On the Crossing Numbers of Cartesian Products of Small Graphs with Paths, Cycles and Stars
有大量的研究致力于计算图族的交叉数，这些图族是由具有任意大的路径、圈和星的小图的笛卡儿积产生的。对于具有四个或更少顶点的图，这些都已经计算过了，但是对于具有五个或更多顶点的图，仍然存在各种差距。我们通过确定15个这样的家庭的交叉数为这一领域做出了贡献。
2021-06-07 math.CO
On Crossing-Families in Planar Point Sets
一般位置的点集$S$中的$k$交叉族是由$S$的点跨越的$k$段的集合，使得所有$k$段相互交叉。在这篇短文中，我们给出了两个关于基于小基数集合的交叉族的陈述：（1）任何至少15个点的集合都包含一个大小为4的交叉族。(2)存在不包含大于$8\lceil \frac{n}{41} \rceil$的交叉族的$n$点集。这两个结果都改进了以前最好的已知界限。
2022-05-26 cs.CG math.CO
On the Crossing Number of the Cartesian Product of a Sunlet Graph and a Star Graph
确切的交叉数只为少数几个图族所知。许多已确定交叉数的族对应于两个图的笛卡儿积。本文首次考虑了Sunlet图（记为$\mathcal{S}_n$）与Star图（记为$K_{1,m}$）的笛卡儿积。证明了$\mathcal{S}_n \Box K_{1,2}$的交叉数为$n$，$\mathcal{S}_n \Box K_{1,3}$的交叉数为$3n$ .给出了$\mathcal{S}_n \Box K_{1,m}$交叉数的一个上界.
2019-02-27 math.CO
Enumeration of non-crossing partitions according to subwords with repeated letters
一个避免模式，其中的字母在一个出现的要求是相邻的被称为一个子字。在本文中，我们根据每个子字模式都包含重复字母的几个无限族的出现次数，来枚举长度为n的非交叉划分集NC_n的成员。作为结果的一个结果，我们得到了NC_n（n >= 0）中所有长度为3且含有重复字母的子字模式的显式母函数计算公式.此外，推导出了各种模式族在NC_n的所有成员上出现的总次数的简单表达式。最后，给出了NC_n上三个无限子字等价族的组合证明，推广了如下等价：211 = 221，1211 = 1121和112 = 122.
2023-03-11 math.CO
The Rank Enumeration of Certain Parabolic Non-Crossing Partitions
我们考虑$m$ -可分的非交叉分区的$\{1,2,\ldots,mn\}$的性质，对于一些$t\leq n$没有块包含一个以上的第一个$t$整数。我们给出了一个闭公式，计算了具有给定块数的非交叉分拆的多链个数。在此基础上，我们计算Chapoton的$M$ -三角形在此设置和猜想的组合解释的$H$ -三角形。本文对$m=1$证明了这一猜想。
2022-01-11 math.CO
Cosigning Crossing Families and Outer-Planar Gadgets
研究共签交叉族与外平面装置，通过算法性条件确定其存在性，并在平面图中用于寻找不相交边割集。
2026-02-27 math.CO
Analytic combinatorics of chord and hyperchord diagrams with $k$ crossings
本文利用解析组合学方法，研究了圆盘上具有指定交叉数的弦图等族，将交叉构型的生成函数表示为无交叉构型生成函数的有理函数，并推导了渐近结果、极限分布和随机生成器。
2013-07-24 math.CO
The tropical crossing number of a finite graph
该研究定义了有限非度量图的热带交叉数，证明存在热带交叉数为任意正整数d且图论交叉数至多为d的图，求解了最小非热带平面图的热带交叉数并证明其可随顶点数二次增长。
2025-08-19 math.AG math.CO
On disjoint crossing families in geometric graphs
