Center of maximum-sum matchings of bichromatic points
设$R$和$B$是平面上两个不相交的点集，其中点集为$|R|=|B|=n$。令$\mathcal{M}=\{(r_i,b_i),i=1,2,\ldots,n\}$为完美匹配，其将$R$的点与$B$的点进行匹配并使匹配对的总欧几里得距离$\sum_{i=1}^n\|r_i-b_i\|$最大化。本文证明了平面上存在一点$o$（$\mathcal{M}$的中心），使得对所有的$i\in\{1,2,\ldots,n\}$都有$\|r_i-o\|+\|b_i-o\|\le \sqrt{2}~\|r_i-b_i\|$.
2023-01-17 cs.CG math.CO
On maximum-sum matchings of bichromatic points
本文刻画了连续（半）度量族下双色点集的最大和匹配，重点关注欧氏距离与平方欧氏距离，并为Huemer等人提出的圆盘公共交集性质提供了更简单的证明。
2025-04-06 cs.CG cs.DM
Characterization and equilibrium of bichromatic max-sum matchings
Pontificia Universidad Católica de Chile, Facultad de Matemáticas（智利天主教 Pontificia Universidad Católica 大学数学学院）
研究有限平面点集的双色最大和匹配及匹配平衡，证明最大和匹配与有向红圈增益的关系并得出最优性条件，刻画平衡匹配，揭示平衡与多种条件等价，在不同情形下有不同分类。
2026-07-14 cs.CG math.CO
Geometric Planar Networks on Bichromatic Points
我们研究了三个经典的图问题--由双色（红蓝）点诱导的几何图的哈密尔顿路、最小生成树和最小完美匹配。这些问题已经被广泛研究的点在欧几里德平面，其中许多是NP-困难的。在这项工作中，我们考虑这些问题的共线点。我们表明，几乎所有这些问题都可以在线性时间在这种设置中得到解决。
2022-07-16 cs.CG cs.DS
New variants of Perfect Non-crossing Matchings
Università della Svizzera italiana（瑞士意大利语大学）；University of Novi Sad（诺维萨德大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本文研究平面点集的完美非交叉匹配问题，在经典MinMax变体之外，提出并求解MaxMin、MinMin和MaxMax等新优化变体，覆盖单色与双色情形，并为多种点配置设计高效算法。
2021-02-10 cs.CG
Augmenting a Geometric Matching is $NP$-complete
已知平面上的$2n$点，总是存在完美的直线不相交匹配。我们表明，它是$NP$ -完全的决定，如果部分匹配可以增加到一个完美的，通过减少从1-在3-SAT。这一结果也适用于双色匹配。
2012-06-27 cs.CC cs.CG
Matching colored points with rectangles
设$S$是平面上的一个点集，使得它的每个元素都是红色或蓝色的。$S$与矩形的匹配是成对不相交的轴对齐矩形的任何集合，使得每个矩形恰好包含$S$的两个点。如果每个矩形包含相同颜色的点，则这种匹配是单色的，如果每个矩形包含不同颜色的点，则这种匹配是双色的。本文主要研究了以下两个问题：1.找到$S$与矩形的最大单色匹配。2.找到$S$与矩形的最大双色匹配。对于每个问题，我们提供了一个多项式时间近似算法，构造一个匹配的最佳匹配的矩形的数量至少$1/4$。我们发现，第一个问题是$\mathsf{NP}$ -硬，即使匹配矩形被限制到轴对齐的段或$S$是在一般的位置，也就是说，没有两个点的$S$共享相同的$x$或$y$坐标。我们进一步证明了第二个问题也是$\mathsf{NP}$ -困难的，即使$S$是在一般的位置。这些$\mathsf{NP}$ -硬度结果表明，在每种情况下，决定完美匹配的存在是$\mathsf{NP}$ -完全的。近似结果是基于我们的问题的关系，找到一个最大的独立集在一个家庭的轴对齐矩形的问题。本文扩展了前人关于单色点与矩形和正方形匹配以及双色点与线段匹配的研究成果。此外，使用我们的技术，我们证明了它是$\mathsf{NP}$ -完全决定完美匹配的矩形的情况下，所有的点有相同的颜色，解决了Bereg，Mutsanas，和沃尔夫[CGTA（2009）]的开放问题。
