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$k$ -拟可平面图

$k$-quasi planar graphs

Andrew Suk

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摘要：

一个拓扑图是\emph{$k$-quasi-planar}，如果它不包含$k$成对交叉边。一个拓扑图是\emph{simple}，如果它的每对边相交最多一次（在一个顶点或在它们的交点）。1996年，Pach，Shahrokhi，and Szegedy证明了每个$n$ -顶点简单$k$ -拟平面图至多包含$O(n(\log n)^{2k-4})$边.最近Fox和Pach \cite{fox}将该上限（对于大$k$）改进为$n(\log n)^{O(\log k)}$。本文证明了所有这类图至多包含$(n\log^2n)2^{α^{c_k}(n)}$边，其中$α(n)$表示逆阿克曼函数，$c_k$是一个只依赖于$k$的常数.

英文摘要：

A topological graph is \emph{$k$-quasi-planar} if it does not contain $k$ pairwise crossing edges. A topological graph is \emph{simple} if every pair of its edges intersect at most once (either at a vertex or at their intersection). In 1996, Pach, Shahrokhi, and Szegedy \cite{pach} showed that every $n$-vertex simple $k$-quasi-planar graph contains at most $O(n(\log n)^{2k-4})$ edges. This upper bound was recently improved (for large $k$) by Fox and Pach \cite{fox} to $n(\log n)^{O(\log k)}$. In this note, we show that all such graphs contain at most $(n\log^2n)2^{α^{c_k}(n)}$ edges, where $α(n)$ denotes the inverse Ackermann function and $c_k$ is a constant that depends only on $k$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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