Book drawings of complete bipartite graphs
一本有k页的“书”由一条直线（“书脊”）和k个半平面（“书页”）组成，这样每一页的边界就是书脊。如果在一本有k页的书上画一个图，使得顶点位于书脊上，并且每条边都包含在一页中，则结果是k页的书图（或简单地说是k页的图）。图G的页码是最小的k，使得G允许k-页嵌入（即，没有边交叉的k-页绘图）。图G的k页交叉数nu_k（G）是图G的k页图中交叉的最小数目。研究了完全二部图的页数和k-页交叉数。我们求出了几个完全二部图的精确页数，并利用这些页数求出了K_{k+1,n}（3<=k<=6）的精确k-页交叉数.我们还证明了一般渐近估计lim_{k->oo} lim_{n->oo} nu_k（K_{k+1,n}）/（2n^2/k^2）=1.最后，我们给出了nu_k（K_{m,n}）的一般上界，并将这些上界与K_{m,n}和K_n的k-平面交叉数联系起来.
2012-10-10 math.CO
New Bounds on the Biplanar and $k$-Planar Crossing Numbers
图$G$的双平面交叉数是指图$G$的边在两个不相交平面上的所有可能的图上的最小交叉数。给出了完全图和完全二部图的双平面交叉数的新的界。特别地，我们证明了完全二部图的双平面交叉数可以近似到$3$的一个因子内，改进了以前已知的最好的近似因子$4.03$。对于完全图，我们提出了一个新的近似因子$3.17$，改进了以前最好的因子$4.34$。对于任意正整数$k$，我们对完全图和完全二部图的$k$ -平面交叉数给出了类似的改进逼近因子.本文还进一步研究了一般图的（普通）交叉数与双平面交叉数之间的关系，证明了交叉数至多为$10$的图是双平面图.
2021-07-07 cs.CG math.CO
Excluding Single-Crossing Matching Minors in Bipartite Graphs
\noindent通过Valiant的一个开创性的结果，计算$(0,1)$ -矩阵的积和式通常是$\#\mathsf{P}$ -困难的.在1913年波利亚要求其中$(0,1)$ -矩阵$A$有可能改变一些迹象，使永久的$A$等于行列式的矩阵。1975年，Little证明了这些矩阵是不包含$K_{3,3}$的二部图的双邻接矩阵. 1999年，McCuaig、Robertson、Seymour和Thomas将其转化为多项式时间算法。然而，在二部图中排除某些匹配子图与永久式的易处理性之间的关系超出了$K_{3,3}.$最近，人们证明了排除任何平面二部图作为匹配子图产生了一类二部图，在这类二部图上可以有效地计算相应的$(0,1)$ -矩阵的{永久式}.本文将上述两个结果统一为一个更一般的结果，其形式类似于著名的无单交叉子图的结构定理。我们确定了一类二部图，严格推广平面二部图和$K_{3,3}$，其中包括无限多个非Pfronian图。排除该类的任何成员作为匹配的子式，会产生一个结构，允许对永久变量进行有效的求值。此外，我们表明，永久性的评价仍然是$\#\mathsf{P}$ -硬的二部图排除$K_{5,5}$作为一个匹配的未成年人。这建立了第一个计算下限的问题，计数完美匹配未成年人封闭类。
2022-12-19 cs.DS math.CO
Towards the Distribution of the Size of a Largest Planar Matching and Largest Planar Subgraph in Random Bipartite Graphs
我们解决了以下问题：当一个随机选择的正则二部多图在平面上画在“标准方式”，什么是它的最大尺寸平面匹配（一组不相交的边）和最大尺寸平面子图（一组不相交的边，可以共享端点）的分布？该问题是最长递增序列（LIS）问题（也称为Ulam问题）的推广。我们提出了一个组合恒等式，它把最多d条边的最大平面匹配（最大平面子图）的r-正则二部多重图的个数与Z^d中限制格行走的符号和，以及具有相同形状和"下降型“性质的标准Young tableaux的对数联系起来。我们的结果是通过两个组合的证明，通过Gessel的身份可以获得（身份是至关重要的二元生成函数的推导与分布的LIS，关键的分析攻击乌拉姆的问题）的推广。我们还开始研究的模式避免在二部多重图，并得出一个广义Gessel身份的数量的二部2-正则多重图避免一个特定的（单调）模式。
2007-06-15 math.CO math.PR
Distribution of the Size of a Largest Planar Matching and Largest Planar Subgraph in Random Bipartite Graphs
我们解决了以下问题：当一个随机选择的正则二部多图在平面上画在“标准方式”，什么是它的最大尺寸平面匹配（一组不相交的边）和最大尺寸平面子图（一组不相交的边，可以共享端点）的分布？该问题是最长递增序列（LIS）问题（也称为Ulam问题）的推广。我们提出的组合身份的$r$ -正则二部多-图的数量与最大平面匹配（最大平面子图）的最多$d$边缘的限制格行走的有符号和$\ZZ^d$，和对标准的杨tableaux的数量相同的形状和"下降-类型“的属性。我们的结果是通过两个组合的证明，通过Gessel的身份可以获得（身份是至关重要的二元生成函数的推导与分布的LIS，关键的分析攻击乌拉姆的问题）的推广。
