Extending drawings of complete graphs into arrangements of pseudocircles
受几何学在证明$K_n$的“伪线性”图的Harary-Hill猜想中的成功应用的启发，我们引入了图的“伪球面”图。图$G$的球面图是单位球面$\mathbb{S}^2$中的图，其中$G$的顶点表示为点-在大圆上没有三个-并且$G$的边是连接顶点对的$\mathbb{S}^2$中最短的弧。这样的绘图有三个性质：（1）每条边$e$都包含在一条简单的闭合曲线$γ_e$中，使得$γ_e$中仅有的顶点是$e$的端点;（2）如果$e\ne f$，则$γ_e\capγ_f$恰好有两个交叉点;（3）如果$e\ne f$，则$e$与$γ_f$相交至多一次，或者在$e$的交叉点或者在$e$的端点。我们使用性质（1）-（3）来定义$G$的伪球面图。我们的主要结果是，对于完全图，性质（1）-（3）等价于相同的三个性质，只是把（2）中的“恰好两个交叉点”替换为“至多两个交叉点”。证明需要一个结果的几何横向理论安排的pseudocircles。这是证明使用的令人惊讶的结果，没有特殊的弧（连贯的螺旋）在安排简单的封闭曲线的特点，任何两个曲线的安排有最多两个交叉点的事实。我们的研究提供了必要的想法，展示了一个图纸的$K_{10}$，没有扩展到一个安排的pseudocircles和图纸的$K_9$，并扩展到一个安排的pseudocircles，但没有这样的扩展有所有对pseudocircles交叉两次。
2021-04-19 cs.CG math.CO
Toward the Rectilinear Crossing Number of $K_n$: New Drawings, Upper Bounds, and Asymptotics
Scheinerman和Wilf（1994）指出：“确定完全图K_n的直交数是图嵌入研究中的一个重要公开问题。“K_n的直线图是平面上n个顶点的排列，每对顶点都由一条线段边连接。我们假设没有三个顶点是共线的，并且没有三条边相交于一个点，除非该点是所有三条边的端点。K_n的直线交叉数是在K_n的所有直线图上可达到的最少边交叉数。对于每个n，我们构造一个直线图K_n，具有最少的边交叉和最好的渐近已知的日期。此外，我们还给出了K_n的几种具有良好渐近性的可供选择的无穷图族.最后，我们提到了一些新老问题。
2000-09-28 cs.CG cs.DM math.CO
Crossings in Grid Drawings
证明了顶点集取自体积为N的d维网格的几何图的交叉数不等式，并给出了这些不等式在计算可画在这种网格上的非交叉几何图的数目方面的应用.特别地，我们证明了任意边数m ≥ 8 N且顶点数在体积为N的三维整数网格上的几何图都有Ω（（m^2/n）\log（m/n））交叉.在d维中，当d >= 4时，这个界限变成Ω（m^2/n）。我们为所有d提供匹配的上界。最后，对于d >= 4，上界意味着顶点在体积N的某个d维网格上的无交叉几何图的最大数目是n^Θ（n）。在3维空间中，改进平凡界，即2^Ω（n）下界和n^O（n）上界仍然是开放的。
2013-01-21 cs.CG math.CO
The 2-page crossing number of $K_n$
大约在1958年，Hill描述了如何画出具有[Z（n）：=1/4 \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor \lfloor \frac{n-2}{2} % \rfloor \lfloor \frac{n-3}{2} \rfloor ]交叉的完全图$K_n$，并证明了$K_n$的交叉数$\crg (K_{n})$正好是Z（n）。这也被称为盖伊猜想，因为他后来推广了它。到本世纪末，发现了具有Z（n）交叉的$K_{n}$的基本不同的绘图。这些绘图是\emph{2-page book drawings}，即所有顶点都在$\ell$（脊柱）上的绘图，并且每个边缘都完全包含在$\ell$定义的两个半平面（页面）之一中。$K_{n} $的\emph{2-page crossing number}，用$ν_{2}(K_{n})$表示，是由$K_{n}% $的2页书籍绘图确定的最小交叉数。由于$\crg(K_{n}) \leν_{2}(K_{n})$和$ν_{2}(K_{n}) \le Z(n)$，希尔猜想的一个自然步骤是%（形式上）较弱的猜想$ν_{2}(K_{n}) = Z(n)$，由Vrt 'o推广。据我们所知，这个自然猜想是由Imrich Vrt 'o在2007年首次提出的。在本文之前，已知的$ν_2(K_n)$的结果…
2012-06-25 cs.CG math.CO
Separable Drawings: Extendability and Crossing-Free Hamiltonian Cycles
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
引入可分离绘图概念，证明每个可分离绘图可扩展为完全图K_n的简单绘图，且K_n的可分离绘图包含无交叉哈密顿环并是平面哈密顿连通的。
2026-06-18 cs.CG cs.DM math.CO
Approximating the rectilinear crossing number
图的直线图$G$是一种映射，它为平面中的每个顶点指定一个点，并为每个边指定一条连接相应两点的直线段。图$G$的直线交叉数，$\overline{cr}(G)$，是在$G$的任何直线图中交叉边的最小数目。确定或估计$\overline{cr}(G)$似乎是一个困难的问题，并决定$\overline{cr}(G)\leq k$是否已知是NP难的。事实上，$\overline{cr}(K_n)$的渐近行为仍然是未知的。在本文中，我们提出了一个确定性的$n^{2+o(1)}$ -时间算法，找到一个直线绘制的任何$n$ -顶点图$G$与$\overline{cr}(G) + o(n^4)$交叉边。结合Ajtai等人和Leighton的交叉引理，这个结果意味着对于任何稠密$n$ -顶点图$G$，可以有效地找到具有$(1 + o(1))\overline{cr}(G)$交叉边的$G$的直线图。
2016-09-07 cs.CG math.CO
