Noncrossing Longest Paths and Cycles
Khoury College of Computer Sciences, Northeastern University（东北大学科里计算机科学学院）；School of Computer Science, University of Windsor（温莎大学计算机学院）；School of Computer Science, Carleton University（卡尔顿大学计算机学院）；School of Electrical Engineering and Computer Science, University of Ottawa（渥太华大学电气与计算机工程学院）；Computer Science Department, University of California, Irvine（加州大学欧文分校计算机科学系）；Department of Mathematics, California State University Northridge（北岭加利福尼亚州立大学数学系）；Department of Computer Science, Tufts University（塔夫茨大学计算机科学系）；Department of Applied Mathematics, Charles University（查理大学应用数学系）
本文研究了几何图中最长路径和环的非交叉性，提出了一种构造方法，证明最长完美匹配、路径和环可以是非交叉的，反驳了相关猜想。
2025-10-21 cs.CG
Rapid mixing of the flip chain over non-crossing spanning trees
本文研究凸位置点集上非交叉生成树翻转链的混合时间，通过 Fuss-Catalan 结构与 Wilson 格路径链的比较，证明其在 $O(n^8\log n)$ 时间内快速混合。
2025-02-19 cs.CG cs.DM math.CO
Approximating the Bottleneck Plane Perfect Matching of a Point Set
$\mathbb{R}^2$中一组$n$点的瓶颈平面完美匹配被定义为最小化最长边的长度的完美非交叉匹配;该最长边的长度被称为{ \em瓶颈}。计算瓶颈平面完美匹配的问题已被证明是NP难的。我们提出了一种算法，计算的瓶颈平面匹配的大小至少$\frac{n}{5}$在$O(n \log^2 n)$时间。然后，我们将我们的想法扩展到$O(n\log n)$ -时间近似算法，它计算一个平面匹配的大小至少$\frac{2n}{5}$，其边缘的长度最多$\sqrt{2}+\sqrt{3}$倍的瓶颈。
2015-08-22 cs.CG
Approximating Euclidean Shallow-Light Trees
University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；California State University Northridge（北岭加州州立大学）；Tufts University（塔夫茨大学）；Nanjing University（南京大学）
本文提出两种双标准近似算法，用于在欧几里得空间中近似浅光树，同时保证根扩展因子和权重的约束。
2025-12-11 cs.CG
Approximating bottleneck spanning trees on partitioned tuples of points
我们提出了近似算法，为以下NP-困难的优化问题的瓶颈生成树在度量空间。1.不相交瓶颈生成树问题：给定度量空间中的$n$点对，找到两棵不相交的树，每棵树仅包含每对中的一个点，并最小化最大边长（在两棵树的所有边上）。众所周知，用优于2的因子来近似这个问题是NP困难的。我们提出了一个4-近似算法解决这个问题。这改进了先前最好的已知近似比$9$。我们的算法扩展到一个$(3k-2)$ -近似的一个更一般的情况下，点被划分成$k$ -元组，我们寻求$k$不相交的树。2.广义瓶颈生成树问题：给定某个度量空间中的$n$点，这些点被划分为大小至多为2的簇，找到一棵树，该树恰好包含每个簇中的一个点，并且最小化最大边长。我们表明，它是NP-难近似这个问题的一个因素优于2，并提出了一个3-近似算法。3.分割瓶颈生成树问题：给定度量空间中的$kn$点，找到每个恰好包含$n$点的$k$树，并最小化最大边长度（在$k$树的所有边上）。我们表明，这是NP-难近似这个问题的一个因素优于2的任何$k\ge 2$。我们提出了一个$α$ -近似算法，其中$α=2$为$k=2,3$和$α=3$为$k\ge 4$。为了获得这些近似比，我们提出了严格的上限上的$k$等大小的不相交的树，可以从一个给定的树的节点的边长度。这个结果是独立的利益。我们的硬度证明意味着它是NP-困难的近似非度量版本的上述问题在任何常数因子。