2005-03-22 math.CO math.PR
A spectral version of the Moore problem for bipartite regular graphs
设$b(k,θ)$是连通二部$k$ -正则图的最大阶，其第二大特征值至多为$θ$ .本文对任意$0\leq θ< 2\sqrt{k-1}$，得到了$b(k,θ)$的一般上界.当存在度为$k$，次大特征值为$θ$，直径为$d$，围长为$g$的二部距离正则图，使得$g\geq 2d-2$ .对于$d$的某些值，存在无穷多个具有各种化合价$k$的这样的图。然而，对于$d=11$或$d\geq 15$，我们证明了不存在具有$g\geq 2d-2$的二部距离正则图。
2019-03-04 cs.DM math.CO
Biholes in balanced bipartite graphs
具有部集$A$和$B$的二部图$G$中的双洞是具有$|I\cap A|=|I\cap B|$的$G$中的独立集$I$。本文证明了平衡二部图在顶点度和平均度条件下双洞的最大阶的下界。
2020-04-10 math.CO
A note on a Caro-Wei bound for the bipartite independence number in graphs
二部图$G$中尺寸为$t$的双洞是$G$的二部补图中$K_{t,t}$的副本。给定一个$n \times n$二部图$G$，设$β(G)$是最大的$k$，其中$G$有一个大小为$k$的双洞。我们证明了\[ β(G) \geq \left \lfloor \frac{1}{2} \cdot \sum_{v \in V(G)} \frac{1}{d(v)+1} \right \rfloor. \]。此外，我们证明了上述结果的以下推广。给定一个$n \times n$二部图$G$，设$β_d(G)$是使$G$有一个$k \times k$ $d$ -退化子图的最大$k$.我们证明了\[ β_d(G) \geq \left \lfloor \frac{1}{2} \cdot \sum_{v \in V(G)} \min\left(1,\frac{d+1}{d(v)+1}\right) \right \rfloor. \]注意$β_0(G) = β(G)$ .
2021-01-07 math.CO
The largest $H$-eigenvalue and spectral radius of Laplacian tensor of non-odd-bipartite generalized power hypergraphs
设$G$是简单图或超图，$A(G),L(G),Q(G)$分别是$G$的邻接张量、拉普拉斯张量和无符号拉普拉斯张量.最大的$H$特征值（分别为，$L(G),Q(G)$的光谱半径）分别用$λ_{\max}^L(G), λ_{\max}^Q(G)$表示（分别，PDMATHAMR）。对于连通的非二部简单图$G$，$λ_{\max}^L(G)=ρ^L(G) < ρ^Q(G)$ .但这并不适用于非奇二部超图。我们将通过考虑一类广义幂超图$G^{k,\frac{k}{2}}$来研究这个问题，这类超图是由简单连通图$G$通过将$G$的每个顶点吹成一个$\frac{k}{2}$ -集并保持顶点的邻接性而构造的。假设$G$是非二分的，或者等价地$G^{k,\frac{k}{2}}$是非奇二分的。我们得到以下谱性质：（1）$ρ^L(G^{k,{k \over 2}}) =ρ^Q(G^{k,{k \over 2}})$当且仅当$k$是$4$的倍数;在这种情况下，$λ_{\max}^L(G^{k,\frac{k}{2}})<ρ^L(G^{k,{k \over 2}})$。(2)如果$k\equiv 2 (\!\!\!\mod 4)$，则对于足够大的$k$，为$λ_{\max}^L(G^{k,\frac{k}{2}})<ρ^L(G^{k,{k \over 2}})$。受超图$G^{k,\frac{k}{2}}…
2015-10-08 math.CO
Sharp upper bounds for multiplicative Zagreb indices of bipartite graphs with given diameter
图$G$的第一个乘法Zagreb指标是每个顶点度的平方的乘积，而第二个乘法Zagreb指标是每个边在所有边上的度的乘积。本文研究了直径为$d$的$n$阶二部图的乘性Zagreb指数，并得到了$\mathcal{B}(n,d)$中图的乘性Zagreb指数的精确上界，其中$\mathcal{B}(n, d)$是所有直径为$d$的$n$ -顶点二部图的集合.此外，我们还研究了图\textcolor{blue}{within}和图$\mathcal{B}(n, d)$的最大乘性Zagreb指标之间的关系.作为推论，刻画了具有最大、次大和最小乘性Zagreb指标的二部图，推广和丰富了已有的一些结论.
