Geometric Planar Networks on Bichromatic Points
我们研究了三个经典的图问题--由双色（红蓝）点诱导的几何图的哈密尔顿路、最小生成树和最小完美匹配。这些问题已经被广泛研究的点在欧几里德平面，其中许多是NP-困难的。在这项工作中，我们考虑这些问题的共线点。我们表明，几乎所有这些问题都可以在线性时间在这种设置中得到解决。
2022-07-16 cs.CG cs.DS
Minimum Plane Bichromatic Spanning Trees
本文证明最小双色生成树具有拟平面性并界定交叉数，同时为 NP 难的最小平面双色生成树问题给出一般情形下 O(log n) 因子近似算法。
2024-09-18 cs.CG
Linear transformation distance for bichromatic matchings
设$P=B\cup R$是一般位置的一组$2n$点，其中$B$是一组$n$蓝点，$R$是一组$n$红点。\emph{$BR$-matching}是$P$上的平面几何完美匹配，使得每条边具有一个红色端点和一个蓝色端点。如果两个$BR$ -匹配的并集也是平面的，则它们是相容的。当且仅当相应的两个$BR$匹配兼容时，\emph{transformation graph of $BR$-matchings}包含用于每个$BR$匹配的一个节点和连接两个这样的节点的边。在SoCG 2013中，Aloupis，Barba，Langerman和Souvaine已经证明了这个变换图总是连通的，但它的直径仍然是一个悬而未决的问题。本文给出了变换图连通性的另一种证明，并证明了$2n$关于其直径的一个上界，该上界是渐近紧的。
2013-12-03 cs.CG
New variants of Perfect Non-crossing Matchings
Università della Svizzera italiana（瑞士意大利语大学）；University of Novi Sad（诺维萨德大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本文研究平面点集的完美非交叉匹配问题，在经典MinMax变体之外，提出并求解MaxMin、MinMin和MaxMax等新优化变体，覆盖单色与双色情形，并为多种点配置设计高效算法。
2021-02-10 cs.CG
On maximum-sum matchings of bichromatic points
本文刻画了连续（半）度量族下双色点集的最大和匹配，重点关注欧氏距离与平方欧氏距离，并为Huemer等人提出的圆盘公共交集性质提供了更简单的证明。
2025-04-06 cs.CG cs.DM
Flip Distance to a Non-crossing Perfect Matching
在平面中的有限点集$P$上的完美直线匹配$M$是一组线段，使得$P$中的每个点恰好是一个线段的端点。如果$M$中没有两个节段相互交叉，则$M$不交叉。给定具有至少一个交叉的完美直线匹配$M$，我们可以通过翻转操作移除该交叉。翻转操作在点集$Q$上删除两个相交的线段，并添加两个不相交的线段，以获得新的完美匹配$M'$。众所周知，在有限数量的翻转之后，获得非交叉匹配，并且不可能有进一步的翻转。然而，在这项工作之前，没有关于翻转次数的非平凡上限是已知的。如果$g(n)$（分别为~ $k(n)$）是最长（分别为~最短）序列的翻转从任何匹配的大小$n$开始，我们表明，$g(n) = O(n^3)$和$g(n) = Ω(n^2)$（分别为~ $k(n) = O(n^2)$和$k(n) = Ω(n)$）。
2016-01-22 cs.CG cs.DM math.CO
Augmenting a Geometric Matching is $NP$-complete
已知平面上的$2n$点，总是存在完美的直线不相交匹配。我们表明，它是$NP$ -完全的决定，如果部分匹配可以增加到一个完美的，通过减少从1-在3-SAT。这一结果也适用于双色匹配。
2012-06-27 cs.CC cs.CG
The number of non-crossing perfect plane matchings is minimized (almost) only by point sets in convex position
众所周知，平面上凸位置上的$2k$点的非交叉完美匹配的个数是$C_k$，即$k$ th Catalan数. García、Noy和Tejel在2000年证明，对于任何一组处于一般位置的$2k$点，这种匹配的数量至少是$C_k$。我们证明了等式只对凸位置上的点集和$6$点的一个例外配置成立。
2015-02-18 cs.CG
Drawing Trees with Perfect Angular Resolution and Polynomial Area