2014-01-03 cs.CG
Faster Bottleneck Non-crossing Matchings of Points in Convex Position
给定平面上的偶数个点，我们感兴趣的是用直线段匹配所有的点，使得线段不交叉。瓶颈匹配是最小化最长段的长度的匹配。对于凸位置上的点，我们提出了一个二次时间的算法来寻找一个瓶颈的非交叉匹配，改进了以前已知的最好的三次时间复杂度的算法。
2016-02-16 cs.CG
Endpoint Covering of Axis-Parallel Segments:Bichromatic and Monochromatic One-Center
National Institute of Technology Durgapur（印度德里格拉普尔国家技术学院）；Indian Institute of Technology Palakkad（印度帕拉卡德印度理工学院）；Dhirubhai Ambani University, Gandhinagar, Gujarat, India（印度古吉拉特邦甘地纳加尔迪鲁巴伊·安巴尼大学）
本研究针对轴平行线段，提出基于端点覆盖的单色与双色单中心优化算法，分别达到O(n log n)及O(m+n log^2 n)等时间复杂度，并证明相应下界。
2026-09-25 cs.CG
The number of non-crossing perfect plane matchings is minimized (almost) only by point sets in convex position
众所周知，平面上凸位置上的$2k$点的非交叉完美匹配的个数是$C_k$，即$k$ th Catalan数. García、Noy和Tejel在2000年证明，对于任何一组处于一般位置的$2k$点，这种匹配的数量至少是$C_k$。我们证明了等式只对凸位置上的点集和$6$点的一个例外配置成立。
2015-02-18 cs.CG
Bottleneck Non-Crossing Matching in the Plane
令$P$是平面中的$2n$点的集合，并且令$M_{\rm C}$（分别，$M_{\rm NC}$）表示瓶颈匹配（分别，瓶颈非交叉匹配）。研究了计算$M_{\rm NC}$的问题。我们首先证明了该问题是NP-困难的，不允许PTAS。然后，我们提出了一个$O(n^{1.5}\log^{0.5} n)$时间算法，计算一个非交叉匹配$P$的$M$，使$bn(M) \le 2\sqrt{10} \cdot bn(M_{\rm NC})$，其中$bn(M)$是在$M$的最长边的长度。我们的结构的一个有趣的含义是，$bn(M_{\rm NC})/bn(M_{\rm C}) \le 2\sqrt{10}$。
2012-02-19 cs.CG
Flip Distance to some Plane Configurations
研究了一个古老的平面几何优化问题。给定平面上$n$点集上的一个完美匹配$M$，我们可以通过有限序列的翻转操作将其转换为一个非交叉完美匹配。翻转操作从$M$中删除两条交叉边，并添加两条非交叉边。令$f(M)$和$F(M)$分别表示$M$上翻转序列的最小和最大长度。Bonnet和Miltzow（2016）证明了$f(M)=O(n^2)$，van Leeuwen和Schoone（1980）证明了$F(M)=O(n^3)$。我们证明了$f(M)=O(nΔ)$，其中$Δ$是点集的传播，它被定义为最长和最短的成对距离之间的比率。如果点集具有次线性扩展，则这改进了先前的边界。对于凸位置上的$n$点上的匹配$M$，我们证明了$f(M)=n/2-1$和$F(M)={{n/2} \choose 2}$的上界是紧的. $F(\cdot)$上的任何结合都延续到双色设置，而这对于$f(\cdot)$不一定是真的。让$M'$是一个双色匹配。$f(M')$最为人所知的上限与$F(M')$相同，后者本质上是$O(n^3)$。本文证明了对于凸位置上的点，$f(M')\le n-2$成立;对于半共线点，$f(M')= O(n^2)$成立。翻转操作也可以在生成树上定义。对于凸点集上的生成树$T$，我们证明了$f(T)=O(n\log n)$。