2017-04-27 math.CO
Bipartite and neighborhood graphs and the spectrum of the normalized graph Laplacian
研究了连通图$Γ$的正规化Laplace算子的谱.众所周知，最小的非平凡特征值测量将$Γ$分解成两大块的难度，而最大的特征值控制$Γ$与二分的接近程度。最小的特征值可以控制的Cheeger常数，我们建立了一个对偶结构，控制最大的特征值。此外，我们发现的顺序$l\geq2$的邻域图$Γ[l]$编码重要的频谱信息$Γ$本身，我们系统地探讨。特别是，邻域图方法导致新的估计，可以改善Cheeger不等式的最小的非平凡特征值，以及明确估计的最大特征值从上面和下面。作为这种谱估计的应用，我们给出了耦合映象格子的同步性的一个判据，以及图上随机游动的收敛速度的一个估计。
2012-02-21 math.CO
Bipartite independence number in graphs with bounded maximum degree
我们考虑一个自然的，但似乎没有太多的研究，极值问题的二分图。二部图$G$中尺寸为$t$的双洞是$G$的二部补图中$K_{t, t}$的副本。设$f(n, Δ)$是最大的$k$，使得每一个在其中一个部分具有最大度$Δ$的$n \times n$二部图都有一个大小为$k$的双洞.因此，确定$f(n, Δ)$是找到具有给定顶点数和有界最大度的图中的最大独立集的二部模拟。我们的主要结果确定了$f(n, Δ)$的渐近行为。更准确地说，我们表明，大，但固定的$Δ$和$n$足够大，$f(n, Δ) = Θ(\frac{\log Δ}Δ n)$。我们进一步解决更具体的制度，特别是当$Δ$是一个小的固定常数的$Δ$。特别地，我们精确地确定了$f(n, 2)$并获得了$f(n, 3)$的界，尽管确定$f(n, 3)$的精确值仍然是开放的。
2020-02-25 math.CO
Large subgraphs without complete bipartite graphs
在本说明中，我们回答了福柯、克里维列维奇和佩拉瑙提出的下列问题。在每个有$m$边的图$G$中，可以保证的最大无$K_{r,s}$子图的大小是多少？我们还讨论了超图的类似问题。
2014-01-27 math.CO
Eigenvalue Interlacing of Bipartite Graphs and Construction of Expander Code using Vertex-split of a Bipartite Graph
该研究证明了二分图邻接矩阵与二分商矩阵的特征值交错关系及特征值界，提出二分图顶点分裂法构造渐近良好Expander码，证明了相关连通性与扩张性结论。
2023-08-21 math.CO
Largest bipartite sub-matchings of a random ordered matching or a problem with socks
本文研究随机有序匹配的袜子数（最大二部子匹配大小），证明其渐近为 n/2，并给出等待配对袜子期望平均数为 (2n+1)/6，同时推广到 r-匹配并尝试枚举。
2024-05-23 math.CO
Fork-forests in bi-colored complete bipartite graphs
受文献[6]中研究命题证明系统的相对有效性问题的启发，研究了完全二部图的2-边染色问题。证明了如果$G=K_{n,n}$的边被着色为黑色和白色，使得黑色边的数目与白色边的数目相差至多1，则在同一个$G$分集中至少存在中心为$n(1-1/\sqrt{2})$的顶点不相交分叉.这里，叉是由两个相邻的不同颜色的边形成的图。边界是尖锐的。此外，一个算法运行的时间$O(n^2 \log n \sqrt{n α(n^2,n) \log n})$，并给出了一个最大的这样的fork森林。
2012-01-12 cs.DM math.CO
On the First Eigenvalue of Bipartite Graphs
本文研究了简单二部图的最大特征值的最大值问题，其中边数给定，二部图的每边顶点数也给定。本文给出了一个类似于一般图的Brualdi-Hoffman猜想的解，并在某些特殊情况下证明了该猜想。
2008-09-09 math.CO
A sharp refinement of a result of Alon, Ben-Shimon and Krivelevich on bipartite graph vertex sequences
我们给一个尖锐的改进的结果阿龙，本-西蒙和Krivelevich。这给出了有限正整数序列是二部图两部分的顶点度表的一个充分条件。该条件仅取决于序列的长度及其最大和最小元素。
2014-03-25 math.CO
Periodicity of Grover walks on bipartite regular graphs with at most five distinct eigenvalues
我们确定了具有四个不同邻接特征值的连通二部正则图，它诱导周期Grover游动，并证明了它只是$C_6$ .我们还证明了具有五个不同特征值的二部正则周期图的第二大特征值只有三种。使用行走正则性，我们列举了这样的图的可行谱。
2022-02-28 math.CO quant-ph
A Spectral Moore Bound for Bipartite Semiregular Graphs
