Decomposing graphs into a constant number of locally irregular subgraphs
一个图是局部不规则的，如果没有两个邻顶点具有相同的度。图$G$的不规则色指数$χ_{\rm irr}'(G)$是对图$G$进行边分解所需的局部不规则子图的最小数目。不是所有的图都有这样的分解，但是Baudon、Bensmail、Przybyzio和Woonniak证明了如果$G$可以分解成局部不规则子图，那么$χ_{\rm irr}'(G)\leq 3$。为了支持这一猜想，Przybytello证明了只要$G$的最小度至少为$10^{10}$，则$χ_{\rm irr}'(G)\leq 3$成立。本文证明了非奇长路的二部图$G$满足$χ_{\rm irr}'(G)\leq 10$。这是二部图的非正则色指数的第一个一般常数上界。结合Przybytelo的结果，我们证明了对任何允许分解成局部不规则子图的图$G$，都有$χ_{\rm irr}'(G) \leq 328$.最后，我们证明了对于每一个$16$ -边连通二部图$G$，都有$χ_{\rm irr}'(G)\leq 2$.
2016-04-01 math.CO
Signatures, lifts, and eigenvalues of graphs
研究了有限图的循环签名的谱和相应的循环提升。从一个二分拉马努金图，我们证明了存在一个无限塔的$3$ -循环电梯，其中每一个再次拉马努金。
2014-12-21 cs.DM math.CO
Maxima of spectral radius of irregular graphs with given maximum degree
设$λ^{*}$是连通不规则图在$Δ$最大度的$n$上的最大谱半径. Liu，Shen and Wang（2007）证明了描述不规则图最大谱半径渐近行为的$\lim_{n\rightarrow \infty}(n^{2}(Δ-λ^{*}))/(Δ-1)=π^{2},$。围绕这一猜想，我们考虑了连通次立方二部图的最大谱半径。确定了唯一的具有最大谱半径的连通次立方二部图。设$G$是一个具有谱半径$λ_{1}(G)$的$k$ -连通非正则图，我们给出了$Δ-λ_{1}(G)$的一个下界.此外，如果$H$是$k$ -连通$Δ$ -正则图的真子图，还得到了$Δ-λ_{1}(H)$的一个下界.这些界改进了以前的一些结果。
2022-09-26 math.CO
On decomposing multigraphs into locally irregular submultigraphs
局部不规则重图是指其邻顶点具有不同度的重图。局部不规则边染色是多重图$G$的边染色，使得每种颜色都导出$G$的一个局部不规则子多重图.我们称一个重图$G$是局部不规则可着色的，如果它允许局部不规则边着色，我们用${\rm lir}(G)$表示$G$的局部不规则色指数，它是局部不规则可着色重图$G$的局部不规则边着色所需的最小颜色数.我们猜想，对于任何与$K_2$不同构的连通图$G$，由$G$通过每条边加倍得到的重图$^2G$都允许${\rm lir}(^2G)\leq 2$ .这一概念与著名的1-2-3猜想、局部无规则猜想、（2，2）猜想以及其他与边着色有关的类似问题密切相关。我们证明了这个猜想适用于图类，如路径，循环，车轮，完全图，完全$k$ -部图和二部图。利用我们对二部图的结果，我们还证明了所有2-重图的局部非正则色指数的一般界。
2022-08-18 math.CO
Efficiently sampling the realizations of irregular, but linearly bounded bipartite and directed degree sequences
