Rainbow paths and large rainbow matchings
前两位作者的一个猜想是，在任何图中，大小为$n$的$n$匹配都有大小为$n-1$的彩虹匹配。证明了$\frac{2}{3}n-1$的一个下界，改进了平凡的$\frac{1}{2}n$，并对超图给出了类似的结果.对于$\{C_3,C_5\}$ -free图和不交匹配，我们得到了$\frac{3n}{4}-O(1)$的一个下界.我们还讨论了一个关于彩虹交替路径的猜想，如果这个猜想成立，将给出$n-\sqrt{2n}$的一个下界。我们证明了这个猜想的非交替（普通路径）版本。
2021-10-07 math.CO
Existences of rainbow matchings and rainbow matching covers
设$G$是边着色图。$G$中的彩虹子图是边具有不同颜色的子图。$G$的最小颜色度$δ^c(G)$是与$G$的顶点关联的边上的不同颜色的最小数目。我们发现，每一个边着色图$G$ $n\geq 7k/2+2$顶点$δ^c(G) \geq k$包含彩虹匹配的大小至少$k$，这改善了以前的结果$k \ge 10$。令$Δ_{\text{mon}}(G)$为与$G$的顶点关联的相同颜色的边的最大数目。我们还证明了如果$t \ge 11$和$Δ_{\text{mon}}(G) \le t$，那么$G$最多可以分解为$\lfloor tn/2 \rfloor $彩虹匹配.这个结果是尖锐的，并改进了LeSaulnier和West的结果。
2015-06-10 math.CO
Rainbow matchings in Dirac bipartite graphs
证明了当$μ>0$足够小时，Dirac二部图的$μn$有界边着色中彩虹完美匹配的存在性.作为应用，我们得到了Dirac图中彩虹$k$ -因子和最小度大的图中有界最大度彩虹生成子图存在性的几个结果.
2017-12-14 math.CO
Large rainbow matchings in general graphs
根据Drisko的一个定理，二部图中任何大小为$n$的$2n-1$匹配都有大小为$n$的部分彩虹匹配.受Barát，Gyárfás和Sárközy讨论的启发，我们猜想，如果$n$是奇数，那么在一般图中也是如此，如果$n$是偶数，那么$2n$匹配的大小$n$就足够了。我们证明了任何大小为$n$的$3n-2$匹配都有大小为$n$的部分彩虹匹配。
2018-07-07 math.CO
Short rainbow cycles for families of matchings and triangles
本文研究了边集族中彩虹圈的长度问题，证明了在混合包含大小为2的匹配或三角形的情况下，彩虹圈长度渐近为O(log n)，并确定了引入单边时彩虹周长从线性变为对数的阈值比例。
2024-09-24 cs.DM math.CO
Rainbow Matchings of size δ(G) in Properly Edge-colored Graphs
边有色图中的{ \it彩虹匹配}是所有边都具有不同颜色的匹配。Wang询问是否存在一个函数f（δ）使得具有最小度δ且阶至少为f（δ）的适当边有色图G必须具有大小为δ的彩虹匹配。我们对这个问题的回答是肯定的; f（δ）= 6.5δ就足够了。并且证明了一个O（δ（G））|V（G）|生成这种匹配的^2）-时间算法。
2011-08-11 math.CO
Large rainbow matchings in large graphs
边有色图的\textit{rainbow subgraph}是边具有不同颜色的子图.顶点$v$的\textit{color degree}是关联到$v$的边上的不同颜色的数目。证明了如果$n$足够大（即$n\geq 4.25k^2$），则每个最小色度至少为$k$的$n$ -顶点图$G$都包含一个大小至少为$k$的彩虹匹配.
2012-04-14 math.CO
Large rainbow matchings in edge-colored graphs with given average color degree
边有色图中的彩虹匹配是指没有两条边具有相同颜色的匹配。顶点v的颜色度是入射到v的边上的不同颜色的数量。27（2020）]研究了平均色度至少为2k的边有色图G中彩虹匹配的存在性，并证明了G中存在大小为k的彩虹行进的若干充分条件。其充分条件包括：|V（G）|>=12k^2+4k，或G是一个适当边-有色图，|V（G）|>=8k。本文证明了任意边-有色图G| V（G）|>=4k-4且平均色度至少为2k-1，包含大小为k的彩虹匹配。此外，我们还证明了每一个平均度至少为2k-1的强边有色图G都包含一个大小至少为k的彩虹匹配。对于完全图，该界是尖锐的.
