Enumeration of Hamiltonian Cycles on a Thick Grid Cylinder -- Part II: Contractible Hamiltonian Cycles
在这一系列的文件中，主要目标是枚举哈密顿圈（HC）的网格柱图$P_{m+1}\times C_n$，其中$n$允许增长，而$m$是固定的。在第一部分中，我们研究了所谓的不可收缩HC。在这里，在第二部分中，我们进一步讨论可收缩的情形。我们提出了两种不同的新的特征的可收缩HC的，从我们构造的有向图枚举的可收缩HC的。考虑到$m \leq 9$的计算数据所传达的印象，我们推测在HC的总数中，可收缩HC对不可收缩HC的渐近优势取决于$m$的奇偶性。}
2021-09-16 math.CO
Minimal Resolving Sets in Rectangular Grid Graphs: A Complete Characterization and Enumeration
本文针对矩形网格图，通过递归构造和闭式公式，完整刻画并枚举了所有可能基数（含偶数及奇数）的最小分辨集，解决了开放问题。
2026-09-30 math.CO
Graphical Enumeration and Stained Glass Windows, 1: Rectangular Grids
对研究多边形的边用等间距的点作标记而每对点由一条线连接时所形成的图所产生的计数问题的综述。Poonen和Rubinstein在1998年分析了一个正则n边形的所有顶点对都由弦连接而成的图K_n，这是一个经典的例子。然而，这些问题中的大多数都没有得到解决，这篇由两部分组成的文章提供了一些此类问题的数据以及彩色插图，这些插图通常会让人想起彩色玻璃窗。所考虑的多边形包括矩形、中空矩形（或框架）、三角形、五边形、五角形、十字形等，以及通过绘制连接线上等间距点的线段而形成的图形。本文最后简要讨论了如何为这些图设计美观的着色问题。第一部分讨论矩形网格。Legendre和Griffiths研究了1 × n网格，或者说图K_{n+1,n+1}，在这里我们研究了具有给定边数的单元数和具有给定度的节点数。我们只有部分结果的m × n矩形，包括上界的节点和细胞的数量。
2020-12-22 math.CO
Grid polygons from permutations and their enumeration by the kernel method
网格多边形是其顶点是网格的点的多边形。我们定义了一个内射映射之间的排列长度为n和一个子集的网格多边形的n个顶点，我们称之为召唤极小多边形。通过核方法，我们列举了集合的排列，其召唤极小多边形满足特定的几何条件。我们处理2-变量和3-变量生成函数涉及衍生物，这是不经常解决的核方法的情况下。
2006-03-09 math.CO quant-ph
The enumeration of generalized Tamari intervals
设$v$为由北面和东面台阶组成的栅格路径。格$\rm{T{\scriptsize AM}}(v)$，基于所有弱在$v$之上的网格路径，并与$v$共享相同的端点，由Préville-Ratelle和Viennot（2014）引入，对应于$v=(NE)^n$情况下的常见Tamari格。我们的主要贡献是，枚举的$\rm{T{\scriptsize AM}}(v)$的间隔，在所有$v$的长度$n$，是由$\frac{2 (3n+3)!}{(n+2)! (2n+3)!}$。这个公式首先由Tutte（1963）在不可分平面映射的计数中得到。此外，我们给出了从$\rm{T{\scriptsize AM}}(v)$中的这些区间到不可分平面映射的显式双射。
2016-10-05 math.CO
The enumeration of three pattern classes
使用单调网格类的机器来确定三个模式类Av（2143，4321）、Av（2143，4312）和Av（1324，4312）的结构。这使得这些类中的排列可以用简单的图和正规语言来描述，并使用这种方法来确定枚举这些类的有理生成函数。
2012-06-14 math.CO
Enumeration of Colored Tilings on Graphs via Generating Functions
本文针对图划分为连通着色块的问题，利用二元生成函数与组合技术计算特定图族中块的期望数量，并推广了着色多联骨牌网格铺砌枚举。
2025-01-10 math.CO
Statistics of maximal independent sets in grid-like graphs
本文研究了局部同构于方形网格的类网格图中极大独立集（MIS's）的统计性质，确定了其数量的奇偶性、平均大小及非同构MIS's的数量。
2025-06-27 math.CO
A spanning union of cycles in thin cylinder, torus and Klein bottle grid graphs
本文提出了一个算法，用于从图的所有顶点都是$m n$的图（$m, n \in N, m >1 $）中获得用于枚举2-因子的公共转移有向图$ D^*_m$。$m <19$收集的数值数据揭示了不同类型的环面或克莱因瓶的2-因子数的一些匹配。在后一种情况下，我们猜想这些数字是不变的扭曲。
2022-10-20 math.CO
Unimodular matrices and lattice paths enumeration via Pascal's triangle
Faculty of Mathematics, Dhirubhai Ambani University（Dhirubhai Ambani大学数学学院）
研究一类由二项式系数定义的矩阵，证明其行列式恒为1，揭示了帕斯卡三角形与格路计数之间的深刻联系。
2026-06-29 math.CO
The Structure of the 2-factor Transfer Digraph Common for Rectangular, Thick Cylinder and Moebius Strip Grid Graphs
本文证明了在固定宽度$m$ $(m \in N)$的矩形、厚圆柱和Moebius带格图中，计数2-因子所需的转移有向图${\cal D}^*_m$的除一个分支外，其余分支都是二部有向图，并且它们的阶可用二项式系数表示.此外，我们证明了每个组件的顶点集由所有的二进制$m$ -字，其中零的奇数和偶数位置的差异是常数。
