Structure and generation of crossing-critical graphs
Charles University, Prague（布拉格查理大学）；Faculty of Informatics, Masaryk University, Brno（布尔诺马萨里克大学信息学院）；Department of Mathematics, Simon Fraser University, Burnaby（本拿比西蒙菲莎大学数学系）
本文研究了需要至少c条边交叉的最小图，证明了对于c>1，存在无限多个c-交叉临界图，并给出了生成这些图的多项式时间算法。
2026-05-07 cs.CG math.CO
On the size of planarly connected crossing graphs
我们证明了，如果一个$n$ -顶点图$G$可以画在平面上，使得每对交叉边是独立的，有一个交叉自由的边缘，连接他们的端点，那么$G$有$O(n)$边。允许这样绘图的图与拟平面图和极大$1$ -平面图和扇-可平面图有关.
2016-08-30 cs.CG math.CO
A Crossing Lemma for Jordan Curves
如果平面上的两条约当曲线恰好有一个公共点，并且在那里它们没有正确相交，则该公共点称为{ \em接触点}。本文的主要结果是简单曲线的一个交引理：设$X$和$T$分别表示平面上$n$简单曲线族的交点和接触点的集合，其中没有三条曲线通过同一点。如果$|T|>cn$，对于某个固定常数$c>0$，则证明了$|X|=Ω(|T|(\log\log(|T|/n))^{1/504})$ .特别地，如果是$|T|/n\rightarrow\infty$，则交叉点的数量远大于接触点的数量。作为推论，我们证实了Richter和Killassen的以下长期猜想：$n$两两相交的简单闭（即，Jordan）的曲线，其中没有三条曲线通过同一点，至少是$(1-o(1))n^2$。
2017-08-07 cs.CG math.CO
Crossing and non-crossing families
研究平面一般位置点集的交叉族与非交叉族问题，证明任意$n$点集要么含大小为$n/2^{O(\sqrt{\log{m}})}$的交叉族要么含大小为$m$的非交叉族，给出构造性证明及不同时间复杂度的查找算法，强化了现有结果。
2025-08-24 cs.CG math.CO
Long non-crossing configurations in the plane
我们重新审视几个最大化问题的几何网络设计下的非交叉约束，首先研究了阿隆，Rajagopalan和苏里（ACM计算几何研讨会，1993年）。给定一组$n$点在平面上的一般位置（没有三个点共线），计算由直线段组成的最长非交叉配置，即：（a）匹配（b）哈密尔顿路径（c）生成树。本文对（b）和（c）以及Hamilton圈问题得到了新的结果：（i）对于最长不相交Hamilton路问题，我们给出了一个具有比率$\frac{2}{π+1} \approx 0.4829$的近似算法。之前的最佳比例，由于阿隆等人，是$1/π\approx 0.3183$。此外，我们的算法的比率是接近$2/π$在一个相对广泛的类别的情况下：点集的周长（或直径）是远远短于最大长度匹配。该算法在$O(n^{7/3}\log{n})$时间内运行。(ii)对于最长非交叉生成树问题，我们给出了一个在$O(n \log{n})$时间内运行的比率为0.502的近似算法。之前的比例，1/2，由于阿隆等人，通过二次时间算法实现。在此过程中，我们首先用更快的$O(n \log{n})$时间算法和一个非常简单的分析重新推导了Alon等人的结果。(iii)对于最长不相交的Hamilton圈问题，我们给出了一个近似算法，其比在相对广泛的一类实例上接近于$2/π$：对于点集的乘积$\bf{<}$直径$\times$凸包大小$\bf{>}$远小于…
2010-02-03 cs.CG
Beyond the Richter-Thomassen Conjecture
如果平面上的两条闭合约当曲线恰好有一个公共点，则称之为{ \em接触点}。所有其他交点称为{ \em交叉点}。本文的主要结果是一个闭曲线的交叉引理：在平面上任意一族$n$两两相交的简单闭曲线中，没有三条曲线通过同一点，交叉点的数目至少是接触点数目的$Ω((\log\log n)^{1/8})$倍.作为推论，我们证明了Richter和Killassen的一个长期存在的猜想：平面上任意$n$两两相交的简单闭曲线的交点总数至少为$(1-o(1))n^2$，其中没有三条曲线通过同一点。
