Rainbow perfect matchings for 4-uniform hypergraphs
设$n$是一个足够大的整数，其中$n\equiv 0\pmod 4$和$F_i \subseteq{[n]\choose 4}$，其中$i\in [n/4]$。我们证明了如果$F_i$的每个顶点包含在多于${n-1\choose 3}-{3n/4\choose 3}$的边中，则$\{F_1, \ldots ,F_{n/4}\}$允许彩虹匹配，即，由每个$F_i$的一条边组成的一组$n/4$边。这推广了Khan关于4-一致超图中完美匹配的一个深入结果。
2021-05-18 math.CO
Rainbow matchings for 3-uniform hypergraphs
Kühn，Osthus，Treglown和独立，汗证明，如果$H$是一个$3$ -均匀超图与$n$顶点，使$n\in 3\mathbb{Z}$和大，和$δ_1(H)>{n-1\choose 2}-{2n/3\choose 2}$，那么$H$包含完美匹配。本文证明了对充分大的$n\in 3\mathbb{Z}$，如果$F_1, \ldots, F_{n/3}$是具有公共顶点集的3-一致超图，而$δ_1(F_i)>{n-1\choose 2}-{2n/3\choose 2}$是$i\in [n/3]$的3-一致超图，则$\{F_1,\dots, F_{n/3}\}$允许彩虹匹配，即，由来自每个$F_i$的一个边缘组成的匹配。这是通过将彩虹匹配问题转换为一类特殊的均匀超图中的完美匹配问题来实现的。
2020-04-27 math.CO
A rainbow Dirac theorem for loose Hamilton cycles in hypergraphs
University of Birmingham（伯明翰大学）；Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
该研究证明了在满足特定度数阈值的k-均匀超图中，任何全局有界的着色都包含一个彩虹松散哈密顿回路。
2026-02-09 math.CO
Bounded degree graphs and hypergraphs with no full rainbow matchings
Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo（滑铁卢大学组合优化系）；Institute of Discrete Mathematics, Graz University of Technology（格拉茨工业大学离散数学研究所）
本文通过构造特定边染色的多超图，证明了全彩虹匹配定理的最优性，并推翻了相关猜想，同时展示了颜色度推广的Galvin定理不成立。
2025-12-18 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in random graphs and hypergraphs
设$H$是边着色超图。我们说$H$包含一个超图$S$的\emph{rainbow}副本，如果它包含一个$S$的同构副本，并且所有边都是不同的颜色。我们考虑以下设置。通过将$[n]$的每个$k$ -子集以概率$p$相加，并从$[c]$中均匀、独立地随机分配一种颜色，得到一个随机边着色的随机超图$H\sim \mathcal H_c^k(n,p)$.作为第一个结果，我们表明，一个典型的$H\sim \mathcal H^2_c(n,p)$（即，一个随机边着色图）包含一个彩虹Hamilton圈，如果$c=(1+o(1))n$和$p=\frac{\log n+\log\log n+ω(1)}{n}$。这是渐近最好的可能的两个参数，并改善了弗里兹和Loh的结果。其次，基于McDiarmid的一个巧妙的耦合思想，我们提供了一个通用的工具，用于解决与在随机图/超图中找到“漂亮的边着色”结构有关的问题。我们通过两个有趣的应用来说明这种说法的普遍性。在一个应用程序中，我们表明，一个典型的$H\sim \mathcal H^k_c(n,p)$包含一个超图$S$的彩虹副本，只要$c=(1+o(1))|E(S)|$和$p$是（乘法常数）的$S$的副本包含的属性的阈值函数。在第二个应用中，我们证明了一个典型的$G\sim \mathcal H_{c}^2(n,p)$包含$(1-o(1))np/2$边不相交的…
2015-06-09 math.CO
Full rainbow matchings in graphs and hypergraphs
设$G$是一个单图，它的边用$m$颜色着色，$\M=\{M_1,\ldots, M_m\}$是由$G$中的颜色诱导的$m$匹配的集合。假设$m\le n-n^{c}$（其中$c>9/10$）和$\M$中的每个匹配的大小为$n$。则$G$包含完整的彩虹匹配，即\对于每个$1\le i\le m$，包含来自$M_i$的恰好一个边缘的匹配。这回答了Pokrovskiy的一个公开问题，并对Aharoni和Berger猜想的特殊情况的概括给出了肯定的回答。相关的结果也被发现与边的有界重，超图。最后，我们提供了反例的几个完整的彩虹匹配Aharoni和Berger。
2018-06-22 math.CO
On rainbow-free colourings of uniform hypergraphs
我们研究了$k$ -均匀超图的无彩虹着色，即，着色使用$k$颜色，但没有超边达到所有颜色的属性。证明了$p^*=(k-1)(\ln n)/n$是随机$k$ -均匀超图中存在彩虹色的门限函数。
2021-06-13 cs.DM math.CO