2021-05-22 math.CO
Rainbow Greedy Matching Algorithms
本文研究在具有随机着色边的随机图中寻找大彩虹匹配的问题，并分析了两种基于无色版本改进的贪心算法在该问题上的性能。
2023-07-02 math.CO
Complexity Results for Rainbow Matchings
边着色图中的彩虹匹配是边具有不同颜色的匹配。我们解决以下问题的复杂性问题，\mrbm：给定一个边着色图$G$，多大是最大的彩虹匹配$G$？我们提出了几个鲜明的对比，在这个问题的复杂性。我们表明，除其他外，* 可以近似的多项式算法的近似比$2/3-\eps$。* 是APX完全的，即使当被限制为没有$5$ -顶点路径的正确边着色的线性森林时，并且对于没有$4$ -顶点路径的边着色的森林，在关于边着色的$m$ -边的多项式时间上的%时间$O(m^{3/2})$内可解。* 是APX完全的，即使当被限制为没有$8$ -顶点路径的正确边着色的树时，并且对于没有$7$ -顶点路径的边着色树，在边着色$n$ -顶点多项式时间上的%时间$O(n^{7/2})$内可解。这些结果提供了一个二分法定理的复杂性问题的森林和树木的禁止路径。后者有些令人惊讶，因为据我们所知，在我们的结果之前，没有（未加权）图问题是NP-难的简单路径。我们还解决了问题的参数化的复杂性。
2013-12-27 cs.DM math.CO
Large matchings in bipartite graphs have a rainbow matching
令$g(n)$为使得二部图中的每个$n$匹配集合（每个的大小至少为$g(n)$）具有全彩虹匹配的最小数。Aharoni和Berger \cite{AhBer}证明了每个$n>1$的$g(n)=n+1$。这概括了Ryser，Brualdi和Stein的着名作品。最近，Aharoni，Charbit和Howard \cite{ACH}证明了$g(n)\le\lfloor\frac{7}{4}n\rfloor$。我们证明了$g(n)\le\lfloor\frac{5}{3} n\rfloor$ .
2013-10-21 math.CO
Rainbow matchings in bipartite multigraphs
设$k$是非负整数，二部多重图$G$是$$N=\left\lfloor \frac{k+2}{k+1}n\right\rfloor -(k+1)$$匹配$M_1,\dots,M_N$的并，每个匹配的大小为$n$ .我们证明了$G$具有大小为$n-k$的彩虹匹配，即大小为$n-k$的匹配与来自不同$M_i$的所有边。参数的几个选择涉及已知的结果和结构。
2016-01-08 math.CO
Counting rainbow triangles in edge-colored graphs
本文研究边染色图中彩虹三角形的计数问题，给出了通过给定顶点的彩虹三角形数量的下界，并证明了在最小颜色度条件下存在 $\Omega(n^2)$ 或 $\Omega(n^3)$ 个彩虹三角形，结果最优且推广了相关定理。
2021-12-29 math.CO
Rainbow matchings and rainbow connectedness
Aharoni和Berger证明了每个由n个大小为n + 1的匹配组成的二部图都包含一个大小为n的彩虹匹配。这个猜想是Ryser、Brualdi和Stein关于拉丁方中横截的几个老猜想的推广。最近关于Aharoni-Berger猜想有许多部分结果。在匹配比n + 1大得多的情况下，最佳界目前是由克莱门斯和埃塞尔米勒证明的，当匹配的大小至少为3 n/2 + o（n）时，他们证明了这个猜想。当匹配都是边不相交和完美的，那么最好的结果来自Häggkvist和Johansson的定理，该定理暗示了当匹配的大小至少为n + o（n）时的猜想。在本文中，我们证明了该猜想是正确的，当匹配的大小为n + o（n），都是边不相交（但不一定完美）。当匹配的大小至少为$ϕn + o(n)$时，我们也给出了另一个证明该猜想的论证，其中$ϕ\approx 1.618$是黄金分割比。我们的证明涉及到研究有色的，有向图的连通性。我们引入的连通性概念是新的，也许是独立的兴趣。
2015-04-21 math.CO
How many colors guarantee a rainbow matching?
