Noncrossing Longest Paths and Cycles
Khoury College of Computer Sciences, Northeastern University（东北大学科里计算机科学学院）；School of Computer Science, University of Windsor（温莎大学计算机学院）；School of Computer Science, Carleton University（卡尔顿大学计算机学院）；School of Electrical Engineering and Computer Science, University of Ottawa（渥太华大学电气与计算机工程学院）；Computer Science Department, University of California, Irvine（加州大学欧文分校计算机科学系）；Department of Mathematics, California State University Northridge（北岭加利福尼亚州立大学数学系）；Department of Computer Science, Tufts University（塔夫茨大学计算机科学系）；Department of Applied Mathematics, Charles University（查理大学应用数学系）
本文研究了几何图中最长路径和环的非交叉性，提出了一种构造方法，证明最长完美匹配、路径和环可以是非交叉的，反驳了相关猜想。
2025-10-21 cs.CG
Approximating the Bottleneck Plane Perfect Matching of a Point Set
$\mathbb{R}^2$中一组$n$点的瓶颈平面完美匹配被定义为最小化最长边的长度的完美非交叉匹配;该最长边的长度被称为{ \em瓶颈}。计算瓶颈平面完美匹配的问题已被证明是NP难的。我们提出了一种算法，计算的瓶颈平面匹配的大小至少$\frac{n}{5}$在$O(n \log^2 n)$时间。然后，我们将我们的想法扩展到$O(n\log n)$ -时间近似算法，它计算一个平面匹配的大小至少$\frac{2n}{5}$，其边缘的长度最多$\sqrt{2}+\sqrt{3}$倍的瓶颈。
2015-08-22 cs.CG
Quasi-Parallel Segments and Characterization of Unique Bichromatic Matchings
已知在平面上一般位置上有n个红点和n个蓝点，存在由不相交的线段构成的完美匹配。我们刻画了仅允许一个非交叉匹配的双色点集。我们给这样的集合的几个几何描述，并找到一个O（nlogn）算法，检查是否一个给定的双色集有此属性。
2013-02-18 cs.CG
Augmenting a Geometric Matching is $NP$-complete
已知平面上的$2n$点，总是存在完美的直线不相交匹配。我们表明，它是$NP$ -完全的决定，如果部分匹配可以增加到一个完美的，通过减少从1-在3-SAT。这一结果也适用于双色匹配。
2012-06-27 cs.CC cs.CG
Untangling Segments in the Plane
本文提出统一框架，研究平面线段集中消除交叉的翻转操作次数，证明对凸位置端点敏感的新界，适用于TSP环游、树、匹配等图结构。
2025-01-21 cs.CG
Bichromatic compatible matchings
对于$n$红色点的集合$R$和$n$蓝色点的集合$B$，$BR$匹配是非交叉几何完美匹配，其中每个段具有$B$中的一个端点和$R$中的一个端点。如果两个$BR$匹配的并集也是非交叉的，则它们是兼容的。证明了对于任意两个不同的$BR$ -匹配$M$和$M'$，存在一个$BR$ -匹配序列$M = M_1, ..., M_k = M'$使得$M_{i-1} $与$M_i$相容.这意味着相容双色匹配图的连通性，它包含一个结点和一条连接每对相容匹配的边，从而回答了Aichholzer等人在“Compatible matchings for bichromatic plane straight line graphs”中提出的公开问题
2013-11-26 cs.CG
Bounds on the maximum multiplicity of some common geometric graphs
