Note on robust coloring of planar graphs
本文研究平面图的稳健色数，通过构造一个满足 $χ_1(G) = 3$ 的无限平面图族，解决了 Bacsó 等人近期提出的关于稳健染色的一个问题。
2024-10-10 math.CO
A Note on Odd Colorings of 1-Planar Graphs
本文研究1-平面图的奇数着色问题，证明每个1-平面图都可进行奇数23-着色。
2022-02-28 math.CO
A note on two conjectures that strengthen the four colour theorem
关于可平面图着色的两个定理是四色定理的加强。一个是关于符号图着色的，由Máčajová、Raspaud和Škoviera提出。它断言每个带符号可平面图都是$4$ -列图。另一个问题是列表着色，由Kündgen和Ramamurthi提出，它断言如果$L$是可平面图$G$的$2$ -列表分配，则存在$G$的$L$ -着色，使得每个颜色类诱导二部图。本文证明了第一个猜想蕴涵第二个猜想。
2017-11-08 math.CO
Note on k-planar crossing numbers
图$G=(V,E)$的交叉数$cr(G)$是平面中$G$的所有图上的最小边交叉数。对于任何$k\ge 1$，$G$的$k$ -平面交叉数$cr_k(G)$定义为所有具有$\cup_{i=0}^{k-1}G_i=G$的图$G_0, G_1,\ldots, G_{k-1}$上的$cr(G_0)+cr(G_1)+\ldots+cr(G_{k-1})$的最小值。证明了对于每个$k\ge 1$，我们有$cr_k(G)\le \left(\frac{2}{k^2}-\frac1{k^3}\right)cr(G)$。如果我们将常数$\frac{2}{k^2}-\frac1{k^3}$替换为任何小于$\frac1{k^2}$的数，则该界限不保持为真。一些结果扩展到$k$ -平面交叉数的直线变体。
2016-11-17 math.CO
A note on 1-planar graphs with minimum degree 7
众所周知，1-可平面图的最小度至多为7，并且不难看出，某些1-可平面图的最小度恰好为7。本文证明了任何这样的1-可平面图至少有24个顶点，并且这是紧的。
2019-10-03 cs.DM math.CO
A note on cycles in cyclically $4$-edge-connected cubic planar graphs
School of Mathematical Sciences, Key Laboratory of Intelligent Computing and Applications (Tongji University), Ministry of Education, Tongji University（同济大学数学科学学院，智能计算与应用教育部重点实验室，同济大学）
研究通过删除两个相邻顶点得到的图H，证明当H的周长至少为k时，存在长度在k到3k/2之间的循环，并展示线图G中可避免特定顶点的循环长度。
2026-05-09 math.CO
A note on adaptable choosability and choosability with separation of planar graphs
设$F$是图$G$的一个边染色（可能是不正确的）;如果没有颜色同时出现在一条边和它的两个端点上，则$G$的顶点染色是\emph{adapted to} $F$。如果对于某个整数$k$，一个图$G$是这样的，给定$G$的顶点的任何列表分配$L$，对于所有$v$有$|L(v)| \ge k$，以及$G$的任何边着色$F$，$G$允许一个着色$c$适应于$F$，其中$c(v) \in L(v)$对于所有$v$，那么$G$被称为\emph{adaptably $k$-choosable}。用于图$G$的{ \em $(k,d)$ -列表分配}是这样的映射，其向每个顶点$v$分配至少$k$颜色的列表$L(v)$，使得每当$x$和$y$相邻时$|L(x) \cap L(y)| \leq d$。一个图是{ \em $(k,d)$ -choosable}，如果对于每个$(k,d)$ -列表赋值$L$，都有$G$的$L$ -染色.证明了可平面图是$(3,1)$ -可选的.通过给出平面图可自适应$3$ -选择的充分条件，我们对这一猜想进行了进一步的研究。由于$(k,1)$ -可选性是适应性$k$ -可选性的特殊情况，这意味着满足这些条件的平面图是$(3,1)$ -可选的.
