Regular Bipartite Graphs And Their Properties
我们引入了一个新的符号表示标记的正则二部图的任意度。介绍了标号正则二部图和非标号正则二部图的计数问题。本文给出了一个计算具有指定顶点数的所有非同构2-正则二部图的一般算法，并给出了算法完备性的数学证明。为了可视化2 m个顶点的标记r-正则二部图并计算其自同构群，引入了m对称置换树的一种抽象。本文介绍了一种生成两个相容排列对应的划分的算法。利用自同构群与置换计数问题之间的关系，导出了对应于指定划分的相容置换个数的计算公式。
2015-12-29 cs.DM math.CO
Complementary cycles of any length in regular bipartite tournaments
设$D$是$n$顶点上的$k$ -正则二部竞赛图.我们证明了，对于每个具有$2 \le p \le n/2-2$的$p$，$D$都有一个长度为$2p$的圈$C$，使得$D \setminus C$是哈密尔顿的，除非$D$同构于特殊的有向图$F_{4k}$ .这种说法是推测Manoussakis，宋和张[K。 Zhang， Y. Manoussakis和Z.歌非正则二部竞赛图中含有固定弧的互补圈。离散数学，133（1-3）：325- 328，1994]。在同一篇文章中，证明了$p=2$的猜想，最近，Bai，Li和He又证明了$p=3$ [Y. Bai，H. Li和W.他外正规二部竞赛图中的互补圈。离散数学，333：14- 27，2014年]。
2021-02-08 cs.DM math.CO
Permanent of bipartite graphs in terms of determinants
针对 (0,1)-矩阵积和式的 #P-完全计算难题，本文利用图及移除互不相交 4k-环相关行列所得子图的行列式，建立任意二部图积和式与行列式的通用关系，并用于更高效地计数特定二部图的完美匹配。
2025-05-16 cs.DM
Approximating observables is as hard as counting
研究了Gibbs分布局部观测量估计的计算复杂性。一个简单的组合例子是图中独立集的平均大小。在最近的工作中，我们建立了NP-硬度近似的平均尺寸的独立集利用相应的优化问题的硬度和相关的相变行为。在这里，我们考虑的是底层优化问题很容易解决的设置。我们的主要贡献是分类的复杂性近似一类广泛的观测量通过一个通用的减少近似计数估计本地观测量的问题。其核心思想是利用观测值来插值计数问题。使用这种新的方法，我们能够研究二分图的基本优化问题是容易的，但计数问题被认为是困难的可观的。被排除在以前的硬度结果的研究最好的一类图是二部图。我们建立硬度估计的平均大小的独立集的最大程度6的二分图，更一般地说，我们表现出严格的硬度结果一般顶点边缘可观的反铁磁2-自旋系统的二分图。我们的技术超越了2-自旋系统，并为铁磁Potts模型，我们建立硬度近似的单色边缘的数量在同一区域的近似计数结果的已知硬度。
2022-06-23 cs.CC cs.DM
A spectral version of the Moore problem for bipartite regular graphs
设$b(k,θ)$是连通二部$k$ -正则图的最大阶，其第二大特征值至多为$θ$ .本文对任意$0\leq θ< 2\sqrt{k-1}$，得到了$b(k,θ)$的一般上界.当存在度为$k$，次大特征值为$θ$，直径为$d$，围长为$g$的二部距离正则图，使得$g\geq 2d-2$ .对于$d$的某些值，存在无穷多个具有各种化合价$k$的这样的图。然而，对于$d=11$或$d\geq 15$，我们证明了不存在具有$g\geq 2d-2$的二部距离正则图。
2019-03-04 cs.DM math.CO
Regular bipartite graphs and intersecting families
本文给出了一个简单的统一方法来证明关于相交族和交叉相交族的几个命题，包括Erd \H os-Ko-Rado定理，Hilton-Milner定理，Frankl关于有界最大度相交族大小的定理，以及Frankl和Tokushige关于非空交叉相交族大小之和的结果.还得到了几个新的更强的结果。我们的方法是基于使用定期二部图。这些图经常被用于极值集合论问题，然而，我们开发的方法被证明是特别富有成效的。
2017-10-18 cs.DM math.CO
Counting graph orientations with no directed triangles
Alon和Yuster证明了对于$n \geq 10^4$，任何$n$ -顶点图中每个$K_3$都是传递定向的，其定向数至多为$2^{\lfloor n^2/4\rfloor}$，并证明了$n$的精确下界应为$n \geq 8$ .我们证实了他们的猜想，此外，其特征的极值家庭显示，平衡的完全二部图与$n$顶点是唯一的$n$ -顶点图，正好有$2^{\lfloor n^2/4\rfloor}$这样的方向。