设$b(k,\ell,θ)$是具有第二大特征值$θ$的$(k,\ell)$ -半正则二部图中$k$的最大顶点数.我们得到了一个上界的$b(k,\ell,θ)$为$0 < θ< \sqrt{k-1} + \sqrt{\ell-1}$。当存在具有特定参数的距离双正则图时，这个界是紧的，并且我们开发了距离双正则图的必要性质来证明这一点。
2022-08-22 math.CO
Bipartite Communities
对于给定的图$G$，令$A$是邻接矩阵，$D$是度的对角矩阵，$L' = D - A$是组合拉普拉斯算子，并且$L = D^{-1/2}L'D^{-1/2}$是归一化拉普拉斯算子。最近，对应于$L$和$L'$的最小特征值的特征向量由于其在社区检测中的应用而引起了极大的兴趣，社区检测是一个模糊定义的问题，其本质上寻求找到顶点集$S$，使得几乎没有边与$S$的恰好一个顶点相关联。社区检测和第二小特征值（以及相应的特征向量）之间的联系是众所周知的。$k$的最小特征值已被用于在同一个图中找到多个社区，并与理论严谨的理由使用$k \geq 3$特征对最近才被发现。$L$的最大特征对已经被更经典地用于解决MAX-CUT问题，该问题寻求找到顶点集$S$，该顶点集最大化与$S$的恰好一个顶点关联的边的数目。最近Trevisan提出了一个连接之间的最大特征值的$L$和递归方法的最大切割问题，寻求找到一个“二分社区”在每个阶段。这与寻找$A^TA$的最大特征值的Kleinberg的HITS算法有关。我们将提供一个理由与理论上的严谨性，寻找在$k$最大的特征值的$L$在同一个图中找到多个二分社区，然后提供一个启发式算法，找到强的二分社区，是基于直觉的理论方法。最后，我们将提出我们的算法应用到各种数据挖掘问题的结果。
2016-03-23 cs.SI math.CO
Midrange crossing constants for graphs classes
对于正整数$n$和$e$，令$κ(n,e)$是所有具有$n$顶点和至少$e$边的图的最小交叉数（标准平面交叉数）。Pach，Spencer和Tóth [Discrete and Computational Geometry 24 623- 644，（2000）]证明了$κ(n,e) n^2/e^3$与$n\to \infty$和$n \ll e \ll n^2$一样趋向于一个正常数（称为中程穿越常数），从而证明了Erdens和Guy的一个猜想。在这篇文章中，我们扩展了他们的证明，证明了对于满足一定的图性质的图类，中值交叉常数是存在的。作为推论，我们证明了二部图族的中值交叉常数是存在的。所有这些结果对于直线交叉数都有类似的结果。
2018-11-20 math.CO
The largest crossing number of tanglegrams
本文研究大小为 n 的纠结图的最大交叉数，将此前上界改进为 1/2·C(n,2)−n/4，并给出无穷多个 n 下至少为 1/2·C(n,2)−(n log₂ n)/4 的下界，揭示其与 Gale–Berlekamp 不平衡灯问题的类比。
2023-07-10 math.CO
A connection between the bipartite complements of line graphs and the line graphs with two positive eigenvalues
1974年，Cvetković和Simić证明了哪些图$G$是线图的二部补图。在2002年Borovietanin表明，其中线图$L(H)$有第三大特征值$λ_3\leq0$。我们的第一个观察结果是，Borovietanin发现的两个图是Cvetković和Simić发现的两个图的补图。使用的Courant-Weyl不等式，我们表明为什么这是和reprove Borovietanin的结果，突出了一些功能的图形都发现。
2012-04-13 math.CO
Limiting crossing numbers for geodesic drawings on the sphere
我们介绍了一个模型的随机测地线图纸上的完全二部图$K_{n,n}$的单位球$\mathbb{S}^2$在$\mathbb{R}^3$，其中我们选择的顶点在每个二部类的$K_{n,n}$关于两个非退化的概率测度$\mathbb{S}^2$。最近已经证明，许多这样的措施给出的图，其交叉数接近Zarankiewicz数（$K_{n,n}$的交叉数）。在本文中，我们考虑与这种随机图纸的交叉图。我们证明了，对于任何概率测度，所得到的随机交图在图极限意义下形成收敛图序列。极限图子的边密度与这两个测度无关，只要它们是对足对称的。然而，它表明，三角形密度表现不同。我们研究了一个特定的随机模型，爆炸的对极图纸$D$的$K_{4,4}$，并表明，三角形密度在相应的交叉graphon依赖于包含在$D$的边缘的大圆之间的角度，可以达到任何值的间隔$\bigl(\frac{83}{12288}, \frac{128}{12288}\bigr)$。
2020-08-24 cs.CG math.CO
Large homogeneous subgraphs in bipartite graphs with forbidden induced subgraphs
对于二部图G，设h（G）是使得G或G的二部补图中的任一个含有K_{t,t}的最大t.对于一类图F，设h（F）= min {h（G）：G \in F}.我们称一个二部图H是强无圈的，如果H及其二部补图都不含圈。用Forb（n，H）表示一组二部图，每个图的部分的大小为n，且不包含H作为关于边的导出二部子图。如果H不是强无圈的，则对于正的s，h（Forb（n，H））= O（n^{1-s}）。本文证明了除四个图外，所有强无圈图的h（Forb（n，H））在n中是线性的.