几何图是在平面上绘制的图，其顶点由点和边表示为直线段。一个几何图包含一个（k，l）-交叉族，如果存在一对边子集E_1，E_2，使得|E_1| = k，|E_2| = 1，E_1中的边是两两交叉的，E_2中的边是两两交叉的，且E_1中的每条边与E_2中的每条边不相交.我们猜想，对任意固定的k，l，每个n-顶点几何图不含（k，l）-交叉族，至多有c_{k,l} n条边，其中c_{k,l}是只依赖于k和l的常数.本文通过证明几何图F的极值函数与F的两个完全不相交副本的极值函数之间的关系的一个更一般的结果，证明了每个不含（k，k）-交叉族的n-顶点几何图至多有c_kn \log n条边，其中c_k是只依赖于k的常数.我们还解决了不含（2，1）-交叉族的几何图的猜想。作为一个直接应用，这意味着对于任何3个顶点的圆图F，每个不包含其交图是F的匹配的n-顶点几何图至多有O（n）条边。
2011-03-25 cs.DM math.CO
Crossing Numbers and Stress of Random Graphs
考虑$\mathbb{R}^d$中随机点过程上的随机几何图。当且仅当两点的距离由指定的距离参数限定时，两点通过边连接。我们表明，投影到一个二维的平面上的图形预计会产生一个常数因子交叉数（和直线交叉数）近似。我们还表明，交叉数呈正相关的图形的投影的应力。
2020-08-25 cs.DM math.CO
On the size of $k$-cross-free families
如果四个集合$A\cap B$、$A\setminus B$、$B\setminus A$和$X\setminus(A\cup B)$中没有一个是空的，则称$n$ -元素基集合$X$的两个子集$A,B$是\emph{crossing}. Karzanov和Lomonosov在40年前提出，如果$X$的子集的家族$\mathcal{F}$不包含$k$成对杂交元件，则$|\mathcal{F}|=O_{k}(n)$。对于$k=2$和$3$，这个猜想是正确的，但是对于更大的$k$值，由于罗蒙诺索夫，最好的已知上限是$|\mathcal{F}|=O_{k}(n\log n)$。在本文中，我们通过证明$|\mathcal{F}|=O_{k}(n\log^{*} n)$成立来改进这个界，其中$\log^{*}$表示重对数函数。
2017-04-07 math.CO
On Meyniel extremal families of graphs
本文给出了Meyniel极图的新构造，它是一类具有最大渐近cop数的图。利用生成子图，证明了存在指数个数的具有指定度的新Meyniel极值族。使用一个线性规划超图的问题，我们探讨度的家庭，不是Meyniel极值。本文给出了点传递图的顶点数的一个已知的上界。我们发现了新的正则图的Meyniel极图族，这些图具有大色数和大直径，并探讨了Meyniel极图与二部图之间的联系.
2022-01-21 math.CO
On union-closed families with prescribed number of $k$-sets
New Uzbekistan University（新乌兹别克斯坦大学）
本文研究并封闭族中大小至少为 n 的成员最小数量问题，证明 Leck--Roberts--Simpson 加权猜想在多个条带和条件下成立，并给出充分界。
2026-09-11 math.CO
Crossing and non-crossing families
研究平面一般位置点集的交叉族与非交叉族问题，证明任意$n$点集要么含大小为$n/2^{O(\sqrt{\log{m}})}$的交叉族要么含大小为$m$的非交叉族，给出构造性证明及不同时间复杂度的查找算法，强化了现有结果。
2025-08-24 cs.CG math.CO
Crossing and intersecting families of geometric graphs on point sets