我们得到新的下限和上限的最大多重性的一些加权和，分别，非加权常见的几何图形绘制在n个点在平面上的一般位置（没有三个点共线）：完美匹配，生成树，生成周期（旅游），和三角剖分。(i)我们提出了一个新的下界构造的最大数目的三角剖分的一组n个点在一般的位置可以有。特别地，我们证明了由两个几乎凸链构成的广义二重链允许Ω（8.65 ^n）个不同的三角剖分。这改进了Aichholzer等人研究的双锯齿链构型所得到的界Ω（8.48^n）。（ii）我们给出了由两个凸链组成的双链的非交叉生成树个数的一个新的下界Ω（12.00^n）。之前的界限Ω（10.42^n）在10多年的时间里保持不变。(iii)利用最近Sharir和Sheffer给出的三角剖分数的上限为30^n，我们证明了平面上一般位置的n个点最多允许O（68.62^n）个非交叉生成圈。(iv)我们推导出最大和最小加权几何图（匹配，生成树和旅游）的数量的下界。我们表明，最短的非交叉旅游的数量可以是指数n。同样，我们证明了最长非交叉旅行的数目和最长非交叉完美匹配的数目都可以是n中的指数。此外，我们还证明了在凸位置上存在n个点的集合，其最长非交叉生成树的个数为指数。对于凸位置上的点，我们得到了最长和最短行程数的紧界。我们给出了一个组合的最长的旅游，这导致一个O（nlog n）的时间算法来计算它们的特征。
2011-09-26 cs.CG cs.DM
Disjoint compatibility graph of non-crossing matchings of points in convex position
令$X_{2k}$为平面中凸位置的一组$2k$标记点。我们考虑$X_{2k}$的几何不相交直线完美匹配。两个这样的匹配，$M$和$M'$，如果它们没有公共边，并且没有$M$的边与$M'$的边相交，则是不相交兼容的。用$\mathrm{DCM}_k$表示其顶点对应于这样的匹配的图，并且两个顶点相邻当且仅当对应的匹配是不相交相容的。我们表明，对于每个$k \geq 9$，连接组件的$\mathrm{DCM}_k$形式正是三个同构类-即，有一定数量的同构小组件，一定数量的同构中组件，和一个大组件。精确地确定了中小型部件的数量和结构。
2014-03-21 cs.CG cs.DM math.CO
Point sets with many non-crossing matchings
平面上的一组$n$点可以具有的非交叉直线完美匹配的最大数目已知为$O(10.0438^n)$和$Ω^*(3^n)$。García、Noy和Tejel（2000）提出的下界是通过双链得到的，它具有$Θ(3^n n^{O(1)})$这样的匹配。我们重新证明这个界在一个简化的方式，使用新的概念下自由匹配，并将这种方法应用于其他几个建设。因此，我们改进了下界。首先证明了具有$n$点的双Z形链具有$Θ^*(λ^n)$，这样的匹配与$λ\approx 3.0532$。接下来，我们分析双锯齿链的进一步推广-双$r$ -链。参数的最佳选择导致具有$Θ^*(ν^n)$匹配的构造，具有$ν\approx 3.0930$。这个界限的推导需要分析两个无限向量之间的耦合动态规划递归。
2015-02-17 cs.CG cs.DM math.CO
On the Longest Flip Sequence to Untangle Segments in the Plane
平面中的一组分段可以形成欧几里德TSP巡回或匹配等。最优TSP旅行以及最小权重完美匹配没有交叉段，但一些几何学和近似算法可能产生具有交叉的解决方案。为了改进这样的解决方案，我们可以连续应用翻转操作，用非交叉段替换一对交叉段。本文考虑对n个段执行的最大翻转次数D（n）。首先，我们提出了减少有关D（n）的不同集合的部分（TSP旅游，单色匹配，红蓝匹配，和多重图）。其次，我们证明了如果除了t点之外的所有点都在凸位置，则D（n）= O（tn^2），提供了凸O（n^2）界和一般O（n^3）界之间的平滑过渡。最后，我们证明了如果我们不计算翻转的总数，而只计算不同翻转的数量，那么立方上界改进为O（n^{8/3}）。
2023-03-17 cs.CC cs.CG
Crossing and intersecting families of geometric graphs on point sets
设$S$是平面中一般位置的一组$n$点。如果连接$S$的点对的两条线段有一个公共的内点，则这两条线段相交。两个顶点在$S$中的顶点不相交的几何图相交，如果有两条边相交，每个图有一条边。一组顶点在$S$中的顶点不相交的几何图，如果其中任意两个相交，则称为相交图。我们发现，存在一个常数$c$，使得从任何家庭的$n$相互交叉的三角形，人们总是可以获得一个家庭的至少$n^c$相互交叉的$2$ -路径（其中每一个是删除的结果，从一个三角形的边缘），然后提供一个例子，这意味着$c$不能被视为大于$2/3$。对于每一个$n$，我们确定一个哈密顿圈在一组$n$点上可能具有的最大交叉数。接下来，我们构造一个点集，其最长完美匹配不包含交叉。我们还考虑边缘组成的一个水平和一个垂直线段连接点对$S$，我们称之为肘，并证明在任何点集$S$存在一个家庭的$\lfloor n/4 \rfloor$顶点不相交相互交叉肘。此外，我们展示了一个点集，承认不超过$n/3$相互交叉肘。最后，我们研究了相交图族，这不一定是顶点不相交的。一组顶点在$S$中的边不相交图称为相交族，如果对于其中的任意两个图，我们可以在每个图中选择一条边使它们相交。本文证明了Lara和Rubio-Montiel的一个猜想，即任何$n$点在一般位置上的集合$S$都包含一个元素数为二次的相交三角形族.在整个工作中还得到了一些其他的结果。
