Bounds on the maximum multiplicity of some common geometric graphs
我们得到新的下限和上限的最大多重性的一些加权和，分别，非加权常见的几何图形绘制在n个点在平面上的一般位置（没有三个点共线）：完美匹配，生成树，生成周期（旅游），和三角剖分。(i)我们提出了一个新的下界构造的最大数目的三角剖分的一组n个点在一般的位置可以有。特别地，我们证明了由两个几乎凸链构成的广义二重链允许Ω（8.65 ^n）个不同的三角剖分。这改进了Aichholzer等人研究的双锯齿链构型所得到的界Ω（8.48^n）。（ii）我们给出了由两个凸链组成的双链的非交叉生成树个数的一个新的下界Ω（12.00^n）。之前的界限Ω（10.42^n）在10多年的时间里保持不变。(iii)利用最近Sharir和Sheffer给出的三角剖分数的上限为30^n，我们证明了平面上一般位置的n个点最多允许O（68.62^n）个非交叉生成圈。(iv)我们推导出最大和最小加权几何图（匹配，生成树和旅游）的数量的下界。我们表明，最短的非交叉旅游的数量可以是指数n。同样，我们证明了最长非交叉旅行的数目和最长非交叉完美匹配的数目都可以是n中的指数。此外，我们还证明了在凸位置上存在n个点的集合，其最长非交叉生成树的个数为指数。对于凸位置上的点，我们得到了最长和最短行程数的紧界。我们给出了一个组合的最长的旅游，这导致一个O（nlog n）的时间算法来计算它们的特征。
2011-09-26 cs.CG cs.DM
Linear-Time Algorithms for Geometric Graphs with Sublinearly Many Edge Crossings
我们提供了线性时间算法的几何图形与次线性许多交叉。也就是说，我们提供的算法运行在O（n）时间的连接几何图有n个顶点和k个交叉，其中k小于n的迭代对数因子。我们研究的具体问题包括沃罗诺伊图和单源最短路径。我们的算法都运行在线性时间在标准的比较为基础的计算模型，因此，我们不做任何假设的分布或位的边缘权重的复杂性，我们也不利用不寻常的位级操作的内存字。相反，我们的算法是基于一个平面化的方法，“零”的边缘交叉，连同方法扩展平面分离器分解几何图形与次线性许多交叉。顺便说一句，我们的平面化算法也解决了一个开放的计算几何问题的Chazelle三角形的自相交的多边形链具有n段和k交叉在线性时间，当k是次线性n的情况下，通过迭代对数因子。
2009-05-14 cs.CG cs.DM cs.DS
Counting Plane Graphs: Flippability and its Applications
我们将平面上点集S的三角剖分中的可翻转边和同时可翻转边的概念推广到所谓的\emph{pseudo-simultaneously flippable edges}。这样的边与S所张成的凸分解的概念有关。我们证明了三角剖分中伪同时可翻转边数量的最坏情况紧下界（根据顶点数量）。我们使用这个界推导新的上界的最大数量的交叉自由直边图，可以嵌入在平面上的任何固定的一组N点。我们得到了新的上界的生成树和森林的数量。具体地，令tr（N）表示平面中N个点的集合上的三角剖分的最大数目。然后我们证明（使用已知的界tr（N）< 30^N），任何N元点集最多允许6.9283^N * tr（N）< 207.85^N的无交叉直边图，O（4.7022^N）* tr（N）= O（141.07^N）生成树，O（5.3514^N）* tr（N）= O（160.55^N）森林。我们还获得了上界的交叉自由直边图的数量，有cN，小于cN，或大于cN的边缘，任何常数参数c，在c和N。
2011-10-30 cs.CG cs.DM
Counting and Enumerating Crossing-free Geometric Graphs
我们描述了一个框架，用于计数和枚举各种类型的交叉自由的几何图形的平面点集。该框架概括了Alvarez和Seidel的思想，他们用它们来计算时间上的三角测量$O(2^nn^2)$，其中$n$是点的数量。其主要思想是将几何图的计数问题归结为有向无环图中的源-汇路径的计数问题。将出现以下新成果。对于某些$c < 2.83929$，所有无交叉几何图的个数可以在时间$O(c^nn^4)$中计算。无交叉凸划分的数量可以在时间上计算$O(2^nn^4)$。无交叉完美匹配的数量可以在时间上计算$O(2^nn^4)$。凸细分的数量可以在时间$O(2^nn^4)$中计算。对于某些$c < 7.04313$，可以在时间$O(c^nn^4)$中计算无交叉生成树的数目。对于某些$c < 5.61804$，可以在时间$O(c^nn^4)$中计算无交叉跨越循环的数量。在运行时间上有相同的界限的情况下，我们可以构造数据结构，它允许快速枚举各个类。例如，在预处理$O(2^nn^4)$时间之后，我们可以对每个枚举对象使用多项式时间来枚举所有无交叉完美匹配的集合。对于无交叉完美匹配和凸分区，我们进一步获得枚举算法，其中每个（特别是第一个）输出的时间延迟由$n$中的多项式限定。所有描述的算法都比较简单，无论是在他们的分析和实施。
