Mating of trees for random planar maps and Liouville quantum gravity: a survey
我们综述了随机平面映射的配对树双射的理论和应用及其连续模拟：Duplantier，Miller和Sheffield（2014）的配对树定理。后一个定理给出了由Schramm-Loewner演化曲线修饰的Liouville量子引力（LQG）曲面用一对相关线性布朗运动进行编码的方法.我们假设对SLE和LQG理论的熟悉程度最低。树的匹配理论使人们能够把SLE和LQG的问题归结为布朗运动的问题，并使随机平面映射和LQG之间有着深刻的严格联系。本文讨论的应用包括装饰随机平面映射的各种泛函的标度极限结果，图距离的估计和上的随机游动。（不一定是均匀的）随机平面映射，与SLE相关的集合的豪斯多夫维数的计算，共形嵌入平面中的随机平面映射的缩放极限结果，以及$\sqrt{8/3}$ -LQG的特殊对称性，它们允许人们证明它与布朗映射的等价性。
2023-02-15 math-ph math.CO math.CV
Non-bijective scaling limits and phase transitions of planar maps
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
本研究证明均匀随机不可分平面图的标度极限为布朗球面，提出非双射公共核转移方法这一通用证明策略，并完善了块加权平面图极限形状的相图。
2026-08-24 math-ph math.CO math.MP
Scaling of Percolation on Infinite Planar Maps, I
我们考虑几个方面的随机平面三角剖分，有限和无限的渗流的标度极限。本文给出了Cardy极限公式在不同交叉概率标度下的随机映射的等价形式。极限概率用简单事件表示。一些显式公式的极限概率遵循这个关系，通过应用已知的结果稳定的过程。相反，随机映射的自然对称性意味着关于Airy-Levy过程的恒等式。
2005-01-01 math-ph math.MP math.PR
Planar maps, random walks and circle packing
这些是2018年7月第48届圣面粉暑期学校的讲义，主题是平面地图，随机游动和圆填充定理。
2019-01-01 math.CO math.PR
Bijective enumeration of planar bipartite maps with three tight boundaries, or how to slice pairs of pants
我们考虑有三条边界的平面地图，俗称裤子。在控制面度的二分映射的情况下，Eynard发现了它们的生成函数的一个简单表达式，Collet和Fusy证明了它的双射性。本文给出了\emph{tight}裤子对的一个更简单的公式，即对于其边界在其同伦类中具有最小长度的映射。我们遵循一个双射方法的切片分解的基础上，我们通过引入新的基本构建块称为bigodesic三角形和diangles，并通过工作的三重穿孔领域的通用覆盖扩展。我们还讨论了（不一定紧）对裤子和annuli的最小分离回路的长度的统计，以及它们在大体积极限下的渐近性。
2022-11-23 math-ph math.CO math.MP
The peeling process of infinite Boltzmann planar maps
我们首先研究了有限个随机平面映射上的一个剥离过程，其任意度的面由一个一般的权序列确定，且满足一个容许准则。相应的周长过程被确定为一个有偏随机游走，在这方面的容许性标准有一个非常简单的解释。有限随机平面映射最近被证明具有一个定义明确的局部极限，称为无限玻尔兹曼平面映射（IBPM）。受Curien和Le Gall最近工作的启发，我们证明了IBPM上的剥离过程可以从有限随机映射的剥离过程中得到，通过调节周长过程保持正值。简单的剥离过程的描述，使我们能够获得相关的周长和体积过程的缩放限制为任意规则的临界重量序列。
2016-02-03 gr-qc math-ph math.CO
A mating-of-trees approach for graph distances in random planar maps