Non-monochromatic non-rainbow colourings of $σ$-hypergraphs
其中最有趣的新发展超图着色在这些过去几年一直是Voloshin的概念着色的混合超图。在本文中，我们将研究一个具体的例子Voloshin的想法：一个非单色非彩虹（NMNR）着色的超图是一个着色的顶点，使每一个边缘有至少两个顶点着色不同的颜色（非单色），并没有边的所有顶点着色不同的颜色（非彩虹）。也许此类着色中最有趣的现象是超图在其NMNR色谱中可能存在间隙，也就是说，对于某些$k_1 < k_2 < k_3$，超图是NMNR，可以用$k_1$和$k_3$颜色着色，但不能用$k_2$颜色着色。超图的NMNR着色的几个漂亮的例子已经被构造出来，它们表现出在经典着色中看不到的现象。这些示例中的许多示例或者是\emph{ad hoc}，或者是基于设计。后者很难构造，它们通常只对低$r$值给出统一的$r$ -超图，通常是$r=3$。本文研究一类$r$ -一致超图的NMNR染色，我们称之为$σ$ -超图.这些$σ$ -超图的吸引人的特点是，它们很容易定义，甚至对于大的$r$，并且，通过适当的修改它们的参数，它们可以给出超图族，这些超图族保证具有带间隙的NMNR谱或不带间隙的NMNR谱。这些$σ$ -超图也很好地与Bujt{á}s和Tuza最近引入的色界超图的概念合作，以进一步控制间隙的出现，并可能更好地解释混合超图着色中间隙的存在。
2013-07-25 math.CO
On the rainbow matching conjecture for 3-uniform hypergraphs
Aharoni和Howard，以及Huang、Loh和Sudakov分别提出了Erdabos匹配猜想的彩虹版本：对于正整数$n,k,m$和$n\ge km$，如果每个$F_1,\ldots, F_m\subseteq {[n]\choose k}$族的大小都大于$\max\{\binom{n}{k} - \binom{n-m+1}{k}, \binom{km-1}{k}\}$，则存在两两不相交的子集$e_1,\dots, e_m$，使得对于所有$i\in [m]$都有$e_i\in F_i$。我们证明了存在一个绝对常数$n_0$，使得这个彩虹版本对$k=3$和$n\geq n_0$成立。我们将彩虹匹配问题转化为一个特殊超图$H$上的匹配问题。然后，我们结合了几个现有的技术匹配均匀超图：找到一个吸收匹配$M$在$H$ ;使用阿隆等人的随机化过程。找到一个几乎正则子图的$H-V(M)$ ;并找到一个几乎完美的匹配在$H-V(M)$。为了完成这个过程，我们还需要证明一个关于3-一致超图中匹配的新结果，这个结果可以被看作是Jumuczak和Mieczkowska的结果的稳定性版本，并且可能是独立的。
2021-09-29 math.CO
On Rainbow Hamilton Cycles in Random Hypergraphs
设$H_{n,p,r}^{(k)}$表示一个随机着色的随机超图，它是在顶点集$[n]$上以概率$p$独立地取每个$k$元组，然后用集合$[r]$中的一种随机颜色独立地对它着色而构造的.设$H$是$n$阶的$k$ -一致超图.一个$\ell$-Hamilton圈是$H$的一个生成子超图$C$，它具有$n/(k-\ell)$边，并且使得对于某些顶点的循环序，$C$的每条边由$k$连续顶点组成，并且$C$中的每对相邻边精确地相交于$\ell$顶点.本文研究了$H_{n,p,r}^{(k)}$中彩虹$\ell$-Hamilton圈的存在性（即每条边接收不同的颜色）.我们主要关注当$r = n/(k-\ell)$。特别是，我们表明，对于所谓的紧汉密尔顿周期（$\ell=k-1$）$p = e^2/n$是一个彩虹紧汉密尔顿周期的存在$H_{n,p,n}^{(k)}$为每个$k\ge 4$的尖锐的阈值。
2018-06-11 math.CO
Rainbow matchings in $k$-partite hypergraphs
本文证明了Aharoni和Howard关于$\{1,\ldots, n\}^k$中元组的充分大族$\mathcal F_1,\ldots, \mathcal F_s$中存在彩虹（横截）匹配的猜想，条件是$s\ge 470.$
2020-05-23 cs.DM math.CO
The rainbow Erdős-Rothschild problem for the Fano plane
Fano平面是唯一的关于七个顶点和七个超边的线性3-一致超图。最近证明了，对于所有的$n \geq 8$，平衡完全二部3-一致$n$超图（记为$B_n$）是不包含Fano平面副本的具有最大超边数的3-一致$n$超图.对于足够大的$r$和$n$，我们表明，$B_n$承认的最大数量的$r$边着色没有彩虹副本的Fano平面。
2020-05-30 math.CO
On the existence of a rainbow 1-factor in proper coloring of K_{rn}^{(r)}
El-Zanati等人证明了：对于完全一致超图$\mathcal {G}=K_{rn}^{(r)}$的任意1-因子分解$\mathcal{F}$，若其具有$r\geq 2$和$n\geq 3$，则存在彩虹1-因子.我们推广了他们的结果，证明了在完全一致超图$\mathcal {G}=K_{rn}^{(r)}$的任何带有$r\geq 2$和$n\geq 3$的适当染色中，都存在彩虹1-因子。
2007-11-19 math.CO
How many colors guarantee a rainbow matching?