我们研究的方法，绘制树木与完美的角分辨率，即，其中每个节点处的角度v等于2π/d（v）。我们显示：1.任何无序树都有一个无交叉的直线图，具有完美的角分辨率和多项式面积。2.对于任何具有完美角分辨率的无交叉直线图，存在需要指数面积的有序树。3.任何有序树都有一个无交叉的伦巴第风格的绘图（每个边都用圆弧表示），具有完美的角分辨率和多项式面积。因此，我们的研究结果探讨了什么是可以实现的直线图纸和什么是可以实现的伦巴第风格的图纸，相对于图纸的树木具有完美的角分辨率。
2015-09-10 cs.CG
Flip Distance to some Plane Configurations
研究了一个古老的平面几何优化问题。给定平面上$n$点集上的一个完美匹配$M$，我们可以通过有限序列的翻转操作将其转换为一个非交叉完美匹配。翻转操作从$M$中删除两条交叉边，并添加两条非交叉边。令$f(M)$和$F(M)$分别表示$M$上翻转序列的最小和最大长度。Bonnet和Miltzow（2016）证明了$f(M)=O(n^2)$，van Leeuwen和Schoone（1980）证明了$F(M)=O(n^3)$。我们证明了$f(M)=O(nΔ)$，其中$Δ$是点集的传播，它被定义为最长和最短的成对距离之间的比率。如果点集具有次线性扩展，则这改进了先前的边界。对于凸位置上的$n$点上的匹配$M$，我们证明了$f(M)=n/2-1$和$F(M)={{n/2} \choose 2}$的上界是紧的. $F(\cdot)$上的任何结合都延续到双色设置，而这对于$f(\cdot)$不一定是真的。让$M'$是一个双色匹配。$f(M')$最为人所知的上限与$F(M')$相同，后者本质上是$O(n^3)$。本文证明了对于凸位置上的点，$f(M')\le n-2$成立;对于半共线点，$f(M')= O(n^2)$成立。翻转操作也可以在生成树上定义。对于凸点集上的生成树$T$，我们证明了$f(T)=O(n\log n)$。
2019-05-02 cs.CG cs.DM
Long Alternating Paths Exist
令$P$是一组处于凸位置的$2n$点，使得$n$点被着色为红色，$n$点被着色为蓝色。长度为$\ell$的$P$上的非交叉交替路径是来自$P$的$\ell$点的序列$p_1, \dots, p_\ell$，使得对于$i \neq j$，（i）所有点是成对不同的;（ii）任何两个连续点$p_i$、$p_{i+1}$具有不同的颜色;以及（iii）任何两个段$p_i p_{i+1}$和$p_j p_{j+1}$具有不相交的相对内部。我们证明了存在一个独立于$n$和着色的绝对常数$\varepsilon > 0$，使得$P$总是存在一条长度至少为$(1 + \varepsilon)n$的非交叉交替路径.通过一个稍微强有力的陈述得到了这个结果：在$P$的至少$(1 + \varepsilon)n$点上总是存在一个不相交的双色分离匹配。这是一个正确着色的匹配，其片段成对不相交并被公共线相交。对于这两个版本，这是第一次改进的$n$容易获得的下限的一个附加项线性$n$。最著名的已发表的上界是渐进的顺序$4n/3+o(n)$。
2020-03-30 cs.CG cs.DM math.CO
Matching colored points with rectangles
设$S$是平面上的一个点集，使得它的每个元素都是红色或蓝色的。$S$与矩形的匹配是成对不相交的轴对齐矩形的任何集合，使得每个矩形恰好包含$S$的两个点。如果每个矩形包含相同颜色的点，则这种匹配是单色的，如果每个矩形包含不同颜色的点，则这种匹配是双色的。本文主要研究了以下两个问题：1.找到$S$与矩形的最大单色匹配。2.找到$S$与矩形的最大双色匹配。对于每个问题，我们提供了一个多项式时间近似算法，构造一个匹配的最佳匹配的矩形的数量至少$1/4$。我们发现，第一个问题是$\mathsf{NP}$ -硬，即使匹配矩形被限制到轴对齐的段或$S$是在一般的位置，也就是说，没有两个点的$S$共享相同的$x$或$y$坐标。我们进一步证明了第二个问题也是$\mathsf{NP}$ -困难的，即使$S$是在一般的位置。这些$\mathsf{NP}$ -硬度结果表明，在每种情况下，决定完美匹配的存在是$\mathsf{NP}$ -完全的。近似结果是基于我们的问题的关系，找到一个最大的独立集在一个家庭的轴对齐矩形的问题。本文扩展了前人关于单色点与矩形和正方形匹配以及双色点与线段匹配的研究成果。此外，使用我们的技术，我们证明了它是$\mathsf{NP}$ -完全决定完美匹配的矩形的情况下，所有的点有相同的颜色，解决了Bereg，Mutsanas，和沃尔夫[CGTA（2009）]的开放问题。
2014-01-03 cs.CG
Advice Complexity of Online Non-Crossing Matching
