Counting covering cycles
本文计算了无向连通图中给定尺子的非周期覆盖圈的等价类的个数。覆盖圈是至少遍历图的每条边一次的闭路。一个特殊情况是非定向图中的欧拉圈数。得到了图中任意长度的覆盖圈数与行列式乘积的关系的一个恒等式。
2015-10-29 math.CO
Counting invertible Schrödinger Operators over Finite Fields for Trees, Cycles and Complete Graphs
我们计算有限域上树、圈和完全图的可逆薛定谔算子（由邻接矩阵的对角矩阵引起的扰动）。对于树，这是通过定义和使用局部不变量（可能独立的代数结构）来实现的。圈和完全图是用特别的方法处理的。
2015-12-21 math.CO
Matroid basis graph: Counting Hamiltonian cycles
我们提出了指数和超阶乘下界的数量哈密顿圈通过任何边缘的图形，广义Catalan和一致拟阵的基图。所有的下界都是通过一个通用的策略得到的，该策略基于对相应拟阵基图中长度为4的适当圈的计数。
2017-01-18 math.CO
Forbidding induced even cycles in a graph: typical structure and counting
我们确定，对于所有的$k\geq 6$，不包含诱导$2k$ -循环的图的典型结构。这验证了巴洛格和巴特菲尔德的一个猜想。令人惊讶的是，这种图的典型结构比相关结果中遇到的更丰富。我们采取的方法也产生了一个近似的结果，图的典型结构，没有诱导$8$ -圈或没有诱导$10$ -圈。
2015-07-17 math.CO
Counting orientations of random graphs with no directed k-cycles
该研究确定了二项随机图不含指定长度有向环的定向数的增长阶，解决了相关猜想，推进了随机图定向计数领域的研究。
2023-11-08 math.CO
Counting pairs of cycles whose product is a permutation with restricted cycle lengths
本文研究乘积循环长度受限时 $N$-循环对的计数，给出精确与渐近公式，并据此证明与恒等排列块转置距离至少为 $(n+1)/2$ 的排列数量具有较高下界。
2024-10-24 math.CO
Packing and counting arbitrary Hamilton cycles in random digraphs
我们证明包装和计数定理任意定向的Hamilton圈在${\cal D}(n,p)$的近最佳$p$（$\log ^cn$因素）。特别是，我们表明，给定$t = (1-o(1))np$汉密尔顿周期$C_1,\ldots ,C_{t}$，其中每一个是任意定向的，一个有向图$D \sim {\cal D}(n,p)$ w.h.p.包含边不相交的$C_1,\ldots ,C_t$的副本，提供$p=ω(\log ^3 n/n)$。我们还表明，给定一个任意定向的$n$顶点循环$C$，随机有向图$D \sim {\cal D}(n,p)$ w.h.p.包含$C$的$(1\pm o(1))n!p^n$副本，提供$p \geq \log ^{1 + o(1)}n/n$。
2016-03-11 math.CO
Counting Hamiltonian cycles in planar triangulations
Hakimi，Schmeichel，and Schiassen在1979年证明了每个$4$连通的平面三角剖分$G$在$n$顶点上至少有$2(n-2)(n-4)$哈密顿圈，等式当且仅当$G$是双轮.本文证明了在$n$顶点上的每个$4$连通平面三角剖分都有$Ω(n^2)$哈密顿圈.证明了若$G$是$n$顶点上的$4$连通平面三角网，且$G$中任意两个$4$度顶点之间的距离至少为$3$，则$G$有$2^{Ω(n^{1/4})}$哈密顿圈.