我们介绍了一种一般的技术，证明估计的某些随机平面映射属于$γ$ -刘维量子引力（LQG）普适类$γ\in (0,2)$。我们考虑的随机平面映射族是那些可以由具有独立同分布的二维随机游动编码的随机平面映射族。通过树的配对双射进行增量，并且包括均匀无限平面三角测量（UIPT; $γ=\sqrt{8/3}$）;以及通过可以放置在地图上的不同生成树（$γ=\sqrt 2$）、双极方向（$γ=\sqrt{4/3}$）或Schnyder树林（$γ=1$）的数量进行加权的平面地图。使用我们的技术，我们证明了估计图的距离在上述家庭的随机平面地图。特别地，我们得到了图距离球的基数的非平凡的上、下界，这与Watabiki（1993）对$γ$ -LQG的豪斯多夫维数的预测一致，并且我们建立了映射中某些距离的指数的存在性.我们的方法的基本思想是比较一个给定的随机平面地图$M$的配对CRT地图-一个随机平面地图从相关的二维布朗运动-使用强耦合（Zaitsev，1998）的编码行走$M$和布朗运动用于构建配对CRT地图。这使我们能够推导出估计图距离$M$从估计图距离的配对CRT地图，我们证明（使用连续统理论）在以前的工作。在$γ=\sqrt{8/3}$的特殊情况下，我们从已知的UIPT结果中推导出$\sqrt{8/3}$匹配CRT映射的估计。本文的论点没有直接使用SLE/LQG，并且可以在没有任何这些对象的知…
2020-03-11 math-ph math.CO math.MP
Ising model with external magnetic field on random planar maps: Critical exponents
本文研究随机四价平面地图上带外磁场的伊辛模型，利用解析组合学分析弱外磁场下配分函数的渐近行为，推导出α=-1、β=1/2、γ=2、δ=5等临界指数。
2025-11-06 math-ph math.CO math.MP
Cut Vertices in Random Planar Maps
本文的主要目的是确定具有$n$边的随机平面映射的割点数$X_n$的渐近性态。证明了$X_n/n \to c$在概率上（对于某些显式的$c>0$）.对于所谓的次临界类的平面映射（如outerplanar映射），我们也得到了一个中心极限定理。有趣的是，这个看似简单的问题背后的组合学却相当复杂。
2021-04-29 math.CO math.PR
Uniform meandric systems as percolation on planar maps: conjectures and a numerical study
MIT（麻省理工学院）
本文通过随机游走编码研究均匀迷宫系统作为平面地图上的临界渗流模型，发现相反开放交叉强负关联，并提出保律动力学，模拟显示渗流结构去相关更快。
2026-10-06 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Liouville Quantum Duality and Random Planar Maps II
Université Paris-Saclay, CEA, CNRS, Institut de Physique Théorique（巴黎萨克雷大学，法国原子能和替代能源委员会，法国国家科学研究中心，理论物理研究所）
本文研究平面图的块加权性质及利ouville量子对偶临界点的标度行为，推导了根块大小与总大小的条件分布，并展示其与利ouville量子引力的结果一致，同时分析了双根图的块距离谱及多标度性质。
2026-04-27 math-ph math.CO math.MP
Tree-decorated planar maps
引入了（非生成）树装饰平面映射集，并证明了它们是树集与具有简单边界的映射集之间的笛卡儿积的双射。因此，我们计算了树装饰三角形和四边形与给定数量的面和给定大小的树。最后，我们推广了双射来研究其他类型的装饰平面映射，并得到了它们的显式计数公式。
2019-04-04 math.CO math.PR
A glimpse of the conformal structure of random planar maps