2019-05-02 cs.CG cs.DM
Complexity Results on Untangling Red-Blue Matchings
给定n个红点和n个蓝点之间的匹配的直线段在平面上，我们考虑的问题，通过翻转操作，取代两个交叉段的两个非交叉的，以获得一个交叉自由的匹配。我们首先证明：（i）对于任意常数α，α-逼近最短翻转序列是NP-困难的。第二，我们表明，当红点是共线的，（ii）给定的匹配，翻转序列的长度最多n（n-1）/2总是存在的，和（iii）在任何序列的翻转的数量从来没有超过（n（n-1）/2）（n+4）/6。最后，我们提出了（iv）一个下界翻转序列与大约1.5 n（n-1）/2翻转，这表明，在凸的情况下获得的n（n-1）/2翻转不是最大的，和（v）凸匹配，从任何翻转序列有大约1.5 n翻转。最后四个结果，基于新颖的分析，提高了常数的国家的最先进的界限。
2022-11-22 cs.CG
Flip Distance to a Non-crossing Perfect Matching
在平面中的有限点集$P$上的完美直线匹配$M$是一组线段，使得$P$中的每个点恰好是一个线段的端点。如果$M$中没有两个节段相互交叉，则$M$不交叉。给定具有至少一个交叉的完美直线匹配$M$，我们可以通过翻转操作移除该交叉。翻转操作在点集$Q$上删除两个相交的线段，并添加两个不相交的线段，以获得新的完美匹配$M'$。众所周知，在有限数量的翻转之后，获得非交叉匹配，并且不可能有进一步的翻转。然而，在这项工作之前，没有关于翻转次数的非平凡上限是已知的。如果$g(n)$（分别为~ $k(n)$）是最长（分别为~最短）序列的翻转从任何匹配的大小$n$开始，我们表明，$g(n) = O(n^3)$和$g(n) = Ω(n^2)$（分别为~ $k(n) = O(n^2)$和$k(n) = Ω(n)$）。
2016-01-22 cs.CG cs.DM math.CO
Advice Complexity of Online Non-Crossing Matching
研究了欧氏空间$2$维平面上的无交叉约束的在线匹配问题。离线版本是由Atallah在1985年推出的，而在线版本是最近由Bose等人推出和研究的。问题的输入由一系列点组成，当一个点到达时，算法可以将其与以前不匹配的点相匹配，前提是与匹配边缘相对应的线段不相交。决策是不可撤销的，虽然最佳离线解决方案总是匹配所有点，但在线算法在最坏情况下无法匹配所有点，除非给出一些辅助信息，即，建议.我们研究这个问题的两个版本-单色（MNM）和双色（BNM）。我们发现，建议的复杂性，最佳解决BNM上的一个圆圈（或更一般地说，在一个凸的位置上的输入）是严格限制的对数的$n^\text{th}$ Catalan数从上面和下面。这一结果纠正了Bose等人先前的结论，即建议复杂度是$\log(n!)$。结果的核心是在线输入的非交叉约束和$n$元素的排列的$231$ -避免属性之间的联系。我们还给出了平面上MNM的建议复杂度的$n/3-1$的下界和$3n$的上界。这给出了一个指数的改善，在以前最好的已知的下限和改善的上限中的领先项的常数。此外，我们建立了一个下界的$\fracα{2}\infdiv{\frac{2(1-α)}α}{1/4}n$的建议复杂性，以实现竞争比$α$的MNM在一个圆圈。建议复杂度的标准工具，如分割树和字符串猜测问题的约简，似乎不适用于MNM/BNM，所以我们必须从第一原理设计我们的下限。
2022-08-29 cs.CG
Long non-crossing configurations in the plane
我们重新审视几个最大化问题的几何网络设计下的非交叉约束，首先研究了阿隆，Rajagopalan和苏里（ACM计算几何研讨会，1993年）。给定一组$n$点在平面上的一般位置（没有三个点共线），计算由直线段组成的最长非交叉配置，即：（a）匹配（b）哈密尔顿路径（c）生成树。本文对（b）和（c）以及Hamilton圈问题得到了新的结果：（i）对于最长不相交Hamilton路问题，我们给出了一个具有比率$\frac{2}{π+1} \approx 0.4829$的近似算法。之前的最佳比例，由于阿隆等人，是$1/π\approx 0.3183$。此外，我们的算法的比率是接近$2/π$在一个相对广泛的类别的情况下：点集的周长（或直径）是远远短于最大长度匹配。该算法在$O(n^{7/3}\log{n})$时间内运行。(ii)对于最长非交叉生成树问题，我们给出了一个在$O(n \log{n})$时间内运行的比率为0.502的近似算法。之前的比例，1/2，由于阿隆等人，通过二次时间算法实现。在此过程中，我们首先用更快的$O(n \log{n})$时间算法和一个非常简单的分析重新推导了Alon等人的结果。(iii)对于最长不相交的Hamilton圈问题，我们给出了一个近似算法，其比在相对广泛的一类实例上接近于$2/π$：对于点集的乘积$\bf{<}$直径$\times$凸包大小$\bf{>}$远小于…