给定多重超图的边的着色，彩虹t-匹配是t个不相交的边的集合，每个边具有不同的颜色。本文研究了在边着色为f色的r-部r-一致多重超图中寻找彩虹$t$ -匹配的问题，使得每个色类都是一个大小为t的匹配.这个问题是由Aharoni和Berger提出的，他们要求确定保证彩虹匹配的最小颜色数量。我们改进了已知的上界为这个问题的所有值的参数。特别地，对于每个固定的r，我们给出了一个关于t的多项式的上界，改进了Alon的超指数估计.我们的证明也适用于不要求超图是r-部的情况。
2012-11-05 math.CO
Badges and rainbow matchings
Drisko证明了二部图中大小为$n$的$2n-1$匹配有大小为$n$的彩虹匹配。对于一般的图，它被证明$2n$匹配满足此目的（和$2n-1$匹配满足时，$n$是偶数）。已知的图表显示的锐度，这一猜想$n$甚至被称为徽章。我们改进了以前最知名的绑定从$3n-2$到$3n-3$，使用一个新的证明线，涉及分析的徽章的外观。我们还证明了一个“合作”的推广：$t>0$和$n \geq 3$，任何$3n-4+t$集的边缘，工会的每一个$t$，其中包含一个匹配的大小$n$，有彩虹匹配的大小$n$。
2021-02-16 math.CO
Rainbow cycles for families of matchings
本文研究边着色图的彩虹周长，推广了Caccetta-Häggkvist猜想，并证明当色类为大小至少为2的匹配时，$n$个匹配的彩虹周长为$O(\log n)$。
2024-09-24 cs.DM math.CO math.PR
Rainbow matchings of size $m$ in graphs with total color degree at least $2mn$
给定最小色度、正常着色或无三角形主图的彩虹匹配的存在性问题已被广泛研究。本文将这些问题推广到具有给定全着色度的边有色图。特别地，我们发现，如果一个图$G$有全色度$2mn$，并满足一些其他性质，则$G$包含一个匹配的大小$m$ ;这些其他性质包括$G$是三角形自由，$C_4$ -自由，适当着色，或足够大。
2019-07-07 math.CO
Full rainbow matchings in equivalence relations
我们表明，如果一个多重图$G$的最大边重最多$\frac{\sqrt{n}}{\log^2 n}$，是边着色的$n$颜色，使每个颜色类是一个不相交的联盟至少有$2n + o(n)$顶点的集团，那么它有一个完整的彩虹匹配，即匹配的每种颜色出现一次。这渐近地解决了一个问题提出的克莱门斯，Ehrmüller和Pokrovskiy，并涉及到问题代数的集合研究Grinblat在[Grinblat 2002]。
2020-02-20 math.CO
Rainbow matchings in properly-colored hypergraphs
一个超图$H$是适当着色的，如果对于每个顶点$v\in V(H)$，所有关联到$v$的边都有不同的颜色。本文证明了如果$H_{1}$，\cdots，$H_{s}$是$n$顶点上的适当着色的$k$ -一致超图，其中$n\geq3k^{2}s$，和$e(H_{i})>{{n}\choose {k}}-{{n-s+1}\choose {k}}$，则存在大小为$s$的彩虹匹配，包含来自每个$H_i$的一条边.这推广了Erdans匹配猜想的一些结果。
2018-08-15 math.CO
A note on large rainbow matchings in edge-coloured graphs
边着色图中的彩虹子图是指边具有不同颜色的子图。一个图的最小色度是指所有顶点中与一个顶点关联的边上的不同颜色的最小数目。Kostochka，Pfender和Yancey证明了$n$顶点上的每个边着色图，其最小色度至少为$k$，包含大小至少为$k$的彩虹匹配，前提是$n\geq (17/4)k^2$。本文证明了$n\geq 4k-4$对于$k \ge 4$是充分的.
2012-07-09 math.CO
Rainbow matchings for 3-uniform hypergraphs
Kühn，Osthus，Treglown和独立，汗证明，如果$H$是一个$3$ -均匀超图与$n$顶点，使$n\in 3\mathbb{Z}$和大，和$δ_1(H)>{n-1\choose 2}-{2n/3\choose 2}$，那么$H$包含完美匹配。本文证明了对充分大的$n\in 3\mathbb{Z}$，如果$F_1, \ldots, F_{n/3}$是具有公共顶点集的3-一致超图，而$δ_1(F_i)>{n-1\choose 2}-{2n/3\choose 2}$是$i\in [n/3]$的3-一致超图，则$\{F_1,\dots, F_{n/3}\}$允许彩虹匹配，即，由来自每个$F_i$的一个边缘组成的匹配。这是通过将彩虹匹配问题转换为一类特殊的均匀超图中的完美匹配问题来实现的。
2020-04-27 math.CO
Rainbow number of matchings in regular bipartite graphs
给定一个图$G$和$G$的一个子图$H$，设$rb(G,H)$是使$G$的任意边染色都有彩虹子图$H$的最小数$r$。数$rb(G,H)$称为$H$相对于$G$的彩虹数。将$mK_2$表示为$m$和$B_{n,k}$的大小匹配，$k$ -正则二部图，具有二划分$(X,Y)$，使得$|X|=|Y|=n$和$k\leq n$。本文给出了$rb(B_{n,k},mK_2)$的上、下界，并证明了对于给定的$k$和$m$，如果$n$足够大，则$rb(B_{n,k},mK_2)$可以达到下界.我们还确定了路径和循环中匹配的彩虹数。