给出了一种研究随机平面映射共形结构的方法。其主要思想是沿着参数$ κ= 6$的SLE（Schramm-Loewner evolution）过程探索映射，并将SLE_{6}的局部性与底层格点的空间马尔可夫性结合起来，以获得非平凡的几何信息.我们遵循这条道路的情况下，随机三角剖分的共形结构的边界。在一个合理的假设（*）下，我们证明了均匀随机平面三角剖分的极限几乎必然具有豪斯多夫维数$\frac{1}{3}$的分形边界测度.这与物理学KPZ的预测一致，代表了对随机平面映射和高斯自由场（GFF）之间联系的严格理解的第一步。
2014-08-19 math-ph math.MP math.PR
Pattern occurrences in random planar maps
我们考虑平面地图调整（经常临界）玻尔兹曼分布，并表明，一个给定的地图的模式出现的预期数量是渐近线性的边缘数n时趋于无穷大。证明的主要成分是Liskovets（1999）公式的扩展。
2019-05-17 math.CO math.PR
Random planar maps and graphs with minimum degree two and three
我们找到精确的渐近估计的数量的平面地图和图形的条件上的最低程度，和这些类的随机图的性质。特别地，我们证明了随机可平面图的最大树的大小是c log（n）阶的，对于一个显式常数c。这些结果为随机可平面图的结构提供了新的信息。
2018-06-10 math.CO math.PR
Double-scaled SYK from boundary metrics of planar maps
IMAPP, Radboud University（拉布德大学 IMAPP）
本文研究一类具有特殊q变形面权重的二分平面地图模型，证明其边界度量枚举仅依赖于测地线弦图的交叉数，并与双尺度SYK模型的弦图表示一致。
2026-07-03 hep-th math-ph math.CO
Scaling limits of planar maps under the Smith embedding
本文研究了平面图在Smith嵌入下的标度极限，证明了满足随机游走收敛条件的有限平面图序列的先验嵌入在大尺度上接近Smith嵌入的仿射变换，并据此证明mated-CRT图的Smith嵌入收敛至$γ$-LQG。
2024-10-17 math-ph math.MP math.PR
Scaling limits of bipartite planar maps are homeomorphic to the 2-sphere
证明了均匀分布在所有有根2k-角化集上的随机平面映射的标度极限是a.s.与二维球面同胚。我们的方法依赖于研究某些随机测地线叠层的磁盘。
2006-12-15 math.CO math.PR
Anomalous diffusion of random walk on random planar maps
证明了均匀无限平面三角剖分（UIPT）上的简单随机游动在$n$单位时间内最多可走$n^{1/4 + o_n(1)}$.结合Gwynne和Miller（2017）证明的互补下界，这表明$n$步骤后行走的典型图形距离位移是$n^{1/4 + o_n(1)}$，如Benjamini和Curien（2013）所述。更一般地说，我们证明了在$γ\in (0,2)$的$γ$ -Liouville量子引力（LQG）普适类中的某类随机平面映射上的简单随机游动--包括生成树加权映射，双极定向映射和配对CRT映射--通常以$n$时间单位旅行图距离$n^{1/d_γ+ o_n(1)}$，其中$d_γ$是映射上度量球体积的增长指数，Ding和Gwynne（2018）证明存在并仅依赖于$γ$。由于$d_γ> 2$，这表明这些地图上的简单随机游动是次扩散的。我们的证明是基于嵌入的随机平面地图考虑到$\mathbb C$，其中图形距离球可以比较欧几里德球模次多项式错误。这种嵌入产生于给定的随机平面映射与配对CRT映射的耦合以及后者映射与SLE装饰LQG的关系。
2020-07-04 math-ph math.MP math.PR
Bipolar orientations on planar maps and SLE$_{12}$
我们给出双极定向（具有唯一源和汇的无环）平面映射和某些随机游动，它们表明均匀随机双极定向平面映射，由围绕到汇的最左边路径的树的“皮亚诺曲线”装饰，的收敛律相对于peanosphere拓扑的$\sqrt{4/3}$ -Liouville量子引力表面装饰一个独立的施拉姆-具有参数$κ=12$的Loewner演化（即，SLE $_{12}$）。这个结果是普遍的意义上说，它适用于双极定向三角剖分，四边形，$k$ -角，和地图中的脸大小是混合的。