2020-10-30 math.CO
A note on irreducible maps with several boundaries
本文导出了具有多个边界的d-不可约二部平面映射的生成函数的一个公式，即具有多个控制度的标记面。它扩展了一个公式，由于Collet和Fusy的情况下，任意（不一定不可约）二分平面映射，我们恢复采取d=0。作为应用，我们得到了每个允许度的面数为给定个数的d-不可约二部平面映射的个数的表达式。对于无重边（d=2）的映射、4-不可约映射和围长至少为6（d=4）的映射，给出了非常明确的表达式.我们的推导是基于一个树的解释遇到的各种生成函数。
2013-05-21 math.CO
A note on $Oct_{1}^{+}$-free graphs and $Oct_{2}^{+}$-free graphs
设$Oct_{1}^{+}$和$Oct_{2}^{+}$分别为八面体顶点3-分裂得到的平面图和非平面图.对于$Oct_{1}^{+}$，我们证明了一个4-连通图是$Oct_{1}^{+}$ -free的当且仅当它是$C_{6}^{2}$，$C_{2k+1}^{2}$ $(k \geq 2)$或它是由$C_{5}^{2}$通过重复4-分裂顶点得到的.我们还证明了一个平面图是$Oct_{1}^{+}$ -free的当且仅当它是从$\{K_{1}, K_{2} ,K_{3}\} \cup \mathscr{K} \cup \{Oct,L_{5} \}$开始重复取0-，1-，2-和而构造的，其中$\mathscr{K}$是由重复取$K_{4}$的特殊3-和而得到的图的集合.对于$Oct_{2}^{+}$，我们证明了一个4-连通图是$Oct_{2}^{+}$ -free的当且仅当它是平面的，$C_{2k+1}^{2}$ $(k \geq 2)$，$L(K_{3,3})$或它是由$C_{5}^{2}$通过重复4-分裂顶点得到的.
2021-02-02 math.CO
A note on planar partial 3-trees
它隐含地遵循的工作[Colbourn，埃尔-马拉：在两个对偶类的平面图。离散数学80（1）：21-40（1990）]，每个平面部分3-树是平面3-树的子图。这一事实已经使得能够证明一对夫妇的平面部分3-树的基础平面3-树完成的结构上的归纳的结果。我们提供了一个明确的证明这一观察，并加强它表明，可以保持输入图的平面图不变。
2012-10-30 cs.DM math.CO
A note on quasi-transitive graphs quasi-isometric to planar (Cayley) graphs
本文证明拟等距于平面图的拟传递图可升级为平面 Cayley 图，回答了 Esperet--Giocanti 和 Hamann 的开放问题。
2024-07-18 math.CO math.GT
A Note on Graphs of Dichromatic Number 2
Neumann-Lara和Škrekovski证明了每个平面有向图都是$2$ -列图。我们证明了这一猜想等价于更一般的声明，即所有定向的$K_5$ -minor-free图是$2$ -color-free图。
2019-06-30 math.CO
A short note on graphs with long Thomason's chains
我们提出了一族3-连通的三次平面哈密顿图，其步骤数为指数级，这是哈密尔顿算法所需要的。指数的底约为$1.1812...$，这超过了该区域以前的结果。
2020-06-13 math.CO
A note on Fiedler value of classes with sublinear separators
一类图$\mathcal C$的$n$阶Fiedler值是具有$n$顶点的图$G\in\mathcal C$的最大第二特征值$λ_2(G)$.在这篇文章中，我们将这个值与浅子图联系起来，作为推论，我们确定了一些小闭图类（包括可平面图类）的$n$ -th Fiedler值的正确顺序。
2012-08-17 math.CO
A note on the edge choosability of $K_{5}$-minor free graphs
对于可平面图$G$，Borodin指出$G$是$(Δ+1)$ -edge-choosable的，如果$Δ\geq9$，后来Bonamy证明$G$是$9$ -edge-choosable的，如果$Δ=8$。同时，Borodin等人证明了如果$Δ\geq12$，则$G$是$Δ$ -边可选择的。本文将这些结果推广到$K_5$ -子自由图。
2022-08-24 math.CO
Sequentially embeddable graphs
如果图$G$的顶点位于$\mathbb Z^2$中，并且邻顶点之间的线段不包含内部整数点，则称图$G$在平面\emph{sequential}中的嵌入（不一定是平面的）。本文证明了：（i）图$G$有序列嵌入当且仅当$G$是4-可着色的;（ii）如果$G$是平面图，则$G$有序列平面嵌入.
