轴平行线段端点覆盖：双色与单色单中心问题
Endpoint Covering of Axis-Parallel Segments:Bichromatic and Monochromatic One-Center
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中文总结 AI 辅助
本研究针对轴平行线段，提出基于端点覆盖的单色与双色单中心优化算法，分别达到O(n log n)及O(m+n log^2 n)等时间复杂度，并证明相应下界。
中文摘要 AI 辅助
我们研究使用轴平行正方形对轴平行线段进行基于端点覆盖的精确单中心优化，其中若正方形包含某条线段的至少一个端点，则该线段被称为“1-覆盖”。在单色问题中，我们寻找一个最小边长的正方形，使其1-覆盖所有n条输入线段。我们针对无约束中心和受线段约束的中心均获得了O(n log n)时间的算法。无约束情形的界与已知的由双代表颜色跨度正方形问题所蕴含的界相匹配，而受线段约束的结果是新的。我们还证明了在固定阶代数决策树模型下，两种中心模型均具有匹配的Ω(n log n)下界。在双色问题中，一个可接受的正方形必须完全包含所有m条蓝色线段，最小化其内部包含端点的红色线段数量，并在达到该最小值的前提下，在规定的边界框内最大化其边长。我们分别给出了针对无约束中心和受蓝色线段约束中心的确定性O(m+n log^2 n)时间和O(m+mn log n)时间算法。
英文摘要
We study exact one-center optimization for axis-parallel segments using axis-parallel squares under endpoint-based coverage, where a segment is \emph{$1$-covered} if the square contains at least one of its endpoints. In the monochromatic problem, we seek a minimum-side-length square that $1$-covers all $n$ input segments. We obtain $O(n\log n)$-time algorithms for both unrestricted and segment-constrained centers. The unrestricted bound matches the known bound implied by the two-representative color-spanning-square problem, whereas the segment-constrained result is new. We also prove matching $Ω(n\log n)$ lower bounds for both center models in the fixed-order algebraic decision-tree model. In the bichromatic problem, an admissible square must fully contain all $m$ blue segments, minimize the number of red segments with an endpoint in its interior, and, subject to this minimum, maximize its side length within a prescribed bounding box. We give deterministic $O(m+n\log^2 n)$-time and $O(m+mn\log n)$-time algorithms for unrestricted and blue-segment-constrained centers, respectively.
发表机构
- National Institute of Technology Durgapur（印度德里格拉普尔国家技术学院）
- Indian Institute of Technology Palakkad（印度帕拉卡德印度理工学院）
- Dhirubhai Ambani University, Gandhinagar, Gujarat, India（印度古吉拉特邦甘地纳加尔迪鲁巴伊·安巴尼大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