2016-11-10 math-ph math.CV math.MP
Quenched local convergence of Boltzmann planar maps
Stephenson~（2018）建立了大尺度Boltzmann平面映射的退火局部收敛。目前的工作使用reroot的多类型的分支树的结果来证明这个限制的淬火版本。
2021-02-23 math.CO math.PR
Active spanning trees with bending energy on planar maps and SLE-decorated Liouville quantum gravity for $κ> 8$
在平面映射的生成树上引入了一类双参数概率测度族。其中一个参数控制生成树的活动，另一个参数是其弯曲能量的度量。当弯曲参数为1时，我们恢复了与临界Fortuin-Kasteleyn模型密切相关的活动生成树模型。一个随机的平面地图装饰的生成树从我们的模型可以编码的谢菲尔德的汉堡包，奶酪汉堡双射的广义版本。使用这种编码，我们证明了，对于一系列的参数值（包括对应的地图装饰的积极的生成树），无限体积限制的生成树装饰的平面地图从我们的模型采样收敛在peanosphere意义上，重新缩放后，SLE $_κ$ -装饰$γ$ -刘维量子锥$κ> 8$和$γ= 4/\sqrtκ\in (0,\sqrt 2)$。
2017-12-30 math-ph math.MP math.PR
Uniform Infinite Planar Triangulations
证明了球面上n阶有根三角剖分的一致测度的弱极限为n ->无穷大的存在性。研究了极限的一些性质。特别地，极限是对平面的随机三角剖分的概率测度。
2003-03-04 math-ph math.MP math.PR
Critical exponents on Fortuin--Kasteleyn weighted planar maps
本文研究了带参数$q \in (0,4)$的自对偶Fortuin-Kasteleyn模型加权的随机平面映射.使用双射由于谢菲尔德和连接到平面布朗运动在一个锥，我们得到严格的临界指数的值与集群接口的长度，这是示出为$$ \frac{4}π \arccos \left( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{q}}}{2} \right)=\frac{κ'}{8}. $$其中$κ' $是SLE参数与此模型。我们还推导出对应于由循环所包围的区域的指数，该循环对于$q \in (0,4)$的所有值均为1。应用KPZ公式，我们发现这个值与SLE曲线的维数和SLE对偶是一致的。
2016-07-09 math-ph math.MP math.PR
Local Limit of Random Regular Bipartite Planar Maps
MODAL’X, Université Paris-Nanterre（MODAL’X，巴黎楠泰尔大学）；IRIF, Université Paris-Cité（IRIF，巴黎西岱大学）
本文证明了当顶点数趋于无穷时，均匀随机d-正则双部平面图的局部极限存在，通过建立图与开花树的双射关系，并扩展到无限树以转移收敛至平面图。
2026-04-27 math.CO math.PR
Classification of Half Planar Maps
刻画了满足一定自然域马尔可夫性的所有平移不变半平面映射。对于p \ge 3的p-角化，其中所有的面都是简单的，我们证明了这些形成了一个单参数测度族H^{（p）}_{alpha}。对于三角剖分，我们还建立了一个相变的存在，影响这些地图的许多属性。临界映射是著名的半平面一致无限平面映射。次临界映射被定义为具有给定边界和面积的有限映射上一致测度的所有可能极限。
2014-02-26 math.PR
Radius and profile of random planar maps with faces of arbitrary degrees
本文证明了具有任意次面的大随机根平面映射的半径和轮廓的一些渐近结果。利用Bouttier，Di Francesco和Guitter在有根平面映射和某些正标号的四型树之间的双射，我们得到了四型空间Galton-Watson树的条件极限定理.