2020-05-27 cs.DM math.CO
On sum edge-coloring of regular, bipartite and split graphs
一个自然数图$G$的边染色称为和边染色，如果与$G$的任一顶点关联的边的颜色是不同的，并且$G$的边的颜色之和是最小的.图$G$的边色和是图$G$的和边色中边的颜色之和。已知求$r$ -正则（$r\geq 3$）图的边色和问题是$NP$ -完全的.本文对$r\geq 3$的$r$ -正则图的边色和问题给出了一个多项式时间的$(1+\frac{2r}{(r+1)^{2}})$ -近似算法。另外，我们还知道求最大度为3的二部图的边色和问题是$NP$ -完全的。我们发现，即使对于最大度为3的某些受限的二部图类，该问题仍然是$NP$ -完全的。最后，我们给出了一些分裂图的边色和的上界。
2012-11-22 cs.DM math.CO
Counting Induced Subgraphs: An Algebraic Approach to #W[1]-hardness
我们研究了计数图G中满足性质P的所有大小为k的导出子图的问题#IndSub（P）。这个问题由Jerrum和Meeks引入，并且当对于一些性质P的族被k参数化时，被证明是#W[1]-困难的，其中包括连通性[JCSS 15]和边数的偶数或奇数[Combinatorica 17]。最近[IPEC 18]，两位作者介绍了一种用于#IndSub（P）复杂性分析的新技术，灵感来自Kahn，Saks和Sturtevant的“回避的拓扑方法”[FOCS 83]以及Curticapean，Dell和Marx的图形主题参数框架[STOC 17]，使他们能够证明广泛的属性P的硬度。我们针对具有素数幂数边的边传递图上的非平凡的图形属性来改进该技术。特别地，我们完全分类了单调二分图性质的情况：它表明，给定任何在顶点和边的移除下闭合的图性质P，并且对于二分图是非平凡的，问题#IndSub（P）是#W[1]-hard的，并且对于任何可计算函数f不能在时间f（k）*n^{o（k）}内求解，除非指数时间假设失败。即使输入图被限制为二分的，并且计数是以固定素数为模进行的，这也是正确的。对于仅在移除边的情况下闭合的特性，也会显示类似的结果。
2019-04-23 cs.CC cs.DM math.CO
Rainbow Matchings: existence and counting
边着色完全二部图K_{n,n}中的完美匹配M是彩虹图，如果M中没有一对边具有相同的颜色.我们得到的渐近计数结果的彩虹匹配的数量方面的最大数量的出现的颜色。我们还考虑两个自然模型的随机边着色K_{n,n}，并表明，如果颜色的数量至少是n，那么有很高的概率是随机匹配。这特别表明，几乎每一个n阶方阵，其中每一个条目出现最多n次有一个拉丁断面。
2011-04-14 cs.DM math.CO
Cospectral Bipartite Graphs with the Same Degree Sequences but with Different Number of Large Cycles
求二部图中圈的重数是低密度奇偶校验码（LDPC）分析和设计等领域的一个基本问题。最近，Blake和Lin根据图的度序列和谱（邻接矩阵的特征值）计算了双正则二部图中的最短圈（$g$ -圈，其中$g$是图的围长）的数量[{ \em IEEE Trans. Inform. Theory 64（10）：6526- 6535，2018}]。该结果随后在[{ \em IEEE Trans. Inform.理论，接受出版，2018年12月}]到双正则二部图中长度为$g+2, \ldots, 2g-2$的圈，以及不规则和半正则二部图中的$4$ -圈和$6$ -圈，分别具有$g \geq 4$和$g \geq 6$。在本文中，我们用否定的结果补充了这些肯定的结果，证明了二部图的度序列和谱的信息一般不足以计数（a）双正则图中的$i$ -圈，$i \geq 2g$，（b）不规则图中任何$i > g$的$i$ -圈，而不管$g$的值如何，以及$g \geq 6$的$g$ -圈，以及（c）半正则图中任何$i > g$的$i$ -圈，无论$g$的值如何，以及$g \geq 8$的$g$ -圈。为了获得这些结果，我们使用Godsil-McKay开关构造反例。
2019-05-31 cs.DM math.CO
On Counting (Quantum-)Graph Homomorphisms in Finite Fields of Prime Order
