Planar Turán number for balanced double stars
本文确定了平衡双星中最后一个未解图 $S_{3,3}$ 的平面 Turán 数精确值，从而完全解决了所有平衡双星的平面 Turán 数问题。
2024-06-09 math.CO
Planar Turán Number of intersecting triangles
给定图$H$的平面图兰数，记为$ex_{\mathcal{P}}(n,H)$，是在所有可平面图上不包含$H$的副本作为子图的$n$顶点上的边的最大数目。设$H_k$是一个友谊图，它是由$k$三角形通过共享一个公共顶点而得到的。本文得到了PDMATHAMR和$ex_{\mathcal{P}}(n,K_1+P_{k+1})$对$k\ge2$的精确界，改进了Lan和Shi在Electron.J.Combin. 26（2）（2019），\#P2.11。
2020-07-22 math.CO
The Planar Turán Number of $Θ_6$-graphs
本文确定了两类带对角线的6圈图$Θ_6$的平面Turán数，并通过无穷多个极值构造证明了结果的精确性，仅一种情形存在小的加法常数误差。
2024-06-28 math.CO
The planar Turán number of double star $S_{2,4}$
本文研究双星 $S_{2,4}$ 的平面 Turán 数，证明其上界为 $\frac{31}{14}n$，且该界对无穷多个 $n$ 可达到。
2024-09-02 math.CO
Planar Turán Numbers of Cycles: A Counterexample
平面Turan数$\textrm{ex}_{\mathcal{P}}(C_{\ell},n)$是没有$\ell$ -圈的$n$ -顶点可平面图中的最大边数.对于$\ell\in \{3,4,5,6\}$，已知$\textrm{ex}_{\mathcal{P}}(C_{\ell},n)$的上界无限频繁地保持相等。Ghosh，Györi，Martin，Paulo，and Xiao [arxiv：2004.14094]证明了对于每个足够大的$\ell\ge 7$和$n$，$\textrm{ex}_{\mathcal{P}}(C_{\ell},n)$的上界。我们对每个$\ell\ge 11$都证明了这一猜想是错误的。我们还提出了两个修正版本的猜想。
2021-10-05 math.CO
The planar Turán number of $\{K_4,Θ_5\}$
本文研究禁用$K_4$和$\Theta_5$的平面图最大边数，证明其上界为$25/11(n-2)$，并通过构造说明该界对无穷多个图紧。
2024-04-08 math.CO
On the rainbow planar Turán number of paths
一个边有色图称为包含彩虹- $F$，如果它包含$F$作为子图，并且$F$的每条边都是不同的颜色。不含彩虹- $F$的$n$ -顶点适当边有色图的最大边问题，称为彩虹图兰问题，是由Keevash，Mubayi，Sudakov和Verstraëte提出的.我们研究这个问题的一个变化的额外限制，图是平面的，我们表示相应的极值数由$\ex_{\p}^*(n,F)$。特别地，我们确定$\ex_{\p}^*(n,P_5)$，其中$P_5$表示$5$ -顶点路径。
2023-01-25 math.CO
Planar Turán number of the 7-cycle
本文研究7-圈的平面Turán数，证明对所有n>38有上界18n/7-48/7，并指出无穷多个n达到该界。
2023-06-23 math.CO
Planar Turán numbers of cubic graphs and disjoint union of cycles
图$H$的平面图兰数，记为$ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$，是不包含$H$作为子图的平面图中$n$顶点上的最大边数。这个概念是由Dowden在2016年提出的，从那时起引起了相当多的关注;这些工作主要集中在当$H$是循环或Theta图或$H$的最大度至少为4时寻找$ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$。本文研究了当$H$是三次图或不交圈并或$H=K_{s, t}$时的$ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$.