2016-04-18 cs.CG
Minimizing the stabbing number of matchings, trees, and triangulations
给定线段集的（轴平行）插入数是任何一条（轴平行）线可以插入的线段的最大数量。本文讨论了对给定的点集求最小刺数的完美匹配、生成树或三角剖分。这些问题的复杂性一直是一个长期存在的开放问题;事实上，它是Demaine，Mitchell和O 'Rourke列出的计算几何中最初的30个未解决的开放问题之一。我们提供的答案是否定的一些最小刺问题，显示他们的NP难的一般证明技术。它意味着非平凡的下界上的逼近。在积极的一面，我们提出了一个削减为基础的整数规划制定最小化穿刺匹配和生成树的数量。我们得到了下界（在多项式时间），从相应的线性规划松弛，并表明，最佳分数的解决方案总是包含一个边缘，至少常数的重量。这一结果构成了一个常数因子近似通过迭代舍入方案的关键一步。在计算实验中，我们证明了我们的方法允许实际解决问题，最佳或接近最佳的多达几百个点。
2008-09-05 cs.CG cs.DS
Rainbow cycles in flip graphs
三角剖分的翻转图具有凸$n$ -边形的所有三角剖分作为顶点，并且具有在恰好一条边不同的任何两个三角剖分之间的边。图中的$r$ -彩虹循环是三角剖分的每个内边恰好出现$r$次的循环。彩虹循环的概念以一种自然的方式延伸到其他翻转图。在本文中，我们研究了三种不同的翻转图上的$r$ -彩虹圈的存在性：前面提到的翻转图的三角形的凸$n$ -gon，翻转图的平面树上的任意一组$n$点，和翻转图的非交叉完美匹配的一组$n$点在凸位置。此外，我们考虑两个翻转图类的非几何对象：翻转图的排列$\{1,2,\dots,n\}$和翻转图的$k$元素子集的$\{1,2,\dots,n\}$。在这五种情况下，我们分别证明了不同$r$、$n$和~ $k$值时彩虹环的存在性和不存在性。
2018-02-15 cs.CG math.CO
A Proof of the Orbit Conjecture for Flipping Edge-Labelled Triangulations
给定平面上一个点集的三角剖分，\emph{flip}删除一条边$e$，删除该边后会留下一个凸四边形，并将$e$替换为该四边形的对对角线。众所周知，一个点集的任何三角剖分都可以通过一些翻转序列重新配置为任何其他三角剖分。我们在三角剖分的每条边都有一个标签的设置中探索这个问题，翻转将删除边的标签转移到新边。一个点集的每个标记三角剖分都可以通过一系列翻转重新配置为每个其他标记三角剖分，这是不正确的。我们的特点是，当这是可能的证明\emph{Orbit Conjecture}的玻色，Lubiw，Pathak和Verdonschot的状态，\emph{all}标签可以同时映射到他们的目的地，当且仅当\emph{each}标签单独可以映射到它的目的地。此外，我们给出了一个多项式时间算法来找到一个序列的翻转重新配置一个标记的三角剖分到另一个，如果这样的序列存在，我们证明了一个上限的$O(n^7)$的长度翻转序列。我们的证明使用拓扑结果，即平面点集上的成对非交叉边的集合形成同胚于高维球的单纯复形（这是从Orden和Santos的结果得出的;我们给出了一个不同的证明，基于壳参数）。这个单纯球的对偶胞腔复形称为\emph{flip complex}，它的$1$ -骨架是通常的翻转图。利用翻转复形的$2$ -骨架的性质证明了轨道猜想。
2017-10-07 cs.CG math.CO
From Crossing-Free Graphs on Wheel Sets to Embracing Simplices and Polytopes with Few Vertices