2018-12-07 math.CO
A Note On Universal Point Sets for Planar Graphs
我们调查的平点集允许同时直线嵌入的所有可平面图上的一个固定数量的顶点。我们首先证明了需要$(1.293-o(1))n$点来找到每个$n$ -顶点可平面图的直线图（顶点被绘制为给定的点）;这改进了Kurowski（2004）以前的最佳常数$1.235$。我们的第二个主要结果是基于穷尽的计算机搜索：我们证明了不存在一个11点的集合，在这个集合上所有的平面11-顶点图可以同时画出平面直线。这加强了Cardinal，Hoffmann和Kusters（2015）的结果，即$n \le 10$顶点上的所有可平面图可以同时绘制在$n$点的特定“通用”集合上，而$n \ge 15$没有通用集合。此外，我们提供了一组49个平面11-顶点图，不能同时绘制在任何一组11个点。事实上，这是迈向（否定）回答问题的又一步，即每两个可平面图是否可以同时绘制--这是Brass、Cenek、Duncan、Efrat、Erten、Ismailescu、Kobourov、Lubiw和Mitchell（2007）提出的问题。
2019-09-25 cs.CG math.CO
A note on nearly Platonic graphs with connectivity one
一个k-正则可平面图G当除一个面外其余面度数相同而其余面度数不同时称为近柏拉图图.我们表明，没有这样的图的连通性可以存在。这补充了Keith，Froncek和Kreher最近关于2-连通近柏拉图图不存在的结果。
2020-06-11 math.CO
A note on the structure of locally finite planar quasi-transitive graphs
本研究基于Hamann的工作，证明了3-连通局部有限平面拟传递图的典范树分解结构定理，给出了Hamann等人2022年相关结果的新证明，是拟传递平面图的Droms型结构定理。
2025-07-30 cs.DM math.CO
Notes on Reeb graphs of real algebraic functions which may not be planar
本文研究无法实现为平面图的 Reeb 图，探讨从这类有限图构造实代数函数及相应流形的问题，拓展了 Sharko 提出的重构研究。
2023-08-09 math.AG math.CO
Planar maps, random walks and circle packing
这些是2018年7月第48届圣面粉暑期学校的讲义，主题是平面地图，随机游动和圆填充定理。
2019-01-01 math.CO math.PR
The maximum number of 10- and 12-cycles in a planar graph
对于一个固定的可平面图$H$，令$\operatorname{\mathbf{N}}_{\mathcal{P}}(n,H)$表示$H$在一个$n$ -顶点可平面图中的最大拷贝数.在$H$是循环的情况下，对于$m\in\{3,4,5,6,8\}$，$\operatorname{\mathbf{N}}_{\mathcal{P}}(n,C_m)$的渐近值目前是已知的。在本说明中，我们通过建立$\operatorname{\mathbf{N}}_{\mathcal{P}}(n,C_{10})\sim(n/5)^5$和$\operatorname{\mathbf{N}}_{\mathcal{P}}(n,C_{12})\sim(n/6)^6$来扩展该列表。我们证明了这一点，回答以下问题为$m\in\{5,6\}$，这是有趣的，在其本身的权利：其中概率质量$μ$的边缘上的一些集团最大化的概率，$m$独立样本从$μ$形成一个$m$ -循环？
2021-06-05 math.CO
Note on Min-k-Planar Drawings of Graphs
本文研究图的 min-k-平面绘制中一般绘制与简单绘制的差异，证明存在具有 min-2-平面绘制或避免相邻边交叉的 min-3-平面绘制的图，但对任意大的固定 k 均不存在简单 min-k-平面绘制。
2024-09-30 cs.DM math.CO
A correction of a characterization of planar partial cubes
本文确定了一组展开式，使得一个部分立方体是平面的当且仅当它是由一系列这样的展开式从一个顶点产生的。这纠正了Peterin的一个结果。
2017-01-07 cs.DM math.CO
Region crossing change on planar trivalent graphs
本文以平面三价图为对象，考察区域穿越变换所产生的作用。
2022-09-30 math.CO math.GT
Atom-generated planar lattices
本文讨论由原子生成的平面晶格。证明了若$L$是由$n$原子生成的平面晶格，则$L$的左右边界至多有$n+1$元.另一方面，$L$可以任意大。对于每个$k > 1$，我们构造了一个由$4$原子生成的平面晶格$L$，使得$L$具有多于$k$的元素.
