Sandpiles and unicycles on random planar maps
本文研究了随机平面映射上的阿贝尔沙堆模型和一致生成幺正映射。我们表明，沙堆密度收敛到5/2的地图变得大。对于生成的幺半群，我们证明了圈的长度和面积收敛于简单随机游动在第一象限的首中时和位置。计算使用的“汉堡包奶酪汉堡包”建设Fortuin-Kasteleyn随机集群配置随机平面地图。
2015-08-13 math.PR
Rescaled bipartite planar maps converge to the Brownian map
对于任意整数$n\geq 1$，我们考虑一个均匀分布在所有带$n$边的有根二部平面映射类上的随机平面映射$\mathcal{M}_n$.证明了图距离由因子$(2n)^{-1/4}$重新标度后的$\mathcal{M}_n$的顶点集在Gromov-Hausdorff意义下按分布收敛于布朗映射.这补充了最近的几个结果给出了收敛的各类随机平面映射的布朗映射。
2014-07-23 math.PR
First-passage percolation in random planar maps and Tutte's bijection
我们考虑大型随机平面映射，并研究通过分配独立同分布长度的边缘获得的第一次通过渗透距离。我们考虑的情况下，四边形和一般平面地图。在这两种情况下，第一通道渗流距离表现在大规模像一个常数倍通常的图形距离。我们应用我们的方法与$n$面临的四边形和一般平面地图与$n$边缘之间的经典Tutte双射的度量性质。证明了当$n \to \infty$时，四边形剖分上的图距离与相应的一般平面地图上的图距离在大尺度上是等价的。
2019-06-24 math.PR
Universal aspects of critical percolation on random half-planar maps
本文研究了半平面随机格点上的一大类Bernoulli渗流模型，这些模型是由均匀平面三角剖分或四边剖分的局部极限得到的。我们首先计算的确切值的网站渗流阈值在四边形的情况下，使用所谓的剥离技术。然后，我们推广了天使的结果的比例限制的交叉概率，这是一个自然的模拟卡迪公式（非随机）平面格。我们的主要结果是，这些概率是普遍的，在这个意义上，他们不依赖于渗流模型，也不对地图的脸的程度。
2015-12-18 math.PR
Scaling limits of random trees and planar maps
这些是2010年7月11日至8月7日在布齐奥斯的克莱数学研究所暑期学校所做的一系列讲座的笔记。我们回顾了随机树和平面映射的标度极限的一些最新方面，特别是通过它们与双射计数和格罗莫夫-豪斯多夫收敛的关系。
2012-07-24 math.PR
Asymptotics for rooted planar maps and scaling limits of two-type spatial trees
本文证明了大随机二部平面映射的半径和轮廓的一些渐近结果。利用Bouttier、Di Francesco和Guitter在有根二分平面映射和某些具有正标签的两型树之间的双射，我们从两型空间树的条件极限定理推导出我们的结果。最后，我们应用我们的估计分离顶点的二分平面地图：概率接近1时，$n$走向无穷大，一个随机$2\ka$ -角与$n$面临的分离顶点，其删除断开的映入两个组件的大小大于$n^{1/2-\vep}$。
2006-09-12 math.PR
Percolation on uniform infinite planar maps
我们构造了均匀无限平面映射（UIPM），它是随机均匀选取的n条边的平面映射的n个\to \infty局部极限.然后，我们描述了如何可以使用“剥离”过程中采样的UIPM，在一个类似的方式为均匀的三角剖分。这一过程使我们能够证明，在UIPM上，键和位的逾渗阈值分别为p_c^bond=1/2和p_c^site=2/3。这种方法也适用于其他类型的随机无限平面映射，我们特别证明了在均匀无限平面四边形上的键渗流，渗流阈值为p_c^bond=1/3。
2013-02-12 math.PR
Infinite stable Boltzmann planar maps are subdiffusive
无限离散稳定玻尔兹曼映射是著名的均匀无限平面四边形在允许大次数面的情况下的推广。我们证明了这些随机格上的简单随机游动总是指数小于1/3的次扩散的。我们的方法是基于平稳性和几何估计通过剥离过程中获得的是自己的利益。