给定多重超图的边的着色，彩虹t-匹配是t个不相交的边的集合，每个边具有不同的颜色。本文研究了在边着色为f色的r-部r-一致多重超图中寻找彩虹$t$ -匹配的问题，使得每个色类都是一个大小为t的匹配.这个问题是由Aharoni和Berger提出的，他们要求确定保证彩虹匹配的最小颜色数量。我们改进了已知的上界为这个问题的所有值的参数。特别地，对于每个固定的r，我们给出了一个关于t的多项式的上界，改进了Alon的超指数估计.我们的证明也适用于不要求超图是r-部的情况。
2012-11-05 math.CO
Rainbow Berge Hamiltonicity in edge-colored random $k$-uniform hypergraphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）；School of Mathematics and Statistics, Fuzhou University（福州大学数学与统计学院）
该研究将边染色随机图的彩虹哈密顿Berge圈结果推广到k≥3的随机k均匀超图，确定了对应的c和p阈值，且该阈值渐近紧。
2026-09-28 math.CO
Hypergraph extensions of the Alon--Frankl Theorem and rainbow Turán problems
Tsinghua University（清华大学）；Shanghai University（上海大学）
本文研究超图中不含特定匹配和扩张 clique 的最大边数，并引入彩虹超 Turán 数的概念，扩展了原有结论。
2026-05-12 math.CO
Local rainbow colorings of hypergraphs
本文将彩虹着色推广到超图，定义局部彩虹着色数，给出一般上界、常数界情形及若干上下界结果。
2025-05-11 math.CO
Rainbow Hamilton cycle in hypergraph system
本文提出了一个新的彩虹Hamilton框架，解决了Gupta，Hamann，Müyesser，Parczyk和Sgueglia在$k=3$时提出的问题，并对任何$k\geq3$得出了如下一般结论.一个$k$ -图系统$\textbf{H}=\{H_i\}_{i\in[n]}$是在同一个$n$ -顶点集$V$上的一族不一定不同的$k$ -图，而且，如果$E(H)\subseteq \bigcup_{i\in[n]}E(H_i)$和$i\in[n]$的$|E(H)\cap E(H_i)|\leq1$是$V$上的一个$k$ -图$H$是彩虹图.我们证明了给定$γ> 0$，充分大的$n$和一个$n$ -顶点$k$ -图系统$\textbf{H}=\{H_i\}_{i\in[n]}$，如果$δ_{k-2}(H_i)\geq(5/9+γ)\binom{n}{2}$对于$i\in[n]$，其中$k\geq3$，则存在彩虹紧Hamilton圈.这一结果在单图中蕴含了Lang和Sanhueza-Matamala [ $J. Lond. Math. Soc., 2022$ ]，Polcyn，Reiher，Rödl和Schülke [ $J. Combin. Theory \ Ser. B, 2021$ ]独立证明的结论.
2023-01-31 math.CO
Rainbow fractional matchings
我们证明了在$r$ -均匀超图中，任何一个具有$n$大小的分数匹配的边集合的族$E_1, \ldots , E_{\lceil rn \rceil}$（不一定是不同的）都具有$n$大小的彩虹分数匹配（即，来自不同的$E_i$的支持这种分数匹配的边集合）.当超图是$r$ -partite且$n$是整数时，所需的集合数从$rn$降到$rn-r+1$ .这里解决的问题是一个分数版本的相应问题的彩虹匹配，这是解决了由Drisko和Aharoni和Berger的情况下，二部图，但开放的一般图以及$r$ -部超图与$r>2$。我们的拓扑证明是基于Kalai和Meshulam关于同一顶点集上的单纯复形和拟阵的一个结果。
2019-05-06 math.CO
Sharp bounds for rainbow matchings in hypergraphs
研究超图中寻找大小为 $t$ 的彩虹匹配所需匹配数 $N$ 的下界问题，证明对于固定均匀度 $r \ge 3$，$N$ 的量级为 $t^r$，并在 $r$-部超图中得出类似结论，解决了 Alon 等人的问题。
2024-10-11 math.CO
Edge-colored 3-uniform hypergraphs without rainbow paths of length 3 and applications to Ramsey theory
School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University（陕西师范大学数学与统计学院）
该研究刻画了完全3-均匀超图中不含三类长度为3的彩虹路径的边着色结构，推广了图论中的相关结果，并据此得到约束拉姆齐数、反拉姆齐数的若干结论，推广并改进了已有研究成果。
