Choosability of the square of a planar graph with maximum degree four
研究可平面图的平方，目的是确定平面图的列表色数.给出了最大度为$Δ\leq 4$的可平面图的平方的新的上界.特别地，如果$G$的围长分别为至少16、11、9、7、5、3，则$G^2$是5-、6-、7-、8-、12-、14-可选择的。事实上，我们证明了更一般的结果，在最大平均度，这意味着上述结果。
2013-03-22 math.CO
(4,2)-choosability of planar graphs with forbidden structures
所有的可平面图都是4-可着色和5-可选择的，而有些可平面图不是4-可选择的。确定哪些属性保证平面图可以使用大小为4的列表着色已经受到了极大的关注。在约束图的结构方面，对于任何$\ell \in \{3,4,5,6,7\}$，平面图是4-可选的，如果它是$\ell$ -无圈的。在约束列表赋值方面，$k$ -可选性的一个改进是具有分离的可选性。一个图是$(k,s)$可选择的，如果该图是从大小为$k$的列表中可着色的，其中相邻顶点在它们的列表中最多有$s$公共颜色。每个平面图都是$(4,1)$可选的，但也存在可平面图不是$(4,3)$可选的.可平面图是否总是$(4,2)$ -可选的是一个开放的问题。弦$\ell$ -循环是具有一个附加边缘的$\ell$ -循环。我们证明了每个$\ell \in \{5,6,7\}$，平面图是$(4,2)$ -choosable，如果它不包含和弦$\ell$ -循环。
2015-12-11 math.CO
Choosability of planar graphs of girth 5
Rumassen证明了围长为5的平面图是列表可着色的，使得所有顶点都有大小为2或3的列表，并且列表大小为2的顶点都与外表面关联，形成一个独立集。我们提出了一个加强这一结果，放松限制的顶点与列表的大小为2。这个结果被用来限制具有一个预着色面的3-列表着色临界平面图的大小。
2011-09-14 math.CO
Few Long Lists for Edge Choosability of Planar Cubic Graphs
已知无环三次图都是4-边可选图。我们证明了下面的加强结果。设G是具有b条割边的平面三次图。存在G的至多5b/2条边的集合F，具有以下性质。对任意函数L，若给F的每条边赋一个4色的集合，给E（G）-F中的每条边赋一个3色的集合，则图G有一个适当的边着色，其中每条边e的颜色都属于L（e）.
2012-10-30 math.CO
Square of Planar Graphs of Max Degree Four without Five Cycles
本文证明了最大度为4的无五圈可平面图的平方的可选性至多为12。关键词：可平面图，可选性AMS数学学科分类：05C15
2022-10-24 math.CO
5-choosability of graphs with 2 crossings
我们证明了每一个有两个交叉点的图都是5-可选的。我们还证明了每一个可以通过去除一条边而成为平面图的图都是5-可选的。
2011-05-13 math.CO
On the choosability with separation of planar graphs and its correspondence colouring analogue
图$G$的列表分配$L$是$(\ell,k)$ -列表分配，如果$|L(v)|\geq \ell$用于每个$v \in V(G)$并且$|L(u) \cap L(v)| \leq k$用于每个$uv \in E(G)$。我们说$G$是$(\ell,k)$ -可选的，如果它允许对每个$(\ell, k)$ -列表分配$L$进行$L$ -着色.我们证明了如果$G$是一个平面图，$(4,2)$ -列表分配$L$和每个三角形$T \subseteq G$，我们有$|\bigcap_{v \in V(T)} L(v)| \neq 2$，那么$G$是$L$ -列。事实上，我们证明了一个稍微强一点的结果：如果$G$包含一个团$H$，使得对于每个三角形$T \subseteq G$，$V(H) \cap V(T) \neq \emptyset$与$|\bigcap_{v \in V(T)} L(v)| = 2$，则$G$是$L$ -列。此外，我们还给出了可平面图的$(4,2)$ -可选性的对应着色模拟的一个反例。
