excluding $3$-, $4$-, and $6$-Cycles
针对不含3-、4-、6-环的平面图的缺陷2-着色问题，本文在已有研究证明其为$(0,6)$-可着色和$(3,3)$-可着色的基础上，进一步证明这类图也具有$(2,4)$-可着色性。
Short proofs of coloring theorems on planar graphs
Kostochka和Yancey最近给出了k-临界n-顶点图的边数的下界，给出了著名的Grötzsch定理的半页证明，即每个平面无三角形图都是3-可着色的.本文利用同样的界给出了可平面图3-染色的其它已知定理的简短证明，其中包括Grünbaum-Aksenov定理：每个至多有三个三角形的平面图都是3-染色的。证明了无三角形可平面图通过添加次数不超过4的顶点而得到的图是3-可着色的。
Bouchet conjectured in 1983 that every flow-admissible signed graph admits a nowhere-zero 6-flow which is equivalent to the restriction to cubic signed graphs. In this paper, we proved that every flow-admissible $3$-edge-colorable cubic signed graph admits a nowhere-zero $10$-flow. This together with the 4-color theorem implies that every flow-admissible bridgeless planar signed graph admits a nowhere-zero $10$-flow. As a byproduct, we also show that every flow-admissible hamiltonian signed graph admits a nowhere-zero $8$-flow.
The Slow-coloring Game on Sparse Graphs: $k$-Degenerate, Planar, and Outerplanar
\emph{slow-coloring game}由Lister和Painter在图形$G$上播放。最初，$G$的所有顶点都未着色。在每一轮中，Lister标记未着色顶点的非空集合$M$，而Painter为$G$中独立的$M$子集着色。游戏结束时，所有的顶点着色。游戏的分数是由Lister标记的所有集合的大小之和。Painter的目标是最小化得分，而Lister试图最大化it. We提供的策略Painter对各类图，其顶点可以划分成一个有界数量的集合诱导森林，包括$k$ -退化，非循环$k$ -着色，平面，和outerplanar图。例如，我们表明，在一个$n$顶点图$G$，画家可以保持得分最多$\frac{3k+4}4n$时$G$是$k$ -退化，$3.9857n$时$G$是无环$5$ -可着色，$3n$时$G$是平面的哈密尔顿对偶，$\frac{8n+3m}5$时$G$是$4$ -可着色与$m$边缘（因此$3.4n$时$G$是平面的），$\frac73n$时$G$是outerplanar。
$(1, k)$-coloring of graphs with girth at least $5$ on a surface
一个图是$(d_1, ..., d_r)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分成$r$集$V_1, ..., V_r$，使得对于每个$i\in \{1, ..., r\}$，由$V_i$诱导的图的最大度至多为$d_i$.对于给定的$(g, d_1)$对，确定最小的$d_2=d_2(g; d_1)$使得围长至少为$g$的平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的问题引起了人们的极大兴趣.除$(g, d_1)=(5, 1)$外，所有情况下都知道$d_2(g; d_1)$的有限性。Montassier和Ochem明确地询问$d_2(5; 1)$是否是有限的。我们回答这个问题的肯定与$d_2(5; 1)\leq 10$，即，我们证明了所有的平面图周长至少$5$是$(1, 10)$ -着色。此外，我们的证明扩展到声明，任何表面的欧拉属$γ$ $S$，存在一个$K=K(γ)$，其中周长至少$5$是嵌入$S$的图形是$(1, K)$ -着色。另一方面，不存在有限$k$，其中围长至少为$5$的平面图（因此可嵌入任何曲面）是$(0, k)$ -可着色的。
The 3-colorability of planar graphs without cycles of length 4, 6 and 9
本文证明了不含长为4，6，9的圈的可平面图是3-可着色的。
Between proper and square colorings of planar graphs with maximum degree at most four
本文研究平面图最大度数不超过四的着色问题，证明了该类图可被(1,2^10)和(1^2,2^7)着色，为Wegner猜想提供新进展。
The chromatic number of the square of subcubic planar graphs
Wegner在1977年证明了最大度至多为$3$的可平面图的平方是$7$ -可着色的。我们证明了这个猜想使用放电方法和计算技术来验证可约配置。
Planar graphs are acyclically edge $(Δ+ 5)$-colorable
本文证明了平面图是无圈边 $(Δ+ 5)$-可着色的，通过 discharging methods 识别八组局部结构并对边数归纳实现着色，推进了无圈边着色猜想 (AECC) 的研究。
DP-3-coloring of some planar graphs
本文用统一的方法证明了几类可平面图是DP- $3$ -可着色图，推广了$3$ -可选图的相应结果.
Odd coloring is a proper coloring with an additional restriction that every non-isolated vertex has some color that appears an odd number of times in its neighborhood. The minimum number of colors $k$ that can ensure an odd coloring of a graph $G$ is denoted by $χ_o(G)$. We say $G$ is odd $k$-colorable if $χ_o(G)\le k$. This notion is introduced very recently by Petruševski and Škrekovski, who proved that if $G$ is planar then $ χ_{o}(G) \leq 9 $. A toroidal graph is a graph that can be embedded on a torus. Note that a $K_7$ is a toroidal graph, $χ_{o}(G)\leq7$. Tian and Yin proved that every …
DP-Degree Colorable Hypergraphs
为了解决可平面图的列表着色问题，Dvopiák和Postle引入了DP-着色的概念，从而推广了列表着色的概念。Bernshteyn、Kostochka和Pron对图和重图的DP-染色进行了详细的分析;他们刻画了DP-度可染色重图，并由此导出了一个Brooks型结果。相应的“坏”封面的特征后来由Kim和Ozeki给出。本文将DP-染色的概念推广到具有多重边的超图。我们刻画了DP-度可着色超图，并进一步刻画了相应的“坏”覆盖。这给出了超图的DP-色数的Brooks型结果.在第四部分中，我们研究了DP-临界图，并建立了关于其结构的一些基本事实以及关于最小边数的Gallai型界。
A $(d,h)$-decomposition of a graph $G$ is an ordered pair $(D, H)$ such that $H$ is a subgraph of $G$ of maximum degree at most $h$ and $D$ is an acyclic orientation of $G-E(H)$ with maximum out-degree at most $d$. In this paper, we prove that for $l \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$, every planar graph without $4$- and $l$-cycles is $(2,1)$-decomposable. As a consequence, for every planar graph $G$ without $4$- and $l$-cycles, there exists a matching $M$, such that $G - M$ is $3$-DP-colorable and has Alon-Tarsi number at most $3$. In particular, $G$ is $1$-defective $3$-DP-colorable, $1$-defective $3$-p…
Thomassen proved that all planar graphs are $5$-choosable. Škrekovski strengthened the result by showing that all $K_{5}$-minor-free graphs are $5$-choosable. Dvořák and Postle pointed out that all planar graphs are DP-$5$-colorable. In this note, we first improve these results by showing that every $K_{5}$-minor-free or $K_{3, 3}$-minor-free graph is DP-$5$-colorable. In the final section, we further improve these results under the term strictly $f$-degenerate transversal.
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。