设$S$是平面中一般位置的一组$n$点。如果连接$S$的点对的两条线段有一个公共的内点，则这两条线段相交。两个顶点在$S$中的顶点不相交的几何图相交，如果有两条边相交，每个图有一条边。一组顶点在$S$中的顶点不相交的几何图，如果其中任意两个相交，则称为相交图。我们发现，存在一个常数$c$，使得从任何家庭的$n$相互交叉的三角形，人们总是可以获得一个家庭的至少$n^c$相互交叉的$2$ -路径（其中每一个是删除的结果，从一个三角形的边缘），然后提供一个例子，这意味着$c$不能被视为大于$2/3$。对于每一个$n$，我们确定一个哈密顿圈在一组$n$点上可能具有的最大交叉数。接下来，我们构造一个点集，其最长完美匹配不包含交叉。我们还考虑边缘组成的一个水平和一个垂直线段连接点对$S$，我们称之为肘，并证明在任何点集$S$存在一个家庭的$\lfloor n/4 \rfloor$顶点不相交相互交叉肘。此外，我们展示了一个点集，承认不超过$n/3$相互交叉肘。最后，我们研究了相交图族，这不一定是顶点不相交的。一组顶点在$S$中的边不相交图称为相交族，如果对于其中的任意两个图，我们可以在每个图中选择一条边使它们相交。本文证明了Lara和Rubio-Montiel的一个猜想，即任何$n$点在一般位置上的集合$S$都包含一个元素数为二次的相交三角形族.在整个工作中还得到了一些其他的结果。
2022-11-17 cs.CG math.CO
Infinite families of vertex-transitive graphs with prescribed Hamilton compression
本文构造了具有任意给定 Hamilton 压缩值 $k$ 的无限族 Cayley 图（基于半直积 $\mathbb{Z}_p\rtimes\mathbb{Z}_k$），并给出 Hamilton 压缩为 1 的非 Cayley 顶点传递图无限族，从而解决了相关开放问题。
2023-05-16 math.CO
Construction techniques for cubical complexes, odd cubical 4-polytopes, and prescribed dual manifolds
我们提供了一些新的建设技术，立方复合体和立方多面体，从而立方（六面体网格生成）。作为应用，我们得到了一个具有不可定向对偶流形的三次4-多面体的例子（一个克莱因瓶）。这证实了Hetyei（1995）的一个存在性猜想。更系统地证明了紧致2-流形到R^3 PL-中的每一个正规交叉余维浸入等价于三次4-多面体的一个对偶流形浸入。作为一个例子，我们得到了一个三次4-多面体与立方体的男孩的表面作为一个对偶流形浸入，并与一个奇数的方面。我们的显式示例有17718个顶点和16533个面。因此，我们得到了一个宇称变换操作的三维立体复合物（hexa网格），这解决了问题的埃普斯坦，瑟斯顿，和其他人。
2004-01-02 math.CO
A Note on the Maximum Rectilinear Crossing Number of Spiders
图$G$的最大直线交叉数是在平面上$G$的好的直线图中交叉的最大数目。在一个好的图形中，任何两条边最多相交于一个点（算上端点），没有三条边有一个公共的内点，并且边的内部不包含顶点。蜘蛛是$K_{1,k}$的一个亚类。我们提供了蜘蛛的最大直线交叉数的上界和下界。虽然关于无限图族的最大直线交叉数的结果不多，但我们的方法可以用来找到$K_{1,k}$的精确最大直线交叉数，其中每条边精确细分一次。这是计算任意树的最大直线交叉数的第一步。
2021-08-20 math.CO
Cross-free families have linear size
Umeå University（于默奥大学）
该研究证明了无交叉子集族的大小为线性增长，解决了关于此类族增长速率的长期猜想。
2026-09-09 math.CO
Lower bounds on the maximum number of non-crossing acyclic graphs
本文是对点集上几何图计数问题的一个贡献。更具体地说，我们研究非交叉生成树和森林的最大数量。我们证明了N个点的所谓双链点配置具有Omega（12.52^N）非交叉生成树和Omega（13.61^N）非交叉森林。这改进了Dumitrescu，Schulz，Sheffer和Tóth给出的一般位置上所有N点集之间的非交叉生成树和非交叉森林的最大数目的下界.我们的分析依赖于分析组合学的工具，这使我们能够计算某些家庭的森林在凸位置的点，并估计其平均数量的组件。本文还得到了双链非交叉生成树个数的一个新的O（22.12 ^N）的上界.
2013-10-22 math.CO
Crossings in Randomly Embedded Graphs
本文研究了任意嵌入点的凸集上的图的交叉数。本文给出了Kolmogorov距离的正态分布的一个估计，它意味着对各种图族，包括随机弦图或满圈，都有$n^{-1/2}$阶的收敛速度.