2015-07-07 cs.CG math.CO
Computing $k$-Crossing Visibility through $k$-levels
本文借助$k$-层技术提出平面直线、三维平面排列及多边形上的$k$-交叉可见性计算算法，部分场景下达到最优复杂度，且技术可推广至其他已知$(\u2264 k)$-层的场景。
2024-05-16 cs.CG
Bounded maximum degree conjecture holds precisely for $c$-crossing-critical graphs with $c \leq 12$
本文研究了$c$ -交叉临界图，它是在平面上画出的至少需要$c$边交叉的最小图。对每一个具有$c\ge 13$和$d\ge 1$的固定整数对，我们给出了含有度大于$d$的顶点的$c$ -交叉临界图的第一个显式构造.我们还证明了对于$c\le 12$不存在这样的无界度结构，确切地说，存在一个常数$D$，使得每个具有$c\le 12$的$c$ -交叉临界图的最大度至多为$D$ .因此，$c$交叉临界图的有界最大度猜想，在2010年被Dvopiák和Mohar（没有明确的构造）普遍否定，令人惊讶的是，对于值$c\le 12.$完全正确
2021-05-05 cs.CG cs.DM
Planar Point Sets Determine Many Pairwise Crossing Segments
该研究改进了平面一般位置点集两两相交线段数量的下界，从25多年前的Ω(√n)提升至n^{1-o(1)}，给出构造性证明且结果可推广到稠密几何图。
2023-04-30 cs.CG math.CO
Untangling Segments in the Plane
本文提出统一框架，研究平面线段集中消除交叉的翻转操作次数，证明对凸位置端点敏感的新界，适用于TSP环游、树、匹配等图结构。
2025-01-21 cs.CG
On the Longest Flip Sequence to Untangle Segments in the Plane
平面中的一组分段可以形成欧几里德TSP巡回或匹配等。最优TSP旅行以及最小权重完美匹配没有交叉段，但一些几何学和近似算法可能产生具有交叉的解决方案。为了改进这样的解决方案，我们可以连续应用翻转操作，用非交叉段替换一对交叉段。本文考虑对n个段执行的最大翻转次数D（n）。首先，我们提出了减少有关D（n）的不同集合的部分（TSP旅游，单色匹配，红蓝匹配，和多重图）。其次，我们证明了如果除了t点之外的所有点都在凸位置，则D（n）= O（tn^2），提供了凸O（n^2）界和一般O（n^3）界之间的平滑过渡。最后，我们证明了如果我们不计算翻转的总数，而只计算不同翻转的数量，那么立方上界改进为O（n^{8/3}）。
2023-03-17 cs.CC cs.CG
A Unified FPT Framework for Crossing Number Problems
针对平面及曲面上的广义交叉数问题，提出统一FPT框架，通过固定曲面、映射等参数及归约到二维单纯复形嵌入，提供二次时间算法，覆盖多变体且运行时间优于传统方法。
2025-08-25 cs.CG math.CO
Coloring non-crossing strings
对于平面$\mathcal{F}=\{S_1,\ldots,S_n\}$中的一系列几何对象，将$χ(\mathcal{F})$定义为最小整数$\ell$，以使$\mathcal{F}$的元素可以用$\ell$颜色着色，从而使任何两个相交对象具有不同的颜色。当$\mathcal{F}$是一组只能在其边界上相交的伪圆盘，并且使得平面上的任何点至多包含在$k$伪圆盘中时，可以证明$χ(\mathcal{F})\le 3k/2 + o(k)$因为该问题等价于平面图的循环着色。在本文中，我们研究了同样的问题时，伪磁盘被替换为家庭$\mathcal{F}$的伪段（a.k.a.不交叉的字符串。换句话说，任何两个$\mathcal{F}$字符串只允许彼此“接触”。如果平面上没有一个点包含在$\mathcal{F}$的多于一个$k$元素中，则称这样的族是$k$接触的。我们给界限$χ(\mathcal{F})$作为$k$的函数，特别是我们表明，$k$接触段可以着色与$k+5$颜色。这部分地回答了Hlinhannneln（1998）关于弦的接触系统的色数的问题。
