Fixed parameter tractability of crossing minimization of almost-trees
我们调查确切的交叉最小化的图，不同于树的一个小数目的额外的边缘，交叉最小化问题的几个变种。特别是，我们提供了固定的参数易于处理的算法，1页的书交叉数，2页的书交叉数，和最小数量的交叉边缘在1页和2页的书图纸。
2013-08-27 cs.CG cs.DS
Noncrossing Longest Paths and Cycles
Khoury College of Computer Sciences, Northeastern University（东北大学科里计算机科学学院）；School of Computer Science, University of Windsor（温莎大学计算机学院）；School of Computer Science, Carleton University（卡尔顿大学计算机学院）；School of Electrical Engineering and Computer Science, University of Ottawa（渥太华大学电气与计算机工程学院）；Computer Science Department, University of California, Irvine（加州大学欧文分校计算机科学系）；Department of Mathematics, California State University Northridge（北岭加利福尼亚州立大学数学系）；Department of Computer Science, Tufts University（塔夫茨大学计算机科学系）；Department of Applied Mathematics, Charles University（查理大学应用数学系）
本文研究了几何图中最长路径和环的非交叉性，提出了一种构造方法，证明最长完美匹配、路径和环可以是非交叉的，反驳了相关猜想。
2025-10-21 cs.CG
Approximating the Bottleneck Plane Perfect Matching of a Point Set
$\mathbb{R}^2$中一组$n$点的瓶颈平面完美匹配被定义为最小化最长边的长度的完美非交叉匹配;该最长边的长度被称为{ \em瓶颈}。计算瓶颈平面完美匹配的问题已被证明是NP难的。我们提出了一种算法，计算的瓶颈平面匹配的大小至少$\frac{n}{5}$在$O(n \log^2 n)$时间。然后，我们将我们的想法扩展到$O(n\log n)$ -时间近似算法，它计算一个平面匹配的大小至少$\frac{2n}{5}$，其边缘的长度最多$\sqrt{2}+\sqrt{3}$倍的瓶颈。
2015-08-22 cs.CG
Quasi-Parallel Segments and Characterization of Unique Bichromatic Matchings
已知在平面上一般位置上有n个红点和n个蓝点，存在由不相交的线段构成的完美匹配。我们刻画了仅允许一个非交叉匹配的双色点集。我们给这样的集合的几个几何描述，并找到一个O（nlogn）算法，检查是否一个给定的双色集有此属性。
2013-02-18 cs.CG
Augmenting a Geometric Matching is $NP$-complete
已知平面上的$2n$点，总是存在完美的直线不相交匹配。我们表明，它是$NP$ -完全的决定，如果部分匹配可以增加到一个完美的，通过减少从1-在3-SAT。这一结果也适用于双色匹配。
2012-06-27 cs.CC cs.CG
Untangling Segments in the Plane
本文提出统一框架，研究平面线段集中消除交叉的翻转操作次数，证明对凸位置端点敏感的新界，适用于TSP环游、树、匹配等图结构。
2025-01-21 cs.CG
Bichromatic compatible matchings
对于$n$红色点的集合$R$和$n$蓝色点的集合$B$，$BR$匹配是非交叉几何完美匹配，其中每个段具有$B$中的一个端点和$R$中的一个端点。如果两个$BR$匹配的并集也是非交叉的，则它们是兼容的。证明了对于任意两个不同的$BR$ -匹配$M$和$M'$，存在一个$BR$ -匹配序列$M = M_1, ..., M_k = M'$使得$M_{i-1} $与$M_i$相容.这意味着相容双色匹配图的连通性，它包含一个结点和一条连接每对相容匹配的边，从而回答了Aichholzer等人在“Compatible matchings for bichromatic plane straight line graphs”中提出的公开问题