2022-08-24 math.CO math.PR
Generalizations and Variants of the Largest Non-crossing Matching Problem in Random Bipartite Graphs
本文研究了按不同分布族D =（D_n）_n选取的二行字典序排列数组的最长递增子序列的长度的统计特性，以及当n趋于无穷大时的统计特性。这个框架包括研究的问题，如所谓的最长增加子序列问题，最长的共同子序列问题，问题有关的直接债券渗流模型，等等。我们定义了几个不同分布的自然族，并刻画了根据它们选择的最长递增子序列的期望长度的渐近行为。特别是，我们考虑推广到d-行阵列以及对称限制的两行阵列。
2011-05-03 cs.DM math.CO
Distributing hash families with few rows
用于创建覆盖数组的列替换技术依赖于构造具有很少行的完美和分布散列族，对于指定数量的符号具有尽可能多的列。为了构造分布散列族，其中的行数是小于的强度，我们研究了一种方法，由于布莱克本和扩展它在三个方面。首先，该方法从同质哈希族（其中每行具有相同数量的符号）推广到异质哈希族。其次，扩展处理分布式散列族，其中只需要分离成指定数量的部分，而不是完美的散列族，其中列必须完全分离。第三，放宽了对主要成分之一的要求，允许使用一大类分布散列族，我们称之为分形。给出了分形完美散列族和分形分布散列族的构造方法，并给出了它们在构造大强度完美散列族中的应用。
2021-01-07 math.CO
Closed-Form Analysis and Extremal Bounds of Albertson and Sigma Indices in Trees with Prescribed Degree Sequences
本文研究了具有给定度序列的树的阿尔伯特森指数和西格玛指数的闭式表达式及极值界限，为不规则性度量提供了新的分析框架。
2025-12-13 math.CO
On the Orchard crossing number of prisms, ladders and other related graphs
本文研究了几类基于圈的图的Orchard交叉数。这些包括不相交的循环，共享一个顶点的循环和共享一条边的循环。具体来说，我们专注于棱镜和梯形图。
2011-11-23 cs.CG cs.DM math.CO
Bijective counting of plane bipolar orientations and Schnyder woods
提出了一种双射$Φ$，它是在具有指定顶点数和面数的平面双极方向和具有指定端点的直立格点路径的不相交三元组之间。由于R，这产生了以下公式的组合证明。Baxter，用于具有$i$非极性顶点和$j$内面的平面双极方向的编号$Θ_{ij}$：$Θ_{ij}=2\frac{(i+j)!(i+j+1)!(i+j+2)!}{i!(i+1)!(i+2)!j!(j+1)!(j+2)!}$。此外，它表明，$Φ$专门用于双射Bernardi和Bonichon之间的Schnyder木材和非交叉对的Dyck字。
2009-03-20 math.CO
The List Edge-Coloring Conjecture for New Infinite Families
New Uzbekistan University（新乌兹别克斯坦大学）
本文证明了两类全新无限族完全图的列表边着色猜想，通过互补模方法控制1-因子分解的Pfaffian符号，建立行列式-Pfaffian桥梁并发展带符号Burnside-Fourier方法，同时揭示了该方法在高层论证中的赋值障碍。
2026-09-17 math.CO
The strong spectral property for some families of unicyclic graphs
本文研究具有强谱性质的图类，完全刻画了围长为三的单圈图，并证明围长至多五的蝌蚪图具有该性质而围长六的蝌蚪图不具有。
2025-01-03 math.CO
On Lines Crossing Pairwise Intersecting Convex Sets in Three Dimensions
Ben Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
研究证明在三维空间中，成对相交的凸集家族中存在一条直线可穿透Θ(n)个元素，解决了该问题的变种。
2026-01-25 cs.CG math.CO
Infinite families of triangle presentations
本文提出首个产生任意大阶 $\widetilde{\ ext{A}_2}$ 型奇异建筑中格的三角表示无穷族，并推广至 Desarguesian 射影平面对偶复形等其他链接类型。
2024-08-28 math.CO math.GR
A median degree from crossing graphs of median graphs
本文研究以图$X$为交叉图的中位数图空间$\text{Cross}^{-1}(X)$，证明有限中位数图交叉图同构的条件，定义并计算图的中位数度，刻画具有最大中位数度的图。
2026-08-26 math.CO
Rectilinear Crossing Number of Graphs Excluding Single-Crossing Graphs as Minors
本文证明了排除单交叉图作为子式的图具有最优的 $O(Δn)$ 直线交叉数界，统一并改进了有界树宽图等情形的已有结果。
2024-02-23 cs.CG math.CO
Toward the Rectilinear Crossing Number of $K_n$: New Drawings, Upper Bounds, and Asymptotics
Scheinerman和Wilf（1994）指出：“确定完全图K_n的直交数是图嵌入研究中的一个重要公开问题。“K_n的直线图是平面上n个顶点的排列，每对顶点都由一条线段边连接。我们假设没有三个顶点是共线的，并且没有三条边相交于一个点，除非该点是所有三条边的端点。K_n的直线交叉数是在K_n的所有直线图上可达到的最少边交叉数。对于每个n，我们构造一个直线图K_n，具有最少的边交叉和最好的渐近已知的日期。此外，我们还给出了K_n的几种具有良好渐近性的可供选择的无穷图族.最后，我们提到了一些新老问题。
2000-09-28 cs.CG cs.DM math.CO