2021-11-10 cs.CG cs.DM cs.DS
The Partition Spanning Forest Problem
给定平面上的一组着色点，我们问是否存在生成森林的无交叉直线图，使得森林中的每棵树都包含一个颜色类的点。我们表明，该问题是NP完全的，即使每个颜色类包含最多五个点，但它是可解的$O(n^2)$时间时，每个颜色类包含最多三个点。如果我们要求生成森林是线性森林，那么即使每个颜色类最多包含四个点，问题也是NP完全的。
2018-09-07 cs.CG
Bounds on the maximum multiplicity of some common geometric graphs
我们得到新的下限和上限的最大多重性的一些加权和，分别，非加权常见的几何图形绘制在n个点在平面上的一般位置（没有三个点共线）：完美匹配，生成树，生成周期（旅游），和三角剖分。(i)我们提出了一个新的下界构造的最大数目的三角剖分的一组n个点在一般的位置可以有。特别地，我们证明了由两个几乎凸链构成的广义二重链允许Ω（8.65 ^n）个不同的三角剖分。这改进了Aichholzer等人研究的双锯齿链构型所得到的界Ω（8.48^n）。（ii）我们给出了由两个凸链组成的双链的非交叉生成树个数的一个新的下界Ω（12.00^n）。之前的界限Ω（10.42^n）在10多年的时间里保持不变。(iii)利用最近Sharir和Sheffer给出的三角剖分数的上限为30^n，我们证明了平面上一般位置的n个点最多允许O（68.62^n）个非交叉生成圈。(iv)我们推导出最大和最小加权几何图（匹配，生成树和旅游）的数量的下界。我们表明，最短的非交叉旅游的数量可以是指数n。同样，我们证明了最长非交叉旅行的数目和最长非交叉完美匹配的数目都可以是n中的指数。此外，我们还证明了在凸位置上存在n个点的集合，其最长非交叉生成树的个数为指数。对于凸位置上的点，我们得到了最长和最短行程数的紧界。我们给出了一个组合的最长的旅游，这导致一个O（nlog n）的时间算法来计算它们的特征。
2011-09-26 cs.CG cs.DM
Flip Distance of Non-Crossing Spanning Trees: NP-Hardness and Improved Bounds
University at Albany（奥尔巴尼大学）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Universität Hamburg（汉堡大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究非交叉生成树翻转距离的NP难性及改进翻转图直径的界限，通过冲突图工具证明计算翻转距离为NP难问题，并改进翻转图直径下界。
2026-03-23 cs.CG math.CO
Long non-crossing configurations in the plane
我们重新审视几个最大化问题的几何网络设计下的非交叉约束，首先研究了阿隆，Rajagopalan和苏里（ACM计算几何研讨会，1993年）。给定一组$n$点在平面上的一般位置（没有三个点共线），计算由直线段组成的最长非交叉配置，即：（a）匹配（b）哈密尔顿路径（c）生成树。本文对（b）和（c）以及Hamilton圈问题得到了新的结果：（i）对于最长不相交Hamilton路问题，我们给出了一个具有比率$\frac{2}{π+1} \approx 0.4829$的近似算法。之前的最佳比例，由于阿隆等人，是$1/π\approx 0.3183$。此外，我们的算法的比率是接近$2/π$在一个相对广泛的类别的情况下：点集的周长（或直径）是远远短于最大长度匹配。该算法在$O(n^{7/3}\log{n})$时间内运行。(ii)对于最长非交叉生成树问题，我们给出了一个在$O(n \log{n})$时间内运行的比率为0.502的近似算法。之前的比例，1/2，由于阿隆等人，通过二次时间算法实现。在此过程中，我们首先用更快的$O(n \log{n})$时间算法和一个非常简单的分析重新推导了Alon等人的结果。(iii)对于最长不相交的Hamilton圈问题，我们给出了一个近似算法，其比在相对广泛的一类实例上接近于$2/π$：对于点集的乘积$\bf{<}$直径$\times$凸包大小$\bf{>}$远小于…
2010-02-03 cs.CG
Minimum Plane Bichromatic Spanning Trees
本文证明最小双色生成树具有拟平面性并界定交叉数，同时为 NP 难的最小平面双色生成树问题给出一般情形下 O(log n) 因子近似算法。