自1997年以来，人们一直致力于研究图度序列上的交换马尔可夫链。证明了正则单、正则有向、半正则有向和半正则二部度序列上的快速混合马氏链的几个结果。设$U$和$V$是不相交的有限集，$0 < c_1 \le c_2 < |U|$和$0 < d_1 \le d_2 < |V|$是整数.进一步，假设$U \cup V$上的二分度序列满足$c_1 \le d(v) \le c_2\ : \ \forall v\in V$和$d_1 \le d(u) \le d_2 \ : \ \forall u\in U$。最后假设$(c_2-c_1 -1)(d_2 -d_1 -1) < 1 + \max \{c_1(|V| -d_2), d_1(|V|- c_2) \}$。然后这个二分度序列上的交换马尔可夫链是快速混合的。该技术也适用于有向度序列，具有非常相似的参数值。这些结果是密切相关的Greenhill和Sfragara最近的结果关于快速混合MCMC过程的简单和有向度序列，其中的最大程度是$O(\sqrt{\# \mbox{ of edges}})$。结果在有向度序列上具有一定的可比性：虽然GS结果更好地适用于在某些无标度随机过程下开发的度序列，但我们的新结果更好地拟合在Erdens-Rényi模型下开发的度序列。例如，我们的结果覆盖了所有正则度序列，当平均度为$ > n/16.$时，GS模型不适用
2018-03-12 math.CO
A Generalized Information-Theoretic Approach for Bounding the Number of Independent Sets in Bipartite Graphs
本文研究了用度分布表示的图中独立集个数的上界问题。对于二部正则图，Kahn（2001）利用信息论方法建立了一个紧的上界，他还建立了一般图的上界.最近Sah et al.（2019）使用不涉及信息论的不同技术证明了他的极限。这项工作的主要贡献是扩展卡恩的信息理论证明技术来处理不规则的二部图。特别是，当二部图的一侧是规则的，但另一侧可能是不规则的时，扩展的基于熵的证明技术产生了与Kahn（2001）和Sah等人（2019）证明的相同的边界。
2021-03-31 cs.IT math.CO math.IT
Cospectral Bipartite Graphs with the Same Degree Sequences but with Different Number of Large Cycles
求二部图中圈的重数是低密度奇偶校验码（LDPC）分析和设计等领域的一个基本问题。最近，Blake和Lin根据图的度序列和谱（邻接矩阵的特征值）计算了双正则二部图中的最短圈（$g$ -圈，其中$g$是图的围长）的数量[{ \em IEEE Trans. Inform. Theory 64（10）：6526- 6535，2018}]。该结果随后在[{ \em IEEE Trans. Inform.理论，接受出版，2018年12月}]到双正则二部图中长度为$g+2, \ldots, 2g-2$的圈，以及不规则和半正则二部图中的$4$ -圈和$6$ -圈，分别具有$g \geq 4$和$g \geq 6$。在本文中，我们用否定的结果补充了这些肯定的结果，证明了二部图的度序列和谱的信息一般不足以计数（a）双正则图中的$i$ -圈，$i \geq 2g$，（b）不规则图中任何$i > g$的$i$ -圈，而不管$g$的值如何，以及$g \geq 6$的$g$ -圈，以及（c）半正则图中任何$i > g$的$i$ -圈，无论$g$的值如何，以及$g \geq 8$的$g$ -圈。为了获得这些结果，我们使用Godsil-McKay开关构造反例。
2019-05-31 cs.DM math.CO
Extremal results on stepwise transmission irregular graphs
连通图$G$的顶点$v$的传输${\rm Tr}_G(v)$是$G$中$v$与所有其他顶点之间的距离之和。如果$|{\rm Tr}_G(u) - {\rm Tr}_G(v)| =1$对每条边$uv \in E(G)$成立，则$G$是逐步传输不规则（STI）图。本文证明了STI图关于图的大小和不同度量性质的极值结果。在所有情况下都出现两个极值族，奇阶平衡完全二部图和所谓的奇帽圈。
2022-01-30 math.CO
Hamilton Cycles in Random Lifts of Graphs
对于图$G$，$G$的随机$n$提升是通过用一组$n$顶点代替图的每个顶点，并在$G$的相应顶点相邻时通过随机匹配连接一对集合来获得的.证明了图$G$的随机提升是Hamilton的，只要$G$的最小度至少为$5$，且包含两个不相交的哈密顿圈，且其并不是二部图.