2007-06-22 math.PR
Sandpiles and unicycles on random planar maps
本文研究了随机平面映射上的阿贝尔沙堆模型和一致生成幺正映射。我们表明，沙堆密度收敛到5/2的地图变得大。对于生成的幺半群，我们证明了圈的长度和面积收敛于简单随机游动在第一象限的首中时和位置。计算使用的“汉堡包奶酪汉堡包”建设Fortuin-Kasteleyn随机集群配置随机平面地图。
2015-08-13 math.PR
Rescaled bipartite planar maps converge to the Brownian map
对于任意整数$n\geq 1$，我们考虑一个均匀分布在所有带$n$边的有根二部平面映射类上的随机平面映射$\mathcal{M}_n$.证明了图距离由因子$(2n)^{-1/4}$重新标度后的$\mathcal{M}_n$的顶点集在Gromov-Hausdorff意义下按分布收敛于布朗映射.这补充了最近的几个结果给出了收敛的各类随机平面映射的布朗映射。
2014-07-23 math.PR
First-passage percolation in random planar maps and Tutte's bijection
我们考虑大型随机平面映射，并研究通过分配独立同分布长度的边缘获得的第一次通过渗透距离。我们考虑的情况下，四边形和一般平面地图。在这两种情况下，第一通道渗流距离表现在大规模像一个常数倍通常的图形距离。我们应用我们的方法与$n$面临的四边形和一般平面地图与$n$边缘之间的经典Tutte双射的度量性质。证明了当$n \to \infty$时，四边形剖分上的图距离与相应的一般平面地图上的图距离在大尺度上是等价的。
2019-06-24 math.PR
Martingales in self-similar growth-fragmentations and their connections with random planar maps
本工作的目的是双重的。首先，我们开发的一般自相似增长破碎过程的理论，专注于自然出现在这个设置和重铸经典分支随机游动的结果在这个框架中的鞅。特别是，我们建立了多对一的增长破碎公式，并定义了增长破碎的固有区域的概念。其次，我们确定了一个与稳定Lévy过程密切相关的杰出的增长-破碎族，然后证明了这是在某些大度数随机平面映射（粗略地说，是Le Gall & Miermont稳定映射的对偶映射）的马尔可夫探索中作为周长过程的标度极限而出现的。由于这一结果，我们能够确定这些独特的生长-破碎的内在面积的规律。这概括了大玻尔兹曼三角剖分和一定的增长-碎裂过程之间的几何联系，这是在arXiv：1507.02265中建立的。
2017-12-12 math-ph math.MP math.PR
Simple peeling of planar maps with application to site percolation
剥离过程，描述了一个逐步探索的平面地图，一直在解决随机无限平面地图上的渗流问题。通过所谓的惰性剥离探索，可以方便地研究具有任意次数面的映射上的键和面渗流。在这种勘探过程中，勘探轮廓线上的不同顶点可能在稍后阶段被识别，使得该过程不太适合研究场地渗流。为了解决这种情况，并明确确定网站的渗透阈值，我们回来的替代“简单”剥离探索的天使和揭示深层关系的懒惰剥离过程。一路上，我们定义和研究的随机玻尔兹曼映射的半平面与一个简单的边界的任意临界重量序列。它的结构是不平凡的，特别是在“稠密区”，其中半平面随机玻尔兹曼映射不具有无限简单的核心。
2020-08-16 math.CO math.PR
Scaling limits of random trees and planar maps
这些是2010年7月11日至8月7日在布齐奥斯的克莱数学研究所暑期学校所做的一系列讲座的笔记。我们回顾了随机树和平面映射的标度极限的一些最新方面，特别是通过它们与双射计数和格罗莫夫-豪斯多夫收敛的关系。
2012-07-24 math.PR
Asymptotics for rooted planar maps and scaling limits of two-type spatial trees
本文证明了大随机二部平面映射的半径和轮廓的一些渐近结果。利用Bouttier、Di Francesco和Guitter在有根二分平面映射和某些具有正标签的两型树之间的双射，我们从两型空间树的条件极限定理推导出我们的结果。最后，我们应用我们的估计分离顶点的二分平面地图：概率接近1时，$n$走向无穷大，一个随机$2\ka$ -角与$n$面临的分离顶点，其删除断开的映入两个组件的大小大于$n^{1/2-\vep}$。