2024-09-18 cs.CG
Approximating the Edge Length of 2-Edge Connected Planar Geometric Graphs on a Set of Points
给定平面上的一组$P$的$n$点，我们解决了构造一个几何平面图的问题，它分别生成$P$ 1）的最小度为2，和2）是2-边连通的，并且最大边长度由2倍的最优因子限定;我们还证明了因子2是最好的可能的给定适当的连通性条件的集合$P$，分别。首先，我们在$O(n\log{n})$时间内构造一个最小度为2，最大边长为2倍最优边的几何平面图。然后，这是用来构建在$O(n\log n)$时间的2-边连接的几何平面图跨越$P$与最大的边长度由$\sqrt{5}$倍的最佳的限制，假设集合$P$形成一个连接的单位圆盘图。其次，我们证明了2倍的最优总是足够的，如果点集形成一个2边连通的单位圆盘图，并给出了一个算法，运行在$O(n^2)$时间。我们还表明，对于$k \in O(\sqrt{n})$，存在一个集$P$的$n$点在平面上，即使单位圆盘图跨越$P$是$k$ -顶点连接，有没有2-边连接的几何平面图跨越$P$，即使其边缘的长度被允许达到17/16。
2011-12-15 cs.CG cs.DM
Output-Sensitive Tools for Range Searching in Higher Dimensions
令$P$是${\mathbb R}^{d}$中的$n$点的集合。一个点$p \in P$是$k$ \emph{-shallow}，如果它位于一个半空间中，该半空间最多包含$P$（包括$p$）的$k$点。我们表明，如果$P$的所有点都是$k$浅，那么$P$可以划分成$Θ(n/k)$子集，使任何超平面交叉最多$O((n/k)^{1-1/(d-1)} \log^{2/(d-1)}(n/k))$子集。给定这样的划分，我们可以应用在每个子集内具有小交叉数的生成树的标准构造，以获得点集$P$的具有交叉数$O(n^{1-1/(d-1)}k^{1/d(d-1)} \log^{2/(d-1)}(n/k))$的生成树。这使我们能够将Har-Peled和Sharir \cite{hs11}的构造扩展到三维和更高的维度，以获得对于${\mathbb R}^{d}$中的任何$n$点集（没有浅度假设），具有{\em小相对交叉数}的生成树$T$。也就是说，在一侧包含$P$的$w \leq n/2$点的任何超平面与$T$的$O(n^{1-1/(d-1)}w^{1/d(d-1)} \log^{2/(d-1)}(n/w))$边相交。使用类似的机制，我们还获得了一个半空间范围计数的数据结构，它使用$O(n \log \log n)$空间（和稍高的预处理成本），并及时回答查询$O(n^{1-1/(d-1)}k^{1/d(…
2013-12-21 cs.CG
Algorithms and Bounds for Drawing Non-planar Graphs with Crossing-free Subgraphs
我们首先研究了如下问题：给定一个非平面图G和G的一个平面子图S，是否存在G在平面上的一个直线图Γ，使得G的任何边都不与S的边相交？对G的不同类型的连通生成子图S给出了肯定和否定的结果。此外，为了扩大的子集的情况下，承认一个解决方案，我们考虑的可能性弯曲的边缘G不在S中，在这种情况下，我们讨论不同的权衡弯曲的数量和所需的绘图面积。
2014-08-07 cs.CG
Geometric Spanning Trees Minimizing the Wiener Index
由化学家Harry Wiener提出的网络的Wiener指数是网络中所有节点对之间的距离之和。该指数最初用于分子的非氢原子的化学图形表示，被认为是一个基本的和有用的网络描述符。我们研究了在欧氏空间中的点集上构造几何网络以使Wiener指数最小化的问题：给定$\mathbb{R}^d$中$n$点的集合$P$，目标是构造一个网络，它跨越$P$并满足一定的约束条件，使得Wiener指数在允许的跨越网络类中最小化.在这项工作中，我们主要集中在生成网络的树，我们专注于在平面（$d=2$）的问题。我们表明，任何生成树，最大限度地减少维纳指数有非交叉的边缘在平面上。然后，我们利用这一事实，设计了一个$O(n^4)$时间算法，构造一个最小的Wiener指数的生成树的凸位置的点。我们还证明了问题的生成树计算$P$的维纳指数是最多$W$，而总（欧几里德）重量最多$B$，是NP-困难的。计算一棵树，使维纳指数最小化已经在通信网络领域进行了研究，在那里它被称为最佳通信生成树问题。
2023-03-02 cs.CG
How many times can two minimum spanning trees cross?