研究了素数阶有限域$\mathbb{Z}_p$中从输入图$G$到固定（量子）图$\bar{H}$的同态个数的计算问题。图$H$的子问题是由Faben和Jerrum [ToC'15]介绍的，其复杂性受到越来越多的研究文章的影响，例如Focke，Goldberg，Roth和Zivnovel [SIDMA'21]的工作以及Bulatov和Kazeminia [STOC'22]的工作，继本文的会议版本之后。我们的贡献是三方面的。首先，我们将量子图的研究引入到模计数同态的研究中。我们表明，量子图$\bar{H}$的复杂性崩溃的复杂性标准，发现在1维：图。其次，为了证明棘手的情况下，我们建立了一个进一步的减少研究的二分图。最后，我们建立了一个二分法的所有二部（$K_{3,3}\backslash\{e\}$，${domino}$）-免费的图，通过一个彻底的结构研究，结合本地和全球的参数。这一结果包含了所有已知的素数模的二部图的所有结果，并显着地扩展了它们。即使对于$p$等于$2$的子问题，这也建立了新的结果。
2022-08-18 cs.CC cs.DM
Counting Hamiltonian Paths in 3-Regular Planar Graphs
University of California, Santa Cruz（加利福尼亚大学圣克鲁兹分校）；IBM Almaden Research Center（IBM阿尔马登研究中心）
本文引入两类3-正则平面图族，作为Pohl-Warnsdorf哈密顿路径算法的概念对抗，并给出哈密顿路径数量的闭式计算公式。
2026-06-05 cs.DM cs.DS math.CO
Counting independent sets in strongly orderable graphs
我们考虑设计算法来精确计算图G的独立集个数的问题。当G仅限于强可序图类，弦二部图的超类时，我们证明了这个问题存在一个多项式时间算法。我们还表明，这样的算法存在的有界的宽度的图。我们的结果扩展到一个更一般的设置计数独立集的加权图，并可以用来计数的独立集的数量的任何给定的大小k。
2021-01-06 cs.DM
Regular graphs and the spectra of two-variable logic with counting
一阶逻辑语句的{ \em谱}是作为其有限模型基数的自然数的集合。在本文中，我们表明，当限制到只使用两个变量，但允许计数量词，一阶逻辑句子的谱是半线性的，因此，在补下关闭。我们证明的核心是正则图和双正则图存在性的半线性特征，这类图的顶点度存在先验界限。我们的证明还提供了一个简单的表征模型的两个变量的逻辑计数-也就是说，到重命名和扩展的关系名称，它们只是一个集合的定期和birregular图。
2014-06-11 cs.CC cs.DM cs.LO
Sampling Colorings and Independent Sets of Random Regular Bipartite Graphs in the Non-Uniqueness Region
对于自旋系统，例如$q$着色和独立集模型，在所谓的非唯一性区域中近似配分函数，其中模型表现出长程相关性，对于有界度图通常在计算上是困难的。我们提出了新的算法的结果，近似的分区函数和抽样的吉布斯分布的自旋系统的非唯一性区域的随机规则二分图。本文给出了几乎所有$Δ$ -正则二部图上偶$q=O\big(\tfracΔ{\logΔ}\big)$的$q$ -染色的一个$\mathsf{FPRAS}$.这是在唯一性区域中的一般图的采样算法的因子$O(\logΔ)$内，并且在Jenssen、Keevash和Perkins（SODA'19）的$q=O\big(\tfrac{\sqrtΔ}{(\logΔ)^2}\big)$的先前最佳界上显著改进。类似地，对于$λ>0$加权的独立集上的硬核模型，我们提出了一个$\mathsf{FPRAS}$来估计当$λ=Ω\big(\tfrac{\logΔ}Δ\big)$时的配分函数，它通过一个$Ω(\log Δ)$因子改进了以前的结果。我们的着色和硬核模型的结果遵循适用于任意自旋系统的一般结果。我们的主要贡献是展示如何提升概率/分析边界上的边缘概率的典型结构的阶段随机二分规则图到有效的算法，使用聚合物的方法。我们进一步证明，我们的结果着色是在一个恒定的因素，最好的使用目前的聚合物方法的方法。
2021-05-04 cs.DM cs.DS math.CO
Perfect Matchings in Õ(n^{1.5}) Time in Regular Bipartite Graphs
我们考虑了在$d$ -正则二部图中寻找完美匹配的问题，该图具有$2n$顶点和$m = nd$边。一般二部图的最著名算法（由Hopcroft和Karp提出）需要$O(m \sqrt{n})$时间，而在规则二部图中，完美匹配已知可以在$O(m)$时间内计算。最近，$O(m)$界限被改进为$O(\min\{m, \frac{n^{2.5}\ln n}{d}\})$预期时间，这是一个受$\tilde{O}(n^{1.75})$界限的表达式。在本文中，我们进一步改进了这一结果，给出了一个$O(\min\{m, \frac{n^2\ln^3 n}{d}\})$期望时间算法，在正则二部图中找到一个完美的匹配，作为一个功能的$n$单独，该算法需要的期望时间$O((n\ln n)^{1.5})$。为了获得这个结果，我们设计和分析了一个两阶段的抽样方案，减少了在一个经常的二分图中找到一个完美匹配的问题，以同样的问题上的二分图与$O(n\ln n)$边缘，具有高概率的完美匹配。然后使用Hopcroft-Karp算法恢复匹配。虽然Hopcroft-Karp的标准分析为我们提供了$\tilde{O}(n^{1.5})$运行时间，但我们对我们的特殊情况进行了更严格的分析，导致前面提到的更强的$\tilde{O}(\min\{m, \frac{n^2}{d} \})$时间。我们证明这种抽样方案的正确性使用了一个…