2022-02-23 math.CO
Planar Turán number of the 6-cycle
设${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,T,H)$表示不含$H$作为子图的$n$ -顶点平面图中$T$的最大拷贝数.当$T=K_2$，${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,T,H)$是研究得很好的函数时，$H$的平面图兰数，记为${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$。极值平面图的主题由Dowden（2016）发起。他得到了${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_4)$和${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_5)$的精确上界。后来，Y。Lan等人继续这一主题，并证明了${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_6)\leq \frac{18(n-2)}{7}$。本文对所有的$n\geq 18$，给出了一个精确的上界${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_6) \leq \frac{5}{2}n-7$，改进了Lan的结果.我们还对${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_k)$提出了一个猜想，即对于$k\geq 7$ .
2020-04-29 math.CO
The planar Turan number of double star S_(3,5)
本文确定了双星 S_(3,5) 的平面 Turan 数上界为 exp(n, S_(3,5)) <= 23n/8 - 9/2（对所有 n >= 2 成立），并证明该上界在 n = 12 时是紧的。
2025-06-29 math.CO
Rainbow planar Tur{á}n numbers of cycles
本文研究平面图中圈的彩虹 Turán 数，确定了 $C_4$ 在特定顶点数下的精确值，并证明对所有 $k\ge 5$ 和 $n\ge 3$，$C_k$ 的彩虹平面 Turán 数均为 $3n-6$。
2025-11-06 math.CO
Planar Turán number of disjoint union of $C_3$ and $C_5$
本文研究平面图中禁止 $C_3$ 与 $C_5$ 不交并时的最大边数问题，确定了平面 Turán 数 $ex_{\mathcal{P}}(n,C_3\cup C_5)=\lfloor\frac{8n-13}{3}\rfloor$，并在 $n$ 充分大时刻画了极图结构。
2025-07-22 math.CO
Planar Turán Number of Double Stars
给定一个图$F$，$F$的平面图兰数，记为$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n, F)$，是无$F$-顶点平面图中的最大边数.这样的极值图问题是由Dowden在确定$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,C_4)$和$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,C_5)$的尖锐上界时提出的，其中$C_4$和$C_5$分别是长度为4和5的圈。本文确定了$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,S_{2,2})$，$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,S_{2,3})$，$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,S_{2,4})$，$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,S_{2,5})$，$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,S_{3,3})$和$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,S_{3,4})$的一个上界，其中$S_{m,n}$是具有$m$和$n$叶的双星.此外，$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,S_{2,2})$和$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,S_{2,3})$的边界是尖锐的。
2022-02-18 math.CO