2019-10-21 math.PR
Uniform infinite half-planar quadrangulations with skewness
我们引入了一类单参数的半平面随机无限四边形剖分，我们称之为带偏度的均匀无限半平面四边形剖分（简称$_p$，用$p\in[0,1/2]$度量偏度）.它们在对应于$p=0$的Kesten树和对应于$p=1/2$的一般边界的通常UIHPQ之间插值。正如我们精确，这些模型出现的局部极限的均匀四边形与边界时，他们的体积和周长增长在一个适当的微调方式，他们代表所有的局部极限的（次）临界玻尔兹曼四边形的周长趋于无穷大。我们的主要结果表明，族（UIHPQ $_p$）$_p$近似于最近在Baur，Miermont和Ray（2016）中引入的布朗半平面BHP $_θ$，$θ\geq 0$。对于$p<1/2$，我们给出了一个描述的UIHPQ $_p$在一个关键的两种类型的Galton-Watson树条件生存的循环树。
2020-10-15 math.PR
Scaling limits of random planar maps with a unique large face
我们研究随机二部平面地图定义分配非负的权重，每个面对的地图。我们证明，对于某些选择的权重一个独特的大脸，度成比例的地图中的边缘的总数，出现时，地图是大的。进一步证明了当平面映射的边数$n$趋于无穷大时，到标记顶点的距离的轮廓由$n^{-1/2}$重新标度后的布朗漂移描述.平面地图，与图度量重新缩放的$n^{-1/2}$，然后示出的分布收敛到Aldous的布朗树中的Gromov-Hausdorff拓扑。在证明中，我们依赖于Bouttier-di Francesco-Guitter映射和标记树之间的双射，以及简单生成的树的最近结果，当树很大时，会出现一个独特的高度顶点。
2015-06-04 math.PR
Infinite random planar maps related to Cauchy processes
本文研究了无穷多个平面Boltzmann映射的几何性质，这些平面映射的权函数为$k^{-2}$阶多项式衰减，每个顶点的次数为$k$ .这些对应于Le Gall和Miermont的离散“稳定映射”的对偶[Scaling limits of random planar maps with large faces，Ann. Probab. 39，1（2011），1-69]中研究[Budd & Curien，Geometry of infinite planar maps with high degrees，Electron. J. Probab. (to出现）]相关的对称柯西过程，或替代地，以随机平面映射上的临界$O(2)$ -环模型的垫圈后获得的映射。我们表明，这些地图有一个惊人的和不寻常的几何形状。特别是，我们证明了半径$r$的球的体积的图形距离有一个中间的增长率和规模为$\mathrm{e}^{\sqrt{r}}$。我们还进行了第一次通过渗流与指数边权重，并表明体积增长的fpp距离尺度为$\mathrm{e}^{r}$。最后，我们考虑这些晶格上的网站渗流：虽然渗流只发生在$p=1$，我们确定了在$p=1/2$的界面长度的相变。在路上，我们还证明了新的估计随机游动吸引到一个不对称柯西过程。
2017-04-18 math.PR
Oriented planar maps and annular mating of trees
NYU–ECNU Institute of Mathematical Sciences, New York University Shanghai（纽约大学上海纽约大学 NYU-华东师范大学数学科学研究所）；Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）
该研究探讨与双极定向地图相关的定向环形平面地图，通过二维格点游走编码并结合树配对结果，揭示其与布朗路径、LQG环形及空间填充SLE环的关联。
2026-08-31 math.PR
Recurrence of bipartite planar maps
本文研究了随机二部平面映射，这类映射是通过给它们的面赋权来定义的。本文提出了三个方面的贡献的理论。首先，我们证明了局部极限的存在性的所有选择的重量和描述它的一个无限移动。其次，我们证明了局部极限在所有情况下几乎必然是常返的。第三，我们表明，对于某些选择的权重的局部极限正好有一个面的无限程度，并在这种情况下，谱维数$4/3$（后者需要一个温和的时刻条件）。