2013-11-26 cs.CG
Splitting Vertices in 2-Layer Graph Drawings
本文研究2-层图绘制中通过顶点分裂减少边交叉的优化问题，证明部分变体NP完全，为其他变体给出多项式时间算法，并在人体解剖结构与细胞类型关系基准集上验证算法。
2023-04-15 cs.CG
Bounds on the maximum multiplicity of some common geometric graphs
我们得到新的下限和上限的最大多重性的一些加权和，分别，非加权常见的几何图形绘制在n个点在平面上的一般位置（没有三个点共线）：完美匹配，生成树，生成周期（旅游），和三角剖分。(i)我们提出了一个新的下界构造的最大数目的三角剖分的一组n个点在一般的位置可以有。特别地，我们证明了由两个几乎凸链构成的广义二重链允许Ω（8.65 ^n）个不同的三角剖分。这改进了Aichholzer等人研究的双锯齿链构型所得到的界Ω（8.48^n）。（ii）我们给出了由两个凸链组成的双链的非交叉生成树个数的一个新的下界Ω（12.00^n）。之前的界限Ω（10.42^n）在10多年的时间里保持不变。(iii)利用最近Sharir和Sheffer给出的三角剖分数的上限为30^n，我们证明了平面上一般位置的n个点最多允许O（68.62^n）个非交叉生成圈。(iv)我们推导出最大和最小加权几何图（匹配，生成树和旅游）的数量的下界。我们表明，最短的非交叉旅游的数量可以是指数n。同样，我们证明了最长非交叉旅行的数目和最长非交叉完美匹配的数目都可以是n中的指数。此外，我们还证明了在凸位置上存在n个点的集合，其最长非交叉生成树的个数为指数。对于凸位置上的点，我们得到了最长和最短行程数的紧界。我们给出了一个组合的最长的旅游，这导致一个O（nlog n）的时间算法来计算它们的特征。
2011-09-26 cs.CG cs.DM
Disjoint compatibility graph of non-crossing matchings of points in convex position
令$X_{2k}$为平面中凸位置的一组$2k$标记点。我们考虑$X_{2k}$的几何不相交直线完美匹配。两个这样的匹配，$M$和$M'$，如果它们没有公共边，并且没有$M$的边与$M'$的边相交，则是不相交兼容的。用$\mathrm{DCM}_k$表示其顶点对应于这样的匹配的图，并且两个顶点相邻当且仅当对应的匹配是不相交相容的。我们表明，对于每个$k \geq 9$，连接组件的$\mathrm{DCM}_k$形式正是三个同构类-即，有一定数量的同构小组件，一定数量的同构中组件，和一个大组件。精确地确定了中小型部件的数量和结构。
2014-03-21 cs.CG cs.DM math.CO
Point sets with many non-crossing matchings
平面上的一组$n$点可以具有的非交叉直线完美匹配的最大数目已知为$O(10.0438^n)$和$Ω^*(3^n)$。García、Noy和Tejel（2000）提出的下界是通过双链得到的，它具有$Θ(3^n n^{O(1)})$这样的匹配。我们重新证明这个界在一个简化的方式，使用新的概念下自由匹配，并将这种方法应用于其他几个建设。因此，我们改进了下界。首先证明了具有$n$点的双Z形链具有$Θ^*(λ^n)$，这样的匹配与$λ\approx 3.0532$。接下来，我们分析双锯齿链的进一步推广-双$r$ -链。参数的最佳选择导致具有$Θ^*(ν^n)$匹配的构造，具有$ν\approx 3.0930$。这个界限的推导需要分析两个无限向量之间的耦合动态规划递归。
2015-02-17 cs.CG cs.DM math.CO
Crossing-Optimal Extension of Simple Drawings
在部分图绘图的扩展问题中，给出了输入图$G$的不完整绘图，并要求在保持某些属性的情况下完成绘图。出现这种问题的一个突出领域是交叉最小化。对于平面图和各种放宽这些，有一些易处理性以及下限的结果，探索交叉敏感的绘图扩展问题的计算复杂性。相比之下，相对较少的结果是已知的基本和广泛的一类简单的图纸，即图纸中的每对边缘相交在最多一个点的扩展问题。事实上，直到最近，它已被证明，简单的图纸延伸问题是NP-难的，即使任务是插入一个单一的边缘。在本文中，我们提出了简单的图纸交叉敏感的延伸问题的易处理的结果。特别是，我们表明，插入到一个简单的绘图的边缘的问题是固定参数的参数化时，易于处理的边缘插入和上界新创建的交叉点的数量。使用相同的证明技术，我们也能够回答这个问题的几个密切相关的变种，其中包括$k$ -平面图纸的扩展问题。此外，使用不同的方法，我们提供了一个单指数固定参数算法的情况下，我们只是试图插入一个单一的边缘到绘图。
