Positroids and non-crossing partitions
我们研究了非交叉划分在正拟阵（Postnikov引入的一类拟阵）研究中所发挥的作用。我们证明了每一个正拟阵都可以通过在基集上选择一个不相交的划分，然后自由地将一个连通正拟阵的结构放置在该划分的每个块上来唯一地构造。这个结构结果产生了几个关于正粒子的组合事实。我们证明了正拟多面体的面偏序集嵌入在加权非交叉划分的偏序集中。我们列举了连接的正粒子，并显示它们是如何自然产生的自由概率。最后，我们证明了[n]上正拟阵连通的概率渐近等于1/e^2。
2013-09-15 math.CO
Strong orientation of a connected graph for a crossing family
本文证明在交叉族每个集合的割边数至少为2的条件下，连通图存在使每个集合同时具有出弧和入弧的强定向，从而解决了Chudnovsky等人的主要猜想，并给出Edmonds-Giles猜想最小反例中非零权重弧不连通的结构性结论。
2024-11-20 math.CO
Domination and independence number of large $2$-crossing-critical graphs
在2016年描述了$2$ -交叉-临界图之后，它们最一般的子类，大$3$ -连通$2$ -交叉-临界图，引起了单独的关注。本文给出了它们的控制数和独立数的精确上界和下界。
2022-03-23 math.CO
Non-crossing Connectors in the Plane
我们考虑非交叉连通子问题，其表述如下：给定n个单连通区域R_1，…，R_n在平面上的有限点集P_i是R_i的子集，其中i=1，.，n，对于（R_i，P_i）是否存在非交叉连接符y_i，即，弧连通集y_i，其中P_i是y_i的子集R_i的子集，对任意i=1，.，n，使得y_i和y_j对所有i不等于j都是不相交的？我们证明了非交叉连接器总是存在的，如果区域形成一个集合的伪磁盘，即，每对区域的边界最多相交两次。我们提供了一个简单的多项式时间算法，如果区域是轴对齐的矩形。最后证明了一般问题是NP-完全的，即使区域是凸的，每对区域的边界至多相交四次，P_i仅由R_i边界上的两点组成，i=1，…，n.
2012-01-04 cs.CG cs.DM math.CO
The Orchard crossing number of an abstract graph
我们引入果园交叉数，这是以类似的方式定义的著名的直线交叉数。我们计算了一些简单图族的Orchard交叉数。我们还证明了这个交叉数的一些性质。此外，我们还定义了这个交叉数的一个变体，它与直线交叉数紧密相连，并对一些简单的图族计算了它。
2009-04-23 math.CO
A Note on the 2-Colored Rectilinear Crossing Number of Random Point Sets in the Unit Square
本文研究单位正方形中随机四点集的边着色交叉问题，证明同色交叉边概率为1/4，并给出随机绘制下使单色交叉数期望降至交叉总数1/2-7/50的着色方案。
2023-12-04 cs.CG math.CO
Making a graph crossing-critical by multiplying its edges
一个图是交叉临界的，如果它的任何边的删除减少其交叉数。这项工作的动机是以下问题：在何种程度上是交叉临界性的属性，是固有的结构的一个图，在何种程度上可以诱导非临界图乘以（所有或部分）其边缘？证明了如果一个非平面图G是由一个三次多面体图加一条边得到的，并且G是充分连通的，那么G可以通过适当的边的乘法而成为交叉临界的.