2010-02-03 cs.CG
Untangling Segments in the Plane
本文提出统一框架，研究平面线段集中消除交叉的翻转操作次数，证明对凸位置端点敏感的新界，适用于TSP环游、树、匹配等图结构。
2025-01-21 cs.CG
Point sets with many non-crossing matchings
平面上的一组$n$点可以具有的非交叉直线完美匹配的最大数目已知为$O(10.0438^n)$和$Ω^*(3^n)$。García、Noy和Tejel（2000）提出的下界是通过双链得到的，它具有$Θ(3^n n^{O(1)})$这样的匹配。我们重新证明这个界在一个简化的方式，使用新的概念下自由匹配，并将这种方法应用于其他几个建设。因此，我们改进了下界。首先证明了具有$n$点的双Z形链具有$Θ^*(λ^n)$，这样的匹配与$λ\approx 3.0532$。接下来，我们分析双锯齿链的进一步推广-双$r$ -链。参数的最佳选择导致具有$Θ^*(ν^n)$匹配的构造，具有$ν\approx 3.0930$。这个界限的推导需要分析两个无限向量之间的耦合动态规划递归。
2015-02-17 cs.CG cs.DM math.CO
A generalization of crossing families
对于平面中的一组点，\emph{crossing family}是一组线段，每个线段连接两个点，使得任何两个线段相交。我们研究了交叉族的以下推广：一个\emph{spoke set}是一组通过点集绘制的线，使得诱导线排列的每个无界区域包含点集的至少一个点。我们证明了每个点集都有一个大小为$\sqrt{\frac{n}{8}}$的辐集。我们还描述了匹配，通过选择一个点，在每个无界区域和连接每个这样的点，在对映无界区域的点。
2017-02-24 cs.CG
When Crossings Count - Approximating the Minimum Spanning Tree
本文的第一部分给出了平面直线上点的最小生成树的（1+μ）-近似算法，其中度量是生成树与直线的交叉数。期望的运行时间是O（（n/μ^5）alpha^3（n）log^5 n），其中μ> 0是指定的常数。在本文的第二部分中，我们展示了如何将这样的交叉度量嵌入到高维中，从而保持距离。因此，我们可以部署大量的次二次近似算法\cite im-anntr-98，giv-rahdg-99，用于解决以交叉度量作为距离函数的点的问题。应用包括匹配、聚类、最近邻和最远邻。
2003-03-01 cs.CG
Disjoint compatibility graph of non-crossing matchings of points in convex position
令$X_{2k}$为平面中凸位置的一组$2k$标记点。我们考虑$X_{2k}$的几何不相交直线完美匹配。两个这样的匹配，$M$和$M'$，如果它们没有公共边，并且没有$M$的边与$M'$的边相交，则是不相交兼容的。用$\mathrm{DCM}_k$表示其顶点对应于这样的匹配的图，并且两个顶点相邻当且仅当对应的匹配是不相交相容的。我们表明，对于每个$k \geq 9$，连接组件的$\mathrm{DCM}_k$形式正是三个同构类-即，有一定数量的同构小组件，一定数量的同构中组件，和一个大组件。精确地确定了中小型部件的数量和结构。
2014-03-21 cs.CG cs.DM math.CO
Noncrossing Longest Paths and Cycles