An improved lower bound for the planar Turán number of cycles
图$H$的平面Turán数，记为$ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$，是不包含$H$作为子图的平面图中$n $顶点上的最大边数。在本文中，我们继续研究由Dowden [J. Graph Theory 83（2016）213--230]发起的“极值”平面图的主题。我们首先获得了所有$k\ge 13$和$n\ge 5(k-6+\lfloor{(k-1)}/2\rfloor)(k-1)/2$的$ex_{_\mathcal{P}}(n,C_k)$的改进的下界;每个$k$和$n$的构造为Ghosh，Gyadri，Martin，Paulos和Xiao [arxiv：2004.14094v1]的猜想提供了一个更简单的反例，该猜想最近被Cranston，Lidickeland，Liu和Shantanam [Electron. J. Combin. 29（3）（2022）\#P3.31]对于每个足够大的$k\ge 11$和$n$（作为$k$的函数）。然后，我们证明了$ex_{_\mathcal{P}}(n,H^+)=ex_{_\mathcal{P}}(n,H)$的所有$k\ge 5$和$n\ge |H|+1$，其中$H\in\{C_k, 2C_k\}$和$H^+$是从$H$通过添加一个悬垂边的度为2的顶点。
2022-09-03 math.CO
The planar Turán number of $\{K_{4},Θ_{6}^{i}\}$
School of Mathematics and Statistics, Shandong Normal University（山东师范大学数学与统计学院）；School of Science, Hebei University of Technology（河北工业大学理学院）
本文确定了不含$K_4$和$\Theta_6^1$的平面图的最大边数，并给出了不含$K_4$和$\Theta_6^2$的平面图边数的紧上界。
2026-06-12 math.CO
An improved upper bound for planar Turán number of double star $S_{2,5}$
本文研究双星 $S_{2,5}$ 的平面 Turán 数，通过改进已有方法，对所有 $n\geq 1$ 证明了更优的尖锐上界 $\frac{19}{7}n-\frac{18}{7}$，并在 $n=12$ 时达到等号，从而改进了 Ghosh 等人的结果。
2024-04-17 math.CO
Generalized planar Turán numbers related to short cycles
该研究聚焦短环情形下的广义平面图Turán数，求出了大n时4≤l≤6的ex_𝒫(n,C_l,C₃)精确值与对应极值图，并得到了反向问题ex_𝒫(n,C₃,C_l)的紧上界。
2024-05-13 math.CO
The planar Turán number of the seven-cycle
本文研究不含七圈 $C_7$ 的平面图的最大边数，证明精确上界 $ex_\mathcal{P}(n,C_7)\leq 18n/7-48/7$，验证了 Ghosh 等人的猜想，并表明该界对同时不含 $K_4$ 与 $C_7$ 的情形也精确。
2023-08-17 math.CO
Planar Turán numbers of three configurations
本文研究了图$K_1+L$的平面Turán数，推导出由$C_3$和$Θ_4$组合而成的剩余三种构型的紧确界，并完全刻画了其中两种情况的所有极图。
2025-09-13 math.CO
Competitively Constructed Planar Graphs
该研究提出两类构造平面图的类造者-破者博弈（边绘制博弈、圆填充博弈），给出平面图可被构造的必要条件，并证明两类博弈存在差异。
2025-10-01 math.CO
Sharp planar Turán bounds for quasi-double stars
Guangzhou University（广州大学）；Louisiana Christian University（路易斯安那基督教大学）
本研究确定拟双星图 $W_{2,4}$、$W_{2,5}$ 和 $W_{3,4}$ 的平面Turán数，给出尖锐边界及精确极值数，填补了已有结果的间隙。
2026-10-06 math.CO
A new construction for planar Turán number of cycle
本文针对环的平面Turán数，证明了对于每个k，${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_k)\ge 3n-6-\frac{6\cdot 3^{\lg_23}n}{k^{\lg_23}}$，从而表明Cranston等人的猜想本质上是最优的。