2016-11-18 cs.CG math.CO
Faster Bottleneck Non-crossing Matchings of Points in Convex Position
给定平面上的偶数个点，我们感兴趣的是用直线段匹配所有的点，使得线段不交叉。瓶颈匹配是最小化最长段的长度的匹配。对于凸位置上的点，我们提出了一个二次时间的算法来寻找一个瓶颈的非交叉匹配，改进了以前已知的最好的三次时间复杂度的算法。
2016-02-16 cs.CG
On problems related to crossing families
给定平面中的一组点，\emph{crossing family}是线段的集合，每个线段连接两个点，使得每两个线段在内部相交。Aronov等人[Combinatorica，~14（2）：127-134，~1994]证明了任何$n$点集都包含一个大小为$Ω(\sqrt{n})$的交叉族。他们还提到，存在最大交叉族使用最多$\frac{n}{2}$点的点集。我们改进了交叉族规模的上界为$5\lceil \frac{n}{24} \rceil$。我们还介绍了一些推广的交叉家庭，并给出了几个下限和上限我们的广义概念。
2019-06-01 cs.CG
The density of iterated crossing points and a gap result for triangulations of finite point sets
考虑一个平面图G，用直线画出。对于G的每一对顶点a，b，我们将G中a和b之间的最短路径距离（具有欧几里得边长）与它们在平面中的实际距离进行比较。对于所有的点对，这两个值的最坏情况之比称为G的伸缩。对所有扩张为1的有限平面图进行了分类。它们与下面的迭代过程密切相关。对于R^2中给定的点集P，我们用一条线段连接P中的每对点，然后将两条线段相交的所有点加到P上。无限次重复这个过程，得到极限点集P *。本文的主要结果是间隙定理：对于平面上的任意有限点集P，若P~*为无穷大，则存在一个阈值t> 1，使得P不包含在任意有限平面图的点集中，且扩张至多为t。我们构造一个具体的点集Q，使得任何包含这个点集的平面图的顶点之间的膨胀必须大于1.0000047。
2006-01-10 cs.CG
An Algorithm for the Graph Crossing Number Problem
我们研究了最小交叉数问题：给定一个$n$ -顶点图$G$，目标是找到平面上边交叉数最少的$G$的一个图.这是拓扑图论中的核心问题之一，在过去的三十年中得到了广泛的研究。第一个非平凡的有效算法的问题，由于Leighton和饶，实现了$O(n\log^4n)$ -近似有界度图。该算法通过引入多对数因子进行了改进，对于度最大的图$d$，其最佳近似比为$O(n \poly(d) \log^{3/2}n)$.相反，只有APX硬度是已知的消极方面。在本文中，我们提出了一个有效的随机算法，以找到任何$n$ -顶点图$G$在平面上与$O(OPT^{10}\cdot \poly(d \log n))$交叉，其中$OPT$是交叉的最佳解决方案的数量，和$d$是最大顶点度$G$的绘图。这一结果意味着最小交叉数的$\tilde{O}(n^{9/10} \poly(d))$ -近似，从而打破了长期存在的有界度图的$\tilde{O}(n)$ -近似障碍。
2010-12-01 cs.CG cs.DS
On Computing Vertex Connectivity of 1-Plane Graphs
本文研究1-平面图的顶点连通度计算问题，基于交叉端点诱导子图对1-平面图分类，证明特定类别的最小顶点割结构特征，并据此设计出线性时间算法。
2025-06-02 cs.CG cs.DS math.CO
A Randomized Incremental Algorithm for the Hausdorff Voronoi Diagram of Non-crossing Clusters
在平面中的一族\emph{clusters of points}的豪斯多夫沃罗诺伊图中，点$t$与簇$P$之间的距离被测量为$t$与$P$中的任何点之间的最大距离，并且该图是在输入簇的最近邻意义上定义的。在本文中，我们考虑%El。平面中的“非交叉”\emph{non-crossing}簇，其中Hausdorff沃罗诺伊图的组合复杂度在所有簇的凸包上的点的总数$n$中是线性的。我们提出了一个随机增量建设，基于点的位置，计算这个图在预期的$O(n\log^2{n})$时间和预期的$O(n)$空间。我们的技术有效地处理非标准特性的广义沃罗诺伊图，如网站的非常数复杂性，网站不封闭在其沃罗诺伊地区，空沃罗诺伊地区。该图在VLSI计算机辅助设计中有直接应用。