Khoury College of Computer Sciences, Northeastern University（东北大学科里计算机科学学院）；School of Computer Science, University of Windsor（温莎大学计算机学院）；School of Computer Science, Carleton University（卡尔顿大学计算机学院）；School of Electrical Engineering and Computer Science, University of Ottawa（渥太华大学电气与计算机工程学院）；Computer Science Department, University of California, Irvine（加州大学欧文分校计算机科学系）；Department of Mathematics, California State University Northridge（北岭加利福尼亚州立大学数学系）；Department of Computer Science, Tufts University（塔夫茨大学计算机科学系）；Department of Applied Mathematics, Charles University（查理大学应用数学系）
本文研究了几何图中最长路径和环的非交叉性，提出了一种构造方法，证明最长完美匹配、路径和环可以是非交叉的，反驳了相关猜想。
2025-10-21 cs.CG
Approximating the Bottleneck Plane Perfect Matching of a Point Set
$\mathbb{R}^2$中一组$n$点的瓶颈平面完美匹配被定义为最小化最长边的长度的完美非交叉匹配;该最长边的长度被称为{ \em瓶颈}。计算瓶颈平面完美匹配的问题已被证明是NP难的。我们提出了一种算法，计算的瓶颈平面匹配的大小至少$\frac{n}{5}$在$O(n \log^2 n)$时间。然后，我们将我们的想法扩展到$O(n\log n)$ -时间近似算法，它计算一个平面匹配的大小至少$\frac{2n}{5}$，其边缘的长度最多$\sqrt{2}+\sqrt{3}$倍的瓶颈。
2015-08-22 cs.CG
Long Alternating Paths Exist
令$P$是一组处于凸位置的$2n$点，使得$n$点被着色为红色，$n$点被着色为蓝色。长度为$\ell$的$P$上的非交叉交替路径是来自$P$的$\ell$点的序列$p_1, \dots, p_\ell$，使得对于$i \neq j$，（i）所有点是成对不同的;（ii）任何两个连续点$p_i$、$p_{i+1}$具有不同的颜色;以及（iii）任何两个段$p_i p_{i+1}$和$p_j p_{j+1}$具有不相交的相对内部。我们证明了存在一个独立于$n$和着色的绝对常数$\varepsilon > 0$，使得$P$总是存在一条长度至少为$(1 + \varepsilon)n$的非交叉交替路径.通过一个稍微强有力的陈述得到了这个结果：在$P$的至少$(1 + \varepsilon)n$点上总是存在一个不相交的双色分离匹配。这是一个正确着色的匹配，其片段成对不相交并被公共线相交。对于这两个版本，这是第一次改进的$n$容易获得的下限的一个附加项线性$n$。最著名的已发表的上界是渐进的顺序$4n/3+o(n)$。
2020-03-30 cs.CG cs.DM math.CO
On the Longest Flip Sequence to Untangle Segments in the Plane
平面中的一组分段可以形成欧几里德TSP巡回或匹配等。最优TSP旅行以及最小权重完美匹配没有交叉段，但一些几何学和近似算法可能产生具有交叉的解决方案。为了改进这样的解决方案，我们可以连续应用翻转操作，用非交叉段替换一对交叉段。本文考虑对n个段执行的最大翻转次数D（n）。首先，我们提出了减少有关D（n）的不同集合的部分（TSP旅游，单色匹配，红蓝匹配，和多重图）。其次，我们证明了如果除了t点之外的所有点都在凸位置，则D（n）= O（tn^2），提供了凸O（n^2）界和一般O（n^3）界之间的平滑过渡。最后，我们证明了如果我们不计算翻转的总数，而只计算不同翻转的数量，那么立方上界改进为O（n^{8/3}）。
2023-03-17 cs.CC cs.CG
On Compatible Matchings