2006-09-12 math.PR
Unified study of the phase transition for block-weighted random planar maps
本文将 Fleurat 与 Salvy 于2024年提出的块加权随机地图相变分析方法推广至更多地图族，证明相变存在并刻画各机制下最大块的尺寸。
2024-06-12 math.CO math.PR
Bipolar oriented random planar maps with large faces and exotic SLE$_κ(ρ)$ processes
本文研究了具有重尾面度的双极性随机平面映射。我们证明了对于每个$α\in (1,2)$，如果面度在$α$ -稳定Lévy过程的吸引域中，则相应的随机平面映射在Benjamini-Schramm拓扑中具有无穷体积极限.我们还表明，在限制，适当重新缩放的轮廓功能与西北和东南树收敛的法律，以一定的相关对$α$稳定的Lévy过程。结合其他工作，这使我们能够确定的缩放极限的平面地图与SLE $_κ(ρ)$过程与$\sqrtκ$ -刘维量子引力的$\sqrtκ$ -刘维$κ\in (4/3,2)$，其中$α, κ$相关的$α= 4/κ-1$。
2022-02-04 math.CO math.PR
A polynomial upper bound for the mixing time of edge rotations on planar maps
我们考虑一个自然的本地动态的一组所有有根平面地图与$n$的边缘，在某种意义上类似于“边缘翻转”马尔可夫链，这已经被认为是之前的各种组合结构（三角形的$n$ -gon和四边形的领域，等等）。我们提供了第一个多项式上界的混合时间的“边缘旋转”链上的平面地图：我们表明，边缘旋转链的频谱间隙是有界的一个适当的常数倍$n^{-11/2}$以下。在这样做时，我们提供了一个部分新的事实证明，即相同的限制适用于光谱间隙的边缘翻转四边形，这使得它可以概括最近的结果，作者和斯托弗链，涉及到边缘旋转通过Tutte的双射。
2020-01-13 math.CO math.PR
The Tutte embedding of tree-weighted planar maps converges to Liouville quantum gravity
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗研究所）
该研究证明，从临界Boltzman测度采样的树加权平面图在Tutte嵌入下，当边界长度趋于无穷时收敛于参数$\gamma=\sqrt{2}$的Liouville量子引力圆盘，且其上的简单随机游走收敛于平面布朗运动。
2026-10-08 math-ph math.CV math.MP
Geodesics in large planar maps and in the Brownian map
我们研究随机度量空间中的测地线，称之为布朗映射，它表现为大平面映射的标度极限。特别是，我们完全描述测地线从称为根的区别点开始，我们的特点是由一个以上的测地线连接到根的所有点的集合S。集合S在布朗映射中是稠密的，并且同胚于一个非紧实树。此外，对于S中的每个x，从x到根的不同测地线的数量等于S中{x}的补的连通分量的数量。特别地，布朗映射的点可以通过至多三条不同的测地线连接到根。我们的结果有应用程序的大地线在大平面地图的行为。
2008-05-30 math.CO math.PR
Percolation on uniform infinite planar maps
我们构造了均匀无限平面映射（UIPM），它是随机均匀选取的n条边的平面映射的n个\to \infty局部极限.然后，我们描述了如何可以使用“剥离”过程中采样的UIPM，在一个类似的方式为均匀的三角剖分。这一过程使我们能够证明，在UIPM上，键和位的逾渗阈值分别为p_c^bond=1/2和p_c^site=2/3。这种方法也适用于其他类型的随机无限平面映射，我们特别证明了在均匀无限平面四边形上的键渗流，渗流阈值为p_c^bond=1/3。
2013-02-12 math.PR
Uniform infinite planar triangulation and related time-reversed critical branching process