2016-03-05 cs.CG
Short Flip Sequences to Untangle Segments in the Plane
针对平面线段交叉问题，本文设计高效翻转策略以少量翻转得到无交叉线段，将凸位置端点的线性/近线性翻转次数界推广至非凸位置，在通用多重图框架下证明结果。
2023-07-24 cs.CG
Updating the Number of Crossings in Rectilinear Drawings of the Complete Graph
设$S$是平面中一般位置上的一组$n$点。用直线段连接$S$中的每对点。令$\overline{cr}(S)$为在其内部相交的这些边的对数。假设这个数字是已知的。本文考虑了计算$\overline{cr}(S')$的问题，其中$S'$来自于从$S$中增加、删除或移动一个点。
2017-11-12 cs.CG
On Graph Crossing Number and Edge Planarization
给定一个n-顶点图G，G在平面上的一个绘图是它的顶点到平面上的点的映射，它的边到连续曲线的映射，连接它们的端点的图像。在这样的图形中，交点是两条这样的曲线相交的点。在最小交叉数问题中，目标是找到一个具有最小交叉数的G图。最优解的值，用OPT表示，称为图的交叉数。这是拓扑图论中一个非常基本的问题，已经受到了大量的关注，但在算法上仍然知之甚少。目前已知的最有效的算法产生的图纸与$O(\log^2 n)(n + OPT)$交叉的有界度图，而只有一个常数因子硬度的近似是已知的。一个密切相关的问题是最小边平面化，其中的目标是从G中移除边的最小基数子集，使得剩余的图是平面的。我们的主要技术结果在两个问题之间建立了以下联系：如果我们给出图G上的最小边平面化问题的代价k的解，那么我们可以有效地找到G的最多有$\poly(d)\cdot k\cdot (k+OPT)$交叉的图，其中$d$是G中的最大度。这一结果意味着一个$O(n\cdot \poly(d)\cdot \log^{3/2}n)$ -近似的最小交叉数，以及改进的算法的特殊情况下的问题，如，例如，k-顶点和有界亏格图。
2010-10-19 cs.CG cs.DS
A generalization of crossing families
对于平面中的一组点，\emph{crossing family}是一组线段，每个线段连接两个点，使得任何两个线段相交。我们研究了交叉族的以下推广：一个\emph{spoke set}是一组通过点集绘制的线，使得诱导线排列的每个无界区域包含点集的至少一个点。我们证明了每个点集都有一个大小为$\sqrt{\frac{n}{8}}$的辐集。我们还描述了匹配，通过选择一个点，在每个无界区域和连接每个这样的点，在对映无界区域的点。
2017-02-24 cs.CG
Crossing-Optimal Extension of Simple Drawings
在部分图绘图的扩展问题中，给出了输入图$G$的不完整绘图，并要求在保持某些属性的情况下完成绘图。出现这种问题的一个突出领域是交叉最小化。对于平面图和各种放宽这些，有一些易处理性以及下限的结果，探索交叉敏感的绘图扩展问题的计算复杂性。相比之下，相对较少的结果是已知的基本和广泛的一类简单的图纸，即图纸中的每对边缘相交在最多一个点的扩展问题。事实上，直到最近，它已被证明，简单的图纸延伸问题是NP-难的，即使任务是插入一个单一的边缘。在本文中，我们提出了简单的图纸交叉敏感的延伸问题的易处理的结果。特别是，我们表明，插入到一个简单的绘图的边缘的问题是固定参数的参数化时，易于处理的边缘插入和上界新创建的交叉点的数量。使用相同的证明技术，我们也能够回答这个问题的几个密切相关的变种，其中包括$k$ -平面图纸的扩展问题。此外，使用不同的方法，我们提供了一个单指数固定参数算法的情况下，我们只是试图插入一个单一的边缘到绘图。
2020-12-14 cs.CG cs.DS
Minimum Partition into Plane Subgraphs: The CG:SHOP Challenge 2022
我们概述了2022年计算几何挑战赛的目标问题最小划分为平面子集，其中包括将给定的线段集划分为最小数量的非交叉子集。
2022-03-14 cs.CG cs.DS