2011-12-17 math.CO
Large Non-Planar Graphs and an Application to Crossing-Critical Graphs
证明了对任意正整数k，存在整数N使得任意至少有N个顶点的4-连通非可平面图都有一个子图同构于K_{4,k}，K_{4,k}是由长度为2k+1的圈通过在距离为k的每对顶点之间添加一条边而得到的图，或从长度为k的循环中通过将彼此相邻的两个顶点添加到循环上的每个顶点而获得的图。我们还证明了一个版本的细分，而不是未成年人，并放松连接，让3-削减与一侧平面和有界的大小。我们证明了对于任意整数k，只有1000个3-连通2-交叉-临界图与由长度为2k的圈通过连接所有对角对顶点而得到的图同构。
2010-11-10 math.CO
Crossing Numbers and Stress of Random Graphs
考虑$\mathbb{R}^d$中随机点过程上的随机几何图。当且仅当两点的距离由指定的距离参数限定时，两点通过边连接。我们表明，投影到一个二维的平面上的图形预计会产生一个常数因子交叉数（和直线交叉数）近似。我们还表明，交叉数呈正相关的图形的投影的应力。
2020-08-25 cs.DM math.CO
Skewness, crossing number and Euler's bound for graphs on surfaces
本文研究曲面上连通图的偏斜度、交叉数与欧拉下界之间的不等式关系，综述相关进展，并确定折叠立方体的亏格等新结果。
2025-01-04 math.CO
Toward the Rectilinear Crossing Number of $K_n$: New Drawings, Upper Bounds, and Asymptotics
Scheinerman和Wilf（1994）指出：“确定完全图K_n的直交数是图嵌入研究中的一个重要公开问题。“K_n的直线图是平面上n个顶点的排列，每对顶点都由一条线段边连接。我们假设没有三个顶点是共线的，并且没有三条边相交于一个点，除非该点是所有三条边的端点。K_n的直线交叉数是在K_n的所有直线图上可达到的最少边交叉数。对于每个n，我们构造一个直线图K_n，具有最少的边交叉和最好的渐近已知的日期。此外，我们还给出了K_n的几种具有良好渐近性的可供选择的无穷图族.最后，我们提到了一些新老问题。
2000-09-28 cs.CG cs.DM math.CO
A Schnyder-type drawing algorithm for 5-connected triangulations
本文为5-连通三角剖分定义Schnyder型组合结构，并证明基于重心放置的绘图算法可生成平面直线图。
2023-08-31 cs.CG math.CO
The minimum crossing number and minimum size of maximal 1-plane graphs with given connectivity
本文研究了3≤k≤7的k-连通极大1-平面图，分别建立了其交叉数和边数的下界。
2025-04-30 math.CO
Infinite families of crossing-critical graphs with prescribed average degree and crossing number
Siran构造了无限族的k-交叉-临界图的每一个k=>3和Kochol构造了这样的家庭的单图的每一个k=>2。Richter和Richassen认为，对于任意给定的k>=1和r>=6，只有1000个简单的k-交叉-临界图具有最小度r。Salazar观察到，同样的论证意味着对于规定的平均度r>6的简单k-交叉-临界图也有这样的结论。他建立了存在的无限家庭的简单k-交叉-临界图与任何规定的合理平均度r在[4，6]无限多k，并要求他们的存在r在（3，4）。这个问题是部分解决了Pinontoan和里希特，谁回答了它积极的r（7/2，4）。目前的贡献使用两个新的建设交叉临界单图随着一个开发的Pinontoan和里希特统一这些结果，并回答萨拉查的问题，由以下声明：对于（3，6）中的每一个有理数r，存在一个整数N_r，使得对于任意k>N_r，存在无限族平均度为r、交叉数为k的简单3连通交叉-临界图。此外，在（3，6）中，对于任何闭区间I中的有理数，k的一个普遍下界也适用。
2009-09-14 math.CO
Disjoint compatibility graph of non-crossing matchings of points in convex position
令$X_{2k}$为平面中凸位置的一组$2k$标记点。我们考虑$X_{2k}$的几何不相交直线完美匹配。两个这样的匹配，$M$和$M'$，如果它们没有公共边，并且没有$M$的边与$M'$的边相交，则是不相交兼容的。用$\mathrm{DCM}_k$表示其顶点对应于这样的匹配的图，并且两个顶点相邻当且仅当对应的匹配是不相交相容的。我们表明，对于每个$k \geq 9$，连接组件的$\mathrm{DCM}_k$形式正是三个同构类-即，有一定数量的同构小组件，一定数量的同构中组件，和一个大组件。精确地确定了中小型部件的数量和结构。
2014-03-21 cs.CG cs.DM math.CO
Counting Plane Graphs: Cross-Graph Charging Schemes
我们研究了平面图的交图充电方案。这些是电荷在不同图的顶点之间移动的充电方案。这种方法最近已被应用于获得各种属性的三角剖分是嵌入在一组固定的点在平面上。我们展示了如何推广这种方法，以获得各种其他类型的图形嵌入在平面上的结果。具体来说，我们得到了一个新的界的$O^*(187.53^N)$（其中$O^*()$符号隐藏多项式因子）的最大数量的交叉自由直边图，可以嵌入在平面上的任何特定的一组$N$点（改进后，以前的最佳上限$207.85^N$在霍夫曼等人）。我们还得到了其他几种类型的平面图（如连通和双连通平面图）的数量的上界，并获得了各种边界的预期顶点度的图，均匀地从一组所有交叉自由直边图，可以嵌入到一个特定的点集。然后，我们将展示如何应用交叉图收费计划的方法，允许某些类型的交叉点的图形。具体来说，我们考虑没有一组$k$成对交叉边的图（更常见的称为$k$ -准平面图）。对于$k=3$和$k=4$，我们证明了：对于平面上$N$点的任意集合$S$，在$S$上具有直边$k$ -拟平面嵌入的图的个数在$N$中仅是指数的.