2026-09-01 math.CO
Bounded colorings of multipartite graphs and hypergraphs
设$c$是完全$n$ -顶点图$K_n$的边染色.在$c$中寻找适当着色和彩虹Hamilton圈的问题是由Bollobás和Erd \H os于1976年提出的，从那时起就得到了广泛的研究。最近它被Dudek，Frieze和Rucibrski扩展到超图的设置。我们推广了这些结果，给出了充分的局部（分别）。全局）对着色的限制，这保证了适当着色的（相应地，彩虹）给定超图$G$的副本。我们还研究了这些问题的多方类似物。本文给出了完全平衡$m$ -部图的着色$c$包含一个最大度为$Δ$的给定图$G$的适当着色或彩虹拷贝的最优充分条件（直到一个常数因子）.我们的边界表现出一个令人惊讶的过渡增长率，表明该问题是根本不同的制度$Δ\gg m$和$Δ\ll m$我们的主要工具是陆和Székely的框架空间的随机双射，我们扩展到产品空间。
2016-10-26 math.CO
Vertex degree sums for rainbow matchings in 3-uniform hypergraphs
该研究针对3-均匀超图的彩虹匹配问题，证明了当一族共顶点的3-均匀超图满足相邻顶点度和阈值条件时，存在彩虹匹配，且该结果渐近紧，拓展了经典完美匹配的度和定理。
2025-03-20 math.CO
Tight bounds for rainbow partial $F$-tiling in edge-colored complete hypergraphs
本研究针对边着色完全超图的彩虹部分$F$-平铺问题，系统研究$t$较小时的反拉姆齐数$\mathrm{ar}(n,tF)$，通过规约方法和图兰数间隙确定了一大类超图的对应紧界，还可应用于图兰密度未知的超图。
2024-06-21 math.CO
On rainbow matchings for hypergraphs
对于任何正整数$m$，令$[m]:=\{1,\ldots,m\}$。令$n,k,t$为正整数。Aharoni和Howard证明了，如果对$i\in [t]$，$\mathcal{F}_i\subset[n]^k:= \{(a_1,\ldots,a_k): a_j\in [n] \mbox{ for } j\in [k]\}$和$|\mathcal{F}_i|>(t-1)n^{k-1}$，存在$M\subseteq [n]^k$使得$|M|=t$和$|M\cap \mathcal{F}_i|=1$对于$i\in [t]$.设$n, t, k_1\ge k_2\geq \ldots\geq k_t $为正整数。Huang、Loh和Sudakov要求所有${\cal R}=\{{\cal R}_1, \ldots ,{\cal R}_t\}$上的最大$Π_{i=1}^t |{\cal R}_i|$，使得每个${\cal R}_i$是$k_i$的集合-$[n]$的子集，对于$[n]$不存在$[n]$的子集的集合$M$，使得$i\in [t]$ %和${\cal R}$的$|M|=t$和$|M\cap \mathcal{R}_i|=1$不允许彩虹匹配。我们证明了，对于足够大的$n$与$\sum_{i=1}^t k_i\leq n(1-(4k\ln n/n)^{1/k}) $，$\prod_{…
2016-11-06 math.CO
A note on improved bounds for hypergraph rainbow matching problems
本文研究超图彩虹匹配问题，对所有 r≥4 改进了非 r-部情形下 g'(r,n) 的下界，并对所有 r≥3 改进了 r-部情形下 g(r,n) 的上界，证明当 r≥3 时二者与 n 的差距随 n 增长。
2025-01-06 math.CO
Rainbow spanning structures in graph and hypergraph systems
该研究推广经典子图包含问题，提出图与超图系统的彩虹子图概念，建立了满足最小度条件的彩虹团因子和彩虹完美匹配的渐近最优结果，并给出通用求解框架。
2023-10-04 math.CO
Rainbow paths and large rainbow matchings
前两位作者的一个猜想是，在任何图中，大小为$n$的$n$匹配都有大小为$n-1$的彩虹匹配。证明了$\frac{2}{3}n-1$的一个下界，改进了平凡的$\frac{1}{2}n$，并对超图给出了类似的结果.对于$\{C_3,C_5\}$ -free图和不交匹配，我们得到了$\frac{3n}{4}-O(1)$的一个下界.我们还讨论了一个关于彩虹交替路径的猜想，如果这个猜想成立，将给出$n-\sqrt{2n}$的一个下界。我们证明了这个猜想的非交替（普通路径）版本。
2021-10-07 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in random graphs