2019-03-22 math.CO
Bipartite clique minors in graphs of large Hadwiger number
Hadwiger数$h(G)$是$G$中最大完全子式的阶数。足够的Hadwiger数是否意味着一个具有额外性质的子式？在[2]中，Geelen等人证明了$h(G)\geq (1+o(1))ct\sqrt{\ln t}$意味着对于某些显式$c\sim 1.276\dotsc$，$G$有一个Hadwiger数至少为$t$的二部子图.我们将其改进为$h(G) \geq (1+o(1))t\sqrt{\log_2 t}$，并提供了一个结构，表明这是紧的。我们还得到了改进的边界的拓扑小变量这个问题。
2021-07-14 math.CO
Formation of a giant component in the intersection graph of a random chord diagram
研究了弦稀疏交叉时随机弦图最大分量的弦数和交叉数。这相当于研究随机交图的最大分支的顶点数和边数。用n表示弦的个数，用m表示交叉的个数，当m/nlog（n）趋于（0，2/π^2）的极限时，我们证明了从所有给定参数的图中随机均匀选取的弦图有一个包含几乎所有交叉和正弦分数的分量。当m < n/14时，最大分支的大小为O（log n）。其中一个关键的分析成分是一个渐近表达式的弦图的数量与参数n和m的m <（2/π^2）n \log（n），基于Touchard-Riordan公式和雅可比恒等式欧拉分拆函数。
2014-09-07 math.CO
Weak Modular Product of Bipartite Graphs, Bicliques and Isomorphism
Kozen在1978年的一个定理指出，两个图在$n$顶点上是同构的当且仅当在两个图之间的弱模积中存在一个大小为$n$的团。限制在二部图，并考虑其中的完全二部子图，研究了弱模积的组合数学。我们确定的情况下，同构是听话的使用这种方法，我们称之为同构通过Biclique枚举（IvBE）。我们发现IvBE对于二部$2K_2$ -free图是多项式，对于二部图族是拟多项式，其中最大导出匹配和最大导出冠图在$n$中生长缓慢，即$O(\mathrm{polylog }\, n)$ .此外，正如预期的那样，Kozen定理和Lovász三明治定理的一个直接推论是，如果两个图之间的弱模积是完美的，那么检查这些图是否同构是$n$中的多项式。然而，我们表明，平衡，二部图，这只在少数平凡的情况下是真的。在这样做的时候，我们定义了一个新的图积的二部图，非常弱的模积。本文所证明的关于二部图中的二部图的结果可能具有独立的意义。
2018-09-27 cs.DS math.CO
The largest subgraph without a forbidden induced subgraph
本文研究在边密度受限的图中不含禁用导出二部图的最大子图边数，针对稠密随机图和Paley图在常数因子内确定答案，并应用于遗传性质子图与字符串子图问题。
2024-06-08 math.CO math.PR
The Distribution of the Largest Non-trivial Eigenvalues in Families of Random Regular Graphs
最近弗里德曼证明了阿隆猜想的许多家庭的d-正则图，即任何给定的0> 0的“大多数”图有其最大的非平凡特征值至多2 sqrt{d-1}+ numb的绝对值;如果最大的非平凡特征值的绝对值是至多2 sqrt{d-1}然后该图被称为拉马努金。这些图在通信网络理论中有着重要的应用，可以用来建造超集中器和无阻塞网络，编码理论和密码学。由于许多这些应用程序依赖于最大的非平凡的正和负特征值的大小，这是很自然的调查他们的分布。我们表明，这些都是很好的模拟β =1 Tracy-Widom分布的几个家庭。如果观察到的平均值和标准差的增长率作为顶点数的函数在极限内成立，那么在极限内，大约52%的来自二分族的d-正则图应该是Ramanujan的，大约27%的来自非二分族的d-正则图应该是Ramanujan的（假设最大的正特征值和负特征值是独立的）。
2008-03-11 math.CO
On maximum $k$-edge-colorable subgraphs of bipartite graphs
如果是$k\geq 0$，则图$G$的$k$边着色是将颜色分配给来自$k$颜色集合的$G$的边，使得相邻的边接收不同的颜色。$G$的一个$k$ -边可着色子图是最大的，如果它是$G$的所有$k$ -边可着色子图中最大的.对于图$G$和$k\geq 0$，设$ν_{k}(G)$是$G$的最大$k$ -边可着色子图的边数。2010年，Mkrtchyan等人证明了如果$G$是三次图，则$ν_2(G)\leq \frac{|V|+2ν_3(G)}{4}$。这个结果意味着，如果三次图$G$包含完美匹配，特别是当它是无桥时，则$ν_2(G)\leq \frac{ν_1(G)+ν_3(G)}{2}$。人们可能想知道是否有其他有趣的图类，其中可以证明$ν_2(G)$和$\frac{ν_1(G)+ν_3(G)}{2}$之间的关系。与此相关，本文证明了对任何二部图$G$，$k\geq 0$和$i=0,1,...,k$，都有$ν_{k}(G) \geq \frac{ν_{k-i}(G) + ν_{k+i}(G)}{2}$.