2022-03-28 math.CO
Injective choosability of subcubic planar graphs with girth 6
图$G$的内射着色是指对图$G$的顶点进行颜色分配，使得具有公共邻居的任意两个顶点具有不同的颜色。一个图$G$是$k$ -可内射选择的，如果对任何列表分配$L$，其中$|L(v)| \geq k$对所有$v \in V(G)$，$G$有一个单射$L$ -着色.内射着色在纠错码理论中有应用，并且与其他可着色性概念密切相关。本文证明了围长至少为6的次立方可平面图是5-可内射选择图。这加强了Lužar、Škrekovski和Tancer的一个结果，即围长至少为7的次立方可平面图是5-可注入着色的。我们的结果也改进了其他几个结果在特定情况下。
2017-07-09 math.CO
A note on the edge choosability of $K_{5}$-minor free graphs
对于可平面图$G$，Borodin指出$G$是$(Δ+1)$ -edge-choosable的，如果$Δ\geq9$，后来Bonamy证明$G$是$9$ -edge-choosable的，如果$Δ=8$。同时，Borodin等人证明了如果$Δ\geq12$，则$G$是$Δ$ -边可选择的。本文将这些结果推广到$K_5$ -子自由图。
2022-08-24 math.CO
Group edge choosability of planar graphs without adjacent short cycles
本文引入了群边染色和列表边染色的概念，证明了所有2-退化图以及某些不含相邻短圈的可平面图是群$(Δ(G)+1)$ -边可选图，而某些围长和度都很大的可平面图是群$Δ(G)$ -边可选图.
2011-05-28 cs.DM math.CO
Single conflict coloring, adaptable choosability and separation choosability
本文研究了单冲突着色、适应列表着色和带分离可选性三个图着色概念之间的关系，构造了特定图族并探讨了平面图中三个不变量的可能取值组合。
2025-09-17 math.CO
Local girth choosability of planar graphs
在1994年，Rumassen著名地证明了每个平面图都是5-choosable的，解决了最初由Vizing提出的一个猜想，以及Erd \H{os}，Rubin和Taylor在20世纪70年代提出的一个猜想。后来，Rumassen证明了每个围长至少为5的平面图是3-可选的。在本文中，我们介绍了一个\emph{local girth list assignment}的概念：一个列表分配，其中一个顶点的列表大小不依赖于图的围长，而是在最短的周期，其中包含顶点的长度。我们给出了一个局部列表着色定理，它统一了上述两个定理。特别是，我们表明，如果$G$是一个平面图和$L$是一个列表分配$G$，使$|L(v)| \geq 3$的所有$v \in V(G)$ ; $|L(v)| \geq 4$的每个顶点$v$包含在一个4-循环;和$|L(v)| \geq 5$的每个$v$包含在一个三角形，那么$G$承认$L$ -着色。
2022-12-08 math.CO
3-choosability of planar graphs with (<=4)-cycles far apart
一个图是k-可选的，如果它可以着色，只要每个顶点有一个至少k个可用颜色的列表。证明了如果可平面图G中长度不超过4的圈两两相距很远，则G是3-可选的.这类似于哈维尔关于三角形相距很远的可平面图的3-可着色性的问题。
2012-05-25 cs.DM math.CO
An extension of Thomassen's result on choosability
Rumassen证明了所有可平面图都是$5$ -可选的.Škrekovski通过证明所有无$K_{5}$ -minor的图都是$5$ -可选的来加强这个结果。Dvoclák和Postle指出所有可平面图都是DP- $5$ -可着色的。在本文中，我们首先通过证明每个$K_{5}$ -minor-free或$K_{3, 3}$ -minor-free图是DP- $5$ -可着色的来改进这些结果。在最后一节中，我们在严格$f$ -退化断面项下进一步改进了这些结果。
2022-03-30 math.CO
Degree-truncated choosability of planar graphs