2014-01-06 math.CO
A spectral bound for graph irregularity
图中边$e=\{u,v\}$的不平衡被定义为$i(e)=|d(u)-d(v)|$，其中$d(\cdot)$是顶点度。然后将$G$的不规则性$I(G)$定义为$G$的所有边缘上的不平衡之和。这个概念是由Albertson引入的，他证明了$I(G) \leq \frac{n^{3}}{27}$（其中$n=|V(G)|$），并得到了二分图和无三角图的更强的界。从那时起，一些额外的界限是由不同的作者。本文证明了一个新的上界，改进了Zhou和Luo在2011年发现的一个上界.我们的界限涉及拉普拉斯谱半径$λ$。
2013-08-18 math.CO
Bipartite-uniform hypermaps on the sphere
一个超映射是（超顶点-）二分的，如果它的超顶点可以是2-色的，使得“相邻”的超顶点有不同的颜色。它是二分一致的，如果在每个相同颜色的超顶点、超边和超面的集合中，元素有公共的价。一个二分超映射的标志自然是2-着色的，通过指定其相邻超顶点的颜色。一个超映射是二分正则的，如果自同构群传递地作用在每一组有色标志上。如果自同构群在所有标志的集合上传递，则超映射是正则的。本文对球面上的二分一致超映射进行了分类（直到对偶）。给出了二分一致超映射的两个构造。所有的二分一致球面超映射都是用这种方法构造的。作为副产品，我们证明了球面上的每一个二分一致超映射都是二分正则的。我们还计算了它们的非正则群和指数，以及它们的闭包覆盖和覆盖核。
2006-07-12 math.CO
Interlacing Families I: Bipartite Ramanujan Graphs of All Degrees
我们证明了存在无穷多个度大于2的正则二部Ramanujan图族。我们这样做是通过证明一个变种的猜想Bilu和Linial的存在良好的2-升降机的每一个图。我们还建立了存在的“不规则Ramanujan”图，其特征值的谱半径的普遍覆盖的无限家庭。这样的家庭是由Linial和其他人建立的。特别地，我们证明了对于所有的c，d \geq 3，存在所有非平凡特征值由sqrt{c-1}+sqrt{d-1}限定的（c，d）-双正则二部图的无限族.我们的证明利用了一种新的技术来证明有用的组合对象的存在，我们称之为“交错多项式的方法”。
2014-03-03 math.CO
Lift-and-project ranks of the stable set polytope of joined a-perfect graphs
本文研究了Lov？阿斯、施赖弗、巴拉、西利亚、哥奴。关于网图的独立集多胞形的团松弛的EJols。我们计算所有网的析取秩，从而反网图。我们还获得了分离问题的复杂性仍然未知的反网约束的析取秩。最后，我们使用我们的结果，以提供界的析取秩较大类的图加入a-完美图，其中近二部图属于。
2015-04-29 math.CO
Perfecting the Line Graph
本文研究了双重边阶段提升结构，证明其在特定条件下具有完美、无爪和盒完美性质，并给出了正则情况下的谱公式及非双色输入的谱间隙控制。
2026-04-17 math.CO
Computational hardness of detecting graph lifts and certifying lift-monotone properties of random regular graphs
提出检测图随机提升的计算难度猜想，并以此证明多项式时间算法无法认证随机正则图最大割、最大独立集等性质的紧致界限，且现有谱界在多项式时间内最优。
2024-04-25 cs.CC cs.DS math.CO
On the Regularity, Planarity and Edge Bounds of Link-irregular Graphs
本文针对链不规则图的正则性猜想展开研究，构造出12顶点7-正则反例，证明二部链不规则图不存在、n≤9时无正则链不规则图，给出边数界并证明多数链不规则图非平面。
2025-06-12 math.CO
On Link-irregular labelings of Graphs
本文引入图的链不规则标号概念并定义标号数 $η(G)$，给出了该标号存在的充要条件，证明特定图族不容许该标号而完全图和轮图容许，并确定了相关标号数的精确或渐近值。
2025-06-30 math.CO
Extremal results on $k$-stepwise irregular graphs
本文研究了 $k$-步不规则图的极值性质，证明了其存在性并界定了最大度数和图大小，引入了度复杂度的概念。
2024-11-24 math.CO
The number of independent sets in an irregular graph