2023-10-11 math.CO
The planar Turán number of $\{K_4,C_5\}$ and $\{K_4,C_6\}$
本文研究同时禁用 $K_4$ 与 $C_5$ 或 $C_6$ 的平面图极值边数，给出两个平面 Turán 数的线性上界，并通过构造证明其对无穷多个图紧。
2023-08-17 math.CO
Improving the Crossing Lemma by Characterizing Dense 2-Planar and 3-Planar Graphs
本文通过刻画并禁止最大密度2-平面图和3-平面图中的特定局部构型来减少其边数，从而改进图的交叉数下界，并将交叉引理中的常数从1/29提升至1/27.48。
2024-09-05 cs.DM math.CO
Planar Turán Number of the $Θ_6$
本研究改进了$\Theta_6$的平面Turán数上界，将其从$\frac{18}{7}n-\frac{36}{7}$优化为$\frac{18}{7}n-\frac{48}{7}$，并证明存在无穷多$n$使得该界可达。
2023-08-25 math.CO
Planar anti-Ramsey numbers for paths and cycles
受Erdés，Simonovits和Sós在1975年引入的反Ramsey数的启发，本文研究了主图为平面三角剖分时的反Ramsey问题.给定一个正整数$n$和一个平面图$H$，设$\mathcal{T}_n(H)$是$n$顶点上的所有平面三角剖分$T$的族，使得$T$包含一个与$H$同构的子图. $H$的平面反拉姆齐数，记为$ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$，是平面三角剖分$T\in \mathcal{T}_n(H)$的边着色中的最大颜色数，使得$T$不包含$H$的彩虹副本。类似于反Ramsey数和Turán数，平面反Ramsey数与平面Turán数密切相关，其中$H$的平面Turán数是不包含$H$作为子图的平面图在$n$顶点上的最大边数。$ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$（以彩虹数的名义）的研究由Hortencies ák，Jendrol $'$，Schiermeyer和Soták发起[J Graph Theory 78（2015）248- 257]。本文研究了路和圈的平面反Ramsey数。我们首先建立下限为$ar_{_\mathcal{P}}(n, P_k)$时$n\ge k\ge8$。当$k\geq 5$和$n\geq k^2-k$时，我们改进了现有的$ar_{_\mathcal{P}}(n, C_k)$的下界。最后，利用上述论文中的主要思想…
2017-12-06 math.CO
An improved upper bound for the planar Turán number of $C_8$
School of Mathematics and Statistics, Xidian University（西安电子科技大学数学与统计学院）；School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Data Science Institute, Shandong University（山东大学数据科学研究院）
研究无\(C_8\)的\(n\)顶点简单平面图边数上界，通过证明得到改进后的上界公式，为该领域研究提供了更优结果。
2026-07-20 cs.DM math.CO
Diverse beam search to find densest-known planar unit distance graphs
针对Paul Erdős提出的单位距离图最大边数未解问题，提出带访问度量的多样化束搜索算法，可一键获取已知最稠密UDG，复现15<n≤30的已发表结果并验证更大规模下的增长趋势，提供代码与超6000万UDG数据库。
2025-06-13 cs.DM math.CO math.MG
The spectral radius of $1$-planar graphs without complete subgraphs
本文研究了1-平面图的谱极值问题，确定了不含K3或K4的1-平面图的唯一谱极值图，并将不含K5的1-平面图的候选图限制在特定小家族中。
2025-12-15 math.CO
Hypergraphs with vanishing Turán density in uniformly dense hypergraphs
P. Erdés [论极值问题的图和广义图，以色列数学杂志2（1964年），183-190]的特点，这些超图$F$，必须出现在任何足够大的超图$H$的正密度。本文研究了$3$ -一致超图的相关问题，并在此基础上假设$H$关于顶点集是一致稠密的.特别是，我们将这些超图$F$，保证出现在大的均匀稠密超图$H$的正密度。我们还审查的情况下，诱导子超图的$H$的密度可能取决于所考虑的顶点集的比例。