2022-11-17 cs.CG math.CO
Robust Non-Parametric Data Approximation of Pointsets via Data Reduction
在本文中，我们提出了一种新的非参数方法简化分段线性曲线，我们应用这种方法作为一个统计近似的结构内的顺序数据在平面上。我们考虑的问题，最小化的平均长度序列的连续输入点，躺在任何一侧的简化曲线。具体地说，给定一个序列$P$的$n$点在平面上，确定一个简单的多边形链组成的$n-1$段，我们描述了算法选择一个有序的子集$Q \subset P$（包括$P$的第一点和最后一点），其确定第二多边形链以近似$P$，使得两个多边形链之间的交叉数量最大化，并且$Q$的基数在$P$的所有这样的最大化子集中被最小化。我们的算法有各自的运行时间$O(n^2\log n)$时，$P$是单调和$O(n^2\log^2 n)$时，$P$是一个任意简单的序列。最后，我们研究了我们的算法迭代的应用程序中的自举技术，定义一个平滑的鲁棒非参数近似的原始序列。
2012-05-30 cs.CG
Flip Distance to some Plane Configurations
研究了一个古老的平面几何优化问题。给定平面上$n$点集上的一个完美匹配$M$，我们可以通过有限序列的翻转操作将其转换为一个非交叉完美匹配。翻转操作从$M$中删除两条交叉边，并添加两条非交叉边。令$f(M)$和$F(M)$分别表示$M$上翻转序列的最小和最大长度。Bonnet和Miltzow（2016）证明了$f(M)=O(n^2)$，van Leeuwen和Schoone（1980）证明了$F(M)=O(n^3)$。我们证明了$f(M)=O(nΔ)$，其中$Δ$是点集的传播，它被定义为最长和最短的成对距离之间的比率。如果点集具有次线性扩展，则这改进了先前的边界。对于凸位置上的$n$点上的匹配$M$，我们证明了$f(M)=n/2-1$和$F(M)={{n/2} \choose 2}$的上界是紧的. $F(\cdot)$上的任何结合都延续到双色设置，而这对于$f(\cdot)$不一定是真的。让$M'$是一个双色匹配。$f(M')$最为人所知的上限与$F(M')$相同，后者本质上是$O(n^3)$。本文证明了对于凸位置上的点，$f(M')\le n-2$成立;对于半共线点，$f(M')= O(n^2)$成立。翻转操作也可以在生成树上定义。对于凸点集上的生成树$T$，我们证明了$f(T)=O(n\log n)$。
2019-05-02 cs.CG cs.DM
Peeling and Nibbling the Cactus: Subexponential-Time Algorithms for Counting Triangulations and Related Problems
给定平面中的一组$n$点$S$，$S$的三角测量$T$是端点在$S$中的非交叉线段的最大集合。我们提出了一种算法，该算法计算给定的$n$时间点集$n^{(11+ o(1))\sqrt{n} }$上的三角剖分数量，显著改善了Alvarez和Seidel [SoCG 2013]之前$O(2^n n^2)$的最佳运行时间。我们的主要工具是确定分隔符的大小$O(\sqrt{n})$的三角剖分在一个规范的方式。分隔符的定义是基于三角剖分到嵌套层（“仙人掌图”）的分解。基于上述算法，我们开发了一个简单而形式化的框架，可以在$n^{O(\sqrt{n})}$时间内对其他非交叉直线图进行计数。我们证明了有用的框架，将其应用于计数非交叉汉密尔顿循环，生成树，完美匹配，$3$ -可着色三角，连通图，循环分解，四边形，$3$ -经常图，等等。
2016-03-23 cs.CG cs.DM cs.DS
On flips in planar matchings
本文研究了平面上非交叉完美匹配翻转图的结构。具体来说，考虑在单位圆上等距放置的一组$2n$点上的所有非交叉直线完美匹配。对这种匹配的翻转操作将跨越空四边形的两条匹配边替换为四边形的另外两条边，并且如果四边形包含单位圆的中心，则翻转被称为居中。图$\mathcal{G}_n$以这些匹配作为顶点，并且在翻转中不同的任何两个匹配之间有一条边，并且已知它具有许多有趣的性质。本文主要研究了$\mathcal{G}_n$的生成子图$\mathcal{H}_n$，它是通过取中心翻转对应的所有边，忽略非中心翻转对应的边而得到的.我们发现，图$\mathcal{H}_n$是连接的奇数$n$，但有指数许多小连通组件，甚至$n$，我们的特点和计数通过加泰罗尼亚和广义Narayana数。对于奇数$n$，我们还证明了$\mathcal{H}_n$的直径在$n$中是线性的。进一步，我们确定了所有$n$的$\mathcal{H}_n$的最小度和最大度，并对相应的顶点进行了刻画和计数.我们的结果暗示了在$\mathcal{G}_n$中某些彩虹环的不存在，并且解决了Felsner、Kleist、Mütze和Sering在最近的一篇论文中提出的几个悬而未决的问题和解释。
2020-10-09 cs.CG cs.DM math.CO