2009-07-30 cs.DM cs.DS
Approximately Counting H-Colourings is #BIS-Hard
考虑从一个输入图G到一个目标图H的H-染色的计数问题。我们表明，如果H是任何固定的图没有平凡的组件，那么这个问题是困难的著名的问题#BIS，这是（近似）计数独立集的问题在一个二分图。#BIS是近似计数的重要复杂性类中的完整问题，并且被认为没有FPRAS。如果是这样的话，那么我们的结果表明，对于每个图H没有平凡的组件，H-着色计数问题没有FPRAS。10年前，Goldberg、Kelk和Paterson研究了这个问题。他们能够证明近似采样H着色是#BIS困难的，但不知道如何获得近似计数的结果。我们的解决方案建立在使用Lovasz工作的非建设性想法之上。
2015-12-23 cs.CC cs.DM
Approximately Counting Embeddings into Random Graphs
设H是一个图，C_H（G）是图G中包含的H的（子图同构）副本数.本文研究了估计C_H（G）的基本问题。以前的结果只涵盖了这个一般问题的几个具体实例，例如，H的程度最多为1（单体-二聚体问题）的情况。本文给出了子图同构计数问题的第一个一般子情形，它几乎总是有效可逼近的。结果依赖于一种新的图分解技术。非正式地，分解是顶点的标记，使得每条边都在具有不同标签的顶点之间，并且对于每个顶点，具有更高标签的所有邻居都具有相同的标签。标签隐式生成一个序列的二分图，这使我们能够打破的问题，计数嵌入的大子图的计数嵌入的小的子图。利用这种方法，我们提出了一个简单的随机算法的计数问题。对于所有可分解图H和所有图G，该算法是一个无偏估计。此外，对于所有的图H具有分解，其中每个生成的二分图是小的，几乎所有的图G，该算法是一个完全多项式随机逼近方案。我们表明，我们获得了一个完全多项式随机逼近计划几乎所有G的H的图形类包括图的度最多为2，有界度森林，有界长度的网格图，有界度图的细分，和主要子类的外平面图，串并行图和平面图，而无界长度的网格图被排除在外。
2013-06-21 cs.DM cs.DS
On the dimensions of certain LDPC codes based on q-regular bipartite graphs
最近给出了一类二元LDPC码LU（3，q）的显式构造，其中q是素数的幂。当q为奇数时，对这些码的维数提出了一个猜想。本文证明了这个猜想。证明涉及到四维辛向量空间的几何学和辛群及其子群的作用。
2007-12-04 cs.DM cs.IT math.IT
The Complexity of Approximately Counting Stable Matchings
研究了$k$ -属性模型中稳定匹配近似计数的复杂性，其中偏好列表由“偏好向量”与“属性向量”的点积或“偏好点”与“属性点”之间的欧氏距离确定. Irving和Leather证明了在一般情况下计算稳定匹配的个数是$#P$ -完全的。计算稳定匹配的数目可简化为计算（相关）偏序中的降集数目，并且在近似保持意义上可互简化为一类包括计算二分图（$#BIS$）中独立集数目的问题。它是不存在FPRAS这类问题。我们表明，这种近似保持interreducibilty仍然是即使在限制$k$属性设置时，$k \geq 3$（点积）或$k \geq 2$（欧几里德距离）。最后，我们证明了在1-属性点积设置中计算稳定匹配的数量是很容易的。
2012-02-07 cs.CC cs.DM
On Computing the Multiplicity of Cycles in Bipartite Graphs Using the Degree Distribution and the Spectrum of the Graph
二部图中短圈的计数是低密度奇偶校验码（LDPC）分析和设计中的一个基本问题。这一领域的绝大多数研究都集中在算法技术上。最近，Blake和Lin提出了一种计算技术来计算双正则二部图中长度为$g$的圈数，其中$g$是图的围长。计算所需的信息是节点度和分区两侧节点的重数，以及图（图谱）的邻接矩阵的特征值。本文推广了Blake和Lin的结果，分别用$g \geq 4$和$g \geq 6$计算了双正则二部图的长度为$g+2, \ldots, 2g-2$的圈数，以及不规则和半正则二部图的$4$ -圈数和$6$ -圈数.
2019-01-09 cs.DM cs.IT math.IT