Charles University（查理大学）；Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究所）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
研究了双色点集的最小生成树交叉次数，证明了在通用点集情况下交叉次数的线性上界，并在密集或凸位置时给出下界，同时证明了随机点集下的期望线性性质。
2026-08-18 cs.CG math.CO
On the minimum spanning tree problem in imprecise set-up
在这篇文章中，我们研究了欧氏最小生成树问题的不精确设置。该问题在文献中称为\emph{Minimum Spanning Tree Problem with Neighborhoods}。我们研究的问题表示为非交叉线段的邻域。给定$I\!\!R^2$中$n$不相交线段的集合${\cal S}$，目标是找到一个最小生成树（MST），该最小生成树包含$\cal S$中每个线段的一个端点，并且该最小生成树的代价在$2^n$可能的最小生成树中最小.我们发现，找到这样的MST是NP-困难的一般情况下，并提出了一个$2α$因子近似算法相同，其中$α$是最有名的近似算法的近似因子，以计算最小成本Steiner树在无向图与非负边权重。作为我们约简的一个含义，我们可以证明问题的无限制版本（即，必须从每个段中选择一个点，使得MST的成本尽可能最小）也是NP难的。我们还提出了一个参数化算法的问题的基础上的“可分性”参数定义的部分。
2021-04-09 cs.CG
Flipping Non-Crossing Spanning Trees
该研究聚焦平面点集非交叉生成树翻转图的直径问题，通过引入冲突图最大无环子集转化方法，给出凸位置下直径的新上下界，推翻了原有3n/2上界猜想，为重构问题研究提供了新工具。
2024-10-31 cs.CG cs.DM math.CO
Untangling Segments in the Plane
本文提出统一框架，研究平面线段集中消除交叉的翻转操作次数，证明对凸位置端点敏感的新界，适用于TSP环游、树、匹配等图结构。
2025-01-21 cs.CG
Three Edge-disjoint Plane Spanning Paths in a Point Set
本文研究一般位置点集上可绘制的边不相交平面直线生成路径数量，证明至少十点时存在三条，并强化两路径构造及给出 ⌈n/3⌉ 下界。
2025-06-09 cs.CG
Counting Triangulations and other Crossing-free Structures via Onion Layers
设$P$是平面中的一组$n$点。$P$上的无交叉结构是顶点集为$P$的平面图。无交叉结构的实例包括$P$的三角剖分，跨越$P$的环，也称为$P$的三角剖分等。在本文中，我们开发了一个通用的技术来计算输入集$P$的无交叉结构的数量。我们应用该技术来获得算法计算的三角剖分，匹配，和生成周期的$P$。我们的算法的运行时间是由$n^{O(k)}$，其中$k$是$P$的洋葱层数的上限。特别地，对于$k = O(1)$，我们的算法在多项式时间内运行。此外，我们表明，我们的算法计数三角形是从来没有慢于$O^{*}(3.1414^{n})$，即使当$k = Θ(n)$。考虑到有几个充分研究的配置点，至少$Ω(3.464^{n})$三角形，有些甚至与$Ω(8^{n})$三角形，我们的算法渐近优于任何枚举算法的这种情况下。事实上，人们普遍认为，任何$n$点集必须至少具有$Ω(3.464^{n})$三角剖分。如果这是真的，那么我们的算法是严格的三角形计数的数量次线性。我们还表明，我们的技术是一般的，足以解决"限制三角测量计数问题"，我们证明是$W[2]$-硬的参数$k$。这意味着一个"没有免费的午餐"的结果：为了是固定参数易处理的，我们的一般算法必须依赖于特定于所考虑的结构类的附加属性。
2013-12-17 cs.CC cs.CG cs.DS
From Crossing-Free Graphs on Wheel Sets to Embracing Simplices and Polytopes with Few Vertices