研究了欧氏空间$2$维平面上的无交叉约束的在线匹配问题。离线版本是由Atallah在1985年推出的，而在线版本是最近由Bose等人推出和研究的。问题的输入由一系列点组成，当一个点到达时，算法可以将其与以前不匹配的点相匹配，前提是与匹配边缘相对应的线段不相交。决策是不可撤销的，虽然最佳离线解决方案总是匹配所有点，但在线算法在最坏情况下无法匹配所有点，除非给出一些辅助信息，即，建议.我们研究这个问题的两个版本-单色（MNM）和双色（BNM）。我们发现，建议的复杂性，最佳解决BNM上的一个圆圈（或更一般地说，在一个凸的位置上的输入）是严格限制的对数的$n^\text{th}$ Catalan数从上面和下面。这一结果纠正了Bose等人先前的结论，即建议复杂度是$\log(n!)$。结果的核心是在线输入的非交叉约束和$n$元素的排列的$231$ -避免属性之间的联系。我们还给出了平面上MNM的建议复杂度的$n/3-1$的下界和$3n$的上界。这给出了一个指数的改善，在以前最好的已知的下限和改善的上限中的领先项的常数。此外，我们建立了一个下界的$\fracα{2}\infdiv{\frac{2(1-α)}α}{1/4}n$的建议复杂性，以实现竞争比$α$的MNM在一个圆圈。建议复杂度的标准工具，如分割树和字符串猜测问题的约简，似乎不适用于MNM/BNM，所以我们必须从第一原理设计我们的下限。
2022-08-29 cs.CG
Crossing and intersecting families of geometric graphs on point sets
设$S$是平面中一般位置的一组$n$点。如果连接$S$的点对的两条线段有一个公共的内点，则这两条线段相交。两个顶点在$S$中的顶点不相交的几何图相交，如果有两条边相交，每个图有一条边。一组顶点在$S$中的顶点不相交的几何图，如果其中任意两个相交，则称为相交图。我们发现，存在一个常数$c$，使得从任何家庭的$n$相互交叉的三角形，人们总是可以获得一个家庭的至少$n^c$相互交叉的$2$ -路径（其中每一个是删除的结果，从一个三角形的边缘），然后提供一个例子，这意味着$c$不能被视为大于$2/3$。对于每一个$n$，我们确定一个哈密顿圈在一组$n$点上可能具有的最大交叉数。接下来，我们构造一个点集，其最长完美匹配不包含交叉。我们还考虑边缘组成的一个水平和一个垂直线段连接点对$S$，我们称之为肘，并证明在任何点集$S$存在一个家庭的$\lfloor n/4 \rfloor$顶点不相交相互交叉肘。此外，我们展示了一个点集，承认不超过$n/3$相互交叉肘。最后，我们研究了相交图族，这不一定是顶点不相交的。一组顶点在$S$中的边不相交图称为相交族，如果对于其中的任意两个图，我们可以在每个图中选择一条边使它们相交。本文证明了Lara和Rubio-Montiel的一个猜想，即任何$n$点在一般位置上的集合$S$都包含一个元素数为二次的相交三角形族.在整个工作中还得到了一些其他的结果。
2022-11-17 cs.CG math.CO
Noncrossing Longest Paths and Cycles
Khoury College of Computer Sciences, Northeastern University（东北大学科里计算机科学学院）；School of Computer Science, University of Windsor（温莎大学计算机学院）；School of Computer Science, Carleton University（卡尔顿大学计算机学院）；School of Electrical Engineering and Computer Science, University of Ottawa（渥太华大学电气与计算机工程学院）；Computer Science Department, University of California, Irvine（加州大学欧文分校计算机科学系）；Department of Mathematics, California State University Northridge（北岭加利福尼亚州立大学数学系）；Department of Computer Science, Tufts University（塔夫茨大学计算机科学系）；Department of Applied Mathematics, Charles University（查理大学应用数学系）
本文研究了几何图中最长路径和环的非交叉性，提出了一种构造方法，证明最长完美匹配、路径和环可以是非交叉的，反驳了相关猜想。
2025-10-21 cs.CG
Disjoint compatibility graph of non-crossing matchings of points in convex position