2012-09-02 cs.CG cs.DM math.CO
Separable Drawings: Extendability and Crossing-Free Hamiltonian Cycles
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
引入可分离绘图概念，证明每个可分离绘图可扩展为完全图K_n的简单绘图，且K_n的可分离绘图包含无交叉哈密顿环并是平面哈密顿连通的。
2026-06-18 cs.CG cs.DM math.CO
Properties of uniformly $3$-connected graphs
本文重新研究均匀3-连通图的构造性刻画，建立顶点数与构造运算之间的关系，并分析交叉数和树宽的变化，进而用于研究最小度顶点数最少的均匀3-连通图的结构性质。
2024-06-05 math.CO
Large Matchings in Maximal 1-planar graphs
众所周知，如果$n\geq 14$，则每个极大可平面图都有至少$\tfrac{n+8}{3}$的大小匹配。本文研究了极大\emph{1-planar}图的相似匹配界，即，可以画出每条边最多有一个交叉的图。特别是，我们证明了每一个3-连通的简单极大1-可平面图有一个匹配的大小至少$\tfrac{2n+6}{5}$ ;界减少到$\tfrac{3n+14}{10}$，如果图不需要3-连通。我们也给（较弱）的界限时，图带有固定的1-平面图或不简单。我们所有的边界都是紧的，在这个意义上，一些满足限制的图没有更大的匹配。
2023-01-04 cs.CG math.CO
Counting Hamiltonian cycles in 2-tiled graphs
1930年，Kuratowski证明了$K_{3,3}$和$K_5$是仅有的两个极小非平面图。Robertson和Seymour对任意曲面推广了禁子集的有限性。Širáregon和Kochol证明了对于任何$k\ge 2$都有无穷多个$k$ -交叉-临界图，即使仅限于简单的$3$ -连通图.最近，$2$ -交叉-临界图已经被Bokal，Oporowski，Richter和Salazar完全刻画。本文给出了大型2-交叉临界图的一种简化描述，并利用这种简化来计算这类图中的哈密顿圈。我们将这种方法推广到计算所有2-平铺图中的哈密顿圈的算法，从而推广了Bodroža-Pantić，Kwong，Doroslovački和Pantić关于$n = 2$的结果。
2021-02-16 math.CO
Canonical ordering for graphs on the cylinder, with applications to periodic straight-line drawings on the flat cylinder and torus
我们扩展的概念规范订购（最初开发的平面三角和3-连通平面地图）圆柱形（基本上是简单的）三角形，更一般的圆柱形（基本上是内部）$3$连接的地图。这使我们能够扩展的增量直线绘制算法de Fraysseix，Pach和Pollack（在三角形的情况下）和康德（在$3$连接的情况下），以这种设置。精确地说，对于任何具有$n$顶点的圆柱形本质内$3$ -连通映射$G$，我们可以在线性时间内得到$G$在规则网格$\mathbb{Z}/w\mathbb{Z}\times[0..h]$上的周期（在$x$中）直线图，它是无交叉的和内（弱）凸的，具有$w\leq 2n$和$h\leq n(2d+1)$，其中$d$是两个边界之间的面距离。这也产生了一个有效的周期性绘制算法的图上的环面。确切地说，对于环面上的任何基本上$3$连接的映射$G$（即，$3$ -在周期表示中连接）与$n$顶点，我们可以在线性时间内计算$G$的周期性直线绘图，该绘图是无交叉和（弱）凸的，在周期性规则网格$\mathbb{Z}/w\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/h\mathbb{Z}$上，具有$w\leq 2n$和$h\leq 1+2n(c+1)$，其中$c$是$G$的面宽度。自$c\leq\sqrt{2n}$起，网格区域为$O(n^{5/2})$。
2017-11-21 cs.DM math.CO
Computing Vertex and Edge Connectivity of Graphs Embedded with Crossings