2021-11-22 math.CO
Counting odd cycles in locally dense graphs
证明了对任意给定的$\varepsilon>0$和$d\in [0,1]$，每个充分大的$(\varepsilon, d)$稠密图$G$对每个奇数$r$至少包含长度为$r$的$(d^r-\varepsilon)|V(G)|^r$圈.这里，$G$是$(\varepsilon, d)$ -稠密的意味着每个包含至少~ $\varepsilon\,|V(G)|$顶点的集合$X$至少跨越$\tfrac d2\, |X|^2$边，我们真正计数的是从$r$ -圈到$G$的同态的数目.结果解决了Y.小早川湾Nagle，V. Rödl，and M.沙赫特
2016-04-22 math.CO
Packing, Counting and Covering Hamilton cycles in random directed graphs
有向图中的哈密尔顿圈是通过所有顶点的圈，其中所有弧都朝向相同的方向。在有向图中寻找哈密尔顿圈的问题已经得到了很好的研究，并且被认为是困难的。其中一个主要原因，是没有一个通用的工具，寻找汉密尔顿圈的有向图可比的所谓的位置？用于无向类似物的“旋转-延伸”技术。设${\mathcal D}(n,p)$表示顶点集$[n]$上的随机有向图，该图是通过以概率$p$独立地添加每个有向边而得到的.在这里，我们提出了一个一般的和一个非常简单的方法，使用已知的结果，攻击问题的包装和计数的随机有向图的Hamilton圈，每一个边概率$p>\log^C(n)/n$。我们的结果是渐近最优的所有参数，并同样适用于无向的情况。
2015-12-10 math.CO
Counting and packing Hamilton cycles in dense graphs and oriented graphs
基于永久性估计，给出了稠密图和定向图中Hamilton圈的计数和填充的一般方法。我们利用这种方法来证明几个极值结果。特别地，我们证明了每一个在$n$顶点上的几乎$cn$ -正则有向图都含有$(cn/e)^n(1+o(1))^n$有向Hamilton圈.这是Cuckler的一个结果的延伸，Cuckler解决了一个关于Hamilton圈在定期锦标赛中的数量的老猜想。我们还证明了在$n$个顶点上的最小度至少为$(1/2+\varepsilon)n$的图$G$至少包含$(1-\varepsilon)\textrm{reg}_{even}(G)/2$边不交Hamilton圈，其中$\reg(G)$是$G$的生成正则子图的最大\emph{even}度.这建立了一个近似版本的猜想库恩，Lapinskas和Osthus。
2015-11-12 math.CO
Counting Hamilton cycles in Dirac hypergraphs
$k$ -均匀超图（$k$ -graph）$G$中的紧Hamilton圈是$G$的顶点的循环序，使得序中的每一个连续的$k$顶点集形成一条边. Rödl，Ruciski和Szemerédi证明了对于$k\geq 3$，每个$k$ -图在$n$顶点上的最小余度至少为$n/2+o(n)$，包含一个紧Hamilton圈.我们证明了在这样的$k$ -图中紧Hamilton圈的个数是$\exp(n\ln n-Θ(n))$ .作为推论，我们对所有的$\ell\in\{0,\dots,k-1\}$，得到了这类$k$ -图中Hamilton $\ell$ -圈数的类似估计，这一结果改进了Ferber，Krivelevich和Sudakov的一个问题.
2020-11-10 math.CO
Counting Hamiltonian Cycles in Dirac Hypergraphs
对于$0\leq \ell <k$，$k$ -一致超图$H$中的Hamilton $\ell$ -圈是$H$的顶点的循环序，其中边是长度为$k$的段，并且每两个连续的边恰好在$\ell$顶点上重叠.我们证明了对所有的$0\le \ell<k-1$，每一个具有最小余度$δn$和$δ>1/2$的$k$ -图至少具有和具有边概率$δ$的随机$k$ -图一样多的Hamilton $\ell$ -圈（渐近地直到一个次指数因子）.这显著地改进了Glock，Gould，Joos，Kühn和Osthus最近的一个结果，并验证了Ferber，Krivelevich和Sudakov对所有值$0\leq \ell<k-1$的一个猜想.