2007-11-19 math.CO
Rainbow matchings and partial transversals of Latin squares
本文考虑了边着色图，即两条边不能有一个端点，所以每一个颜色类都是一个匹配。如果匹配的边具有不同的颜色，则称为\it彩虹\rm。图的最小度记为$δ(G)$。我们证明了具有$|V(G)|\ge 4δ(G)-3$的适当边着色图$G$具有大小为$δ(G)$的彩虹匹配，这对Wang最近提出的一个问题给出了最好的估计.由于显然至少需要$2δ(G)$顶点来保证大小为$δ(G)$的彩虹匹配，我们研究当$|V(G)|\ge 2δ(G)$。我们证明了任何具有$|V(G)|\ge 2δ$的正确边着色图$G$都包含大小至少为$δ- 2δ(G)^{2/3}$的彩虹匹配。这个结果扩展了（具有较弱的误差项）众所周知的结果，即完全二分图$K_{n,n}$的因子分解具有大小为$n-o(n)$的彩虹匹配，或者等价地，每个拉丁方的顺序$n$具有大小为$n-o(n)$的部分横截（Ryser - Brualdi猜想的渐近版本）。在这个方向上，我们还表明，每一个拉丁方的顺序$n$有一个{ \em无圈部分断面}的大小为$n-o(n)$。
2012-08-28 math.CO
Rainbow perfect matchings for 4-uniform hypergraphs
设$n$是一个足够大的整数，其中$n\equiv 0\pmod 4$和$F_i \subseteq{[n]\choose 4}$，其中$i\in [n/4]$。我们证明了如果$F_i$的每个顶点包含在多于${n-1\choose 3}-{3n/4\choose 3}$的边中，则$\{F_1, \ldots ,F_{n/4}\}$允许彩虹匹配，即，由每个$F_i$的一条边组成的一组$n/4$边。这推广了Khan关于4-一致超图中完美匹配的一个深入结果。
2021-05-18 math.CO
Cooperative conditions for the existence of rainbow matchings
设$k>1$和$\mathcal{F}$是二部图中的一类$2n+k-3$非空边集.如果$\mathcal{F}$的每个$k$成员的并集包含大小为$n$的匹配，则存在大小为$n$的$\mathcal{F}$彩虹匹配。用$2n+k-2$代替$2n+k-3$，这个结果对$k=1$也是成立的，并且可以用拓扑和一个相对简单的组合论证来证明（对所有$k$）。主要的努力是获得最后一个$1$，这使得结果尖锐。
2021-12-28 math.CO
Bounded degree graphs and hypergraphs with no full rainbow matchings
Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo（滑铁卢大学组合优化系）；Institute of Discrete Mathematics, Graz University of Technology（格拉茨工业大学离散数学研究所）
本文通过构造特定边染色的多超图，证明了全彩虹匹配定理的最优性，并推翻了相关猜想，同时展示了颜色度推广的Galvin定理不成立。
2025-12-18 math.CO
Full rainbow matchings in graphs and hypergraphs
设$G$是一个单图，它的边用$m$颜色着色，$\M=\{M_1,\ldots, M_m\}$是由$G$中的颜色诱导的$m$匹配的集合。假设$m\le n-n^{c}$（其中$c>9/10$）和$\M$中的每个匹配的大小为$n$。则$G$包含完整的彩虹匹配，即\对于每个$1\le i\le m$，包含来自$M_i$的恰好一个边缘的匹配。这回答了Pokrovskiy的一个公开问题，并对Aharoni和Berger猜想的特殊情况的概括给出了肯定的回答。相关的结果也被发现与边的有界重，超图。最后，我们提供了反例的几个完整的彩虹匹配Aharoni和Berger。
2018-06-22 math.CO
Complete Solution for the Rainbow Numbers of Matchings
对于给定的图$H$和$n\geq 1$，令$f(n,H)$表示最大数目$c$，对于该最大数目，有一种方法用$c$颜色对完全图$K_n$的边进行着色，使得$K_n$的每个子图$H$具有至少两个相同颜色的边。等价地，具有至少$rb(n,H)=f(n,H)+1$颜色的$K_n$的任何边着色包含$H$的彩虹副本，其中边着色图的彩虹子图使得其没有两个边具有相同的颜色。数字$rb(n,H)$被称为{ \it彩虹数的$H$ }。埃尔德什、西蒙诺维奇和索斯证明了$rb(n,K_3)=n$。在2004年，Schiermeyer使用一些计数技术，确定了$k\geq 2$和$n\geq 3k+3$的彩虹数$rb(n,kK_2)$。很容易看出，$n$必须至少是$2k$。因此，对于$2k \leq n<3k+3$，彩虹数仍然没有确定。本文利用匹配的Gallai-Edmonds结构定理，对所有的$k\geq 2$和$n\geq 2k$，确定彩虹数$rb(n,kK_2)$的精确值，给出匹配彩虹数的完整解.