本文研究了平面图的度截断可选性，改进了已有界限，证明了存在3连通非完全平面图不是度截断8-可选的，且所有此类图都是度截断12-可选的。
2025-07-14 math.CO
$(3,1)^*$-choosability of planar graphs without adjacent short cycles
图$G$的列表分配是将颜色的列表$L(v)$分配给每个顶点$v\in V(G)$的函数$L$。$(L,d)^*$ -着色是将颜色$π(v)\in L(v)$分配给每个顶点$v\in V(G)$的映射$π$，使得至多$v$的$d$邻居接收颜色$π(v)$。一个图$G$称为$(k,d)^*$ -可选的，如果它允许对每个列表分配$L$都有一个$(L,d)^*$ -着色，而对所有的$v\in V(G)$都有$|L(v)|\ge k$. 2001年Lih等在\cite{LSWZ-01}中证明了不含4-圈和$l$ -圈的可平面图是$(3,1)^*$ -可选的，其中$l\in \{5,6,7\}$ .后来，Dong和Xu证明了不含4-圈和l-圈的可平面图是$(3,1)^*$ -可选的，其中$l\in \{8,9\}$ .存在含有4-圈的可平面图，它们不是$(3,1)^*$ -可选择的（Crown，Crown and Woodall，1986 \cite{CCW-86}）.这部分地解释了在所有上述已知的可平面图的$(3,1)^*$ -可选性的充分条件中4-圈是完全禁止的。在本文中，我们允许4-圈不相邻相对较短的圈。更准确地说，我们证明了每个平面图没有4-圈相邻的3-和4-圈是$(3,1)^*$ -选择。这是对上述所有成果的共同加强。作为结果，我们还部分地回答了Xu和Zhang的一个问题\cite{…
2013-02-11 math.CO
A refinement of choosability of graphs
假设$k$是一个正整数，$λ=\{k_1, k_2, \ldots, k_q\}$是$k$的一个划分，$G$是一个图。$G$的$λ$ -列表分配是$G$的$k$ -列表分配$L$，使得颜色集$\cup_{v\in V(G)}L(v)$可以被划分成$q$子集$C_1 \cup C_2 \ldots \cup C_q$，并且对于$G$的每个顶点$v$，$|L(v) \cap C_i| \ge k_i$。如果对于$G$的每个$λ$ -列表分配$L$，$G$是$L$-列，则我们说$G$是$λ$-可选的.从定义中可以看出，如果$λ=\{k\}$，则$λ$ -choosable与$k$ -choosable相同，如果$λ=\{1,1,\ldots, 1\}$，则$λ$ -choosable等效于$k$ -colorable。对于$k$夹在$\{k\}$和$\{1,1,\ldots, 1\}$之间的其他分区的细化，$λ$ -choosability揭示了一个复杂的层次结构的着色图。证明了对于$k$的两个划分$λ, λ'$，每个$λ$ -可选图都是$λ'$ -可选的当且仅当$λ'$是$λ$的加细.然后，我们集中在$λ$ -选择平面图的分区$λ$的$4$。给出了广义符号平面图的几个着色定理，并探讨了这些定理与平面图的列表着色定理之间的关系。特别地，本文证明了Kündgen和Ramamurthi关于平…
2019-08-06 math.CO
On choosability with separation of planar graphs with lists of different sizes
图G的一个（k，d）-列表分配L是一个映射，它给每个顶点v分配一个至少包含k种颜色的列表L（v），并且对于任意相邻的对xy，列表L（x）和L（y）最多共享d种颜色。一个图G是（k，d）-可选的，如果对每个（k，d）-列表分配L，G都存在一个L-染色.这个概念也被称为分离的可选择性。已知可平面图是（4，1）-可选的，但不知道可平面图是否是（3，1）-可选的.我们通过允许一个独立的顶点集具有大小为3而不是4的列表来加强可平面图是（4，1）-可选的结果。
2013-06-22 cs.DM math.CO
A Note on the Equitable Choosability of Complete Bipartite Graphs
