关于具有给定数量的 $k$-集合的并封闭族
On union-closed families with prescribed number of $k$-sets
- New Uzbekistan University（新乌兹别克斯坦大学）
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AI总结：
本文研究并封闭族中大小至少为 n 的成员最小数量问题，证明 Leck--Roberts--Simpson 加权猜想在多个条带和条件下成立，并给出充分界。
AI中文摘要：
设 $N,k,n$ 为正整数且 $n\ge k$。我们寻求一个由有限集合组成的有限族中，在并运算下封闭且恰好包含 $N$ 个大小为 $k$ 的不同集合时，大小至少为 $n$ 的成员的最小数量。该问题是 Leck--Roberts--Simpson 加权猜想的一个特例：将大小至少为 $n$ 的集合赋权为一，较小的集合赋权为零。预测的最小化器由自然数的前 $N$ 个 $k$-子集的非空子族的并集组成，这些子集按其最大元素排序，当最大元素相同时，按其递增列表的字典序排序。对于整数 $t\ge 1$，称范围 \\[ \binom{n+t-1}{k}<N\le\binom{n+t}{k} \\] 为第 $t$ 条带。我们证明了在第一整条带中的分层猜想，并在 $k=3$ 时证明了第二整条带。对于任意 $k$，我们证明了 $(n+2)$-元素集合的子集族的第二带。对于 $k,t\ge 3$，当 $n\ge(t+1)(k-1)$ 时，我们证明了 $(n+t)$-元素集合的子集族的第 $t$ 带。在不限制基础集合的情况下，当 $n>\frac{5}{2} k^2t$ 时，我们证明了 $k\ge 3$ 且 $t\ge 2$ 的情形。对于充分大的 $k$，我们获得了阶为 $k^2t/\log k$ 的充分界，且该界对 $t\ge2$ 一致成立。
英文摘要：
Fix positive integers $N,k,n$ with $n\ge k$. We seek the minimum number of members of size at least $n$ in a finite family of finite sets closed under union and containing exactly $N$ distinct sets of size $k$. This problem is a specialization of the Leck--Roberts--Simpson weighted conjecture: assign weight one to sets of size at least $n$ and zero to smaller sets. The predicted minimizer consists of the unions of nonempty subfamilies of the first $N$ $k$-subsets of the natural numbers, ordered by their largest elements and, when these agree, by their increasing lists lexicographically. For an integer $t\ge 1$, call the range \[ \binom{n+t-1}{k}<N\le\binom{n+t}{k} \] the $t$-th strip. We prove the layered conjecture throughout the first strip, and throughout the second strip for $k=3$. For arbitrary $k$, we prove the second strip for families of subsets of an $(n+2)$-element set. For $k,t\ge 3$, we prove the $t$-th strip for families of subsets of an $(n+t)$-element set whenever $n\ge(t+1)(k-1)$. With no restriction on the ground set, we prove it for $k\ge 3$ and $t\ge 2$ whenever $n>\frac{5}{2} k^2t$. For sufficiently large $k$, we obtain a sufficient bound of order $k^2t/\log k$, uniformly in $t\ge2$.