2014-03-12 math.PR
On scaling limits of planar maps with stable face-degrees
本文讨论了随机临界Boltzmann平面映射的渐近性态，其中典型面的度属于指数为$α\in (1,2]$的稳定律的吸引域.我们证明，当条件这样的地图有$n$顶点，或$n$边，或$n$面，赋予适当重新缩放的图距离的顶点集在分布上收敛到著名的布朗地图时，$α=2$，并在提取一个子序列后，向另一个"$α$-稳定的地图"时，$α<2$，这改进了由于Le Gall和Miermont的第一个结果，他们假设了稍微更多的规律性。
2018-03-21 math.PR
Scaling limit of first passage percolation geodesics on planar maps
本文建立了随机平面地图上首达渗流测地线的标度极限，通过时间反转均匀剥离探索，描述面数与测地线树的极限，并构造猜想的高维度随机地图标度极限空间。
2025-09-12 math.PR
Geometry of the Uniform Infinite Half-Planar Quadrangulation
我们给出了一个新的建设统一的无限半平面四边形与一般的边界（或UIHPQ），类似于建设的UIPQ提出的Chassaing和Durhuus，这使我们能够进行详细的研究其几何形状。我们表明，沿边界轮廓的UIHPQ的根顶点读取的距离的过程演变为一个特别简单的马尔可夫链和收敛到一对独立的贝塞尔过程的尺寸$5$的缩放限制。我们研究了从根顶点发出的无限测地线的“束”，如Ménard，Miermont和第二作者对UIPQ所做的，并证明了它导致了UIHPQ分解为三个独立的子映射.我们还能够证明，球的大半径的根周围的平均$7/9$倍大的那些在UIPQ，无论是在UIHPQ和UIHPQ与一个简单的边界，这一事实，我们使用的配套文件，研究自我避免行走大四边形。
2015-08-01 math.PR
Planar maps, random walks and circle packing
这些是2018年7月第48届圣面粉暑期学校的讲义，主题是平面地图，随机游动和圆填充定理。
2019-01-01 math.CO math.PR
Duality of random planar maps via percolation
讨论了临界Boltzmann平面映射的对偶性质，使得一个典型面的度在一个具有参数$α\in(1,2]$的稳定分布吸引区域中.我们考虑了在稀态和类属态$α\in (3/2,2]$中Boltzmann映射上的临界Bernoulli键渗流模型，并证明了起源的开渗流集团本身是在稠密态$α\in (1,3/2)$中的Boltzmann映射，参数为\[α':= \frac{2α+3}{4α-2}.\]。这是Miller最近建立的Schramm-Loewner演化和共形环系综的对偶性质$κ\leftrightarrow 16/κ$在随机平面映射中的对应，谢菲尔德和沃纳。作为一个副产品，我们确定的渗滤集群的边界条件，有一个大的周长的标度限制。对亚临界和超临界渗流的情况也进行了讨论。特别是，我们建立了尖锐的相变，通过尾部分布的大小的渗流集团。
2018-02-05 math.PR
Invariance principles for random bipartite planar maps
随机平面映射在物理学文献中被认为是随机曲面的离散对应物。它是正确的重新缩放随机平面地图，当有条件有大量的面孔，应该收敛到一个极限表面，其法律不依赖于，比例因子，对采样的地图类的细节。从Chassaing和Schaeffer开始，以前关于该主题的工作已经表明，具有$n$面的随机四边形的半径，即这种四边形到固定参考点的最大图形距离，一旦被$n^{1/4}$重新缩放，分布就会收敛到布朗蛇的直径，直到缩放常数。利用Bouttier、Di Francesco和Guitter在二分平面映射和一族标记树之间的双射，我们证明了一类遵循玻尔兹曼分布的随机映射在度为$2k$的面上赋予权重$q_k$的相应不变原理：这些贴图的半径，条件为具有$n$面（或$n$顶点），并且在临界性假设下，一旦由$n^{1/4}$重新缩放到布朗蛇直径的缩放版本，则在分布中收敛。收敛结果的所谓的配置文件的地图也提供。本文还证明了Marckert和Mokkadem引入的重标度二分映射到布朗映射的收敛性。这些结果的证明依赖于两类空间Galton-Watson树的一个新的不变原理。