在解决Kahn猜想（2001）的基础上，证明了无孤立点图$G$中独立集个数$i(G)$的上界：\[ i(G) \le \prod_{uv \in E(G)} i(K_{d_u,d_v})^{1/(d_u d_v)}, \]其中$d_u$是$G$中点$u$的度.当$G$是完全二部图的不交并时，出现相等。Kahn和Zhao以前证明了正则图的不等式。我们还证明了一个类似的紧下界：\[ i(G) \ge \prod_{v \in V(G)} i(K_{d_v+1})^{1/(d_v + 1)}, \]的平等发生$G$一个不相交的联盟的集团。更一般地说，我们证明了这些数量的加权版本的界限，即，独立集多项式，或者等价地，在图上具有给定逸度的硬核模型的分拆函数。
2019-01-28 math.CO
Generalized stepwise transmission irregular graphs
本研究引入广义逐步传输不规则（STI）图的概念，证明其二分性、2-边连通性等性质，确定树中仅星型图为广义STI图，给出直径界并构造多类相关图。
2023-06-09 math.CO
Upper tails for irregular graphs beyond the mean-field regime
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Northeastern University（东北大学）
针对连通不规则图H，在密度p足够大时，证明了随机图G_{n,p}中H副本数X_H的对数上尾概率的渐近紧界，通过新变分问题推广了平均场近似。
2026-06-15 math.CO math.PR
New classes of degree sequences with fast mixing swap Markov chain sampling
在复杂系统的网络建模中，经常需要对服从给定约束的网络的随机实现进行采样，通常以图的形式进行测量。一类研究较多的问题的目标均匀抽样的单图与给定的度序列，也与给定的度相关表示的形式的联合度矩阵。一种方法是使用基于边缘开关（交换）的马尔可夫链，边缘开关（交换）保持约束、不可约（遍历）和快速混合。1999年Kannan，Tetali和Vempala（KTV）提出了一种简单的交换马尔可夫链，并证明了它对任意度序列的抽样图都能快速混合（在多时间内）.虽然猜想仍然是开放的，它被证明为特殊的度序列，特别是那些无向和有向的正则单图，半正则二部图，并与某些有界的最大程度的图。在这里，我们证明了新的，指数大类的不规则度序列的快速混合KTV猜想。我们的方法是基于一个典型的分解度序列分裂图度序列，结构定理的空间图实现和马尔可夫链的因式分解定理。在引入二部分裂度序列之后，我们还推广了二部图和有向图的典型分裂图分解。
2016-12-14 cs.DM math.CO
Persistent Quantum Memory in Iterated Lifts
本研究提出对称提升构造$\text{HL}'_2(G)$，证实其可在各类图中保留或诱导量子相干，生成无需调谐即可支持长时间相干的完美图族，为构建持久量子记忆提供了可扩展的结构化机制。
2025-08-01 math.CO quant-ph
Extremal regular graphs: the case of the infinite regular tree
在本文中，我们研究以下问题。设$A$是一个固定图，$\hom(G,A)$表示从图$G$到$A$的同态的个数.此外，令$v(G)$表示$G$的顶点数，令$\mathcal{G}_d$表示$d$ --正则图族。本文研究的一般性问题是确定$$\inf_{G\in \mathcal{G}_d}\hom(G,A)^{1/v(G)}.$$。结果表明，在许多情况下，下确界不是由有限图达到的，而是由围长为（即）的图序列达到的。例如，最短周期的长度）趋于无穷大。换句话说，通过无限$d$ -正则树来解决最优化问题。我们证明了这种类型的结果的独立集的二分图的数量，评价的Tutte多项式，Widom-Rowlinson配置，以及更多的图形参数。我们的主要工具是一个名为$2$ -lift的转换。
2017-05-05 math.CO
Improved upper bounds on even-cycle creating Hamilton paths
本研究改进了偶环生成哈密顿路径最大数目的上界，推广了哈密顿环计数定理，还给出了两类完全二部图对应函数的界。
2023-08-23 math.CO
Hoffman colorings of graphs
本文研究非正则图的Hoffman界紧性，提出分解定理与组合定理以刻画Hoffman着色结构，完全分类锥图和线图的Hoffman可着色性，并导出计算连通Hoffman可着色图的算法。
2025-01-30 math.CO
Ramanujan Coverings of Graphs
研究有限连通图\(G\)的拉马努金覆盖，通过证明对每个\(r\)存在\(r -\)覆盖且新特征值有上界\(\rho\)，推广了二分拉马努金图的相关结论。核心方法包括复反射群交错多项式族及图匹配多项式推广，丰富了二分拉马努金图族。
2026-07-24 math.CO math.GR
Ramanujan subshifts
本文提出了一种高维拉马努金子移位的构造方法，通过四元数格生成非二分的(q+1)-正则拉马努金图，并提供了生成无限家族的提升规则。
2026-02-25 math.CO math.DS math.GR