我们建立了一致无限平面三角剖分与某些临界时反分支过程之间的联系。这允许找到半径为R的球的主边界分量对于大R（即，对于将球与无穷远分离的边界分量）的缩放极限。我们还表明，外部的R球的轮廓存在，具有长度线性R。
2003-11-09 math.CO math.PR
Random cubic planar maps
我们分析均匀随机立方根平面映射，并获得几个参数的极限分布。从枚举的角度来看，我们提出了一个统一的方法，枚举几类三次平面映射，这使我们能够恢复已知的结果，在一个更一般和透明的方式。这种方法使我们能够获得新的枚举结果。关于随机映射，我们首先得到根面的度的分布，它具有指数尾，对于其他类的随机映射。我们的主要结果是在具有$n+2$面的随机三次映射中，最大块$L$的大小的极限映射Airy分布律，其期望是渐近的$n/\sqrt{3}$。我们证明了类似的结果的最大的立方块的大小，从$L$通过擦除所有顶点的程度2，和最大的3-连通组件的大小，其期望值分别为$n/2$和$n/4$。为了得到这些结果，我们需要分析一种新类型的组合方案，这是Banderier等人[Random Structures Algorithms 2001]没有处理过的。
2022-10-02 math.CO math.PR
The Incipient Infinite Cluster of the Uniform Infinite Half-Planar Triangulation
在均匀无限半平面三角剖分（UIHPT）上的临界Bernoulli点渗流模型中引入初始无限簇（IIC），它是有边界的大型随机三角剖分的局部极限. IIC是由UIHPT定义的，通过将原点的开放渗流簇限定为无限大。我们证明了IIC可以通过在UIHPT内添加一个具有明确分布边界的无限三角剖分来获得。
2017-04-10 math.PR
Infinite stable Boltzmann planar maps are subdiffusive
无限离散稳定玻尔兹曼映射是著名的均匀无限平面四边形在允许大次数面的情况下的推广。我们证明了这些随机格上的简单随机游动总是指数小于1/3的次扩散的。我们的方法是基于平稳性和几何估计通过剥离过程中获得的是自己的利益。
2019-10-21 math.PR
Some infinite divisibility properties of the reciprocal of planar Brownian motion exit time from a cone
利用平面布朗运动锥的出射时间的拉普拉斯变换，得到了出射时间的倒数的无穷整除性质。
2012-01-13 math.PR
Planar stochastic hyperbolic infinite triangulations
遵循Angel & Ray的方法，我们引入并研究了一类满足自然空间马尔可夫性的全平面随机无限三角剖分。这些新的随机格自然地推广了Angel & Schramm的均匀无限平面三角剖分（UIPT），并且是双曲的。我们证明，他们表现出急剧的指数体积增长，是非刘维，和简单的随机游动对他们几乎肯定有积极的速度。我们猜想这些无限三角剖分是亏格与大小成正比的一致三角剖分的局部极限。
2014-01-14 math.CO math.MG math.PR
The circle packing and Riemann uniformization embedding of the tree-weighted planar maps converges to Liouville quantum gravity
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗研究所）
本文证明树加权平面地图在圆堆积和黎曼均匀化嵌入下收敛于$\sqrt{2}$-LQG，并附带证明自然路径收敛于SLE$_8$。
2026-10-08 math.CV math.PR
The structure of unicellular maps, and a connection between maps of positive genus and planar labelled trees
单细胞地图是只有一个面的地图。本文给出了一个固定亏格的单胞有根映射的支配子集与一组具有特殊顶点的有根平面树之间的双射。双射也适用于标记单胞映射的情况，这与Marcus和Schaeffer双射的所有有根映射有关。这给出了给定亏格的单胞映射的渐近数的直接推导，以及Lehman和Walsh关于单顶点三角剖分数的公式的简单双射证明。从标号的情况下，我们推导出的表达式的渐近数的亏格g的n边涉及ISE随机测度，和一个明确的特征的极限轮廓和半径的亏格g的随机二部四边形的ISE。