2007-10-18 math.PR
Liouville quantum gravity: from random planar maps to conformal field theory
本文综述LQG如何作为随机平面地图标度极限的随机共形几何，并阐明其通过SLE/LQG耦合与Liouville CFT、二维量子引力及统计物理相联系的研究进展。
2025-10-18 math.PR
Markovian explorations of random planar maps are roundish
无限离散稳定玻尔兹曼映射是著名的均匀无限平面四边形的“重尾”推广。研究这些对象的非常有效的工具是马尔可夫逐步探索的晶格称为剥离过程。这样的过程取决于在每个步骤选择继续探索的下一个边缘的算法。我们在这里证明，无论这种算法，剥离过程总是揭示了相同的部分的地图，从而增长大致公制球。应用于精心设计的算法，这很容易使我们能够比较地图及其对偶中的距离，以及控制简单随机游动的所谓先锋点，无论是在地图上还是在其对偶上。
2019-02-27 math.PR
Cut Vertices in Random Planar Maps
本文的主要目的是确定具有$n$边的随机平面映射的割点数$X_n$的渐近性态。证明了$X_n/n \to c$在概率上（对于某些显式的$c>0$）.对于所谓的次临界类的平面映射（如outerplanar映射），我们也得到了一个中心极限定理。有趣的是，这个看似简单的问题背后的组合学却相当复杂。
2021-04-29 math.CO math.PR
Recurrence of the Uniform Infinite Half-Plane Map via duality of resistances
研究了具有大而简单边界的临界Boltzmann平面映射的局部极限--均匀无限半平面映射上的简单随机游动。证明了简单随机游动是常返的，半径为$r$的壳的根与边界之间的阻力至少为$\log r$阶.这个阻力界预计是尖锐的，并优于那些从以前的证明非有界度平面映射模型的复发。我们的主要工具是一致平面映射的自对偶性，关于电阻对偶性的经典引理和一些剥离估计。这个证明与Russo-Seymour-Welsh的渗流理论有一些共同点。
2019-12-18 math.PR
Gaussian curvature on random planar maps and Liouville quantum gravity
本文定义 LQG 的高斯曲率并猜想其为随机平面图离散曲率的标度极限，通过分析 ε-mated CRT 映射证明了测试函数积分曲率的阶及总曲率的收敛极限。
2024-06-12 math.PR
Limits of the boundary of random planar maps
在典型面的度的分布在一个参数为$α\in (1,2)$的稳定分布的吸引区域中的假设下，讨论了临界Boltzmann平面映射边界的渐近性.首先，在对应于$α\in(1,3/2)$的稠密相中，我们证明了边界的标度极限是带参数$(α-1/2)^{-1}$的随机稳定循环树。其次，我们通过边界的局部极限证明了相变的存在：在稠密相，边界是树状的，而在对应于$α\in(3/2,2)$的稀相，它有一个同胚的半平面的组件。作为应用，我们确定的限制条件是大的刚性$O(n)$循环模型四边形，从而证明了Curien和Kortchemski的猜想。
2017-11-29 math.PR
Tree-decorated planar maps
引入了（非生成）树装饰平面映射集，并证明了它们是树集与具有简单边界的映射集之间的笛卡儿积的双射。因此，我们计算了树装饰三角形和四边形与给定数量的面和给定大小的树。最后，我们推广了双射来研究其他类型的装饰平面映射，并得到了它们的显式计数公式。
2019-04-04 math.CO math.PR
Pattern occurrences in random planar maps
我们考虑平面地图调整（经常临界）玻尔兹曼分布，并表明，一个给定的地图的模式出现的预期数量是渐近线性的边缘数n时趋于无穷大。证明的主要成分是Liskovets（1999）公式的扩展。
2019-05-17 math.CO math.PR
Random planar maps and graphs with minimum degree two and three