2019-01-29 math.CO
Schnyder woods and Alon-Tarsi number of planar graphs
在1994年，Schlassen发表了一个著名的证明，证明了一个可平面图的可选性至多为5。Zhu在2019年推广了这一结果，证明了可平面图的Alon-Tarsi数也有相同的界。我们提出了另一种证明这一事实，来自结果分解的可平面图到树称为施奈德树林。事实证明，Kassen的技术和我们基于Schnyder woods的证明有很多共同之处。我们讨论和解释的突出作用，逆时针3-方向发挥在这两种方法的基础上证明。
2023-03-05 math.CO
Extremal planar graphs with no cycles of particular lengths
本文估计了某些图$H$的平面Turán数$\mathrm{ex}_\mathcal{P}(n,H)$，即，不包含$H$作为子图的$n$顶点的平面图$G$中的最大边数。本文给出了当$H=C_5$是偶圈时的一个新的简短证明，并研究了$G$是二部或无三角圈以及$H$是短偶圈的情形.这些证明大多是Ghosh，Gyamri，Martin，Paulos和Xiao在arXiv：2004.14094中介绍的“贡献方法”的新应用或变体。
2022-08-30 math.CO
A first view on the density of 5-planar graphs
Universität Tübingen（蒂宾根大学）
本文研究5平面图的最大边密度，发现其结构不同于小k值的平面图，提出最大边数为7(n-2)，改进了现有界。
2026-07-31 cs.DM math.CO
Sum-Product Phenomena for Planar Hypercomplex Numbers
研究了平面超复数的和积问题：对偶数和双复数。这些数字系统类似于复数，但事实证明，它们具有非常不同的组合行为。我们确定控制这些问题的行为的参数，并推导出依赖于这些参数的和-积界。对于对偶数，我们暴露了一个范围，其中$\max\{|A+A|,|AA|\}$的最小值既不接近$|A|$也不接近$|A|^2$。为了获得我们的主要和产品界，我们扩展Elekes的和产品技术，依赖于点线的发病率。我们的扩展比原来的证明更复杂，在某种意义上，以自举的方式运行了几次原来的技术。我们还研究了点线的发病率在双平面和双平面，发展类似的Szemeredi-Trotter定理。与和积问题一样，对偶变量和二重变量的行为与复数变量和实数变量的行为不同。
2018-12-22 math.CO
Exact enumeration of 1342-avoiding permutations: A close link with labeled trees and planar maps
解决了一个经典计数问题的第一个非单调的大于3的例子，得到了所有长度为$n$的1342-避免置换的生成函数$H(x)$以及它们的个数$S_n(1342)$的{ \em exact}公式.在实现这一点的同时，我们双射证明了不可分解的1342-避免排列的长度$n$等于标记的平面树的某种类型的$n$顶点最近列举的科里，Jardine和Schaeffer，这又被称为是等于根的双三次映射的数量Tutte在1963年列举。此外，$H(x)$原来是代数的，证明了第一个非单调，长于三个例子的猜想Zeilberger和努南。我们还证明了$\sqrt[n]{S_n(1342)}$收敛于8，特别是$lim_{n\rightarrow \infty}(S_n(1342)/S_n(1234))=0$。
1997-02-11 math.CO
Planar Turán number of quasi-double stars
本文研究拟双星图 W_{h,k} 的平面 Turán 数，针对 1≤h≤2≤k≤5 的情形给出若干紧上界及部分精确值，并确定了 W_{2,4} 和 W_{2,5} 的上下界。
2025-07-16 math.CO
Rao's Theorem for forcibly planar sequences revisited
本文重新探讨了Rao关于强制平面图度序列的定理，证明恰好存在8个单图的多面体度序列，并给出构造性证明为非强制多面体序列提供非多面体实现。
2023-05-24 math.CO
The planar cubic Cayley graphs
我们得到一个完整的描述，平面三次凯莱图，提供了一个明确的介绍和嵌入他们每个人。这是一个富裕的阶级，由几个无限大的家庭组成。我们得到了Mohar，Bonnington和Watkins的证明的反例.我们的分析，使所涉及的图形计算，证实了Droms的猜想。
2011-03-02 math.CO math.GR
Concentration of maximum degree in random planar graphs
