\noindent By a seminal result of Valiant, computing the permanent of $(0,1)$-matrices is, in general, $\#\mathsf{P}$-hard. In 1913 Pólya asked for which $(0,1)$-matrices $A$ it is possible to change some signs such that the permanent of $A$ equals the determinant of the resulting matrix. In 1975, Little showed these matrices to be exactly the biadjacency matrices of bipartite graphs excluding $K_{3,3}$ as a \{matching minor}. This was turned into a polynomial time algorithm by McCuaig, Robertson, Seymour, and Thomas in 1999. However, the relation between the exclusion of some matching minor in a bipartite graph and the tractability of the permanent extends beyond $K_{3,3}.$ Recently it was shown that the exclusion of any planar bipartite graph as a matching minor yields a class of bipartite graphs on which the {permanent} of the corresponding $(0,1)$-matrices can be computed efficiently. In this paper we unify the two results above into a single, more general result in the style of the celebrated structure theorem for single-crossing-minor-free graphs. We identify a class of bipartite graphs strictly generalising planar bipartite graphs and $K_{3,3}$ which includes infinitely many non-Pfaffian graphs. The exclusion of any member of this class as a matching minor yields a structure that allows for the efficient evaluation of the permanent. Moreover, we show that the evaluation of the permanent remains $\#\mathsf{P}$-hard on bipartite graphs which exclude $K_{5,5}$ as a matching minor. This establishes a first computational lower bound for the problem of counting perfect matchings on matching minor closed classes.
CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP（法国国家科学研究中心、里昂高等师范学校、克洛德·贝尔纳里昂大学）；Département d’Informatique, Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学信息学系）
Max Independent Set Remains NP-hard when Excluding a Planar Induced Minor (and More)
CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP UMR 5668（法国国家科学研究中心、里昂高等师范学院、里昂第一大学、LIP联合研究实验室）；Department of Mathematics, Hanyang University（汉阳大学数学系）
Defective colouring of graphs excluding a subgraph or minor
Archdeacon（1987）证明了可嵌入到固定曲面上的图可以是$3$ -着色的，使得每一个着色类都导出一个有界最大度的子图。Edwards，Kang，Kim，Oum and Seymour（2015）证明了没有$K_{t+1}$ -子图的图可以是$t$ -着色的，使得每个颜色类都导出一个有界最大度的子图。我们证明了一个共同的概括，这些定理与较弱的假设排除子图。这一结果导致了几类图的新的缺陷着色结果，包括具有线性交叉数的图，具有给定厚度的图（与地球-月球问题相关），具有给定栈数或栈数的图，无链接或knockless可嵌入图，具有给定Colin de Verdière参数的图，以及排除完全二部图作为拓扑子图的图。
Bipartite Graphs Are Not Well-Quasi-Ordered by Bipartite Minors
David R. Cheriton School of Computer Science, University of Waterloo（滑铁卢大学 David R. Cheriton 计算机科学学院）；Department of Applied Mathematics, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查理大学数学物理学院应用数学系）
在[有向树宽度]中，J. Combin. Theory Ser. B 82（2001），138-154]我们引入了有向图树宽的概念，并提出了一个猜想，在与Noga Alon和Bruce Reed的讨论中提出，一个巨大树宽的有向图有一个大的“圆柱形网格”子图。在这里，我们证明了平面有向图的猜想，但许多步骤的证明工作一般。这是一份2001年10月未经编辑和打磨的手稿。由于许多人要求提供副本，我们正在提供，希望它可能有用。Kawarabayashi和Kreutzer在arXiv：1411.5681中证明了这个猜想。
Asymptotic Density of Graphs Excluding Disconnected Minors
对于图$H$，设$$c_{\infty}(H)= \lim_{n \to \infty}\max\frac{|E(G)|}{n},$$，其中最大值取在不包含$H$作为子图的$n$顶点上的所有图$G$上。因此，$c_{\infty}(H)$是不包含$H$作为子图的图的渐近最大密度。利用Eppstein的一个结构引理，证明了不连通图$H$的$c_{\infty}(H)$的新上界.特别地，只要$H$是圈的并集，我们就确定$c_{\infty}(H)$。最后，我们研究了固定$r$的$c_\infty(sK_r)$的行为，其中$sK_r$表示完全图的$s$不相交副本在$r$顶点上的并集。本文改进了Pakason的结果，证明了$$c_\infty(sK_r)=s(r-1)-1 \mathrm{\; for \;} s =Ω\left(\frac{\log{r}}{\log\log{r}}\right),$$和$$c_\infty(sK_r)>s(r-1)-1 \mathrm{\; for \;} s ={o}\left(\frac{\log{r}}{\log\log{r}}\right).$$
考虑以下两种方法来给图的顶点着色，其中放松了邻顶点获得不同颜色的要求。如果每个单色分量的最大度数至多为$d$，则着色具有“缺陷”$d$。如果每个单色分量最多有$c$顶点，则着色具有“聚类”$c$。本文调查研究这些类型的着色，其中的第一要务是尽量减少颜色的数量，小缺陷或小集群作为次要目标。列表着色变体也被考虑。研究了以下图形类：外可平面图、可平面图、可嵌入曲面中的图、具有给定最大度的图、具有给定最大平均度的图、不包括给定子图的图、具有线性交叉数的图、无链接或无链接可嵌入图、具有给定Colin de Verdière参数的图、具有给定周长的图、不包括作为浸入的固定图的图、具有给定厚度的图、具有给定堆叠数或堆叠数的图、不包括$K_t$作为子图的图、不包括$K_{s,t}$作为子图的图、以及不包括任意图$H$作为子图的图。几个开放的问题进行了讨论。
Coarse Balanced Separators in Fat-Minor-Free Graphs
CNRS, ENS de Lyon（法国国家科学研究中心，里昂高等师范学校）；Université Claude Bernard Lyon 1（里昂第一大学）；LIP, UMR 5668（LIP实验室，UMR 5668）；University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；University of Warsaw（华沙大学）