2009-03-05 math.CO math.PR
Planar maps, circle patterns and 2d gravity
通过圆模式技术，随机平面三角剖分（角度变量）映射到Delaunay三角剖分在复平面。将三角剖分上的一致测度映射到共形不变的空间点过程上。我们证明了这个测度可以表示为：（1）Delaunay三角剖分的边的3-生成树剖分之和：（2）Delaunay三角剖分空间上Kähler度量的体积形式，其预势可以用三维双曲空间的理想Tessellation来表示;（3）离散化版本二维引力场中Polyakov共形Fadeev-Popov行列式的（涉及有限差分复导数算子）;（4）陈类的组合，从而也建立了与拓扑二维引力的联系。
2013-12-20 hep-th math-ph math.MP
The Uniform Infinite Cubic Planar Graph
证明了顶点数为偶数的随机单立方可平面图$n$允许一个新的一致无限立方可平面图（UICPG）作为淬熄局部极限.我们描述了如何通过应用于Angel和Schramm（Comm.Math.Phys.，2003年）。我们的主要技术引理是$\mathsf{C}_n$和模型之间的邻接关系，其中在$\mathsf{C}_n$的最大$3$连接组件的链接处插入的网络被特定玻尔兹曼网络的独立副本所取代。证明了对于$κ\approx 0.85085$，其最大$3$连通分支的顶点数集中在$κn$上，且具有$n^{2/3}$阶的Airy型涨落.第二大组件显示具有显著较小的尺寸$O_p(n^{2/3})$。
2022-02-01 math.CO math.PR
The topological structure of scaling limits of large planar maps
讨论了大二部平面映射的标度极限。若p是严格大于大于1的固定整数，我们考虑一个均匀分布在n个面的2 p-角化集上的随机平面映射M（n）.然后，至少沿着一个合适的子序列，配备有图距离的度量空间M（n）在分布上收敛，因为n趋于无穷大，朝着一个极限随机紧度量空间，在Gromov-Hausdorff距离的意义下。我们证明了极限空间的拓扑是独立于p唯一确定的，并且这个空间可以作为连续统随机树对于一个等价关系的商而得到，该关系是由附着在顶点上的布朗标签定义的。我们还验证了极限的豪斯多夫维数几乎必然等于4。
2006-10-31 math.CO math.PR
Scaling limits of random planar maps with a unique large face
我们研究随机二部平面地图定义分配非负的权重，每个面对的地图。我们证明，对于某些选择的权重一个独特的大脸，度成比例的地图中的边缘的总数，出现时，地图是大的。进一步证明了当平面映射的边数$n$趋于无穷大时，到标记顶点的距离的轮廓由$n^{-1/2}$重新标度后的布朗漂移描述.平面地图，与图度量重新缩放的$n^{-1/2}$，然后示出的分布收敛到Aldous的布朗树中的Gromov-Hausdorff拓扑。在证明中，我们依赖于Bouttier-di Francesco-Guitter映射和标记树之间的双射，以及简单生成的树的最近结果，当树很大时，会出现一个独特的高度顶点。
2015-06-04 math.PR
Some families of increasing planar maps
当人们想通过连续添加面来定义一些三角剖分的增加族时，堆叠三角剖分就像自然对象一样出现。研究了两种不同分布下带$2n$面的有根堆叠三角剖分的渐近性质。我们证明了这组映射上的均匀分布对于局部收敛的拓扑收敛于无穷映射上的分布。另一方面，我们证明了在$n^{1/2}$下，它们对于度量空间上的Gromov-Hausdorff拓扑收敛到Aldous引入的连续随机树.在由自然随机结构诱导的分布下，由$(6/11)\log n$重新标度的随机点之间的距离在概率上收敛于1。我们得到了类似的渐近结果的家庭增加四边形。
2007-12-04 math.CO math.PR
Circle packing and Riemann uniformization of random planar maps in an ergodic scale-free environment
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）
研究证明，在满足特定条件时，随机平面图在大规模上接近其圆打包和黎曼统一化嵌入，扩展了随机游走不变性原理的应用。
2026-05-06 math.CV math.PR