如果除了$w$以外的所有点都是极值点，则在平面中处于一般位置的$n+1$点的集合$P = H \cup \{w\}$称为轮集。我们表明，为了计数交叉自由的几何图形在这样一个集合$P$，它足以知道的频率向量的$P$。虽然大致存在对应于轮组的$2^n$不同阶次类型，但频率向量的数量仅约为$2^{n/2}$。我们给出了简单的公式，在频率向量的交叉自由的生成循环，匹配，三角剖分，和更多的数量。在此基础上，可以有效地计算相应的图的数量。特别是，我们重新发现了一个已知的公式$w$ -拥抱三角形跨越$H$。同样在更高的维度中，轮组被证明是一个合适的模型来处理计算集合$H$中的点$w$的单纯深度的问题，即，包含$w$的单形的数目。虽然我们以前的参数在飞机上不容易推广，我们展示了如何使用类似的想法在$\mathbb{R}^d$的任何固定的$d$。其结果是一个$O(n^{d-1})$时间算法，用于计算$n$点的$H$集合中的点$w$的单纯深度，改进了以前的最佳界$O(n^d\log n)$。基于我们关于单纯形深度的结果，我们可以计算$\mathbb{R}^d$中一般位置的$n=d+k$点在时间$O(n^{\max\{ω,k-2\}})$上的凸包的面数，其中$ω\approx 2.373$，即使面的渐近数可能与$n^k$一样大.
2019-08-30 cs.CG
Edge Routing with Ordered Bundles
边捆绑通过将边合并成束来减少图形绘制中的视觉混乱。我们提出了一种边捆绑的方法，分别绘制一个束的每一个边缘的地铁地图，并呼吁我们的方法有序束。为了产生美观的边缘路由，它最小化边缘上的成本函数。成本函数取决于绘制边缘所需的墨水、边缘长度、宽度和分离。通过使用受约束的德洛内三角剖分，该成本还惩罚通过窄通道的太多边。该方法避免了不必要的边-节点和边-边交叉。为了绘制具有最小数量的交叉点的边缘，并分别在同一束中，我们开发了一种有效的算法，解决了地铁线路交叉点最小化问题的一个变体。一般来说，该方法创建清晰和平滑的边缘路线，给出全局图结构的概述，同时仍然单独绘制每个边缘，从而实现局部分析。
2012-09-19 cs.CG cs.DS
Degenerate crossing number and signed reversal distance
CNRS（法国国家科学研究中心）；INRIA（法国信息与自动化研究所）；Univ Gustave Eiffel（巴黎-东 Gustave 埃菲尔大学）；LIGM（信息学与多媒体实验室）
本文研究了退化交叉数与非定向亏格的关系，证明了在特定嵌入方案中两者相等，并推翻了Mohar的更强猜想。
2025-12-09 cs.CG math.CO
Bounding the Treewidth of Outer $k$-Planar Graphs via Triangulations
本文通过新的三角剖分方法将外部 k-平面图的树宽上界改进为 1.5k+2，并给出 k=2 时的紧界 4，同时建立偶数 k 的下界 k+2，改进分离数上界并肯定回答 cop number 的开放问题。
2024-10-14 cs.CG cs.DM
The Price of Connectivity Augmentation on Planar Graphs
本文研究平面图类上的连通性增广问题，证明了多种设定下 c→k 增广的 NP-完全性，建立了连通度与局部交叉数之间的紧权衡界，并解决了三角剖分最小翻转距离的公开问题。
2025-09-01 cs.CG
Counting Plane Graphs: Cross-Graph Charging Schemes
我们研究了平面图的交图充电方案。这些是电荷在不同图的顶点之间移动的充电方案。这种方法最近已被应用于获得各种属性的三角剖分是嵌入在一组固定的点在平面上。我们展示了如何推广这种方法，以获得各种其他类型的图形嵌入在平面上的结果。具体来说，我们得到了一个新的界的$O^*(187.53^N)$（其中$O^*()$符号隐藏多项式因子）的最大数量的交叉自由直边图，可以嵌入在平面上的任何特定的一组$N$点（改进后，以前的最佳上限$207.85^N$在霍夫曼等人）。我们还得到了其他几种类型的平面图（如连通和双连通平面图）的数量的上界，并获得了各种边界的预期顶点度的图，均匀地从一组所有交叉自由直边图，可以嵌入到一个特定的点集。然后，我们将展示如何应用交叉图收费计划的方法，允许某些类型的交叉点的图形。具体来说，我们考虑没有一组$k$成对交叉边的图（更常见的称为$k$ -准平面图）。对于$k=3$和$k=4$，我们证明了：对于平面上$N$点的任意集合$S$，在$S$上具有直边$k$ -拟平面嵌入的图的个数在$N$中仅是指数的.