2021-10-29 math.CO
Counting Hamilton cycles in sparse random directed graphs
设D（n，p）是n个顶点上的随机有向图，其中n（n-1）条可能的弧中的每一条都以概率p独立存在. Frieze的一个著名结果表明，如果$p\ge(\log n+ω(1))/n$，则D（n，p）通常有一个有向Hamilton圈，这是最好的可能.本文得到了这个结果的一个加强，证明了在相同条件下，D（n，p）中有向Hamilton圈的个数典型地为$n!(p(1+o(1)))^{n}$ .我们还证明了这一说法的命中时间版本，表明在随机有向图过程中，只要每个顶点的入/出度至少为1，通常有$n!(\log n/n(1+o(1)))^{n}$有向Hamilton圈。
2018-03-19 math.CO
Counting (and Randomly Generating) Hamiltonian Cycles in Rectangular Grids
本文在Maple中实现Stoyan和Strehl的方法，计算矩形网格中哈密顿环的数量并随机生成，同时推导更全面的生成函数。
2026-03-25 math.CO
Counting $k$-cycles in $5$-connected planar triangulations
该研究证明了5-连通平面三角剖分中5圈数上界为9n-50且紧，并给出k≥6时k圈数的渐近紧上界C(k)·n^{⌊k/3⌋}。
2025-08-06 math.CO
Counting triangles in graphs without vertex disjoint odd cycles
本文确定了在禁止包含 $\ell+1$ 个顶点不相交奇圈的图中三角形副本的最大数量及其极图，推广了已有结论。
2023-10-29 math.CO
Counting cycles in planar triangulations
该研究围绕平面三角剖分图的指定长度环计数问题，推导了不同环长度范围、不同类型平面三角剖分下环数的上下界，完善了平面图环计数领域的理论结果。
2022-10-03 math.CO
On a trace formula for counting Eulerian cycles
School of Informatics, Xiamen University（厦门大学信息学院）
该研究将计数欧拉回路的经典问题与同调谱图理论结合，提出显式迹公式，得到以亏格为参数的固定参数可处理算法，并开发对称性归约减少计算量。
2026-08-20 math.CO
An Hopf algebra for counting simple cycles
简单圈，也称为自回避多边形，是图上不允许访问任何顶点超过一次的圈。本文给出了一个精确的公式，用于计算任意有向图上任意长度的简单圈，该有向图涉及其诱导子图的和。这个结果源于一个霍普夫代数，我们明确地构造，并提供了进一步的手段计数简单的循环。最后，我们得到了一个更一般的定理，断言任何李幂等元可以用来枚举简单的循环。
2017-02-27 math.AC math.CO
Counting Small Cycle Double Covers
该研究扩展了Seyffarth的小环双覆盖定理，证明平面4-连通图含线性数量的小CDC并给出构造补充，同时强化三次图CDC计数引理，更简洁地证明了平面2-连通三次图的小CDC存在性结论。
2025-06-12 math.CO
Three coloring via triangle counting
在Steinberg的三着色猜想的第一个部分结果中，Abbott和Zhou使用计数论证证明了每个不具有长度为4到11的圈的可平面图是3-可着色的。在他们的证明中隐含了一个关于平面图的事实：在任何最小度为3的平面图中，如果没有两个三角形共享一条边，那么三角形构成的面严格小于小于2/3。我们证明了这个结果，结合Kostochka和Yancey的解决方案的矿石猜想k = 4，意味着每个可平面图没有周期的长度4至8是3-着色。
2022-09-10 math.CO
Counting paths, cycles and blow-ups in planar graphs
对于平面图$H$，令$\operatorname{\mathbf{N}}_{\mathcal P}(n,H)$表示$n$ -顶点平面图中$H$的最大副本数.本文证明了$\operatorname{\mathbf{N}}_{\mathcal P}(n,P_7)\sim{4\over 27}n^4$，$\operatorname{\mathbf{N}}_{\mathcal P}(n,C_6)\sim(n/3)^3$，$\operatorname{\mathbf{N}}_{\mathcal P}(n,C_8)\sim(n/4)^4$和$\operatorname{\mathbf{N}}_{\mathcal P}(n,K_4\{1\})\sim(n/6)^6$，其中$K_4\{1\}$是$K_4$的$1$ -细分.此外，我们得到显着改善的上界$\operatorname{\mathbf{N}}_{\mathcal P}(n,P_{2m+1})$和$\operatorname{\mathbf{N}}_{\mathcal P}(n,C_{2m})$为$m\geq 4$。对于广泛的一类图$H$，本文中开发的关键技术允许我们绑定$\operatorname{\mathbf{N}}_{\mathcal P}(n,H)$在加权图的优化问题。