2021-04-28 math.CO math.RA
A note on the unit distance problem for planar configurations with Q-independent direction set
令$T(n)$表示在欧几里得平面$\mathbb{R}^2$中的一组$n$点可以确定的单位距离的最大数目，其中附加条件是由配置确定的不同单位长度方向必须是$\mathbb{Q}$独立的。这与鄂尔多斯单位距离问题有关，但在方向集上有一个简化的附加假设，该假设“一般地”成立。我们证明了$T(n+1)-T(n)$是$n$的汉明重量，即，$n$的二进制展开式中非零二进制系数的数目，并明确地找到$T(n)$的公式。特别地，$T(n)$是$Θ(n log(n))$。此外，我们描述了一个过程，以构建一个集的$n$点在平面上与$\mathbb{Q}$ -独立的单位长度方向集，精确地达到$T(n)$单位距离。在这样做的过程中，我们表明$T(n)$也是相同的最大数量的边缘的顶点的子集的大小$n$确定的可数无限格$\mathbb{Z}^{\infty}$或无限超立方体图$\{0,1\}^{\infty}$。确定T（n）的问题可以看作是一类填充问题或等周问题。
2014-06-25 math.CO math.MG
The Laplacian on planar graphs and graphs on surfaces
这些是2011年11月在哈佛举行的数学会议的讲义。我们讨论的拓扑，概率和组合方面的拉普拉斯算子上的一个图嵌入在一个表面上。主要讨论三个问题：（1）对于“圆形”平面网络，Colin de Verdière对Dirichlet-to-Neumann算子的刻画;（2）与随机生成树模型的联系;（3）环形和环面上拉普拉斯算子的特征多项式。
2012-03-06 math.CO math.PR
Planar kinematic invariants, matroid subdivisions and generalized Feynman diagrams
在Cachazo，Guevara，Mizera和作者最近的工作中，将双伴随散射振幅$m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$推广为$\mathbb{CP}^{k-1}$中$n$点的模空间上的积分，其值为运动空间$\mathcal{K}_{k,n}$上某些有理函数的和.在那里，$m^{(3)}(\mathbb{I}_6,\mathbb{I}_6)$和后来的Cachazo和Rojas证明了，当出现在$m^{(3)}(\mathbb{I}_7,\mathbb{I}_7)$中的极点集合与产生称为（非负）热带格拉斯曼多面体的最大面的射线集合对偶时，它们是完全相容的。本文导出了广义运动学不变量空间的一个显著的平面基，它在$k=2$情形下与运动学空间的通常标准平面多质点基是一致的.我们在Mathematica中实现的行动正式的线性组合的平面拟阵细分的边界算子，连同平面的基础上，确定相容性的任何给定的极点出现在扩展的$m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$，通过计算一定的组合非交叉条件的第二超单纯面$Δ_{2,n-(k-2)}$的$Δ_{k,n}$。该算法是在一个附带的Mathematica笔记本电脑和评估现有的表格的射线，在热带Plucker向量的形式，制表的最好的平面细分的$Δ_{3,8},Δ_{3,9}$和$ Δ_{4,8}$，或…
2020-01-02 hep-th math.CO
Note on the treewidth of graphs excluding a disjoint union of cycles as a minor
Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文研究了不包含离散环联合作为小世界的图的树宽界限，证明了其与图顶点数和环数的关系，并得出最优结果。
2026-02-05 cs.DM math.CO
Planar binary trees in scattering amplitudes
这些笔记是我在2017年6月的CARMA研讨会上发表的演讲的书面版本，还有一些额外的材料。我提出了一些概念，最近已被用于计算树级散射振幅（主要使用纯旋量方法，但不限于它）的上下文中可能感兴趣的组合学社区。特别是，我专注于{ \it平面二叉树}在散射振幅的外观，并提出了一些好奇的身份服从相关的对象，其中一些是已知的是真实的，只有通过明确的例子。
2020-11-29 hep-th math.CO
$k$-quasi planar graphs
一个拓扑图是\emph{$k$-quasi-planar}，如果它不包含$k$成对交叉边。一个拓扑图是\emph{simple}，如果它的每对边相交最多一次（在一个顶点或在它们的交点）。1996年，Pach，Shahrokhi，and Szegedy证明了每个$n$ -顶点简单$k$ -拟平面图至多包含$O(n(\log n)^{2k-4})$边.最近Fox和Pach \cite{fox}将该上限（对于大$k$）改进为$n(\log n)^{O(\log k)}$。本文证明了所有这类图至多包含$(n\log^2n)2^{α^{c_k}(n)}$边，其中$α(n)$表示逆阿克曼函数，$c_k$是一个只依赖于$k$的常数.
2011-06-06 cs.CG math.CO
Conformal invariance of lattice models
这些课堂讲稿提供了一个（几乎）自足的帐户共形不变的平面临界伊辛和FK伊辛模型。他们提出了离散全纯函数理论及其在平面统计物理学中的应用（更确切地说是在费米观测量的收敛中）。收敛到SLE的简要讨论。其中包括许多开放性问题。
2012-06-21 math-ph math.CO math.MP