2012-09-02 cs.CG cs.DM math.CO
Efficient constant factor approximation algorithms for stabbing line segments with equal disks
考虑了平面上给定的$n$直线段集与固定半径圆盘的最小基数集$r>0,$相交的NP-难问题，其中这组线段构成平面图的一个没有适当边交叉的直线图$G=(V,E)$.据我们所知，相关的工作只处理$E$由（通常，适当重叠）轴平行段，从而在$O(n\log n)$ -时间和$O(n\log n)$ -空间8-近似算法的设置。利用该问题与几何Hitting Set问题之间的紧密联系，在改进的Agarwal-Pan算法的基础上，设计了一种基于Petri网的$\left(50+52\sqrt{\frac{12}{13}}+ν\right)$ -近似$O\left(n^4\log n\right)$ -时间和$O\left(n^2\log n\right)$ -空间算法.更精确的$(34+24\sqrt{2}+ν)$ -和$\left(\frac{144}{5}+32\sqrt{\frac{3}{5}}+ν\right)$ -近似算法也被提出的情况下，$G$是一个广义外平面图或Delaunay三角剖分，工作在相同的时间和空间复杂度的界限，其中$ν>0$是一个任意小的常数。
2020-10-02 cs.CG
Untangling Graphs on Surfaces
本文提出一种算法判定曲面上的图绘制能否通过滑动顶点和边消除交叉以同伦于嵌入，运行时间为 O(m + poly(g+b) n log n)，并引入简化三角剖分等新技术。
2025-07-17 cs.CG cs.DS
Stabbing line segments with disks: complexity and approximation algorithms
计算的复杂性和近似算法的报告问题的刺一组直线段的最小基数集的固定半径的磁盘$r>0$，其中的一组段形成一条直线画$G=(V,E)$的平面图没有边交叉。在网络安全应用中，经常出现闭几何问题.本文给出了Delaunay三角剖分、Gabriel图和其它子图（常用于网络设计）的边集问题对于$r\in [d_{\min},ηd_{\max}]$和某些常数$η$的强NP-困难性，其中$d_{\max}$和$d_{\min}$分别是图的最长边和最短边的欧氏长度.本文在平面图的直线图类中提出了一种快速$O(|E|\log|E|)$ -时间$O(1)$ -近似算法，对于这类平面图，不等式$r\geq ηd_{\max}$对某个常数$η>0,$一致成立，即当$G$的边长由$η>0,$的某个线性函数从上一致有界时
2017-07-20 cs.CC cs.CG cs.DM
Line and Plane Cover Numbers Revisited
无直线交叉图的视觉复杂度的一个度量是覆盖所有顶点所需的最小线数。对于给定的图$G$，最小的这样的数目（在维度$d \in \{2,3\}$中的所有图上）被称为\emph{$d$-dimensional weak line cover number}，并且由$π^1_d(G)$表示。在3D中，覆盖~ $G$的所有顶点所需的\emph{planes}的最小数量由$π^2_3(G)$表示。当边缘也需要被覆盖时，相应的数字$ρ^1_d(G)$和$ρ^2_3(G)$被称为\emph{(strong) line cover number}和\emph{(strong) plane cover number}。计算这些覆盖数中的任何一个--除了$π^1_2(G)$ --都是NP困难的。Chaplick等人[WADS 2017]将计算$π^1_2(G)$的复杂性作为一个开放性问题提出。我们证明了对于给定的平面图~ $G$，判定是否有$π^1_2(G)=2$是NP-困难的.我们进一步证明了深度$d$，$G_d$的通用堆叠三角剖分具有$π^1_2(G_d)=d+1$ .对于~3D，我们证明了任何具有$ρ^2_3(G)=2$的$n$ -顶点图~ $G$至多有$5n-19$边，这是紧的.
2019-08-20 cs.CG cs.DM
On the Connectivity of the Flip Graph of Plane Spanning Paths
针对平面生成路径翻转图连通性这一开放问题，论文研究固定端点与后缀无关路径等诱导子图，给出直径和半径紧界，并证明至多两个凸层点集上的连通性。
2024-07-04 cs.CG cs.DM