我们找到精确的渐近估计的数量的平面地图和图形的条件上的最低程度，和这些类的随机图的性质。特别地，我们证明了随机可平面图的最大树的大小是c log（n）阶的，对于一个显式常数c。这些结果为随机可平面图的结构提供了新的信息。
2018-06-10 math.CO math.PR
Scaling limits of bipartite planar maps are homeomorphic to the 2-sphere
证明了均匀分布在所有有根2k-角化集上的随机平面映射的标度极限是a.s.与二维球面同胚。我们的方法依赖于研究某些随机测地线叠层的磁盘。
2006-12-15 math.CO math.PR
Quenched local convergence of Boltzmann planar maps
Stephenson~（2018）建立了大尺度Boltzmann平面映射的退火局部收敛。目前的工作使用reroot的多类型的分支树的结果来证明这个限制的淬火版本。
2021-02-23 math.CO math.PR
The circle packing and Riemann uniformization embedding of the tree-weighted planar maps converges to Liouville quantum gravity
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗研究所）
本文证明树加权平面地图在圆堆积和黎曼均匀化嵌入下收敛于$\sqrt{2}$-LQG，并附带证明自然路径收敛于SLE$_8$。
2026-10-08 math.CV math.PR
Circle packing and Riemann uniformization of random planar maps in an ergodic scale-free environment
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）
研究证明，在满足特定条件时，随机平面图在大规模上接近其圆打包和黎曼统一化嵌入，扩展了随机游走不变性原理的应用。
2026-05-06 math.CV math.PR
Local Limit of Random Regular Bipartite Planar Maps
MODAL’X, Université Paris-Nanterre（MODAL’X，巴黎楠泰尔大学）；IRIF, Université Paris-Cité（IRIF，巴黎西岱大学）
本文证明了当顶点数趋于无穷时，均匀随机d-正则双部平面图的局部极限存在，通过建立图与开花树的双射关系，并扩展到无限树以转移收敛至平面图。
2026-04-27 math.CO math.PR
On the Riemann surface type of Random Planar Maps
我们证明了Angel-Schramm均匀无限平面三角剖分和Sheffield无限项链构造的（随机）Riemann曲面都是抛物面。换句话说，这些曲面上的布朗运动是循环的。我们得到这一结果作为一个推论更普遍的定理随机无偏盘三角剖分的基本分布限制，以下工作Benjamini和Schramm。
2011-01-06 math.CV math.PR
Gaskets of $O(2)$ loop-decorated random planar maps
CMAP, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris（巴黎综合理工学院，巴黎理工学院）
研究证明n=2时$O(2)$环装饰随机平面图的垫片为$3/2$稳定地图，并揭示了临界情况下的权重序列特征。
2025-12-07 math-ph math.MP math.PR
Simple peeling of planar maps with application to site percolation
剥离过程，描述了一个逐步探索的平面地图，一直在解决随机无限平面地图上的渗流问题。通过所谓的惰性剥离探索，可以方便地研究具有任意次数面的映射上的键和面渗流。在这种勘探过程中，勘探轮廓线上的不同顶点可能在稍后阶段被识别，使得该过程不太适合研究场地渗流。为了解决这种情况，并明确确定网站的渗透阈值，我们回来的替代“简单”剥离探索的天使和揭示深层关系的懒惰剥离过程。一路上，我们定义和研究的随机玻尔兹曼映射的半平面与一个简单的边界的任意临界重量序列。它的结构是不平凡的，特别是在“稠密区”，其中半平面随机玻尔兹曼映射不具有无限简单的核心。