如果匹配在每个点集上的直线绘制是无交叉的，则匹配与两个或多个具有标签$\{1,\dots,n\}$的尺寸为$n$的标记点集兼容。本文研究了平面上一般位置上两个或多个标号点集的匹配的最大边数问题。我们证明，对于任何两个$n$点的标记凸集，都存在与$\lfloor \sqrt {2n}\rfloor$边的兼容匹配。更一般地，对于任何$\ell$标记的点集，我们构造大小为$Ω(n^{1/\ell})$的兼容匹配。作为一个相应的上限，我们使用概率参数表明，对于任何$\ell$给定的$n$点集，存在一个标签的每个集合，使最大的兼容匹配有${\mathcal{O}}(n^{2/({\ell}+1)})$边缘。最后，我们表明，$Θ(\log n)$副本的任何一组$n$点的存在是必要的和充分的标签，使任何兼容的匹配只包括一个单一的边缘。
2022-09-05 cs.CG
Bounds on the maximum multiplicity of some common geometric graphs
我们得到新的下限和上限的最大多重性的一些加权和，分别，非加权常见的几何图形绘制在n个点在平面上的一般位置（没有三个点共线）：完美匹配，生成树，生成周期（旅游），和三角剖分。(i)我们提出了一个新的下界构造的最大数目的三角剖分的一组n个点在一般的位置可以有。特别地，我们证明了由两个几乎凸链构成的广义二重链允许Ω（8.65 ^n）个不同的三角剖分。这改进了Aichholzer等人研究的双锯齿链构型所得到的界Ω（8.48^n）。（ii）我们给出了由两个凸链组成的双链的非交叉生成树个数的一个新的下界Ω（12.00^n）。之前的界限Ω（10.42^n）在10多年的时间里保持不变。(iii)利用最近Sharir和Sheffer给出的三角剖分数的上限为30^n，我们证明了平面上一般位置的n个点最多允许O（68.62^n）个非交叉生成圈。(iv)我们推导出最大和最小加权几何图（匹配，生成树和旅游）的数量的下界。我们表明，最短的非交叉旅游的数量可以是指数n。同样，我们证明了最长非交叉旅行的数目和最长非交叉完美匹配的数目都可以是n中的指数。此外，我们还证明了在凸位置上存在n个点的集合，其最长非交叉生成树的个数为指数。对于凸位置上的点，我们得到了最长和最短行程数的紧界。我们给出了一个组合的最长的旅游，这导致一个O（nlog n）的时间算法来计算它们的特征。
2011-09-26 cs.CG cs.DM
Short Flip Sequences to Untangle Segments in the Plane
针对平面线段交叉问题，本文设计高效翻转策略以少量翻转得到无交叉线段，将凸位置端点的线性/近线性翻转次数界推广至非凸位置，在通用多重图框架下证明结果。
2023-07-24 cs.CG
On flips in planar matchings
本文研究了平面上非交叉完美匹配翻转图的结构。具体来说，考虑在单位圆上等距放置的一组$2n$点上的所有非交叉直线完美匹配。对这种匹配的翻转操作将跨越空四边形的两条匹配边替换为四边形的另外两条边，并且如果四边形包含单位圆的中心，则翻转被称为居中。图$\mathcal{G}_n$以这些匹配作为顶点，并且在翻转中不同的任何两个匹配之间有一条边，并且已知它具有许多有趣的性质。本文主要研究了$\mathcal{G}_n$的生成子图$\mathcal{H}_n$，它是通过取中心翻转对应的所有边，忽略非中心翻转对应的边而得到的.我们发现，图$\mathcal{H}_n$是连接的奇数$n$，但有指数许多小连通组件，甚至$n$，我们的特点和计数通过加泰罗尼亚和广义Narayana数。对于奇数$n$，我们还证明了$\mathcal{H}_n$的直径在$n$中是线性的。进一步，我们确定了所有$n$的$\mathcal{H}_n$的最小度和最大度，并对相应的顶点进行了刻画和计数.我们的结果暗示了在$\mathcal{G}_n$中某些彩虹环的不存在，并且解决了Felsner、Kleist、Mütze和Sering在最近的一篇论文中提出的几个悬而未决的问题和解释。
2020-10-09 cs.CG cs.DM math.CO
Stable Noncrossing Matchings
给定一组$n$男性和$n$女性，男性由位于一条直线上的$n$点表示，女性由位于另一条平行线上的$n$点表示，每个人都有一个列表，该列表将一些异性按严格的偏好顺序排列为他/她可接受的伴侣。在这个问题中，我们希望匹配不同性别的人，以满足人们的偏好，以及使边缘不交叉的几何。一个非交叉阻塞对w.r.t.匹配的$M$是一对$(m,w)$，其中一个男人和一个女人彼此不匹配，但是在$M$中彼此喜欢对方胜过他们自己的伙伴，并且段$(m,w)$不穿过$M$中的任何边。弱稳定非交叉匹配（WSNM）是一种不允许任何非交叉阻塞对的非交叉匹配。在本文中，我们证明了存在的WSNM在任何情况下，通过开发一个$O(n^2)$算法找到一个在给定的实例。