2018-07-17 cs.DM math.CO
A series of trees with the first $\lfloor\frac{n-7}{2}\rfloor$ largest energies
图的能量定义为图的特征值的绝对值之和。本文提出了一种新的方法来比较两个$k$ -细分二部图在某些割边上的能量。作为新方法的应用，我们确定了$n\ge 31$的$n$阶的第一$\lfloor\frac{n-7}{2}\rfloor$极大能量树，并给出了第四极大能量树猜想的简化证明.
2011-11-09 math.CO
Characterizations of Eulerian and even-face partial duals of ribbon graphs
Huggett和Moffatt用中间图的所有交叉方向刻画了平面图的所有二部部分图。然后Metsidik和Jin用中间图的半交叉方向刻画了平面图的所有欧拉部分图。平面图是亏格为0的带状图。本文首先将Huggett和Moffatt的结果推广到任何可定向带状图，并举例说明它对不可定向带状图不成立。然后，我们用其中间图的交叉全方向来刻画任意带图的欧拉部分图，这比半交叉方向简单得多。
2017-06-08 math.CO
A spectral condition for Hamilton cycles in tough bipartite graphs
本文针对平衡二分图，给出了谱半径的尖锐条件，以保证在二分韧性至少为1时图中存在哈密顿圈，解决了文献中提出的问题。
2025-08-05 math.CO
Strengthening some complexity results on toughness of graphs
设$t$为正实数。一个图被称为$t$ -tough，如果删除任何断开图的顶点集$S$，最多只留下$|S|/t$组件。图的韧性是图是$t$ -tough的最大$t$。本文的主要结果如下。对于任何正有理数$t \le 1$和任何$k \ge 2$和$r \ge 6$整数，识别$t$ -坚韧二部图是coNP-完全的（$t=1$的情况是已知的），并且这个问题对于$k$ -连通二部图仍然是coNP-完全的，识别1-坚韧r-正则二部图的问题也是如此。为了证明这些陈述，我们也处理其他相关的韧性复杂性问题。%在本文中，我们证明了以下内容。对于任意正有理数$t$，判定$τ(G)=t$是否DP-完全，如果是$t < 1$，则该问题对于二部图仍是DP-完全的.对任意整数$k \ge 2$和正有理数$t \le 1$，识别$t$ -坚韧$k$ -连通二部图是coNP-完全的.对于任意整数$r \ge 5$，识别$1/2$ -坚韧$r$ -正则图是coNP-完全的.对于任意整数$r \ge 6$，识别1-坚韧$r$ -正则二部图是coNP-完全的.对于任意正有理数$t < 2/3$，给出了识别具有韧性$t$的3-正则图的多项式时间算法.最后，我们证明了每个连通4-正则图都是1/2-坚韧的。
2019-10-19 cs.DM math.CO
Maximum number of spanning trees in bipartite graphs with a given diameter
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；MIIT Key Laboratory of Mathematical Modelling and High Performance Computing of Air Vehicles（航空飞行器数学建模与高性能计算工信部重点实验室）；University of Niš（尼什大学）；University of Primorska（沿海大学）
本文确定了给定阶数和直径的二部图中生成树数量最多的所有图，为可靠二部网络设计提供极值刻画与结构参考。
2026-09-15 math.CO
On large bipartite graphs of diameter 3
我们考虑{ \it度/直径问题}的二部版本，即给定自然数$d\ge2$和$D\ge2$，求最大度$d$和直径$D$的二部图的最大顶点数$\N^b(d,D)$.在这种情况下，二分摩尔边界$\M^b(d,D)$表示$\N^b(d,D)$的一般上限。二部图的顺序$\M^b(d,D)$是非常罕见的，并确定$\N^b(d,D)$仍然是一个开放的问题，大多数$(d,D)$对。本文是我们早先的论文\cite{FPV12}的后续，在那里对二部$(d,D,-4)$ -图（即$\M^b(d,D)-4$阶的二部图）进行了研究。本文首先给出了二部$(d,3,-4)$ -图的一些结构性质，然后证明了不存在二部$(7,3,-4)$ -图.这个结果意味着已知的二分$(7,3,-6)$ -图是最优的，因此$\N^b(7,3)=80$ .我们的方法也承担了一个证明的唯一性的已知的二分$(5,3,-4)$ -图，和不存在的二分$(6,3,-4)$ -图。此外，我们发现了三个新的最大的已知的二部（也顶点传递）图的度11，直径3和顺序190，结果提高了4个顶点以前的下限为$\N^b(11,3)$。
2012-03-15 math.CO
Degree Realization by Bipartite Multigraphs
The City University of New York (CUNY)（纽约市立大学）；Huawei（华为）；The Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Bar Ilan University（巴伊兰大学）