2003年，Kostochka、Pelsmajer和West提出了一个类似于公平着色的列表，称为公平可选择性。图$G$的$k$分配$L$将$k$可用颜色的列表$L(v)$分配给每个$v \in V(G)$，并且$G$的公平$L$着色是$G$的适当着色$f$，使得每个$v \in V(G)$和$f$的每个颜色类的$f(v) \in L(v)$具有至多$\lceil |V(G)|/k \rceil$的大小.图$G$被称为是公平$k$ -可选择的，如果当$L$是$G$的$k$ -赋值时，存在$G$的公平$L$ -着色.本文研究完全二部图的公平可选性。Kostochka、Pelsmajer和West的结果表明，如果$k \geq \max \{n,m\}$提供了$K_{n,m} \neq K_{2l+1, 2l+1}$，则$K_{n,m}$是公平的$k$可选择的。我们证明了$K_{n,m}$是公平$k$ -可选择的，如果给出$K_{n,m}$的$m \leq \left\lceil (m+n)/k \right \rceil(k-n)$对于满足$k < \max \{n,m\}$的某些$k$是公平$k$ -可选择的.我们还给出了完全二部图的公平可选择性的一个完整的特征，有一个部集的大小至多为2。
2019-01-10 math.CO
5-choosability of graphs with crossings far apart
给出了可平面图是5-可选图的一个新的证明，并利用它证明了在平面上画出的每对交叉点之间的距离至少为15的图是5-可选图.同时，我们可以允许某些顶点只有大小为4的列表，只要它们相距很远并且远离交叉点。
2016-08-11 math.CO
Equitable Coloring and Equitable Choosability of Planar Graphs without chordal 4- and 6-Cycles
本文证明无弦4-圈和6-圈的平面图在$k\geq\max\{\Delta(G),7\}$时是公平$k$-可着色且公平$k$-可选择的。
2019-11-01 math.CO
The Alon-Tarsi number of planar graphs
本文证明了任意平面图的Alon-Tarsi数至多为$5$，从而给出了可平面图的$5$ -可选择性和$5$ -可涂性的另一种证明.
2017-11-29 math.CO
Free choosability of the cycle
一个图$G$是自由$(a,b)$ -可选择的，如果对于任何一个指定了$b$颜色的顶点$v$，以及对于与每个顶点$u\ne v$相关联的任何一个大小为$a$的颜色列表，可以通过为$u$选择一个$b$颜色子集，使得邻顶点用不相交的颜色集着色来完成着色.本文给出了一个圈是自由$(a,b)$ -可选择的充要条件。作为推论，得到了圈由树结构连接的图的可选性结果。
2014-03-10 math.CO
Choosability with union separation
列表着色通过要求顶点的颜色从特定于该顶点的颜色列表中选择来推广图着色。列表着色的一个改进，称为带分离的可选性，要求相邻列表的交集足够小。我们引入了一个新的改进，称为可选性与工会分离，我们需要的工会相邻列表是足够大的。对于$t \geq k$，$(k,t)$ -列表分配是列表分配$L$，其中$|L(v)| \geq k$用于所有顶点$v$，而$|L(u)\cup L(v)| \geq t$用于所有边$uv$。一个图是$(k,t)$ -可选的，如果对每个$(k,t)$ -列表赋值都有一个合适的着色.我们探索这个概念，通过图形的例子，不是$(k,t)$ -可选的，展示稀疏性条件，意味着一个图是$(k,t)$ -可选的，并证明所有可平面图是$(3,11)$ -可选和$(4,9)$ -可选。
2015-12-24 math.CO
Thomassen's Choosability Argument Revisited
Lassen（1994）证明了每个可平面图都是5-可选图。Krekovski（1998）和He et al.（2008）推广了这个结果，证明了每个无$K_5$ -minor-free图是5-choosable的。这两个证明都依赖于Wagner（1937）对$K_5$ -无子图的刻画。本文在不使用Wagner结构定理或甚至不使用平面嵌入的情况下证明了同样的结果。鉴于没有$K_6$ -子图的结构定理，我们认为，这个证明提出了一种可能的方法攻击Hadwiger猜想。
2010-10-01 cs.DM math.CO
DP-3-coloring of some planar graphs
本文用统一的方法证明了几类可平面图是DP- $3$ -可着色图，推广了$3$ -可选图的相应结果.