2020-08-16 math.CO math.PR
Unified study of the phase transition for block-weighted random planar maps
本文将 Fleurat 与 Salvy 于2024年提出的块加权随机地图相变分析方法推广至更多地图族，证明相变存在并刻画各机制下最大块的尺寸。
2024-06-12 math.CO math.PR
Scaling of Percolation on Infinite Planar Maps, I
我们考虑几个方面的随机平面三角剖分，有限和无限的渗流的标度极限。本文给出了Cardy极限公式在不同交叉概率标度下的随机映射的等价形式。极限概率用简单事件表示。一些显式公式的极限概率遵循这个关系，通过应用已知的结果稳定的过程。相反，随机映射的自然对称性意味着关于Airy-Levy过程的恒等式。
2005-01-01 math-ph math.MP math.PR
Bipolar oriented random planar maps with large faces and exotic SLE$_κ(ρ)$ processes
本文研究了具有重尾面度的双极性随机平面映射。我们证明了对于每个$α\in (1,2)$，如果面度在$α$ -稳定Lévy过程的吸引域中，则相应的随机平面映射在Benjamini-Schramm拓扑中具有无穷体积极限.我们还表明，在限制，适当重新缩放的轮廓功能与西北和东南树收敛的法律，以一定的相关对$α$稳定的Lévy过程。结合其他工作，这使我们能够确定的缩放极限的平面地图与SLE $_κ(ρ)$过程与$\sqrtκ$ -刘维量子引力的$\sqrtκ$ -刘维$κ\in (4/3,2)$，其中$α, κ$相关的$α= 4/κ-1$。
2022-02-04 math.CO math.PR
A polynomial upper bound for the mixing time of edge rotations on planar maps
我们考虑一个自然的本地动态的一组所有有根平面地图与$n$的边缘，在某种意义上类似于“边缘翻转”马尔可夫链，这已经被认为是之前的各种组合结构（三角形的$n$ -gon和四边形的领域，等等）。我们提供了第一个多项式上界的混合时间的“边缘旋转”链上的平面地图：我们表明，边缘旋转链的频谱间隙是有界的一个适当的常数倍$n^{-11/2}$以下。在这样做时，我们提供了一个部分新的事实证明，即相同的限制适用于光谱间隙的边缘翻转四边形，这使得它可以概括最近的结果，作者和斯托弗链，涉及到边缘旋转通过Tutte的双射。
2020-01-13 math.CO math.PR
Geodesics in large planar maps and in the Brownian map
我们研究随机度量空间中的测地线，称之为布朗映射，它表现为大平面映射的标度极限。特别是，我们完全描述测地线从称为根的区别点开始，我们的特点是由一个以上的测地线连接到根的所有点的集合S。集合S在布朗映射中是稠密的，并且同胚于一个非紧实树。此外，对于S中的每个x，从x到根的不同测地线的数量等于S中{x}的补的连通分量的数量。特别地，布朗映射的点可以通过至多三条不同的测地线连接到根。我们的结果有应用程序的大地线在大平面地图的行为。
2008-05-30 math.CO math.PR
Characterisation of Markov property on planar maps
该研究从三个视角重新审视平面地图及带装饰平面地图的马尔可夫性质，刻画了满足马尔可夫性质和重根不变性的概率律，全面分析停止地图并引入带装饰的度量平面地图。
2025-08-20 math-ph math.CO math.MP
Liouville Quantum Duality and Random Planar Maps
本文研究块加权随机平面地图模型，发现其在临界值 $u=u_{cr}$ 处发生退化相变，并证明该临界点与临界点之下的计数性质和临界指数由对偶关系相联系，这与Liouville量子引力描述的预期一致。
2025-07-16 math-ph math.CO math.MP
Random cubic planar maps