2020-12-14 cs.CG cs.DS
On the Longest Flip Sequence to Untangle Segments in the Plane
平面中的一组分段可以形成欧几里德TSP巡回或匹配等。最优TSP旅行以及最小权重完美匹配没有交叉段，但一些几何学和近似算法可能产生具有交叉的解决方案。为了改进这样的解决方案，我们可以连续应用翻转操作，用非交叉段替换一对交叉段。本文考虑对n个段执行的最大翻转次数D（n）。首先，我们提出了减少有关D（n）的不同集合的部分（TSP旅游，单色匹配，红蓝匹配，和多重图）。其次，我们证明了如果除了t点之外的所有点都在凸位置，则D（n）= O（tn^2），提供了凸O（n^2）界和一般O（n^3）界之间的平滑过渡。最后，我们证明了如果我们不计算翻转的总数，而只计算不同翻转的数量，那么立方上界改进为O（n^{8/3}）。
2023-03-17 cs.CC cs.CG
Crossing and intersecting families of geometric graphs on point sets
设$S$是平面中一般位置的一组$n$点。如果连接$S$的点对的两条线段有一个公共的内点，则这两条线段相交。两个顶点在$S$中的顶点不相交的几何图相交，如果有两条边相交，每个图有一条边。一组顶点在$S$中的顶点不相交的几何图，如果其中任意两个相交，则称为相交图。我们发现，存在一个常数$c$，使得从任何家庭的$n$相互交叉的三角形，人们总是可以获得一个家庭的至少$n^c$相互交叉的$2$ -路径（其中每一个是删除的结果，从一个三角形的边缘），然后提供一个例子，这意味着$c$不能被视为大于$2/3$。对于每一个$n$，我们确定一个哈密顿圈在一组$n$点上可能具有的最大交叉数。接下来，我们构造一个点集，其最长完美匹配不包含交叉。我们还考虑边缘组成的一个水平和一个垂直线段连接点对$S$，我们称之为肘，并证明在任何点集$S$存在一个家庭的$\lfloor n/4 \rfloor$顶点不相交相互交叉肘。此外，我们展示了一个点集，承认不超过$n/3$相互交叉肘。最后，我们研究了相交图族，这不一定是顶点不相交的。一组顶点在$S$中的边不相交图称为相交族，如果对于其中的任意两个图，我们可以在每个图中选择一条边使它们相交。本文证明了Lara和Rubio-Montiel的一个猜想，即任何$n$点在一般位置上的集合$S$都包含一个元素数为二次的相交三角形族.在整个工作中还得到了一些其他的结果。
2022-11-17 cs.CG math.CO
Towards Better Approximation of Graph Crossing Number
图的交叉数是一个具有广泛应用的基本问题。在这个问题中，目标是在平面中绘制输入图$G$，以便最小化其边缘的图像之间的交叉数。尽管有大量的工作，非平凡的近似算法只知道有界度图。即使对于这种特殊情况，最佳电流算法也实现了$\tilde O(\sqrt n)$近似，而最佳电流负结果是APX硬度。所有目前的近似算法的问题建立在相同的范例：计算一组$E'$的边缘（称为\emph{planarizing set}），使$G\setminus E'$是平面的;计算一个平面图的$G\setminus E'$ ;然后添加到所产生的绘图$E'$的边缘的绘图。不幸的是，有一些图的例子，其中任何这种方法的实现都必须引起$Ω(\text{OPT}^2)$交叉，其中$\text{OPT}$是最优解的值。这个障碍似乎注定唯一已知的方法来设计近似算法的问题，并防止它产生一个更好的比$O(\sqrt n)$ -近似。在本文中，我们提出了一个新的范式，使我们能够克服这一障碍。我们展示了一个算法，给定一个有界度图$G$和一个平面化集$E'$的边缘，计算另一个集$E''$与$E'\subseteq E''$，使$|E''|$是相对较小的，并存在一个接近最佳的绘图$G$中，只有边缘的$E''$参与交叉。这使我们能够将交叉数问题简化为\emph{Crossing Number with Rotation System} --一…
2021-01-11 cs.CG cs.DS
Crossing and non-crossing families