2006-11-16 math.CO
Proof of Grinblat's conjecture on rainbow matchings in multigraphs
组合数学中许多著名的问题都可以归结为在某个边色重图中寻找一个大的彩虹结构。两个著名的例子，这是林格尔的树包装猜想和莱瑟的猜想横在拉丁方。在本文中，我们回答了格林布拉特20年前提出的一个问题。设一个$(n,v)$ -重图是一个$n$ -边着色重图，其中每种颜色的边跨越一个非平凡团的不交并，这些团总共至少有$v$顶点. Grinblat指出，对于所有$n \geq 4$，每个$(n,3n-2)$ -多重图都包含大小为$n$的彩虹匹配。在这里，我们证明了所有足够大的$n$的猜想。
2021-10-04 math.CO
Co-degree threshold for rainbow perfect matchings in uniform hypergraphs
令$k$和$n$是两个整数，其中$k\geq 3$、$n\equiv 0\pmod k$和$n$足够大。我们确定了$n$ -顶点$k$ -一致超图中彩虹完美匹配存在的$(k-1)$ -度阈值.这意味着Rödl，Ruciski和Szemerédi关于$n$ -顶点$k$ -一致超图中完美匹配存在的$(k-1)$ -度阈值的结果。在我们的证明中，我们确定了封闭性的极值配置，并考虑超图是否接近极值配置。此外，我们还发展了一种新的吸收装置，并推广了Rödl，Rucibrski和Szemerédi的吸收引理。
2021-10-31 math.CO
Rainbow Matchings and Hamilton Cycles in Random Graphs
设$HP_{n,m,k}$是从所有$k$ -均匀的$k$ -部超图中均匀地画出的，其中每个部分的划分是$[n]$的不相交副本.我们让$HP^{(\k)}_{n,m,k}$是一个边缘着色版本，其中我们从$\k$颜色之一中随机为每个边缘着色。我们表明，如果$\k=n$和$m=Kn\log n$，其中$K$是足够大的，然后w. h. p.有彩虹色的完美匹配。也就是说，完美的匹配，其中每个边缘都有不同的颜色。我们还证明了，如果$n$是偶数，且$m=Kn\log n$中$K$足够大，则在$G^{(n)}_{n,m}$中存在彩虹色Hamilton圈.这里，$G^{(n)}_{n,m}$表示具有$n$颜色的$G_{n,m}$的随机边缘着色。当$n$是奇数时，我们的证明需要$m=\om(n\log n)$才有彩虹Hamilton圈。
2014-01-28 math.CO
On the rainbow matching conjecture for 3-uniform hypergraphs
Aharoni和Howard，以及Huang、Loh和Sudakov分别提出了Erdabos匹配猜想的彩虹版本：对于正整数$n,k,m$和$n\ge km$，如果每个$F_1,\ldots, F_m\subseteq {[n]\choose k}$族的大小都大于$\max\{\binom{n}{k} - \binom{n-m+1}{k}, \binom{km-1}{k}\}$，则存在两两不相交的子集$e_1,\dots, e_m$，使得对于所有$i\in [m]$都有$e_i\in F_i$。我们证明了存在一个绝对常数$n_0$，使得这个彩虹版本对$k=3$和$n\geq n_0$成立。我们将彩虹匹配问题转化为一个特殊超图$H$上的匹配问题。然后，我们结合了几个现有的技术匹配均匀超图：找到一个吸收匹配$M$在$H$ ;使用阿隆等人的随机化过程。找到一个几乎正则子图的$H-V(M)$ ;并找到一个几乎完美的匹配在$H-V(M)$。为了完成这个过程，我们还需要证明一个关于3-一致超图中匹配的新结果，这个结果可以被看作是Jumuczak和Mieczkowska的结果的稳定性版本，并且可能是独立的。
2021-09-29 math.CO
Rainbow fractional matchings
我们证明了在$r$ -均匀超图中，任何一个具有$n$大小的分数匹配的边集合的族$E_1, \ldots , E_{\lceil rn \rceil}$（不一定是不同的）都具有$n$大小的彩虹分数匹配（即，来自不同的$E_i$的支持这种分数匹配的边集合）.当超图是$r$ -partite且$n$是整数时，所需的集合数从$rn$降到$rn-r+1$ .这里解决的问题是一个分数版本的相应问题的彩虹匹配，这是解决了由Drisko和Aharoni和Berger的情况下，二部图，但开放的一般图以及$r$ -部超图与$r>2$。我们的拓扑证明是基于Kalai和Meshulam关于同一顶点集上的单纯复形和拟阵的一个结果。
2019-05-06 math.CO
Exact rainbow numbers for matchings in plane triangulations
给定两个图$G$和$H$，用于$H$的关于$G$的{ \it彩虹数} $rb(G,H)$被定义为最小数$k$，使得$G$的任何$k$ -边着色包含彩虹$H$，即，一个$H$的副本，它的所有边缘都有不同的颜色。分别用$M_t$表示尺寸匹配$t$和$\mathcal {T}_n$表示所有$n$阶平面三角剖分的类。Jendrol '，Schiermeyer和Tu首先研究了平面三角剖分中匹配的彩虹数，并证明了$rb({\mathcal {T}_n},M_t)$值的一些界. Chen，Lan和Song证明了$2n+3t-14 \le rb(\mathcal {T}_n, M_t)\le 2n+4t-13$对所有的$n\ge 3t-6$和$t \ge 6$都成立.在本文中，我们确定了大$n$的$rb({\mathcal {T}_n},M_t)$的精确值，即所有$n \ge 9t+3$和$t\ge 7$的$rb({\mathcal {T}_n},M_t)=2n+3t-14$。