2022-12-01 math.CO
A spanning union of cycles in rectangular grid graphs, thick grid cylinders and Moebius strips
出于寻找最近的论文中出现的一些问题的答案，在一些特殊类别的网格图处理哈密顿圈（简称HC），我们开始调查的循环，所谓的2-因子，在这些图（作为HC的推广）的生成工会。对于所有三种类型的图的标题和任何整数$m \geq 2$，我们提出了一个算法，用于获得一个专门设计的（转移）有向图${\cal D}^*_m$。将2-因子的计数问题归结为有向图中有向游动的计数问题。计算结果，我们收集的$m \leq 17$揭示了一些有趣的性质，无论是有向图${\cal D}^*_m$和序列的2-因子。我们证明了其中的一些任意$m \geq 2$。
2021-12-08 math.CO
The Structure of the 2-factor Transfer Digraph common for Thin Cylinder, Torus and Klein Bottle Grid Graphs
证明了当$m$为奇数时，在薄圆柱$TnC_{m}(n)$、环面$TG_{m}(n)$和克莱因瓶$KB_m(n)$（所有固定宽度$m$且有$m \cdot n$顶点的格图）中计数2-因子所需的转移有向图${\cal D}^*_{C,m}$只有两个同构的$2^{m-1}$阶分支.当$m$是偶数时，${\cal D}^*_{C,m}$具有$ \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor + 1$分量，其阶可以通过二项式系数来表示，并且除了一个分量之外，所有分量都是二部有向图。证明是基于应用最近获得的结果有关的转移有向图的线性网格图（矩形，厚圆柱和Moebius带）。
2022-12-28 math.CO
A short note on the order of the double reduced 2-factor transfer digraph for rectangular grid graphs
本文针对矩形网格图中圈的生成并集枚举问题，给出了当m为奇数时双约化2-因子转移有向图阶的精确组合公式。
2023-08-08 math.CO
An example of geometric origami design with benefit of graph enumeration algorithms
这篇文章关注的是一个例子，复杂的平面几何所产生的平面折纸的挑战。解决方案的算法的复杂性进行说明，取决于深度的初步分析的问题，从蛮力枚举，直到等价于一个专门的问题，在图论中。这导致算法从现代计算机上难以处理的情况开始，直到便携式个人计算机上运行几秒钟。这强调了在考虑计算机辅助解决复杂设计问题之前，人类需要事先进行分析。图的问题是一个枚举的生成树从一个网格图，导致一个粗略的规模描述的拓扑结构的纸张边缘的平折状态。
2017-05-27 cs.CG math.CO
A sharp upper bound for the number of connected sets in any grid graph
本文通过多步递推公式建立了任意网格图中连通集数量的紧上界，推导出$(3\times n)$和$(4\times n)$网格图的枚举公式，并用转移矩阵法确定了$K_{m}\times P_{n}$的连通集数量，解决了Vince问题的一个特例。
2025-04-03 math.CO
On the independence complex of square grids
正则图的独立集的计数在统计力学中很有意义，因为它对应于硬粒子模型的解。2004年，Fendleyet等人证明了对于某些复曲面边界条件的矩形网格，独立集的交错数是非常简单的。更准确地说，在矩形的边的互质条件下，偶数和奇数基数的独立集合的数量总是相差1。用物理学术语来说，这意味着在这些网格上观察活动为-1的硬粒子模型。这个猜想最近被琼森证明了。在这里，我们产生其他家庭的网格图，与开放或圆柱形的边界条件，其中类似的性质举行没有任何大小的限制：独立的偶数和奇数基数集的数量总是不同的0，1，-1，或在圆柱形的情况下，由一些权力的2。我们表明，这些结果反映了我们的图的独立复合体的更强的属性。利用Forman离散莫尔斯理论确定了这些复合物的同伦类型。我们发现，这些复合物要么是可收缩的，或同伦的一个领域，或者，在圆柱形的情况下，一个楔形的领域。最后，我们使用我们的枚举结果来确定某些传输矩阵的光谱描述我们的图在活动-1的硬粒子模型。这些结果与Fendley等人的某些观点相一致，由Jonsson在Toric案例中证明。
2007-03-08 math.CO
The Power Contamination Problem on Grids Revisited: Optimality, Combinatorics, and Links to Integer Sequences
Mines Saint-Étienne（圣艾蒂安国立高等矿业学院）；University of Science and Technology Houari Boumediene（胡阿里·布迈丁科技大学）
本文研究网格图上的功率污染问题，推翻了Ainouche和Bouroubi的猜想，确定了精确的污染数，并推导了递推关系，揭示了最优解与整数序列的联系。
2026-04-09 cs.DM math.CO
Fully Packed Loop configurations in a Triangle and Littlewood-Richardson coefficients
在这项工作中，我们继续我们的研究在一个三角形的完全填充环（FPL）的配置。这些是某些子图的三角形子集的正方形晶格，这首先出现在研究通常的FPL配置的正方形网格。我们表明，在一个特殊的情况下，这些FPL在三角形的枚举是由Littlewood-Richardson系数。证明由一个双射与Knutson-Tao难题。
2011-12-01 math.CO
Arithmetical Structures on Ladder Graphs
Sikkim University（锡金大学）
本文研究了Cartesian积图上的算术结构，特别是形式为P2□Pm的梯形图和形式为Pn□Pm的网格图。通过分析梯形图的算术结构特性，发现其模式，并推广到更高维度的网格图，揭示了算术结构在网格状图上的行为和计数方法。
2026-04-28 math.CO