2022-04-18 math.CO
Counting Cycles on Planar Graphs in Subexponential Time
本文研究了平面三角图上所有圈或自避免行走的计数问题。我们提出了一个次指数$2^{O(\sqrt{n})}$时间算法这个计数问题。在这个算法中使用的技术成分是平面分离定理和一个微妙的分析使用对Motzkin路径和Motzkin数。然后，我们可以适应这种算法均匀采样SAW，在次指数时间。我们的工作是由gerrymandered选区地图的问题。
2022-08-21 cs.DS math.CO
Digraph Polynomials for Counting Cycles and Paths
在图上定义了许多多项式不变量，用于组合信息的编码和代数研究。本文引入了有向图的圈多项式和路多项式，分别用于计数圈和路。它们满足关于初等边或顶点运算的递归关系。它们与其它多项式有关，也可以推广到二元循环多项式、二元路径多项式和三元循环路径多项式。最后给出了满足这种线性递归关系的最一般的有向图多项式的递归定义，并证明了其可共约为三元圈路多项式。我们还给出了这个多项式的一个显式表达式。
2017-12-03 cs.DM math.CO
Exact counting of unlabeled quartic graphs by permutation-cycle aggregation
School of Mathematics and Statistics, Nantong University（南通大学数学与统计学院）
该论文提出一种精确递推算法，通过逐循环处理置换并仅记录剩余循环长度和度数，实现无标号四次图的高效计数，达到指数级复杂度上界，并验证了至阶数50的计数结果。
2026-09-28 math.CO
Counting and packing Hamilton $\ell$-cycles in dense hypergraphs
研究了最小度超图的Hamilton PDMATHAMM-圈的填充和计数问题.给定一个超图$\mathcal H$，对于一个$d$ -子集$A\subseteq V(\mathcal H)$，我们用$d_{\mathcal H}(A)$表示$A\subseteq f$所对应的不同\emph{edges} $f\in E(\mathcal H)$的个数，并将$δ_d(\mathcal H)$设为所有大小为$d$的$A\subseteq V(\mathcal H)$上的最小$d_{\mathcal H}(A)$。证明了如果$n$顶点上的$k$ -一致超图$\mathcal H$对某些$α>1/2$满足$δ_{k-1}(\mathcal H)\geq αn$，则对每个$\ell<k/2$，$\mathcal H$包含$(1-o(1))^n\cdot n!\cdot \left(\fracα{\ell!(k-2\ell)!}\right)^{\frac{n}{k-\ell}}$ $\ell$ -圈.上面的指数很容易看出是最优的。此外，我们表明，如果$δ_{k-1}(\mathcal H)\geq αn$的$α>1/2$，则$\mathcal H$包含$f(α)n$边不相交的Hamilton $\ell$ -周期的显式函数$f(α)>0$。对于每一个$(k-1)$元组$X\subset V({…
2015-03-27 math.CO
Counting Hamilton decompositions of oriented graphs
有向图$G$中的Hamilton圈是通过$G$的每个顶点的圈。$G$的Hamilton分解是将其边集划分为不相交的Hamilton圈。在$60$的后期，凯利承认，每一个定期锦标赛都有一个汉密尔顿分解。这个猜想最近被Kühn和Osthus解决了，他们更一般地证明了每个$r$ -正则$n$ -顶点定向图$G$（没有反平行边），对于某个固定的$c>3/8$，具有$r=cn$，有一个Hamilton分解，只要$n=n(c)$足够大。在本文中，我们解决的自然问题估计的$G$分解的数量，并表明这个数字是$n^{(1-o(1))cn^2}$。此外，我们还得到了Kelly猜想的近似形式的一个新的、简单得多的证明。
2016-09-29 math.CO