如果除了$w$以外的所有点都是极值点，则在平面中处于一般位置的$n+1$点的集合$P = H \cup \{w\}$称为轮集。我们表明，为了计数交叉自由的几何图形在这样一个集合$P$，它足以知道的频率向量的$P$。虽然大致存在对应于轮组的$2^n$不同阶次类型，但频率向量的数量仅约为$2^{n/2}$。我们给出了简单的公式，在频率向量的交叉自由的生成循环，匹配，三角剖分，和更多的数量。在此基础上，可以有效地计算相应的图的数量。特别是，我们重新发现了一个已知的公式$w$ -拥抱三角形跨越$H$。同样在更高的维度中，轮组被证明是一个合适的模型来处理计算集合$H$中的点$w$的单纯深度的问题，即，包含$w$的单形的数目。虽然我们以前的参数在飞机上不容易推广，我们展示了如何使用类似的想法在$\mathbb{R}^d$的任何固定的$d$。其结果是一个$O(n^{d-1})$时间算法，用于计算$n$点的$H$集合中的点$w$的单纯深度，改进了以前的最佳界$O(n^d\log n)$。基于我们关于单纯形深度的结果，我们可以计算$\mathbb{R}^d$中一般位置的$n=d+k$点在时间$O(n^{\max\{ω,k-2\}})$上的凸包的面数，其中$ω\approx 2.373$，即使面的渐近数可能与$n^k$一样大.
2019-08-30 cs.CG
Plane Bichromatic Trees of Low Degree
设$R$和$B$是平面中两个不相交的点集，使得$|B|\leqslant |R|$和$R\cup B$中没有三个点共线。我们证明了几何完全二部图$K(R,B)$包含一个非交叉生成树，其最大度至多为$\max\left\{3, \left\lceil \frac{|R|-1}{|B|}\right\rceil + 1\right\}$，这是最大度的最佳可能上界。这解决了Abellanas等人在1996年的Graph Drawing Symposium上提出的一个开放问题。
2015-12-09 cs.CG
On the Connectivity of the Flip Graph of Plane Spanning Paths
针对平面生成路径翻转图连通性这一开放问题，论文研究固定端点与后缀无关路径等诱导子图，给出直径和半径紧界，并证明至多两个凸层点集上的连通性。
2024-07-04 cs.CG cs.DM
How Close is a Tree to a Euclidean Minimum Spanning Tree?
Charles University（查理大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Warsaw University of Technology（华沙理工大学）；Università degli Studi di Perugia（佩鲁贾大学）；TU Wien（维也纳工业大学）
研究判定树与欧几里得最小生成树接近程度的问题，刻画了有EMST图的毛毛虫树，给出线性时间判定算法及计算图的方法，还对特定树给出坏对数量上界并构造特殊图。
2026-07-23 cs.CG cs.DM math.CO
Flip Distance to some Plane Configurations
研究了一个古老的平面几何优化问题。给定平面上$n$点集上的一个完美匹配$M$，我们可以通过有限序列的翻转操作将其转换为一个非交叉完美匹配。翻转操作从$M$中删除两条交叉边，并添加两条非交叉边。令$f(M)$和$F(M)$分别表示$M$上翻转序列的最小和最大长度。Bonnet和Miltzow（2016）证明了$f(M)=O(n^2)$，van Leeuwen和Schoone（1980）证明了$F(M)=O(n^3)$。我们证明了$f(M)=O(nΔ)$，其中$Δ$是点集的传播，它被定义为最长和最短的成对距离之间的比率。如果点集具有次线性扩展，则这改进了先前的边界。对于凸位置上的$n$点上的匹配$M$，我们证明了$f(M)=n/2-1$和$F(M)={{n/2} \choose 2}$的上界是紧的. $F(\cdot)$上的任何结合都延续到双色设置，而这对于$f(\cdot)$不一定是真的。让$M'$是一个双色匹配。$f(M')$最为人所知的上限与$F(M')$相同，后者本质上是$O(n^3)$。本文证明了对于凸位置上的点，$f(M')\le n-2$成立;对于半共线点，$f(M')= O(n^2)$成立。翻转操作也可以在生成树上定义。对于凸点集上的生成树$T$，我们证明了$f(T)=O(n\log n)$。