我们分析均匀随机立方根平面映射，并获得几个参数的极限分布。从枚举的角度来看，我们提出了一个统一的方法，枚举几类三次平面映射，这使我们能够恢复已知的结果，在一个更一般和透明的方式。这种方法使我们能够获得新的枚举结果。关于随机映射，我们首先得到根面的度的分布，它具有指数尾，对于其他类的随机映射。我们的主要结果是在具有$n+2$面的随机三次映射中，最大块$L$的大小的极限映射Airy分布律，其期望是渐近的$n/\sqrt{3}$。我们证明了类似的结果的最大的立方块的大小，从$L$通过擦除所有顶点的程度2，和最大的3-连通组件的大小，其期望值分别为$n/2$和$n/4$。为了得到这些结果，我们需要分析一种新类型的组合方案，这是Banderier等人[Random Structures Algorithms 2001]没有处理过的。
2022-10-02 math.CO math.PR
Bipolar orientations on planar maps and SLE$_{12}$
我们给出双极定向（具有唯一源和汇的无环）平面映射和某些随机游动，它们表明均匀随机双极定向平面映射，由围绕到汇的最左边路径的树的“皮亚诺曲线”装饰，的收敛律相对于peanosphere拓扑的$\sqrt{4/3}$ -Liouville量子引力表面装饰一个独立的施拉姆-具有参数$κ=12$的Loewner演化（即，SLE $_{12}$）。这个结果是普遍的意义上说，它适用于双极定向三角剖分，四边形，$k$ -角，和地图中的脸大小是混合的。
2016-11-10 math-ph math.CV math.MP
A glimpse of the conformal structure of random planar maps
给出了一种研究随机平面映射共形结构的方法。其主要思想是沿着参数$ κ= 6$的SLE（Schramm-Loewner evolution）过程探索映射，并将SLE_{6}的局部性与底层格点的空间马尔可夫性结合起来，以获得非平凡的几何信息.我们遵循这条道路的情况下，随机三角剖分的共形结构的边界。在一个合理的假设（*）下，我们证明了均匀随机平面三角剖分的极限几乎必然具有豪斯多夫维数$\frac{1}{3}$的分形边界测度.这与物理学KPZ的预测一致，代表了对随机平面映射和高斯自由场（GFF）之间联系的严格理解的第一步。
2014-08-19 math-ph math.MP math.PR
Mating of trees for random planar maps and Liouville quantum gravity: a survey
我们综述了随机平面映射的配对树双射的理论和应用及其连续模拟：Duplantier，Miller和Sheffield（2014）的配对树定理。后一个定理给出了由Schramm-Loewner演化曲线修饰的Liouville量子引力（LQG）曲面用一对相关线性布朗运动进行编码的方法.我们假设对SLE和LQG理论的熟悉程度最低。树的匹配理论使人们能够把SLE和LQG的问题归结为布朗运动的问题，并使随机平面映射和LQG之间有着深刻的严格联系。本文讨论的应用包括装饰随机平面映射的各种泛函的标度极限结果，图距离的估计和上的随机游动。（不一定是均匀的）随机平面映射，与SLE相关的集合的豪斯多夫维数的计算，共形嵌入平面中的随机平面映射的缩放极限结果，以及$\sqrt{8/3}$ -LQG的特殊对称性，它们允许人们证明它与布朗映射的等价性。
2023-02-15 math-ph math.CO math.CV
The structure of unicellular maps, and a connection between maps of positive genus and planar labelled trees
单细胞地图是只有一个面的地图。本文给出了一个固定亏格的单胞有根映射的支配子集与一组具有特殊顶点的有根平面树之间的双射。双射也适用于标记单胞映射的情况，这与Marcus和Schaeffer双射的所有有根映射有关。这给出了给定亏格的单胞映射的渐近数的直接推导，以及Lehman和Walsh关于单顶点三角剖分数的公式的简单双射证明。从标号的情况下，我们推导出的表达式的渐近数的亏格g的n边涉及ISE随机测度，和一个明确的特征的极限轮廓和半径的亏格g的随机二部四边形的ISE。
2009-03-05 math.CO math.PR
Scaling limits of planar maps under the Smith embedding