2019-10-25 cs.CG cs.DS
Crossing and intersecting families of geometric graphs on point sets
设$S$是平面中一般位置的一组$n$点。如果连接$S$的点对的两条线段有一个公共的内点，则这两条线段相交。两个顶点在$S$中的顶点不相交的几何图相交，如果有两条边相交，每个图有一条边。一组顶点在$S$中的顶点不相交的几何图，如果其中任意两个相交，则称为相交图。我们发现，存在一个常数$c$，使得从任何家庭的$n$相互交叉的三角形，人们总是可以获得一个家庭的至少$n^c$相互交叉的$2$ -路径（其中每一个是删除的结果，从一个三角形的边缘），然后提供一个例子，这意味着$c$不能被视为大于$2/3$。对于每一个$n$，我们确定一个哈密顿圈在一组$n$点上可能具有的最大交叉数。接下来，我们构造一个点集，其最长完美匹配不包含交叉。我们还考虑边缘组成的一个水平和一个垂直线段连接点对$S$，我们称之为肘，并证明在任何点集$S$存在一个家庭的$\lfloor n/4 \rfloor$顶点不相交相互交叉肘。此外，我们展示了一个点集，承认不超过$n/3$相互交叉肘。最后，我们研究了相交图族，这不一定是顶点不相交的。一组顶点在$S$中的边不相交图称为相交族，如果对于其中的任意两个图，我们可以在每个图中选择一条边使它们相交。本文证明了Lara和Rubio-Montiel的一个猜想，即任何$n$点在一般位置上的集合$S$都包含一个元素数为二次的相交三角形族.在整个工作中还得到了一些其他的结果。
2022-11-17 cs.CG math.CO
Peeling and Nibbling the Cactus: Subexponential-Time Algorithms for Counting Triangulations and Related Problems
给定平面中的一组$n$点$S$，$S$的三角测量$T$是端点在$S$中的非交叉线段的最大集合。我们提出了一种算法，该算法计算给定的$n$时间点集$n^{(11+ o(1))\sqrt{n} }$上的三角剖分数量，显著改善了Alvarez和Seidel [SoCG 2013]之前$O(2^n n^2)$的最佳运行时间。我们的主要工具是确定分隔符的大小$O(\sqrt{n})$的三角剖分在一个规范的方式。分隔符的定义是基于三角剖分到嵌套层（“仙人掌图”）的分解。基于上述算法，我们开发了一个简单而形式化的框架，可以在$n^{O(\sqrt{n})}$时间内对其他非交叉直线图进行计数。我们证明了有用的框架，将其应用于计数非交叉汉密尔顿循环，生成树，完美匹配，$3$ -可着色三角，连通图，循环分解，四边形，$3$ -经常图，等等。
2016-03-23 cs.CG cs.DM cs.DS
Counting Triangulations and other Crossing-free Structures via Onion Layers
设$P$是平面中的一组$n$点。$P$上的无交叉结构是顶点集为$P$的平面图。无交叉结构的实例包括$P$的三角剖分，跨越$P$的环，也称为$P$的三角剖分等。在本文中，我们开发了一个通用的技术来计算输入集$P$的无交叉结构的数量。我们应用该技术来获得算法计算的三角剖分，匹配，和生成周期的$P$。我们的算法的运行时间是由$n^{O(k)}$，其中$k$是$P$的洋葱层数的上限。特别地，对于$k = O(1)$，我们的算法在多项式时间内运行。此外，我们表明，我们的算法计数三角形是从来没有慢于$O^{*}(3.1414^{n})$，即使当$k = Θ(n)$。考虑到有几个充分研究的配置点，至少$Ω(3.464^{n})$三角形，有些甚至与$Ω(8^{n})$三角形，我们的算法渐近优于任何枚举算法的这种情况下。事实上，人们普遍认为，任何$n$点集必须至少具有$Ω(3.464^{n})$三角剖分。如果这是真的，那么我们的算法是严格的三角形计数的数量次线性。我们还表明，我们的技术是一般的，足以解决"限制三角测量计数问题"，我们证明是$W[2]$-硬的参数$k$。这意味着一个"没有免费的午餐"的结果：为了是固定参数易处理的，我们的一般算法必须依赖于特定于所考虑的结构类的附加属性。
2013-12-17 cs.CC cs.CG cs.DS