2018-09-19 math.CO
Proper conflict-free choosability of planar graphs
本文证明了特定平面图类的适当无冲突可选性，包括最小圈长至少12的平面图和外1-平面图，且证明了这些图类的适当无冲突6-可选性。
2025-12-28 cs.DM math.CO
Proportional Choosability of Complete Bipartite Graphs
比例可选性是2019年引入的公平着色的列表模拟。图$G$可按比例$k$ -选择的最小$k$是$G$的比例选择数，记为$χ_{pc}(G)$。在有史以来第一篇关于比例选择性的论文中，证明了当$2 \leq n \leq m$，$ \max\{ n + 1, 1 + \lceil m / 2 \rceil\} \leq χ_{pc}(K_{n,m}) \leq n + m - 1$。在本文中，我们改进了这个结果，证明了$ \max\{ n + 1, \lceil n / 2 \rceil + \lceil m / 2 \rceil\} \leq χ_{pc}(K_{n,m}) \leq n + m -1- \lfloor m/3 \rfloor$。在这个过程中，我们证明了完全多部图的比例选择数的一些新的下界。我们还提出了几个有趣的开放式问题。
2020-05-26 math.CO
The polynomial method for 3-path extendability of list colourings of planar graphs
本文用图多项式重述Thomassen的3-可扩展性定理，导出其Alon-Tarsi等价形式，扩展了平面5-可选性定理。
2023-11-22 math.CO
Complexity of Near-3-Choosability Problem
本文放宽平面性条件，证明了无三角形、4-可着色且直径为3图的近3-可选性判定问题的NP-完全性，并研究了最小近3-可选性和最小2-可选删除两个优化问题的计算复杂性。
2023-05-19 math.CO
Correspondence coloring and its application to list-coloring planar graphs without cycles of lengths 4 to 8
我们介绍了一个新的变种图着色称为对应着色，推广列表着色，并允许减少以前只可能为普通着色。利用这个工具，我们证明了排除长度为4到8的圈足以保证可平面图的3-可选性，从而回答了Borodin的一个问题。
2016-10-08 math.CO
Proper conflict-free choosability of sparse graphs with girth at least seven
School of Mathematics and Statistics, Shandong University（山东大学数学与统计学院）
本文证明围长至少7且最大平均度小于8/3的图可正常无冲突（度+2）选择着色，并改进平面图围长界至8。
2026-09-29 math.CO
A Simple Characterization of Proportionally 2-choosable Graphs
我们最近介绍了比例可选性，一个新的列表模拟公平着色。像是一种颜色，不像是一种颜色。公平的可选择性），比例的可选择性从上到下都限制了颜色类的大小。本文证明了一个图是比例2-可选的当且仅当它是一个线性森林，使得它的最大分支至多有5个顶点，并且它的所有其他分支都有两个或更少的顶点。我们还构造的例子表明，公平的2-可选图的特征仍然是开放的。
2018-06-29 math.CO
Total weight choosability of d-degenerate graphs