随机图理论中最著名的结果之一是确定了Erdos-Renyi随机图G_{n,p}的Hamilton性阈值约为p ~（log n + log log n）/ n。已经做了大量的研究，以扩展到越来越具有挑战性的随机结构。特别地，Frieze最近的一个结果通过将3-一致超图连接到边-有色图来确定随机3-一致超图中松弛Hamilton圈的渐近阈值。在这项工作中，我们考虑边-有色图设置，并证明了一个结果，它达到了最好的可能的一阶常数。具体地说，当G_{n,p}的边缘是随机着色从一组（1 + o（1））n颜色，p =（1 + o（1））（log n）/ n，我们表明，几乎总是可以找到一个汉密尔顿循环，它具有进一步的属性，所有的边缘是明显的颜色（彩虹）。
2010-12-31 math.CO
Improved Inapproximability of Rainbow Coloring
$k$-均匀超图的彩虹$q$-染色是顶点集的$q$-染色，使得每个超边包含所有的$q$颜色.证明了给定一个彩虹$(k - 2\lfloor \sqrt{k}\rfloor)$-可着色的$k$-均匀超图，要找到一个正常的$2$-着色是NP-困难的.在此之前，这只为彩虹$\lfloor k/2 \rfloor$-可着色超图所知（Guruswami and Lee，SODA 2015）。我们还研究了一个推广，我们称之为彩虹$(q, p)$着色，定义为使用$q$颜色的着色，使得每个超边至少包含$p$颜色。证明了给定一个彩虹$(k - \lfloor \sqrt{kc} \rfloor, k- \lfloor3\sqrt{kc} \rfloor)$-可着色的$k$一致超图，对于任何$c = o(k)$，要找到一个正规的$c$-着色是NP-困难的.我们的第二个结果的证明依赖于两个组合定理。其中一个定理由Sarkaria（J. Comb. Theory. 1990年）使用拓扑方法和其他定理，我们证明了使用广义Borsuk-Ulam定理。
2018-11-02 cs.CC cs.DM math.CO
Rainbow perfect matchings in 3-partite 3-uniform hypergraphs
该研究证明在3-部3-一致超图中，当每个图的最小顶点度超过特定阈值时，一组图必存在彩虹完美匹配，推广了已有阈值结果，并利用分数彩虹匹配理论进行证明。
2025-01-19 math.CO
Upper chromatic number of generalized quadrangles
Universidad Nacional Autonóma de México（墨西哥国立自治大学）；Universidad Autónoma Metropolitana - Unidad Cuajimalpa（墨西哥自治 metropolitan 大学 - 夸希马尔帕校区）；Western Michigan University（西密歇根大学）
研究广义四边形超图的上色数，通过将点和线对应顶点和超边，定义彩虹着色与无彩虹着色，进而确定给定超图\(H\)的上色数\(\overline{\chi}(H)\)。
2026-07-13 math.CO
The $(k,\ell)$-rainbow index for complete bipartite and multipartite graphs
边着色图$G$中的树称为彩虹树，如果树上没有两条边共享相同的颜色。给定两个正整数$k$，$\ell$和$k\geq 3$，$G$的\emph{$(k,\ell)$-rainbow index} $rx_{k,\ell}(G)$是$G$的边着色所需的最小颜色数，使得对于$G$的$k$顶点的任何集合$S$，存在连接$S$的$\ell$内部不相交的彩虹树。这个概念是由Chartrand等人提出的，本文研究了完全二部图和完全多部图的$(k,\ell)$ -彩虹指数.得到了它们的$(k,\ell)$ -彩虹指数的一些渐近值。
2013-10-18 math.CO
The Maximum Number of Cliques in Hypergraphs without Large Matchings
设$[n]$表示集合$\{1, 2, \ldots, n\}$，$\mathcal{F}^{(r)}_{n,k,a}$是顶点集$[n]$上的$r$ -一致超图，其边集由$[n]$的所有$r$ -元素子集组成，其中$[n]$的所有$r$ -元素子集至少包含$[ak+a-1]$中的$a$顶点.对于$n\geq 2rk$，Frankl证明了$\mathcal{F}^{(r)}_{n,k,1}$使$n$上的$r$ -一致超图的边数最大化，且匹配数至多为$k$ . Huang，Loh和Sudakov考虑了Erdés匹配猜想的多色版本，并提供了多色超图包含大小为$k$的彩虹匹配的边数的充分条件。本文证明了$\mathcal{F}^{(r)}_{n,k,a}$使得$r$ -一致超图中$s$ -团的个数在$n$顶点上最大化，并且对于足够大的$n$，匹配数至多为$k$，其中$a=\lfloor \frac{s-r}{k} \rfloor+1$ .我们还得到了多色$r$ -均匀超图中含有$k$大小的彩虹匹配的$s$ -类个数的一个条件，当$s=r$ .