本文将基于面距离的关键洞察推广至更广泛的带交叉平面嵌入图类，为最优 k-平面图、有界交叉数图等提供了计算顶点和边连通性的线性时间算法。
2025-10-13 cs.DS math.CO
Cosigning Crossing Families and Outer-Planar Gadgets
研究共签交叉族与外平面装置，通过算法性条件确定其存在性，并在平面图中用于寻找不相交边割集。
2026-02-27 math.CO
Chromatic number of ordered graphs with forbidden ordered subgraphs
已知不含给定图H的图有界色数当且仅当H是无圈图。在这里，我们考虑有序图，即，图的顶点集上具有线性序，函数f（H）= sup{chi（G）|G in Forb（H）}其中Forb（H）表示不包含H的副本的所有有序图的集合。如果H包含一个圈，则与无序图的情况一样，f（H）是无穷大。然而，与无序图相反，我们描述了一个具有无限f（H）的有序森林H的无限族。一个有序图是交叉的，如果有两条边uv和u 'v'，且u < u' < v <v'。对于连通的交叉有序图H，我们将确定f（H）是否有限的问题归结为一族所谓的单调交错树。对于非交叉的H，我们证明了f（H）是有限的当且仅当H是非循环的，并且不包含四个或五个顶点上的五个特殊有序森林中的任何一个的副本，我们称之为bonnets。对于这样的森林H，我们证明f（H）<= 2^|V（H）|且f（H）<= 2| V（H）|-3如果H已连接。
2016-03-01 cs.DM math.CO
Long Cycles and Spanning Subgraphs of Locally Maximal 1-planar Graphs
一个图是$1$ -平面的，如果它在平面中有一个绘图，使得每条边最多与另一条边相交一次。此外，如果这个图有额外的性质，即对于两个边的每个交叉，这些边的端点诱导出一个完全子图，则该图是局部极大$1$ -平面的。对$3$ -连通局部极大$1$ -可平面图$G$，证明了生成$3$ -连通平面子图的存在性，并证明了当$G$至多有3个$3$ -点割时，$G$是Hamilton图;当$G$至多有4个$3$ -点割时，$G$是可迹图.此外，还得到了无穷多个不可迹的$5$ -连通$1$ -可平面图.
2019-12-17 math.CO
Peeling and Nibbling the Cactus: Subexponential-Time Algorithms for Counting Triangulations and Related Problems
给定平面中的一组$n$点$S$，$S$的三角测量$T$是端点在$S$中的非交叉线段的最大集合。我们提出了一种算法，该算法计算给定的$n$时间点集$n^{(11+ o(1))\sqrt{n} }$上的三角剖分数量，显著改善了Alvarez和Seidel [SoCG 2013]之前$O(2^n n^2)$的最佳运行时间。我们的主要工具是确定分隔符的大小$O(\sqrt{n})$的三角剖分在一个规范的方式。分隔符的定义是基于三角剖分到嵌套层（“仙人掌图”）的分解。基于上述算法，我们开发了一个简单而形式化的框架，可以在$n^{O(\sqrt{n})}$时间内对其他非交叉直线图进行计数。我们证明了有用的框架，将其应用于计数非交叉汉密尔顿循环，生成树，完美匹配，$3$ -可着色三角，连通图，循环分解，四边形，$3$ -经常图，等等。
2016-03-23 cs.CG cs.DM cs.DS
Duality and Outermost Boundaries in Generalized Percolation Lattices
在本文中，我们考虑一个连通的可平面图$G$和施加的条件，导致$G$具有渗流格状细胞结构。假设$G$的每个胞元是被占用的或空的，我们描述了$G$中星连通分支和正连通分支的最外边界。然后，我们考虑的对偶图的$G$和施加的条件下，对偶也是一个渗流格。最后，利用$G$及其对偶，我们构造了围绕被占据组分的空胞环，并研究了矩形中的左右交叉和键渗流。
2021-08-15 math.CO math.PR
Cops and Robbers for Graphs on Surfaces with Crossings
本文研究带交叉的曲面图上的警察与强盗博弈，提出距离d变体，证明当交叉边对之间存在短路径连接时，1-平面图、k-平面图等图类的警察数在较小d值下有界。
2025-07-02 cs.DM math.CO