研究平面一般位置点集的交叉族与非交叉族问题，证明任意$n$点集要么含大小为$n/2^{O(\sqrt{\log{m}})}$的交叉族要么含大小为$m$的非交叉族，给出构造性证明及不同时间复杂度的查找算法，强化了现有结果。
2025-08-24 cs.CG math.CO
Flip Distance to some Plane Configurations
研究了一个古老的平面几何优化问题。给定平面上$n$点集上的一个完美匹配$M$，我们可以通过有限序列的翻转操作将其转换为一个非交叉完美匹配。翻转操作从$M$中删除两条交叉边，并添加两条非交叉边。令$f(M)$和$F(M)$分别表示$M$上翻转序列的最小和最大长度。Bonnet和Miltzow（2016）证明了$f(M)=O(n^2)$，van Leeuwen和Schoone（1980）证明了$F(M)=O(n^3)$。我们证明了$f(M)=O(nΔ)$，其中$Δ$是点集的传播，它被定义为最长和最短的成对距离之间的比率。如果点集具有次线性扩展，则这改进了先前的边界。对于凸位置上的$n$点上的匹配$M$，我们证明了$f(M)=n/2-1$和$F(M)={{n/2} \choose 2}$的上界是紧的. $F(\cdot)$上的任何结合都延续到双色设置，而这对于$f(\cdot)$不一定是真的。让$M'$是一个双色匹配。$f(M')$最为人所知的上限与$F(M')$相同，后者本质上是$O(n^3)$。本文证明了对于凸位置上的点，$f(M')\le n-2$成立;对于半共线点，$f(M')= O(n^2)$成立。翻转操作也可以在生成树上定义。对于凸点集上的生成树$T$，我们证明了$f(T)=O(n\log n)$。
2019-05-02 cs.CG cs.DM
Edge Routing with Ordered Bundles
边捆绑通过将边合并成束来减少图形绘制中的视觉混乱。我们提出了一种边捆绑的方法，分别绘制一个束的每一个边缘的地铁地图，并呼吁我们的方法有序束。为了产生美观的边缘路由，它最小化边缘上的成本函数。成本函数取决于绘制边缘所需的墨水、边缘长度、宽度和分离。通过使用受约束的德洛内三角剖分，该成本还惩罚通过窄通道的太多边。该方法避免了不必要的边-节点和边-边交叉。为了绘制具有最小数量的交叉点的边缘，并分别在同一束中，我们开发了一种有效的算法，解决了地铁线路交叉点最小化问题的一个变体。一般来说，该方法创建清晰和平滑的边缘路线，给出全局图结构的概述，同时仍然单独绘制每个边缘，从而实现局部分析。
2012-09-19 cs.CG cs.DS
Perfect vector sets, properly overlapping partitions, and largest empty box
我们重新考虑以下问题（以及它的高维变体）：给定平面中轴平行矩形$U$内的一组$n$点$S$，找到包含在$U$中但不包含$S$点的最大面积轴平行子矩形。(I)我们提出了一个算法，发现一个大的空盒子中的$n$点在$[0,1]^d$：一个盒子的体积至少是$\frac{\log{d}}{4(n + \log{d})}$可以计算在$O(n+d \log{d})$时间。(II)为了更好地分析上述方法，我们引入了完美向量集和适当重叠分区的概念，与单位超立方体$[0,1]^d$中$n$点之间的最大空盒的最小体积有关，并推导出它们的大小的界限。
2016-10-14 cs.CG math.CO
Peeling and Nibbling the Cactus: Subexponential-Time Algorithms for Counting Triangulations and Related Problems
给定平面中的一组$n$点$S$，$S$的三角测量$T$是端点在$S$中的非交叉线段的最大集合。我们提出了一种算法，该算法计算给定的$n$时间点集$n^{(11+ o(1))\sqrt{n} }$上的三角剖分数量，显著改善了Alvarez和Seidel [SoCG 2013]之前$O(2^n n^2)$的最佳运行时间。我们的主要工具是确定分隔符的大小$O(\sqrt{n})$的三角剖分在一个规范的方式。分隔符的定义是基于三角剖分到嵌套层（“仙人掌图”）的分解。基于上述算法，我们开发了一个简单而形式化的框架，可以在$n^{O(\sqrt{n})}$时间内对其他非交叉直线图进行计数。我们证明了有用的框架，将其应用于计数非交叉汉密尔顿循环，生成树，完美匹配，$3$ -可着色三角，连通图，循环分解，四边形，$3$ -经常图，等等。
2016-03-23 cs.CG cs.DM cs.DS