一个图$G$是$(k,k')$ -可选择的，如果以下成立：对于任何列表分配$L$，它分配给每个顶点$v$一个$k$实数的集合$L(v)$，并分配给每个边$e$一个$k'$实数的集合$L(e)$，有一个总加权$ϕ: V(G) \cup E(G) \to R$，使得$ϕ(z) \in L(z)$对于$z \in V \cup E$，和$\sum_{e \in E(u)}ϕ(e)+ϕ(u) \ne \sum_{e \in E(v)}ϕ(e)+ϕ(v)$对于每个边$uv$ .本文证明了以下结果：（1）如果$G$是连通的$d$ -退化图，且$k>d$是素数，且$G$是非二部图或具有两个与$d(u)+d(v) < k$不相邻的顶点$u,v$，则$G$是$(1,k)$ -可选择的。因此，每个没有孤立边的平面图都是$(1,7)$ -可选的，而除$K_2$之外的所有连通$2$ -退化非二部图都是$(1,3)$ -可选的. (2)如果$d+1$是素数，$v_1, v_2, \ldots, v_n$是$G$的顶点的排序，使得每个顶点$v_i$都有回度$d^-(v_i) \le d$，则存在通过将至多$d-d^-(v_i)$叶邻居添加到$v_i$（对于每个$i$）而从$G$获得的图$G'$，并且$G'$是$(1,2)$ -可选的. (3)如果$G$是$d$ -退化的，而$d+1$是素数，则$G$是$(d,…
2015-10-03 math.CO
Linear Choosability of Sparse Graphs
研究了稀疏图的线性列表色数，记作$\lcl(G)$.图$G$的最大平均度，记为$\mad(G)$，是$G$的所有子图的平均度的最大值。显然，任何具有最大度$Δ(G)$的图$G$都满足$\lcl(G)\ge \ceil{Δ(G)/2}+1$。本文证明了如下结果：（1）若$\mad(G)<12/5$和$Δ(G)\ge 3$，则$\lcl(G)=\ceil{Δ(G)/2}+1$，并给出了无穷多个例子来证明这个结果是最好的可能的;（2）若$\mad(G)<3$和$Δ(G)\ge 9$，则$\lcl(G)\le\ceil{Δ(G)/2}+2$，并给出了无穷多个例子来证明$\mad(G)$上的界一般不能增加;（3）如果$G$是平面的并且周长至少为5，则$\lcl(G)\le\ceil{Δ(G)/2}+4$。
2010-07-09 math.CO
Schnyder woods and Alon-Tarsi number of planar graphs
在1994年，Schlassen发表了一个著名的证明，证明了一个可平面图的可选性至多为5。Zhu在2019年推广了这一结果，证明了可平面图的Alon-Tarsi数也有相同的界。我们提出了另一种证明这一事实，来自结果分解的可平面图到树称为施奈德树林。事实证明，Kassen的技术和我们基于Schnyder woods的证明有很多共同之处。我们讨论和解释的突出作用，逆时针3-方向发挥在这两种方法的基础上证明。
2023-03-05 math.CO
Hyperbolicity Theorems for Correspondence Colouring
我们将列表着色结果的框架推广到对应着色。对应着色是列表着色的推广，其中我们将每个顶点可用的颜色的含义本地化。正如Dvotelák和Postle所指出的，关于围长至少为5的可平面图的5-可选择性和可平面图的3-可选择性的两个定理都可以推广到对应着色设置上。在本文中，我们表明，家庭的图是关键的5-对应着色以及家庭的图围长至少为5，是关键的3-对应着色形成双曲族。列表着色的类似结果分别由波斯特尔和托马斯以及德沃夏克和川原林展示。使用结果的双曲族由于波斯特尔和托马斯，我们进一步表明，这意味着局部可平面图是5-对应colloidum;和，使用结果的Dvotelák和Kawarabayashi，存在线性时间算法的可判定性的5-对应着色嵌入图。对于围长至少为5的3-对应着色图，我们给出了类似的结果。
2023-03-29 math.CO
Degree-truncated choosability of graphs
本文否定回答了Richter关于3-连通非完全平面图是否度截断6-可选的猜想，并证明此类图及更一般的真子式封闭图族中的s-连通图在满足特定条件下具有度截断DP-k-可选性。
2025-07-14 math.CO
Degree-choosability of proper conflict-free list coloring of sparse graphs