设$P(n,m)$是从顶点集$[n]:=\left\{1, \ldots, n\right\}$上所有有$m=m(n)$边的可平面图类中随机均匀选取的图.我们表明，在稀疏制度，当$m/n\leq 1$，具有高概率的最大程度的$P(n,m)$采取最多两个不同的值。相比之下，这是不正确的，在密集的制度，当$m/n>1$，其中的最大程度的$P(n,m)$不集中在任何子集的$[n]$有界大小。
2022-05-10 math.CO math.PR
Planar Point Sets Determine Many Pairwise Crossing Segments
该研究改进了平面一般位置点集两两相交线段数量的下界，从25多年前的Ω(√n)提升至n^{1-o(1)}，给出构造性证明且结果可推广到稠密几何图。
2023-04-30 cs.CG math.CO
Geometry of infinite planar maps with high degrees
研究了具有高次顶点的无限随机Boltzmann平面映射的几何性质。这些对应于Boltzmann映射的一个临界权重序列$(q_{k})_{ k \geq 0}$的多项式衰减面$k^{-a}$与$a \in ( 3/2, 5/2)$，已经研究了Le Gall & Miermont以及Borot，Bouttier & Guitter。我们证明了在$a = 2$上这些映射的几何结构存在相变。在稀相对应的$a \in (2, 5/2)$，我们证明了半径为$r$（为图的距离）的球的体积是$r^{\mathsf{d}}$与$\mathsf{d}= (a-1/2)/(a-2)$，我们提供的体积和周长过程的分布标度极限。在对应于$a \in (3/2,2)$的致密相中，半径为$r$的球的体积在$r$中是指数的。我们还研究了第一次通过渗流（FPP）的距离与指数边权重，并特别表明，在稠密相的FPP距离之间的原点和无穷大是有限的。后者还意味着稠密相中的随机晶格是瞬态的。证明依赖于arXiv：1506.01590中介绍的最近的剥离过程，并在稀相中使用arXiv：1412.5509的思想。
2017-04-14 math-ph math.CO math.MP
Picking Planar Edges; or, Drawing a Graph with a Planar Subgraph
给定一个图$G$和它的边的子集$F \subseteq E(G)$，是否存在一个$G$的图，其中$F$的所有边都没有交叉？我们表明，这个问题可以解决在多项式时间使用Hanani-Tutte风格的方法。如果我们要求$G$的绘制是直线，并且允许沿着$F$的每条边最多有一个交叉，那么这个问题就像实数的存在理论一样困难。
2013-11-26 cs.CG cs.DM math.CO
Triangulating planar graphs while keeping the pathwidth small
任何简单的平面图都可以三角化，即，我们可以向其添加边，而不添加多边，使得结果是平面的并且所有面都是三角形。本文研究了在不增加太多路宽的情况下对平面图进行三角剖分的问题。我们证明了如果一个平面图的路径宽度$k$，那么我们可以三角化它，使所得到的图的路径宽度$O(k)$（其中的因素是1，8和16 3-连通，2-连通和任意图）。利用类似的技巧，我们还证明了任何路径宽度为$k$的外平面图都可以转化为路径宽度至多为$4k+4$的最大外平面图。之前最著名的结果是$16k+15$。
2015-05-16 cs.DM math.CO
Geodesics in large planar maps and in the Brownian map
我们研究随机度量空间中的测地线，称之为布朗映射，它表现为大平面映射的标度极限。特别是，我们完全描述测地线从称为根的区别点开始，我们的特点是由一个以上的测地线连接到根的所有点的集合S。集合S在布朗映射中是稠密的，并且同胚于一个非紧实树。此外，对于S中的每个x，从x到根的不同测地线的数量等于S中{x}的补的连通分量的数量。特别地，布朗映射的点可以通过至多三条不同的测地线连接到根。我们的结果有应用程序的大地线在大平面地图的行为。
2008-05-30 math.CO math.PR
A Tight Extremal Bound on the Lovász Cactus Number in Planar Graphs
仙人掌图是一个图，其中任何两个圈是边不相交的。我们提出了一个建设性的证明的事实，任何平面图$G$包含一个仙人掌子图$C$，$C$包含至少一个$\frac{1}{6}$分数的三角形面的$G$。我们还表明，这一比例不能通过显示一个严格的下限得到改善。与线性拟阵奇偶性的算法一起，我们的界包含了计算任意图内部的“稠密平面结构”的两个近似算法：（i）对于任意图$G$，寻找具有最大三角面数的平面子图的$\frac{1}{6}$近似算法，它改进了以前的$\frac{1}{11}$ -近似算法;（ii）另一种（可以说是更有说明性的）证明$\frac{4}{9}$近似算法，用于找到具有最大边数的平面子图。我们的界限是通过分析一个自然的本地搜索策略和大量利用交换参数。因此，这表明了本地搜索在处理这类问题时的力量。
2019-03-15 cs.DM cs.DS math.CO