Counting Rooted Trees: The Universal Law t(n) ~ C ρ^{-n} n^{-3/2}
使用标准多重集、序列、有向循环和循环构造及其限制的组合递归定义的组合类T具有正收敛半径的生成级数T（z）;对于其中的大多数，可以使用一个简单的测试来快速证明渐近的形式与有根树类的渐近形式相同：C ρ^{-n} n^{-3/2}其中ρ是T的收敛半径。
2006-08-09 math.CO
Counting Cycles in Graphs with Bounded Circumference
Tsinghua University（清华大学）；Shanghai University（上海大学）
本文研究了具有受限周长的图中奇环计数问题，证明了特定条件下图中奇环的最大数量，并解决了相关猜想。
2026-08-04 math.CO
Counting tight Hamilton cycles in Dirac hypergraphs
Institut für Informatik, Universität Heidelberg（海德堡大学计算机科学研究所）
研究在Dirac超图中紧Hamilton环的数量，通过超图熵定义的完美分数匹配证明了数量下界，适用于近正则超图和二项随机超图。
2026-04-16 math.CO
Counting cycles and finite dimensional Lp norms
我们得到了有限图中n-圈数与边数的函数关系的精确界，并证明了完全图在更多的方面是最优的。我们证明尖锐的估计的总和k次幂的坐标和Lk范数的约束下，平方和的坐标是固定的，和坐标的总和为零。
2001-11-09 math.CA math.CO
Counting even cycles and even paths with bounded circumference
研究计算偶圈和偶路径问题，通过特定目标图\(H(n,L)\)，证明了关于禁止图为\(C_{\geq L + 1}\)时偶圈和偶路径的尖锐结果，还推导了禁止图为\(P_{p + 1}\)时的精确结果。
2026-08-05 math.CO
Counting substructures I: color critical graphs
设$F$是一个含有边的图，边的删除减少了它的色数。我们证明了严格的界限上的副本的数量$F$在一个图的规定数量的顶点和边。我们的结果扩展了Simonovits的结果，他们证明了$F$有一个拷贝，以及Rademacher，Erd \H os和Lovász-Simonovits的结果，当$F$是完全图时，他们证明了类似的计数结果。我们定理的一个最简单的例子是下面的新结果。存在一个绝对正常数$c$，使得如果$n$足够大且$1 \le q < cn$，则每个具有$n$偶数边和$n^2/4 +q$边的$n$顶点图至少包含五个循环的$q(n/2)(n/2-1)(n/2-2)$拷贝。类似的陈述适用于任何奇数循环，并且界限是最佳可能的。
2009-05-19 math.CO
Enumerating Hamiltonian Paths and Cycles
本文证明了完全多部图中定向哈密顿路径与回路的计数公式，采用折叠技术关联普通路径图与合法着色路径图。
2026-10-06 math.CO
Counting $H$-free orientations of graphs
1974年，埃尔德什提出了以下问题。给定一个定向图$H$，确定或估计一个$n$ -顶点图的无$H$方向的最大可能数目。当$H$是锦标赛时，Alon和Yuster精确地确定了足够大的$n$的答案。一般来说，当$H$的底层无向图包含一个圈时，结合Kozma和Moran关于无$F$图个数的著名结果，可以得到精确的界.作为本文的主要贡献，我们解决了所有剩余的情况下，在渐近意义上，从而给出了一个比较完整的回答Erdés的问题。此外，当$H$是一个奇数周期，并且$n$足够大时，我们确定了答案，回答了Araújo，Botler和Mota的问题。
2021-06-16 math.CO
Counting Group Valued Graph Colorings
图的同态或着色的分拆函数有许多变体。这里考虑的情况是一个计数或硬约束问题，其中的范围或颜色图进行自由和顶点传递的阿贝尔群行动，使颜色与该组的元素。利用傅里叶变换得到了以无峡子图为索引项的着色数的展开式。这些项是颜色图的边密度a中的多项式与域的索引子图到互补颜色图中的着色的数量的乘积。a中的多项式与颜色组无关，并且该项具有到r的阶数（1-a），其中r是顶点数减去索引子图中的分量数。因此，如果（1-a）是小的，则存在由空子图索引的主项，该空子图是a中的多项式，并且对着色群的第一依赖性发生在最低阶校正中，该最低阶校正由图中的最短圈索引，并且是（1-a）到g-1的阶，其中g是这些最短圈的长度。主要定理被表述为互反定律。例子中，着色组是长周期和产品的短周期和邻顶点相邻的需要有遥远的，而不是不同的颜色。图的色多项式对应于使用任何群并取允许集作为单位元的补。