2019-03-02 math.CO
Bipartite Rainbow Numbers of Matchings
给定两个图$G$和$H$，令$f(G,H)$表示最大数目$c$，对于该最大数目，有一种方法用$c$颜色对$G$的边着色，使得$G$的每个子图$H$至少有两个相同颜色的边。等价地，具有至少$rb(G,H)=f(G,H)+1$颜色的$G$的任何边着色包含$H$的彩虹副本，其中边着色图的彩虹子图使得其没有两个边具有相同的颜色。数$rb(G,H)$称为{$H$关于$G$的\it彩虹数}，如果$G$是完全二部图$K_{m,n}$，则简称为{ \it二部彩虹数}。埃尔德什、西蒙诺维奇和索斯证明了$rb(K_n,K_3)=n$。2004年，Schiermeyer确定了所有$n\geq k\geq 4$的彩虹数$rb(K_n,K_k)$，以及所有$k\geq 2$和$n\geq 3k+3$的彩虹数$rb(K_n,kK_2)$。在本文中，我们将确定彩虹数$rb(K_{m,n},kK_2)$的所有$k\geq 1$。
2006-10-30 math.CO
Rainbow perfect matchings and Hamilton cycles in the random geometric graph
给定一个在$n$顶点上的图和一个给边的颜色分配，彩虹汉密尔顿圈是一个长度为$n$的圈，它访问每个顶点一次，并且在边上有成对不同的颜色。类似地（对于偶数$n$），彩虹完美匹配是具有成对不同颜色的$n/2$独立边的集合。在这篇笔记中，我们证明，如果我们用足够多的颜色随机地给随机几何图的边着色，那么a.a.s.图包含彩虹完美匹配（彩虹哈密尔顿循环）当且仅当最小度至少为$1$（分别地，至少为$2$）。更准确地说，考虑对于任何固定的$d\ge2$，从单位$d$维立方体中独立且均匀地随机选择的$n$点（即顶点）。在这些$n$顶点上形成一个图序列，方法是在每个可能的顶点对之间逐个添加边。边以长度的递增顺序添加（对于任何固定的$1<p\le\infty$，相对于$\ell_p$范数测量）。每次添加新的边缘时，它接收从一组$\lceil Kn\rceil$颜色中随机且重复地均匀选择的随机颜色，其中$K=K(d)$是足够大的固定常数。那就尽快序列中最小度至少为$1$的第一个图必须包含彩虹完美匹配（对于偶数$n$），并且最小度至少为$2$的第一个图必须包含彩虹Hamilton圈。
2016-02-16 math.CO
Decompositions into spanning rainbow structures
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的研究可以追溯到200多年前欧拉关于拉丁方的工作，并一直是广泛研究的焦点。欧拉提出了一个问题，相当于找到正确的$n$ -边着色完全二部图$K_{n,n}$，可以分解成彩虹完美匹配。虽然有适当的边着色的$K_{n,n}$，甚至没有一个单一的彩虹完美匹配，本文的主题是表明，与一些非常弱的额外的限制，可以找到许多不相交的彩虹完美匹配。特别是，我们证明，如果一些分数的颜色类有最多$(1-o(1)) n$边缘，然后可以近分解的边缘$K_{n,n}$到边缘不相交完美的彩虹匹配。作为这一点的应用，我们建立了一个非常强的形式的猜想Akbari和Alipour和渐近证明了一个猜想Barat和Nagy。这两个图都涉及具有二次多色的$K_{n,n}$的边着色中的彩虹完美匹配。使用我们的技术，我们也证明了一些结果的近分解图成其他彩虹结构，如哈密顿圈和生成树。最值得注意的是，我们证明了任何适当着色的完全图都可以近似分解成生成彩虹树。这渐近地证明了Brualdi-Hollingsworth和Kaneko-Kano-Suzuki定理，它们预测在相同的假设下应该存在完美的分解。
2018-12-10 math.CO
Rainbow matchings in edge-colored graphs
本文研究一般边着色图中在边数与颜色数之和条件下大小为 k 的彩虹匹配的存在性，并证明所用条件是紧的。
2025-11-06 math.CO
Spectral radius and rainbow matchings of graphs
令$n,m$为整数，使得$1\leq m\leq (n-2)/2$，令$[n]=\{1,\ldots,n\}$。设$\mathcal{G}=\{G_1,\ldots,G_{m+1}\}$是同一顶点集$[n]$上的图族.本文证明了：如果对任何$i\in [m+1]$，$G_i$的谱半径不小于$\max\{2m,\frac{1}{2}(m-1+\sqrt{(m-1)^2+4m(n-m)})\}$，则$\mathcal{G}$允许彩虹匹配，即不相交边$e_i\in G_i$的选择，除非$G_1=G_2=\ldots=G_{m+1}$和$G_1\in \{K_{2m+1}\cup (n-2m-1)K_1, K_m\vee (n-m)K_1\}$ .