2020-10-25 math.CO
Anti-Ramsey numbers of loose paths and cycles in uniform hypergraphs
本文研究一致超图中松散路径与松散圈的anti-Ramsey数，对所有k≥4和r≥3给出了其精确值。
2024-05-07 math.CO
Anti-Ramsey Number of Stars in 3-uniform hypergraphs
School of Mathematics and Statistics Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
本文研究了3-均匀超图中k-星形超图的反拉姆齐数，确定了特定条件下该数的精确值。
2025-12-10 math.CO
Anti-Ramsey number of matchings in $r$-partite $r$-uniform hypergraphs
一个边色超图是彩虹图，如果它的所有边都有不同的颜色。给定两个超图$\mathcal{H}$和$\mathcal{G}$，$\mathcal{G}$中$\mathcal{H}$的反拉姆齐数$ar(\mathcal{G}, \mathcal{H})$是对$\mathcal{G}$的边着色所需的最大颜色数，使得不存在$\mathcal{H}$的彩虹副本。Li等人确定了完全二部图中$k$ -匹配的反Ramsey数。Jin和Zang证明了极染色的唯一性。作为这些结果的推广，本文确定了完全$r$ -部$r$ -一致超图中$k$ -匹配的反Ramsey数$ar_r(\mathcal{K}_{n_1,\ldots,n_r},M_k)$，并证明了极染色的唯一性.证明了$\mathcal{K}_{k-1,n_2,\ldots,n_r}$是Turán数$ex_r(\mathcal{K}_{n_1,\ldots,n_r},M_k)$的唯一极值超图，并证明了$ar_r(\mathcal{K}_{n_1,\ldots,n_r},$是$M_k)=ex_r(\mathcal{K}_{n_1,\ldots,n_r},M_{k-1})+1$，从而给出了Özkahya和Young猜想的一个多部版本的结果.
2021-12-06 math.CO
The $(k,\ell)$-rainbow index of random graphs
边着色图中的树称为彩虹树，如果树上没有两条边共享相同的颜色。给定两个正整数$k$，$\ell$与$k\geq 3$，$G$的\emph{$(k,\ell)$-rainbow index} $rx_{k,\ell}(G)$是$G$的边着色所需的最小颜色数，使得对于$G$的$k$顶点的任何集合$S$，存在连接$S$的$\ell$内部不相交的彩虹树。这个概念是由Chartrand et.例如，本文分别对随机图$rx_{k,\ell}(G_{n,p})\leq k$和$rx_{k,\ell}(G_{n,M})\leq k,$建立了一个尖锐的阈值函数，其中$G_{n,p}$和$G_{n,M}$是通常定义的随机图.
2013-10-10 math.CO
On Odd Rainbow Cycles in Edge-Colored Graphs
设$G = (V, E)$是一个$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了，如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有不同颜色的边相关联，则$G$允许彩虹三角形.我们证明，同样的假设，确保彩虹$\ell$周期$C_{\ell}$每当$n \ge 432 \ell$。这一结果对所有奇数$\ell \geq 3$都是尖锐的，并推广了作者早期的工作，当$\ell$是偶数时.
2021-02-23 math.CO
Rainbow cycles vs. rainbow paths
边着色图$F$是{ \it rainbow}，如果$F$的每条边都有唯一的颜色.图$F$的{ \it彩虹图兰数} $\mathrm{ex}^*(n,F)$是在没有$F$的彩虹副本的正确边着色的$n$ -顶点图中的最大可能边数。彩虹图兰数的研究是由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte介绍的。Johnson和Rombach引入了以下彩虹版本的广义图兰问题：对于固定图$H$和$F$，令$\mathrm{ex}^*(n,H,F)$表示在没有彩虹副本$F$的$n$ -顶点正确边着色图中$H$的最大彩虹副本数。本文研究了$\mathrm{ex}^*(n,C_\ell,P_\ell)$的情形，给出了$\ell = 3,4,5$的一般上界和精确结果.在此过程中，我们建立了一个新的最佳上界$\mathrm{ex}^*(n,P_5)$。我们的主要动机来自于试图提高$\mathrm{ex}^*(n,P_\ell)$的界限，这一直是最近几个手稿的主题。
2020-08-31 math.CO
The minimum size of graphs with given rainbow index
$k$ -连通图$G$的彩虹指数$rx_k(G)$的概念是由Chartrand，Okamoto和Zhang提出的，它是彩虹连通数的自然推广.令$t(n,k,\ell)$表示阶为$n$且具有$rx_k(G)\leq \ell$的连通图$G$的最小尺寸，其中$2\leq \ell\leq n-1$和$2\leq k\leq n$ .本文得到了$t(n,k,\ell)$的一些精确值和上界。
2015-09-25 math.CO
A note on rainbow saturation number of paths
对于固定图$F$和整数图$t$，$F$的\dfn{rainbow saturation number}，记为$sat_t(n,\mathfrak{R}(F))$，定义为$t$边着色图中不包含$F$的\dfn{rainbow copy}的$n$顶点上的最小边数，即，$F$的副本，其所有边都接收不同的颜色，但添加$[t]$中任何颜色的任何缺失边都会创建这样的彩虹副本。Barrus，Ferrara，Vardenbussche和Wenger证明了$sat_t(n,\mathfrak{R}(P_\ell))\ge n-1$对于$\ell\ge 4$和$sat_t(n,\mathfrak{R}(P_\ell))\le \lceil \frac{n}{\ell-1} \rceil \cdot \binom{\ell-1}{2}$对于$t\ge \binom{\ell-1}{2}$，其中$P_\ell$是一条有$\ell$边的路。在这个简短的说明中，我们提高了上界，并表明，$sat_t(n,\mathfrak{R}(P_\ell))\le \lceil \frac{n}{\ell} \rceil \cdot \left({{\ell-2}\choose {2}}+4\right)$的$\ell\ge 5$和$t\ge 2\ell-5$。