本文研究了双图多重图实现度数序列的问题，提出了一种确定是否存在满足多余边数限制的实现方法，并证明了在未给定划分的情况下该问题的NP难性。
2026-01-06 cs.DM math.CO
On Kainen's conjectures on surface crossing numbers
本文研究 Kainen 关于闭曲面上完全图与完全二部图交叉数下界紧性的猜想，证明除少数图例外猜想在可定向与不可定向情形均成立。
2024-05-09 math.CO
Degenerate crossing number and signed reversal distance
本文研究了退化交叉数与非定向亏格的关系，证明了在特定嵌入方案中两者相等，并推翻了Mohar的更强猜想。
2025-12-09 cs.CG math.CO
Cubic bipartite graphs with minimum spectral gap
图$G$的邻接矩阵的两个最大特征值之差称为$G.$的谱间隙。如果$G$是正则图，则它的谱间隙等于代数连通度。Abdi，Ghorbani和Imrich，在[European J. Combin. 95（2021）103328]，证明了三次连通图在$2n$顶点上的最小代数连通度是$(1+o(1))\frac{π^{2}}{2n^{2}}$，这是在非二部图上得到的.受上述结果的启发，本文研究了三次二部图的代数连通度。证明了$2n$顶点上的三次二部图的最小代数连通度为$(1+o(1))\frac{π^{2}}{n^{2}}$ .此外，还刻画了唯一的具有最小代数连通度的三次二部图。基于正则图的代数连通度与谱间隙之间的关系，给出了具有最小谱间隙的三次二部图及其渐近值.在[J. Graph Theory 99（2022）671--690]中，Horak和Kim用Fibonacci数建立了完美匹配数的精确上界。通过证明一个三次二部图具有最大完美匹配数当且仅当它使代数连通度最小化，得到了极图的谱刻画。
2022-12-05 math.CO
The Largest Eigenvalue and Bi-Average Degree of a Graph
我们证明了对于一个顶点集为$V$且最大特征值为$λ_{\max}(G)$的图$G$，令$$ M(G) := \max_{X,Y \subset V} \frac{e(X,Y)}{\sqrt{|X||Y|}} $$（其中$e(X,Y)$表示$X$和$Y$之间的边的数目），我们有$$ M(G) \le λ_{\max}(G) \le \big(\frac14 \log|V| + 1 \big) \M(G). $$。这里，如果$G$是正则的或双正则的，则达到下限，而上限中的对数因子，具体地，可以改进-尽管我们给出了一个例子，表明它不能用增长速度比$(\log |V|/\log\log|V|)^{1/8}$慢的因子来代替。建立了进一步的改进，特别是在$G$是二分的情况下。
2011-06-04 math.CO
Using Block Designs in Crossing Number Bounds
图$G=(V,E)$的交叉数${\mbox {cr}}(G)$是平面上$G$的所有图上的最小边交叉数。对于任何$k\ge 1$，$G$的$k$ -平面交叉数${\mbox {cr}}_k(G)$定义为所有具有$\cup_{i=1}^{k}G_i=G$的图$G_1, G_2,\ldots, G_{k}$上的${\mbox {cr}}(G_1)+{\mbox {cr}}(G_2)+\ldots+{\mbox {cr}}(G_{k})$的最小值。Pach等人[ \emph{Computational Geometry: Theory and Applications} { \bf 68} 2- 6，（2018）]表明，对于每个$k\ge 1$，我们都有${\mbox {cr}}_k(G)\le \left(\frac{2}{k^2}-\frac1{k^3}\right){\mbox {cr}}(G)$，并且如果我们用任何小于$\frac1{k^2}$的数字替换常数$\frac{2}{k^2}-\frac1{k^3}$，则该界限不保持为真。我们改进了$\frac{1}{k^2}(1+o(1))$的上界为$k\rightarrow \infty$。对于二部图类，我们证明了最好的常数正是$\frac{1}{k^2}$的每一个$k$。结果扩展到$k$ -平面交叉数的直线变体。
2018-07-10 math.CO
Coloured and Dependent Planar Matchings of Random Bipartite Graphs
本文研究了随机二部图中与平面匹配有关的两个问题。首先，我们从${r}$颜色中均匀随机地对完全二部图$K_{n,n}$的每条边着色，并证明了如果${r}$与${n}$线性增长，则最大彩虹匹配是${r}$的高概率非平凡分数，即概率收敛到一，如${n \rightarrow \infty}$接下来，我们考虑平面匹配在一个依赖的设置，其中每个顶点被迫选择恰好一个邻居，从在所有可能的选择中。我们得到的最大尺寸的平面匹配的估计，并讨论了我们的结果的影响，最长的增加随机排列。
2023-01-12 math.CO math.PR