2012-04-05 math.CO
Counting Plane Graphs: Perfect Matchings, Spanning Cycles, and Kasteleyn's Technique
我们推导出改进的上界的交叉自由直边生成循环（也称为汉密尔顿旅游和简单的pathizations），可以嵌入在任何特定的一组$N$点在平面上的数量。更具体地说，我们限制了可以嵌入点集的生成环（或完美匹配）的数量与可以嵌入点集的三角剖分的数量之间的比率。相应的界限是循环的$O(1.8181^N)$和匹配的$O(1.1067^N)$。这意味着一个新的上限$O(54.543^N)$的交叉自由直边跨越循环的数量，可以嵌入在任何特定的一组$N$点在平面上（改进以前的最佳上限$O(68.664^N)$）。我们的分析是基于Kasteleyn的线性代数技术。
2011-09-26 cs.DM math.CO
Counting critical subgraphs in $k$-critical graphs
Gallai在1984年问，如果任何$k$ -临界图的$n$顶点包含至少$n$不同的$(k-1)$ -临界子图。答案对于$k\leq 3$来说是微不足道的。改进了Stiebitz，Abbott和Zhou在1995年的一个结果，证明了对所有的$k\geq 4$，这样的图包含$Ω(n^{1/(k-1)})$不同的$(k-1)$ -临界子图.从那时起没有取得进展，直到最近，野兔解决的情况下$k=4$表明，任何$4$ -关键图的$n$顶点包含至少$(8n-29)/3$奇数周期。本文主要研究4-临界图，并开发了一些新的计算具有指定奇偶性的圈数的工具。我们的主要结果表明，任何$n$顶点上的$4$ -临界图都含有$Ω(n^2)$奇圈，它被无穷多个图紧到一个常数因子。作为关键的一步，我们证明了3-连通非二部图的相同界，这可能是独立的兴趣。利用这些工具，我们也给出了$k=4$的一个很短的证明。此外，我们改进了Abbott和Zhou长期以来的下界为$Ω(n^{1/(k-2)})$的一般情况下$k\geq 5$。在最后一节中，我们还将讨论$k$ -临界图的一些相关问题。
2019-06-29 math.CO
Counting prime juggling patterns
杂耍模式可以通过（有向）状态图中的闭合行走来描述，其中每个顶点（或状态）是球的着陆模式，并且有向边连接可以连续发生的状态。这种长度为$n$的模式的数量是众所周知的，但是一个长期存在的问题是对主要的杂耍模式（对应于状态图中的循环的那些杂耍模式）的数量进行计数。对于$b=2$球的情况下，我们给出了一个表达式的数量总理杂耍模式的长度$n$通过建立一个连接，分区的$n$到不同的部分。由此我们证明了长度为$n$的两球素数杂耍模式的个数是$(γ-o(1))2^n$，其中$γ=1.32963879259...$。对于更大的$b$，我们证明了至少有$b^{n-1}$素圈的长度为$n$。
2015-11-13 math.CO
Counting walks by their last erased self-avoiding polygons using sieves
设$G$是一个度为$λ$的点传递格，并在其上固定一个点，考虑$G$上从该点到其自身的所有长度为$l$的圈.从这些循环中按时间顺序擦除循环，当$l\to\infty$时，长度为$l$的循环的分数$F_p/λ^{\ell(p)}$是多少？我们使用组合筛证明了一个确切的公式$F_p/λ^{\ell(p)}$，我们明确评估。进一步证明了对于所有的自回避多边形$p$，$F_p\in\mathbb{Q}[χ]$，$χ$是一个依赖于格的无理数，例如无限正方形格上的$χ=1/π$.与我们目前的方法形成鲜明对比的是，我们通过纯粹的确定性参数进行，依赖于Viennot的堆理论，被视为数论的半交换扩展。我们的方法也揭示了起源的指数之间的差异源于循环擦除步行和自我避免多边形模型，并建议一个自然的路线，以弥合两者之间的差距。
2020-11-03 math.CO
Counting short cycles of (c,d)-regular bipartite graphs
近年来，研究代表低密度奇偶检验（LDPC）码的Tanner图成为一个有趣的研究课题。Blake和Lin发现了Tanner图的短圈数，并利用图的谱和度分布研究了双正则二部图中长围长圈的多重性。虽然有许多算法来找到循环的数量，但他们更喜欢以计算的方式进行研究。Dehghan和Banihashemi计算了长度为$g+2$和$g+4,$的圈数，其中$G$是一个双正则二部图，$g$是周长为$G.$的圈数，但他们只是提出了一种描述性的技术来计算长度小于$2g$的双正则二部图的圈数。本文利用双正则二部图的谱和度分布，求出了长度小于$2g$的圈数，使得该公式仅依赖于正整数的划分和从双正则二部图的顶点开始的闭无圈行走数.