令$X_{2k}$为平面中凸位置的一组$2k$标记点。我们考虑$X_{2k}$的几何不相交直线完美匹配。两个这样的匹配，$M$和$M'$，如果它们没有公共边，并且没有$M$的边与$M'$的边相交，则是不相交兼容的。用$\mathrm{DCM}_k$表示其顶点对应于这样的匹配的图，并且两个顶点相邻当且仅当对应的匹配是不相交相容的。我们表明，对于每个$k \geq 9$，连接组件的$\mathrm{DCM}_k$形式正是三个同构类-即，有一定数量的同构小组件，一定数量的同构中组件，和一个大组件。精确地确定了中小型部件的数量和结构。
2014-03-21 cs.CG cs.DM math.CO
Approximating the Bottleneck Plane Perfect Matching of a Point Set
$\mathbb{R}^2$中一组$n$点的瓶颈平面完美匹配被定义为最小化最长边的长度的完美非交叉匹配;该最长边的长度被称为{ \em瓶颈}。计算瓶颈平面完美匹配的问题已被证明是NP难的。我们提出了一种算法，计算的瓶颈平面匹配的大小至少$\frac{n}{5}$在$O(n \log^2 n)$时间。然后，我们将我们的想法扩展到$O(n\log n)$ -时间近似算法，它计算一个平面匹配的大小至少$\frac{2n}{5}$，其边缘的长度最多$\sqrt{2}+\sqrt{3}$倍的瓶颈。
2015-08-22 cs.CG
Point sets with many non-crossing matchings
平面上的一组$n$点可以具有的非交叉直线完美匹配的最大数目已知为$O(10.0438^n)$和$Ω^*(3^n)$。García、Noy和Tejel（2000）提出的下界是通过双链得到的，它具有$Θ(3^n n^{O(1)})$这样的匹配。我们重新证明这个界在一个简化的方式，使用新的概念下自由匹配，并将这种方法应用于其他几个建设。因此，我们改进了下界。首先证明了具有$n$点的双Z形链具有$Θ^*(λ^n)$，这样的匹配与$λ\approx 3.0532$。接下来，我们分析双锯齿链的进一步推广-双$r$ -链。参数的最佳选择导致具有$Θ^*(ν^n)$匹配的构造，具有$ν\approx 3.0930$。这个界限的推导需要分析两个无限向量之间的耦合动态规划递归。
2015-02-17 cs.CG cs.DM math.CO
Bounds on the maximum multiplicity of some common geometric graphs
我们得到新的下限和上限的最大多重性的一些加权和，分别，非加权常见的几何图形绘制在n个点在平面上的一般位置（没有三个点共线）：完美匹配，生成树，生成周期（旅游），和三角剖分。(i)我们提出了一个新的下界构造的最大数目的三角剖分的一组n个点在一般的位置可以有。特别地，我们证明了由两个几乎凸链构成的广义二重链允许Ω（8.65 ^n）个不同的三角剖分。这改进了Aichholzer等人研究的双锯齿链构型所得到的界Ω（8.48^n）。（ii）我们给出了由两个凸链组成的双链的非交叉生成树个数的一个新的下界Ω（12.00^n）。之前的界限Ω（10.42^n）在10多年的时间里保持不变。(iii)利用最近Sharir和Sheffer给出的三角剖分数的上限为30^n，我们证明了平面上一般位置的n个点最多允许O（68.62^n）个非交叉生成圈。(iv)我们推导出最大和最小加权几何图（匹配，生成树和旅游）的数量的下界。我们表明，最短的非交叉旅游的数量可以是指数n。同样，我们证明了最长非交叉旅行的数目和最长非交叉完美匹配的数目都可以是n中的指数。此外，我们还证明了在凸位置上存在n个点的集合，其最长非交叉生成树的个数为指数。对于凸位置上的点，我们得到了最长和最短行程数的紧界。我们给出了一个组合的最长的旅游，这导致一个O（nlog n）的时间算法来计算它们的特征。
2011-09-26 cs.CG cs.DM
Untangling Segments in the Plane
本文提出统一框架，研究平面线段集中消除交叉的翻转操作次数，证明对凸位置端点敏感的新界，适用于TSP环游、树、匹配等图结构。
2025-01-21 cs.CG
On the Longest Flip Sequence to Untangle Segments in the Plane
平面中的一组分段可以形成欧几里德TSP巡回或匹配等。最优TSP旅行以及最小权重完美匹配没有交叉段，但一些几何学和近似算法可能产生具有交叉的解决方案。为了改进这样的解决方案，我们可以连续应用翻转操作，用非交叉段替换一对交叉段。本文考虑对n个段执行的最大翻转次数D（n）。首先，我们提出了减少有关D（n）的不同集合的部分（TSP旅游，单色匹配，红蓝匹配，和多重图）。其次，我们证明了如果除了t点之外的所有点都在凸位置，则D（n）= O（tn^2），提供了凸O（n^2）界和一般O（n^3）界之间的平滑过渡。最后，我们证明了如果我们不计算翻转的总数，而只计算不同翻转的数量，那么立方上界改进为O（n^{8/3}）。
2023-03-17 cs.CC cs.CG