Kauffman's clock lattice as a graph of perfect matchings: a formula for its height
本文给出了一种算法计算考夫曼时钟格的高度，该高度是由两个相邻区域加星号且没有指定交叉信息的纽结图得到的。我们证明了这个格是由纽结图的两个对偶Tait图叠加得到的二部图的完美匹配图。这种设置也使得明显的应用Chebyshev或调和结，其相关的二部图是流行的网格图，并离散莫尔斯函数。进一步证明了一般二部图的结构性质。
2012-11-12 math.CO math.GT
Supermodularity in Unweighted Graph Optimization I: Branchings and Matchings
本文的主要结果是由以下两个显然无关的图最优化问题激发的：（A）作为Edmonds的不相交分支定理的推广，刻画了包含$k$不相交分支$B_i$的有向图，每个分支具有指定数目的弧$μ_i$，（B）作为Ryser的最大项秩公式的推广，确定满足度约束的简单二部图的最大可能匹配数。这些问题的解决方案和他们的推广将得到一个新的极小极大定理覆盖的一个简单的度约束二部图的超模函数。结果的一个具体特点是，它的最小成本扩展已经是NP完全的。因此，经典的多面体工具本身肯定不足以解决这个问题，即使他们在我们的方法中做出了一些很好的服务。
2017-09-04 cs.DM math.CO
Random Turán Theorem for the Fano Plane
该研究确定了随机3-均匀超图中，最大无F子超图是否为二分图的尖锐阈值，这是随机超图Turán型问题的首个尖锐阈值结果。
2026-07-31 math.CO math.PR
Characterizations of bipartite and Eulerian partial duals of orientable hypermaps
本文在双置换模型中给出显式超边部分对偶公式，证明部分对偶保持超边支撑和长度并反转选定超边的α-循环；通过定义黑白平滑状态，证明部分对偶的顶点与状态圆一一对应，并给出超图部分对偶为欧拉图或二部图的充要条件。
2026-06-29 math.CO
Hadwiger number of graphs with small chordality
图G的Hadwiger数是使得G有完全图Kh作为子图的最大整数h。我们证明了确定图的Hadwiger数的问题在余二部图上是NP-困难的，但在余图和二部置换图上可以在多项式时间内解决。我们还考虑了这个问题的一个自然推广，要求最大的整数h，使G有一个小的h顶点和直径至多$s$。我们证明了当s>=2时，这个问题在AT-free图上可以在多项式时间内得到解决，但对于任何固定的s>=2，这个问题在弦图上是NP-困难的。
2014-06-15 cs.DS math.CO
Distance signless Laplacian spectral radius and perfect matching in graphs and bipartite graphs
连通图$G$的距离矩阵$\mathcal{D}$是由$G$的顶点索引的矩阵，其中条目$\mathcal{D}_{i,j}$等于顶点$v_i$和$v_j$之间的距离。定义图$G$的距离无符号拉普拉斯矩阵$\mathcal{Q}(G)$为$\mathcal{Q}(G)=Diag(Tr)+\mathcal{D}(G)$，其中$Diag(Tr)$是$G$中顶点传递的对角矩阵. $\mathcal{Q}(G)$的最大特征值称为$G$的距离无符号拉普拉斯谱半径，写作$η_1(G)$。图中的完美匹配是一组覆盖$G$的每个顶点的不相邻边。本文利用距离无符号Laplacian谱半径给出了图和二分图中存在完美匹配的两个充分条件。
2021-04-03 math.CO
Induced Turán problem in bipartite graphs
研究二部图中的诱导图兰问题，通过加强 Sudakov 和 Tomon 的结果，对一大类二部图给出诱导图兰数的上界，并蕴含有界 VC 维二部图的极值结果。
2024-03-18 math.CO
Restraints Permitting the Largest Number of Colourings
$G$上的\textit{restraint} $r$是一个函数，它为$G$的每个顶点$v$分配一组有限的禁用颜色$r(v)$。如果对$G$的每个顶点$v$都有$c(v)\notin r(v)$，则称$G$的适当着色$c$为\textit{permitted by the restraint r}。一个具有$n$顶点的图$G$上的约束$r$称为\textit{$k$-restraint}，如果对$G$的每个顶点$v$都有$|r(v)|=k$和$r(v) \subseteq \{1,2,\dots ,kn\}$.在这篇文章中，我们讨论了以下问题：在所有的$k$ -约束$r$对$G$，哪些限制允许最大数量的$x$ -着色的所有足够大的$x$？我们确定这样的极值约束的所有二部图。
2016-11-29 math.CO
Packings in bipartite prisms and hypercubes
本文研究了二部图与超立方体的填装数，证明了二部棱柱开填装数与2-填装数的倍数关系，确立了超立方体填装数下界，并应用于单射着色，证明了$Q_9$是最小的不可完美单射着色的超立方体。
2023-09-10 math.CO