2019-05-02 cs.CG cs.DM
Counting Triangulations and other Crossing-Free Structures Approximately
本文研究平面上给定的$n$点集$P$的直边三角剖分的计数问题。直到最近，人们还不知道$P$的三角剖分的确切数目是否可以比枚举所有三角剖分更快地渐近计算。我们现在知道$P$的三角剖分数可以在$O^{*}(2^{n})$时间内计算出来，这个时间小于$Ω(2.43^{n})$关于任何点集的三角剖分数的下界。在本文中，我们解决的问题，是否可以近似计数三角在次指数时间。本文提出了一种具有次指数运行时间和次指数逼近比的算法，即用$Λ$表示算法的输出，用$c^{n}$表示$P$的精确三角剖分数，对一定的正常数$c$，证明了$c^{n}\leqΛ\leq c^{n}\cdot 2^{o(n)}$ .这是第一个算法，在次指数时间计算$(1+o(1))$ -近似的基础上的数量的三角，更准确地说，$c\leqΛ^{\frac{1}{n}}\leq(1 + o(1))c$。我们的算法可以适用于近似计数$P$上的其他无交叉结构，保持近似质量和运行时间不变。在本文中，我们将展示如何做到这一点的匹配和生成树。
2014-04-01 cs.CG cs.DS
Peeling and Nibbling the Cactus: Subexponential-Time Algorithms for Counting Triangulations and Related Problems
给定平面中的一组$n$点$S$，$S$的三角测量$T$是端点在$S$中的非交叉线段的最大集合。我们提出了一种算法，该算法计算给定的$n$时间点集$n^{(11+ o(1))\sqrt{n} }$上的三角剖分数量，显著改善了Alvarez和Seidel [SoCG 2013]之前$O(2^n n^2)$的最佳运行时间。我们的主要工具是确定分隔符的大小$O(\sqrt{n})$的三角剖分在一个规范的方式。分隔符的定义是基于三角剖分到嵌套层（“仙人掌图”）的分解。基于上述算法，我们开发了一个简单而形式化的框架，可以在$n^{O(\sqrt{n})}$时间内对其他非交叉直线图进行计数。我们证明了有用的框架，将其应用于计数非交叉汉密尔顿循环，生成树，完美匹配，$3$ -可着色三角，连通图，循环分解，四边形，$3$ -经常图，等等。
2016-03-23 cs.CG cs.DM cs.DS
Approximation algorithms for Euler genus and related problems
图的欧拉亏格是图论和拓扑学中的一个基本参数。计算它已被证明是NP-难的[Kassen '89 & '93]，并且已知它是固定参数易处理的。然而，欧拉亏格的可逼近性是完全开放的。虽然不排除O（1）-近似的存在，但即使在有界度图中也只知道O（sqrt（n））-近似[Chen，Kanchi，Kanevsky '97]。本文给出了一个多项式时间算法，该算法以欧拉亏格g的有界度图为输入，计算一个欧拉亏格poly（g，log（n））曲面的绘图。结合[Chen，Kanchi，Kanevsky '97]的上界，我们的结果也意味着O（n^（1/2 - alpha））-近似，对于某个常数alpha>0。使用我们的算法近似欧拉属作为一个子程序，我们得到，在一个统一的方式，算法的形式聚（OPT，日志（n））的几个相关问题的有界度图的近似比。这些问题包括可定向亏格，交叉数，平面边和顶点删除问题。与[Chuzhoy 2011]在最近的突破中进行的冗长而困难的证明相比，我们的算法和交叉数问题的正确性证明更简单，同时基本上获得了定性相似的结果。对于平面边删除和顶点删除问题，我们的结果是第一次得到形式为poly（OPT，log（n））的界。我们还强调了一些进一步的应用，我们的结果在设计的算法，图与小亏格。许多这样的算法要求将图的绘图作为输入的一部分给出。我们的研究结果意味着，在几个有趣的情况下，我们可以实现这样的算…
2013-11-01 cs.CG cs.DS