2020-01-17 math.CO
The rainbow Turán number of $P_5$
边着色图$F$是彩虹图，如果$F$的每条边都有唯一的颜色.图$F$的彩虹图兰数$ex^*(n,F)$是在没有$F$的彩虹副本的情况下，正确边着色的$n$ -顶点图中的最大可能边数。彩虹图兰数的研究由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte在2007年提出。在本文中，我们专注于$ex^*(n,P_5)$。虽然最近的几篇论文研究了$\ell$ -边路径$P_{\ell}$的彩虹图兰数，但只有$\ell < 5$得到了精确的结果，而$P_5$是彩虹图兰理论中最小的开放情况之一。本文证明了$ex^*(n,P_5) \leq \frac{5n}{2}$ .结合Johnston和Rombach的一个下界构造，这个结果表明当$n$可被$16$整除时，$ex^*(n,P_5) = \frac{5n}{2} $，从而渐近地解决了所有$n$的问题。另外，这一结果加强了$ex^*(n,P_{\ell}) = \frac{\ell}{2}n + O(1)$对所有$\ell \geq 3$的猜想。
2022-10-07 math.CO
Solutions to conjectures on the $(k,\ell)$-rainbow index of complete graphs
图$(k,\ell)$的彩虹指数$rx_{k, \ell}(G)$是由Chartrand等人引入的.对于$n\geq 6$阶的完全图$K_n$，证明了$rx_{3,\ell}(K_n)=3$对于$\ell=1,2$ .此外，他们还证明了对于每个正整数$\ell$，存在正整数$N$，使得对于每个整数$n \geq N$，有$rx_{3,\ell}(K_{n})=3$。更一般地说，他们证明，对于每一对正整数$k$和$\ell$与$k\geq 3$，存在一个正整数$N$，使得对于每一个整数$n \geq N$，都有$rx_{k,\ell}(K_{n})=k$。本文就是针对这些问题提出解决办法。
2012-12-31 math.CO
On Even Rainbow or Nontriangular Directed Cycles
设$G = (V, E)$是$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有明显颜色的边关联，则$G$允许一个彩虹三角形。对于固定的偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$，我们建立了一个相应的结果：如果每个顶点$v \in V$至少与$(n+5)/3$的不同色边相关联，其中$n \geq n_0(\ell)$足够大，则$G$允许偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$ .当$\ell \not\equiv 0$（mod 3）时，此结果可能最佳。相应地，我们还证明了，对于一个固定的（偶数或奇数）整数$\ell \geq 4$，每一个大的$n$ -顶点定向图$\vec{G} = (V, \vec{E})$最小出度至少$(n+1)/3$允许一个（一致）有向$\ell$ -圈$\vec{C}_{\ell}$。我们的后一个结果与Kelly、Kühn和Osthus的一个结果有关，他们证明了具有大半度的定向图的类似陈述。我们的证明是基于稳定性方法。
2019-12-04 math.CO
The generalised rainbow Turán problem for cycles
给定一个边着色图，如果一个子图的所有边都是不同的颜色，我们称它是彩虹图。令$\operatorname{ex}(n,H,$ rainbow- $F)$表示$n$顶点上的适当边着色图所能包含的$H$的最大拷贝数，如果它没有与$F$同构的rainbow子图.我们确定了所有含$s\not =3$的$s,t$的$\operatorname{ex}(n,C_s,$彩虹- $C_t)$的数量级.特别是，我们回答了一个问题的Gerbner，Mészáros，Methuku和帕尔默通过显示，$\operatorname{ex}(n,C_{2k},$彩虹- $C_{2k})$是$Θ(n^{k-1})$，如果$k\geq 3$和$Θ(n^2)$，如果$k=2$。我们还确定了所有$k,\ell\geq 2$的$\operatorname{ex}(n,P_\ell,$彩虹- $C_{2k})$的数量级，其中$P_\ell$表示具有$\ell$边缘的路径。
2020-05-16 math.CO
Constructive Methods in Gallai-Ramsey Theory for Hypergraphs
超图拉姆齐理论的最新进展主要集中在构造相应的拉姆齐数的下界。在本文中，我们考虑应用这些结果的Gallai着色。也就是说，我们专注于Ramsey数只考虑$t$ -着色的完全$r$ -一致超图，其中没有彩虹$K_{r+1}^{(r)}$ -子超图存在的超边。我们还提供了新的结构，这意味着许多$3$和$4$ -一致的拉姆齐数和$3$和$4$ -一致的Gallai-Ramsey数的改进的下界。
2019-02-04 math.CO
A rainbow $r$-partite version of the Erdős-Ko-Rado theorem
令$f(n,r,k)$是使得包含在$\binom{[n]}{r}$中的每个大于$f(n,r,k)$的超图包含大小为$k$的匹配的最小数，并且令$g(n,r,k)$是使得包含在$r$ -部分$r$ -图$[n]^{r}$中的每个大于$g(n,r,k)$的超图包含大小为$k$的匹配的最小数. Erdens-Ko-Rado定理指出$f(n,r,2)=\binom{n-1}{r-1}$ ~~（$r \le \frac{n}{2}$），并且很容易证明$g(n,r,k)=(k-1)n^{r-1}$。启发本文的猜想是，如果$F_1,F_2,\ldots,F_k\subseteq \binom{[n]}{r}$的大小大于$f(n,r,k)$或$F_1,F_2,\ldots,F_k\subseteq [n]^{r}$的大小大于$g(n,r,k)$，则存在彩虹匹配，即选择不相交的边缘$f_i \in F_i$。本文主要讨论猜想的第二部分，并为$r\le 3$证明它。\vspace{.1cm}我们还证明了对每个$r$和$k$都存在$n_0=n_0(r,k)$使得$r$ -partite版本的猜想对$n>n_0$成立.