2022-05-07 math.CO
Improved bounds for rainbow numbers of matchings in plane triangulations
给定两个图$G$和$H$，用于$H$的关于$G$的{ \it彩虹数} $rb(G,H)$被定义为最小数$k$，使得$G$的任何$k$ -边着色包含彩虹$H$，即，$H$的副本，其所有边缘具有不同的颜色。用$kK_2$表示尺寸为$k$的匹配，用$\mathcal {T}_n$表示所有$n$阶平面三角剖分的类。在[S.延德罗尔·$'$岛Schiermeyer和J. Tu，Rainbow numbers for matching in plane triangulations，Discrete Math.331（2014），158- 164]，作者确定了$2\leq k \le 4$的$rb(\mathcal {T}_n, kK_2)$的精确值，并证明了$2n+2k-9 \le rb(\mathcal {T}_n, kK_2) \le 2n+2k-7+2\binom{2k-2}{3}$对于$k \ge 5$。在本文中，我们改进了上界，并证明了$rb(\mathcal {T}_n, kK_2)\le 2n+6k-16$为$n \ge 2k$和$k\ge 5$。特别地，我们证明了$rb(\mathcal {T}_n, 5K_2)=2n+1$对于$n \ge 11$。
2018-09-26 math.CO
Rainbow version of the Erd\H os Matching Conjecture via Concentration
我们说$[n]$的$k$元素子集的家族$\mathcal F_1,\ldots, \mathcal F_{s+1}$是交叉依赖的，如果没有成对不相交的集合$F_1,\ldots, F_{s+1}$，其中$F_i\in \mathcal F_i$对于每个$i$。彩虹版本的Erd \H os匹配猜想由于Aharoni和霍华德和独立的黄，Loh和Sudakov国家，$\min_{i} |\mathcal F_i|\le \max\big\{{n\choose k}-{n-s\choose k}, {(s+1)k-1\choose k}\big\}$为$n\ge (s+1)k$。本文对$n>3e(s+1)k$和$s>10^7$证明了这个猜想。证明的主要工具之一是Frankl和作者提出的一个浓度不等式。
2022-05-12 math.CO
Satisfying sequences for rainbow partite matchings
Moscow Institute of Physics and Technology, St. Petersburg State University, Innopolis University, Russia（莫斯科物理技术学院，圣彼得堡国立大学，因诺波利斯大学）；Weizmann Institute of Science, Rehovot, Israel（魏茨曼科学研究所）
本文研究集族在何种非对称大小条件下必含彩虹匹配，证明多种情形下的满足序列并回答了 Kiselev 与 Kupavskii 的公开问题。
2026-11-03 cs.DM math.CO
An Extremal Problem on Rainbow Spanning Trees in Graphs
如果边有色图的每条边都具有不同的颜色，则它的生成树是彩虹图。本文考虑图$G$中彩虹生成树个数的最大化和最小化的自然极值问题。这样的问题显然需要对着色进行限制才有意义。对于边着色使用$n-1$颜色和没有彩虹周期，在文献中称为JL着色，原来是一个特别好的方式计数的彩虹生成树，我们完全解决了这个问题的JL着色完全图$K_n$和完全二部图$K_{n,m}$。在这两种情况下，我们发现严格的上限和下界，特别是$K_n$的下界，证明有一个意想不到的混乱和有趣的行为。我们进一步研究了这个问题的一般图的JL-着色，并证明了几个结果，包括表征图的JL-着色实现最低可能的彩虹生成树的数量。我们建立其他结果一般$n-1$着色，包括提供一个类似的基尔霍夫的矩阵树定理，产生一种方式计数彩虹生成树在一般的图形$G$。
2020-08-06 math.CO
Short proofs of rainbow matching results
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的研究可以追溯到欧拉关于拉丁方的工作，并一直是广泛研究的焦点。这方面的许多著作大致说，“某种类型的每一个边着色图都包含一个使用每一种颜色匹配的彩虹”。在本文中，我们介绍了一个通用的“抽样技巧”，它使我们能够获得简短的证明旧的结果，以及解决渐近一些众所周知的programmures。- 我们给出了Pokrovskiy的渐近版本的Aharoni-Berger猜想的一个简单的证明，大大改善了误差项。- 我们给出了“非二分”Aharoni-Berger猜想的第一个渐近证明，解决了Aharoni，Berger，Chudnovsky和Zerbib的两个猜想。- 我们给一个很短的渐近证明格林布拉特猜想（首先获得克莱门斯，Eschermüller，和Pokrovskiy）。此外，我们还得到了Grinblat问题的一个新的渐近紧界作为相应的重图的边重数的函数。- 我们给第一个渐近证明的一个30岁的猜想Alspach。
2021-09-02 math.CO
A better bound on the size of rainbow matchings
Aharoni和Howard证明了，对于正整数$n,k,t$与$n\ge k$和$n\ge t$，如果$F_1,\ldots, F_t\subseteq {[n]\choose k}$使得$|F_i|>{n\choose k}-{n-t+1\choose k}$对于$i\in [t]$，则存在$e_i\in F_i$对于$i\in [t]$使得$e_1,\ldots,e_t$是成对不相交的。Huang、Loh和Sudakov为$t<n/(3k^2)$证明了这个猜想。在本文中，我们证明了这个猜想成立的$t\le n/(2k)$和$n$足够大。