2018-08-04 cs.DM math.CO
Matroid invariants and counting graph homomorphisms
从有限图$F$到完全图$K_n$的同态数是$F$在$n$上的色多项式的赋值。适当地缩放，这是Tutte多项式求值$T(F;1-n,0)$和$F$的循环拟阵的不变量。De la Harpe和Jaeger \cite{dlHJ95}提出了一个更一般的问题，即从$F$到一个固定图$G$的同态计数得到的一个图参数何时只依赖于$F$的圈拟阵。他们证明，当$G$有一个慷慨传递的自同构群时，这是正确的（例子包括交换群上的凯莱图和Kneser图）。使用工具，从多重线性代数，我们证明了相反的声明，从而表征有限图$G$计数同态$G$产生拟阵不变。我们还将这一结果扩展到有限加权图$G$（其中计算从$F$到$G$的同态包括诸如计算$F$的无零流和评估$F$上交互模型的分拆函数等问题）。
2016-02-24 math.CO
Enumeration of nonisomorphic Hamiltonian cycles on square grid graphs
2n × 2n网格上哈密顿圈的计数是组合数学中一个长期存在的问题。以前的工作集中在计算所有周期。目前的工作列举了非同构循环-也就是同构类的数量（直到正方形的所有对称运算）。它示出，以前使用的矩阵方法可以修改为计数周期与反射和180度旋转对称的所有组合。90度旋转对称的周期通过直接搜索来计数，使用Knuth的Dancing Links算法的修改。从这些计数中，计算出n<=10时的非同构圈数。
2014-02-03 math.CO
Proving a conjecture on chromatic polynomials by counting the number of acyclic orientations
阶为$n$的图$G$的色多项式$P(G,x)$可以表示为$\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{n-i}a_{i}x^i$，其中$a_i$被解释为$G$的具有恰好$i$分量的无破圈生成子图的个数.参数$ε(G)=\sum\limits_{i=1}^n (n-i)a_i/\sum\limits_{i=1}^n a_i$是$G$的无断圈生成子图的平均大小。在这篇文章中，我们证实并加强了Lundow和Markström在2006年提出的一个猜想，即对于任何一个既不是完全图$K_n$也不是$n$的树$T_n$的$G$，$ε(T_n)< ε(G)<ε(K_n)$成立.我们证明的最关键的一步是通过$G$的非循环定向的数目来获得所有$a_i$的解释。
2020-07-16 math.CO
Polynomials Counting Group Colorings in Graphs
Guangzhou University（广州大学）
本文定义了α-兼容图和循环分配多项式，用于计数图中的(A,f)-着色，并展示了多项式系数与可接受分配的关系。
2026-01-22 math.CO
A note on the number of edges in a Hamiltonian graph with no repeated cycle length
设$G$是一个$n$ -顶点图，它是通过给一个长度为$n$的圈加上弦而得到的. Markström询问如果$G$中没有两个具有相同长度的循环，则$G$中的最大边数。一个简单的计数参数表明，这样的图最多可以有$n + \sqrt{2n} +1 $边。利用$\mathbb{Z}_n$中的差集，我们证明了对无穷多个$n$，存在一个$n$ -顶点哈密顿图，它有$n + \sqrt{n - 3/4} - 3/2$边且没有重复圈长.