2016-05-22 math.CO
List rainbow connection number of graphs
本文引入图的列表彩虹连通数与列表强彩虹连通数，确定若干特定图的相应参数，刻画参数对可实现的正整数值，并提出列表彩虹连通数是否总等于彩虹连通数的公开问题。
2025-03-12 math.CO
Rainbow Matchings and Hamilton Cycles in Random Graphs
设$HP_{n,m,k}$是从所有$k$ -均匀的$k$ -部超图中均匀地画出的，其中每个部分的划分是$[n]$的不相交副本.我们让$HP^{(\k)}_{n,m,k}$是一个边缘着色版本，其中我们从$\k$颜色之一中随机为每个边缘着色。我们表明，如果$\k=n$和$m=Kn\log n$，其中$K$是足够大的，然后w. h. p.有彩虹色的完美匹配。也就是说，完美的匹配，其中每个边缘都有不同的颜色。我们还证明了，如果$n$是偶数，且$m=Kn\log n$中$K$足够大，则在$G^{(n)}_{n,m}$中存在彩虹色Hamilton圈.这里，$G^{(n)}_{n,m}$表示具有$n$颜色的$G_{n,m}$的随机边缘着色。当$n$是奇数时，我们的证明需要$m=\om(n\log n)$才有彩虹Hamilton圈。
2014-01-28 math.CO
Weak rainbow saturation numbers of paths, stars and cycles
Nankai University（南开大学）
本文精确确定了路径与星型图的弱彩虹饱和数，证明其分别随阶数线性和二次增长，并通过显式构造否定了环的弱彩虹饱和数首项为3n/2的猜想，给出更优的上界。
2026-09-04 math.CO
Robust (rainbow) subdivisions and simplicial cycles
本文研究了极值图与超图理论中的拓扑结构问题，证明了稠密及稀疏图在正常着色下包含彩虹细分与彩虹圈的条件，并将相关结论推广至纯单纯复形，通过强扩展性图与超图的随机采样方法给出了严格证明。
2024-01-03 math.CO
Rainbow vertex pair-pancyclicity of strongly edge-colored graphs
本文研究了强边染色图的彩虹顶点对泛圈性，证明了阶数为$n$且最小度数$\delta \geq \frac{2n}{3}+1$的强边染色图必然具有该性质。
2023-05-05 math.CO
Extremal Problem for Matchings and Rainbow Matchings on Direct Products
令$n_1,\dots,n_\ell,k_1,\dots,k_\ell$为整数，令$V_1,\dots,V_\ell$为$i=1,\dots,\ell$的与$|V_i|=n_i$不相交的集合。将$\sqcup_{i=1}^\ell \binom{V_i}{k_i}$定义为$\cup_{i=1}^\ell V_i$的所有子集$F$与每个$i=1,\dots,\ell$的$|F\cap V_i| =k_i$的集合。本文证明了：对于所有的$i$，若$\mathcal{F}\subseteq \sqcup_{i=1}^\ell \binom{V_i}{k_i}$的匹配数至多为$s$和$n_i\geq 4\ell^2 k_i^2s$，则$|\mathcal{F}| \leq \max_{1\leq i\leq \ell}[\binom{n_i}{k_i}-\binom{n_i-s}{k_i}]\prod_{j\neq i}\binom{n_j}{k_j}$ .设$\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\dots,\mathcal{F}_s\subseteq\sqcup_{i=1}^\ell \binom{V_i}{k_i}$与$n_i\geq 8\ell^2k_i^2s$对所有$i$。我们还证明了如果$\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\dots,\m…
2021-11-08 math.CO