Faculty of Science and Technology, Keio University（庆应义塾大学理工学部）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学与物理学院）；Faculty of Information Studies, Novo Mesto（新梅斯托信息学院）；Rudolfovo - Science and Technology Centre Novo Mesto（鲁多尔福沃-新梅斯托科学与技术中心）；School of Mathematical and Science, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数理学院）
本文研究了稀疏图的正冲突自由列表着色问题，证明了最大平均度受限的图在特定度数加常数条件下具有正冲突自由可选择性。
2026-01-22 math.CO
Remarks on proper conflict-free degree-choosability of graphs with prescribed degeneracy
本文研究图的适当无冲突度可选性，证明d-退化图是适当无冲突(degree+d+1)-可选的，并进一步证明每棵树都是适当无冲突(degree+1)-可选的，从而减少所需颜色数。
2025-09-19 math.CO
DP-3-coloring of planar graphs without $4,9$-cycles and two cycles from $\{5,6,7,8\}$
列表着色的一个推广，现在称为DP着色，最近由Dvopelák和Postle引入。本质上，DP着色在邻顶点的颜色列表之间分配任意匹配，而不是像列表着色那样仅匹配相同的颜色。关于可平面图列表染色的一些结果已经被推广到DP染色的情形。我们注意到列表着色结果并不总是扩展到DP着色结果。本文的主要结果是证明了每个不含长为$\{4, a, b, 9\}$ for $a, b \in \{6, 7, 8\}$的圈的平面图都是DP-$3$-可着色的，推广了关于可平面图的$3$ -可选性的三个已有结果.
2018-09-20 math.CO
List precoloring extension in planar graphs
一个著名的结果是，不仅每个可平面图都可以用五种颜色适当地着色，而且无论如何将五种颜色的任意调色板分配给顶点，都可以为每个顶点从相应的调色板中选择一种颜色，从而得到的着色是适当的。这个结果被称为可平面图的5-可选性。艾伯森问是否可以通过预着色一些顶点是在一个足够大的距离，除了在一个图中扩展的Lassen定理。在这里，除其他外，我们回答的问题的情况下，当图不包含短周期分离precolored顶点，当有一个“宽”斯坦纳树包含所有的precolored顶点。
2011-03-21 math.CO
Kempe Equivalent List Edge-Colorings of Planar Graphs
本文研究了具有较大最大度的平面图线图的 $L$-可交换性，证明了在 $Δ(G)\ge 9$ 且为 $(Δ(G)+1)$-分配，或 $Δ(G)\ge 15$ 且为 $Δ(G)$-分配时线图均 $L$-可交换。
2022-09-12 math.CO
Weak diameter choosability of graphs with an excluded minor
本文扩展了Dvořák和Norin的结果，证明了对于任意图H，H-无子式图具有有界弱直径的最优3-可选性，并在H为平面图时证明了更强的预着色扩展结果及指数级着色存在性，同时指出该列表着色结果无法扩展至奇无子式图。
2025-04-12 math.CO
Every signed planar graph is $5$-choosable: A short proof and refinements
1 D\'epartement d'Informatique et Technologies \'Educatives, \'Ecole Normale Sup\'erieure, Laboratoire d'Informatique et Technologies \'Educatives (LITE), Yaound\'e, B.P.\ 47, Cameroun. 2 D\'epartement d'Informatique, Facult\'e des Sciences, Universit\'e de Yaound\'e 1, B.P.\ 812 Yaound\'e, Cameroun.