2017-05-22 math.CO
Counting hypergraphs without linear cycles of fixed length
本文证明了对于所有整数 r,k≥3，不含线性环 C_k^{(r)} 的 r-超图数量为 2^{(1+o(1))ex_r(n,C_k^{(r)})}，完全解决了 Balogh 等人的猜想，采用平衡过饱和与容器方法，并在特殊情形使用多色熵定理。
2026-10-12 math.CO
The regularity method for graphs with few 4-cycles
我们开发了一个稀疏图的正则性方法，适用于很少的4-圈的图，包括新的计数和删除引理，在这样的图5-圈。一些应用包括：* 通过删除$o(n^{3/2})$边，可以使每个不含5-圈的$n$ -顶点图成为无三角形图。* 对于$r \geq 3$，每个围长大于$5$的$n$ -顶点$r$ -图都有$o(n^{3/2})$边. * 方程$x_1 + x_2 + 2x_3 = x_4 + 3x_5$没有非平凡解的$[n]$的每个子集都有大小$o(\sqrt{n})$。
2021-09-25 math.CO
Counting factorizations of Singer cycles in linear and unitary groups
本文计数有限域上酉群与线性群中 Singer 循环的反射因式分解，得到最小长度情形下的乘积公式，并揭示 Ennola 对偶现象，方法基于 Deligne--Lusztig 特征标理论。
2026-09-16 math.CO math.RT
Zero-freeness of a multivariate monomer-dimer-cycle polynomial on bounded-degree graphs
ufmg（米纳斯吉拉斯联邦大学）
本文研究了有界度图上多变量单体-二元-环多项式Φ_G的零自由性，利用Fernández-Procacci准则给出了明确的零自由区域。
2026-02-09 math.CO
Reflection factorizations of Singer cycles
对于GL_n（F_q）中的Singer圈，最短分解为反射的个数为（q^n-1）^（n - 1）.计算公式的因式分解的任何长度，并计算那些与固定共轭类的反射。该方法是一个标准的特征标理论技术，需要编制辛格循环，半单反射和transvection的不可约特征标值。结果表明，一些开放的问题和问题，这是在最后讨论。
2014-03-12 math.CO math.RT
Counting Weight-$k$ Italian Dominating Sets on Trees and Cycles
College of Science, China Jiliang University（中国计量大学理学院）
本文研究路径、树和环上意大利支配函数的计数问题，提出动态规划算法计算所有权重系数，并给出环上系数的闭式表达式，验证了已知的意大利支配数。
2026-10-02 math.CO
Counting Homomorphic Cycles in Degenerate Graphs
由于一般图中的子图计数是一个计算量很大的问题，因此很自然地会尝试为受限图族设计快速算法。一个这样的家庭，已被广泛研究的是，图的有界退化（例如，平面图）。这项工作始于80年代初，在Gishboliner等人最近的工作中达到高潮，其突出了对循环的同态副本进行计数的任务的重要性（即，循环行走）在有界退化的图中。我们在本文中的主要结果是一个令人惊讶的紧密关系，上述任务和检测（标准）副本一般有向图中的有向循环的研究问题。更准确地说，我们证明了以下几点：1。人们可以计算在时间上有界退化的$n$ -顶点图$\tilde{O}(n^{d_{k}})$中的$C_{2k}$和$C_{2k+1}$的同态副本的数目，其中用于检测一般$m$ -边有向图中的$C_k$的有向副本的已知最快算法在时间上运行$\tilde{O}(m^{d_{k}})$。2.相反，可以将用于计算有界退化的$n$顶点图中的$C_{2k}$或$C_{2k+1}$的同态副本的数目的任何$O(n^{b_{k}})$算法变换成用于检测一般$m$边有向图中的$C_k$的有向副本的$\tilde{O}(m^{b_{k}})$时间算法。我们强调，我们的第一个结果没有使用黑盒约简（与第二个结果相反）。相反，我们设计了一个算法来计算退化图中的$C_k$ -同态的数量，并表明其分析的一部分可以减少到分析已知的最快的算法，用于检测一般有向图中的有向循环，这…
2022-08-25 cs.DS math.CO