2021-02-19 math.CO
Minimum $\ell$-degree thresholds for rainbow perfect matching in $k$-uniform hypergraphs
该研究针对$k$-一致超图中的彩虹完美匹配存在性问题，确定了当$n$足够大且$\boldsymbol{\text{ℓ}} \boldsymbol{\text{≥}} k/2$时，保证其存在的最小$\boldsymbol{\text{ℓ}}$-度阈值条件。
2023-06-16 math.CO
Fractionally balanced hypergraphs and rainbow KKM theorems
一个d-部超图称为分数平衡的，如果在它的边集上存在一个非负的，不全为零的函数，并且在每个顶点边都有常数度。使用拓扑版本的霍尔定理，我们证明了下界的匹配数，这样的超图。这些界限产生彩虹版本的KKM定理的产品的单纯形，这反过来又被用来获得一些结果的多蛋糕司，和彩虹匹配家庭的d-区间。
2022-08-14 math.CO
Dirac-type Problem of Rainbow matchings and Hamilton cycles in Random Graphs
本文研究随机图族中的彩虹 Hamilton 圈与完美匹配，证明在独立 $G(n,p)$ 样本中，各子图最小度超过 Dirac 阈值时以高概率保证相应彩虹结构存在。
2024-10-29 math.CO
On $k$-rainbow domination in middle graphs
设$G$是一个有限简单图，其顶点集为$V(G)$，边集为$E(G)$ .一个函数$f : V(G) \rightarrow \mathcal{P}(\{1, 2, \dotsc, k\})$是$G$上的一个\textit{$k$-rainbow dominating function}，如果对于$f(v)= \emptyset$所针对的每个顶点$v \in V(G)$，它保持$\bigcup_{u \in N(v)}f(u) = \{1, 2, \dotsc, k\}$。$k$ -彩虹支配函数的权重是值$\sum_{v \in V(G)}|f(v)|$。\textit{$k$-rainbow domination number} $γ_{rk}(G)$是$G$上的$k$ -彩虹支配函数的最小权重。本文首次研究了中间图的$k$ -彩虹控制数.定义了中间$k$ -彩虹控制函数的概念，得到了与之相关的一些界，并确定了几类图的中间$3$ -彩虹控制数。我们还提供了上，下界的中间$3$ -彩虹控制数的树的匹配数。此外，我们还确定了路和圈的中间图的$3$ -彩虹拓扑数。
2020-11-17 cs.DM math.CO
On stability of rainbow matchings
Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文研究了彩虹匹配的稳定性问题，证明了在特定条件下，要么存在大小为t+1的彩虹匹配，要么存在覆盖所有F_i的顶点集，扩展了经典Hilton-Milner定理。
2023-02-13 math.CO
Rainbow Turán problems for a matching and any other graph
本文研究了n个顶点上的彩虹{F,M_{s+1}}-自由图集，探讨其中各图边数的最小值、总和与乘积的最大值，属于彩虹Turán问题的拓展研究。
2025-05-20 math.CO
Large rainbow matchings in edge-colored graphs
University College London (UCL)（伦敦大学学院）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
通过放宽颜色数量、正常着色条件和图类型，证明了在边着色图中存在大彩虹匹配的充分条件，并构造反例反驳了Aharoni和Berger的猜想。
2026-05-27 math.CO
Extremal Problem for Matchings and Rainbow Matchings on Direct Products
令$n_1,\dots,n_\ell,k_1,\dots,k_\ell$为整数，令$V_1,\dots,V_\ell$为$i=1,\dots,\ell$的与$|V_i|=n_i$不相交的集合。将$\sqcup_{i=1}^\ell \binom{V_i}{k_i}$定义为$\cup_{i=1}^\ell V_i$的所有子集$F$与每个$i=1,\dots,\ell$的$|F\cap V_i| =k_i$的集合。本文证明了：对于所有的$i$，若$\mathcal{F}\subseteq \sqcup_{i=1}^\ell \binom{V_i}{k_i}$的匹配数至多为$s$和$n_i\geq 4\ell^2 k_i^2s$，则$|\mathcal{F}| \leq \max_{1\leq i\leq \ell}[\binom{n_i}{k_i}-\binom{n_i-s}{k_i}]\prod_{j\neq i}\binom{n_j}{k_j}$ .设$\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\dots,\mathcal{F}_s\subseteq\sqcup_{i=1}^\ell \binom{V_i}{k_i}$与$n_i\geq 8\ell^2k_i^2s$对所有$i$。我们还证明了如果$\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\dots,\m…
2021-11-08 math.CO