本文研究了平面图在Smith嵌入下的标度极限，证明了满足随机游走收敛条件的有限平面图序列的先验嵌入在大尺度上接近Smith嵌入的仿射变换，并据此证明mated-CRT图的Smith嵌入收敛至$γ$-LQG。
2024-10-17 math-ph math.MP math.PR
The topological structure of scaling limits of large planar maps
讨论了大二部平面映射的标度极限。若p是严格大于大于1的固定整数，我们考虑一个均匀分布在n个面的2 p-角化集上的随机平面映射M（n）.然后，至少沿着一个合适的子序列，配备有图距离的度量空间M（n）在分布上收敛，因为n趋于无穷大，朝着一个极限随机紧度量空间，在Gromov-Hausdorff距离的意义下。我们证明了极限空间的拓扑是独立于p唯一确定的，并且这个空间可以作为连续统随机树对于一个等价关系的商而得到，该关系是由附着在顶点上的布朗标签定义的。我们还验证了极限的豪斯多夫维数几乎必然等于4。
2006-10-31 math.CO math.PR
Some families of increasing planar maps
当人们想通过连续添加面来定义一些三角剖分的增加族时，堆叠三角剖分就像自然对象一样出现。研究了两种不同分布下带$2n$面的有根堆叠三角剖分的渐近性质。我们证明了这组映射上的均匀分布对于局部收敛的拓扑收敛于无穷映射上的分布。另一方面，我们证明了在$n^{1/2}$下，它们对于度量空间上的Gromov-Hausdorff拓扑收敛到Aldous引入的连续随机树.在由自然随机结构诱导的分布下，由$(6/11)\log n$重新标度的随机点之间的距离在概率上收敛于1。我们得到了类似的渐近结果的家庭增加四边形。
2007-12-04 math.CO math.PR
Anomalous diffusion of random walk on random planar maps
证明了均匀无限平面三角剖分（UIPT）上的简单随机游动在$n$单位时间内最多可走$n^{1/4 + o_n(1)}$.结合Gwynne和Miller（2017）证明的互补下界，这表明$n$步骤后行走的典型图形距离位移是$n^{1/4 + o_n(1)}$，如Benjamini和Curien（2013）所述。更一般地说，我们证明了在$γ\in (0,2)$的$γ$ -Liouville量子引力（LQG）普适类中的某类随机平面映射上的简单随机游动--包括生成树加权映射，双极定向映射和配对CRT映射--通常以$n$时间单位旅行图距离$n^{1/d_γ+ o_n(1)}$，其中$d_γ$是映射上度量球体积的增长指数，Ding和Gwynne（2018）证明存在并仅依赖于$γ$。由于$d_γ> 2$，这表明这些地图上的简单随机游动是次扩散的。我们的证明是基于嵌入的随机平面地图考虑到$\mathbb C$，其中图形距离球可以比较欧几里德球模次多项式错误。这种嵌入产生于给定的随机平面映射与配对CRT映射的耦合以及后者映射与SLE装饰LQG的关系。
2020-07-04 math-ph math.MP math.PR
Planar maps and random partitions
本文总结了我从2005年到2019年所做的研究。全文共分四章。前三个处理随机平面地图。第一章是关于它们的度量性质：从一般映射-可动双射出发，我们计算了四边形剖分的三点函数，然后讨论了它与连分式的关系。第2章介绍了切片分解，一个统一的双射方法，特别适用于不可约映射。第三章研究了平面映射上的$O(n)$循环模型：通过组合分解得到了循环的相图，然后研究了循环嵌套统计。第4章涉及随机划分和舒尔过程，从陡峭的多米诺瓷砖费米子系统。
2019-12-14 math-ph math.CO math.MP
The six-vertex model on random planar maps revisited
我们解决了六顶点模型的随机格，这在组合方面对应于枚举加权4-valve平面地图配备了欧拉方向。Ivan Kostov在2000年使用矩阵积分技术解决了这个问题。我们转换Kostov的工作，涉及函数方程来自递归分解的地图，我们严格使用复分析解决的组合参数。然后，我们调查模块化的解决方案，从而导致在某些特殊情况下的简化。特别是，在两个特殊情况下的组合利益，我们重新推导公式发现Bousquet Mélou和第一作者。
2020-07-15 math-ph math.CO math.MP