本文通过一个简短、自包含且“符号盲”的归纳证明，证明了每个符号平面图都是 $5$-可选的，并推导出对称调色板下的符号五色定理、外平面图的 $3$-可选性、平面图的 $1$-缺陷符号 $4$-可选性等结果。
2026-05-19 math.CO
Notes on planar semimodular lattices. IX. $\mathcal{C}_1$-diagrams
一个平面半模格$L$是\emph{slim}，如果$\mathbf{M}_3$不是$L$的子格.在最近的一篇论文中，G. Czédli介绍了一个非常强大的图类型苗条，平面，半模格。这篇短文证明了这种图解的存在。
2021-06-16 math.CO
A Note on Planar and Dismantlable Lattices
它表明，任何有限的，秩连接，可压缩格是字典序壳（因此科恩-麦考利）。一个等级，区间连接的格被证明是等级连接的，但等级连接的格不需要是区间连接的。一个例子，平面，秩连接格是不允许的。
2000-06-19 math.CO
A note on non-repetitive colourings of planar graphs
Alon等人引入了图的非重复着色的概念。在这里，我们解决一些问题，非重复着色的可平面图。具体来说，我们表明，任何outerplanar地图的脸可以不重复着色使用最多五种颜色。我们还给出了一些下界的颜色所需的数量的非重复着色的顶点的外平面和可平面图。
2003-07-28 math.CO
Note on robust coloring of planar graphs
本文研究平面图的稳健色数，通过构造一个满足 $χ_1(G) = 3$ 的无限平面图族，解决了 Bacsó 等人近期提出的关于稳健染色的一个问题。
2024-10-10 math.CO
A Note on Odd Colorings of 1-Planar Graphs
本文研究1-平面图的奇数着色问题，证明每个1-平面图都可进行奇数23-着色。
2022-02-28 math.CO
A note on two conjectures that strengthen the four colour theorem
关于可平面图着色的两个定理是四色定理的加强。一个是关于符号图着色的，由Máčajová、Raspaud和Škoviera提出。它断言每个带符号可平面图都是$4$ -列图。另一个问题是列表着色，由Kündgen和Ramamurthi提出，它断言如果$L$是可平面图$G$的$2$ -列表分配，则存在$G$的$L$ -着色，使得每个颜色类诱导二部图。本文证明了第一个猜想蕴涵第二个猜想。
2017-11-08 math.CO
Note on k-planar crossing numbers
图$G=(V,E)$的交叉数$cr(G)$是平面中$G$的所有图上的最小边交叉数。对于任何$k\ge 1$，$G$的$k$ -平面交叉数$cr_k(G)$定义为所有具有$\cup_{i=0}^{k-1}G_i=G$的图$G_0, G_1,\ldots, G_{k-1}$上的$cr(G_0)+cr(G_1)+\ldots+cr(G_{k-1})$的最小值。证明了对于每个$k\ge 1$，我们有$cr_k(G)\le \left(\frac{2}{k^2}-\frac1{k^3}\right)cr(G)$。如果我们将常数$\frac{2}{k^2}-\frac1{k^3}$替换为任何小于$\frac1{k^2}$的数，则该界限不保持为真。一些结果扩展到$k$ -平面交叉数的直线变体。
2016-11-17 math.CO
A note on 1-planar graphs with minimum degree 7
众所周知，1-可平面图的最小度至多为7，并且不难看出，某些1-可平面图的最小度恰好为7。本文证明了任何这样的1-可平面图至少有24个顶点，并且这是紧的。
2019-10-03 cs.DM math.CO
A note on cycles in cyclically $4$-edge-connected cubic planar graphs
School of Mathematical Sciences, Key Laboratory of Intelligent Computing and Applications (Tongji University), Ministry of Education, Tongji University（同济大学数学科学学院，智能计算与应用教育部重点实验室，同济大学）
研究通过删除两个相邻顶点得到的图H，证明当H的周长至少为k时，存在长度在k到3k/2之间的循环，并展示线图G中可避免特定顶点的循环长度。
2026-05-09 math.CO