A Unified FPT Framework for Crossing Number Problems
针对平面及曲面上的广义交叉数问题，提出统一FPT框架，通过固定曲面、映射等参数及归约到二维单纯复形嵌入，提供二次时间算法，覆盖多变体且运行时间优于传统方法。
2025-08-25 cs.CG math.CO
Crossing Numbers of Beyond-Planar Graphs Revisited
图形绘制超越平面性的重点是绘制高视觉质量的非平面图形，其特征是某些禁止的边缘配置。一幅图的质量的一个自然标准是边缘交叉的数量。然后出现的问题是否超越平面图纸有一个显着更大的交叉数比无限制的图纸。Chimani等人[GD'19]给出了三类超平面图的交叉数与非限制交叉数之比的界。在本文中，我们将他们的结果推广到目前已知的主要类别的超平面图的特征在于禁止边配置和回答他们的几个开放的问题。
2021-05-26 cs.CG
Bishellable drawings of $K_n$
Harary-Hill猜想在50多年后仍然是公开的，它断言完全图$K_n$的交叉数是$ H(n) = \frac 1 4 \left\lfloor\frac{\mathstrut n}{\mathstrut 2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{\mathstrut n-1}{\mathstrut 2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{\mathstrut n-2}{\mathstrut 2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{\mathstrut n-3}{\mathstrut 2}\right \rfloor$。Ábrego等人介绍了$K_n$的图纸$D$的可壳性概念。他们证明了如果$D$对于某些$s\geq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$是$s$可壳的，那么$D$至少有$H(n)$交叉。这是保证至少有$H(n)$交叉的图形上的第一个组合条件。在这项工作中，我们推广的概念$s$ -shellability bishellability，前者意味着后者的意义上说，每一个$s$ -shellable绘图是，对于任何$b \leq s-2$，也$b$ -bishellable。我们的主要结果是，$(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\!-\!2)$ -bis…
2018-07-12 cs.CG math.CO
Minimizing an Uncrossed Collection of Drawings
本文提出无交叉绘图集合概念，定义无交叉数和无交叉交叉数两个优化目标，并证明后者NP困难但存在FPT算法。
2025-09-22 cs.CG cs.DM math.CO
A Dichotomy for 1-Planarity with Restricted Crossing Types Parameterized by Treewidth
本文针对受限交叉类型的1-可平面性识别问题，证明存在三类坏交叉类型构成二分边界，分别给出固定参数可解与NP难的复杂度结论，并将结果拓展到1-平面直线绘制场景。
2025-11-18 cs.CG cs.DS math.CO
Unit Edge-Length Rectilinear Drawings with Crossings and Rectangular Faces
本文研究了允许边交叉的具有矩形面的单位边长直线绘图（UER-RF），提出了高效易实现的识别与构建算法，并在顶点度数、面大小限制及边界、旋转系统固定等设置下进行了探讨。
2025-03-03 cs.CG
Crossing-Optimal Extension of Simple Drawings
在部分图绘图的扩展问题中，给出了输入图$G$的不完整绘图，并要求在保持某些属性的情况下完成绘图。出现这种问题的一个突出领域是交叉最小化。对于平面图和各种放宽这些，有一些易处理性以及下限的结果，探索交叉敏感的绘图扩展问题的计算复杂性。相比之下，相对较少的结果是已知的基本和广泛的一类简单的图纸，即图纸中的每对边缘相交在最多一个点的扩展问题。事实上，直到最近，它已被证明，简单的图纸延伸问题是NP-难的，即使任务是插入一个单一的边缘。在本文中，我们提出了简单的图纸交叉敏感的延伸问题的易处理的结果。特别是，我们表明，插入到一个简单的绘图的边缘的问题是固定参数的参数化时，易于处理的边缘插入和上界新创建的交叉点的数量。使用相同的证明技术，我们也能够回答这个问题的几个密切相关的变种，其中包括$k$ -平面图纸的扩展问题。此外，使用不同的方法，我们提供了一个单指数固定参数算法的情况下，我们只是试图插入一个单一的边缘到绘图。
2020-12-14 cs.CG cs.DS
The optimal drawings of K_{5,n}
Zarankiewicz猜想（ZC）指出交叉数cr $(K_{m,n})$等于$Z(m,n):=\floor{\frac{m}{2}} \floor{\frac{m-1}{2}} \floor{\frac{n}{2}} \floor{\frac{n-1}{2}}$。自从Kleitman对$K_{5,n}$的ZC进行验证以来（$K_{6,n}$的ZC很容易遵循），围绕ZC取得的进展很少;最值得注意的例外涉及计算机辅助结果。为了更深入地理解这个著名的困难猜想，我们研究了$K_{5,n}$的最优（即交叉最小）图。具有$Z(m,n)$交叉的$K_{m,n}$的广为人知的自然绘图（所谓的Zarankiewicz绘图）包含对极顶点，即，度$m$顶点对，使得它们的$K_{m,2}$的诱导绘图没有交叉。对映顶点也发挥了重要作用，在Kleitman的归纳证明，cr $(K_{5,n}) = Z(5,n)$。我们深入探讨的作用，对映顶点的最佳图纸的$K_{5,n}$，甚至$n$。证明了如果{ $n \equiv 2$（mod 4）}，则$K_{5,n}$的每一个最优图都有对映顶点.我们还展示了一个双参数家庭的最佳图纸$D_{r,s}$的$K_{5,4(r+s)}$（$r,s\ge 0$），没有对映顶点，并表明，如果$n\equiv 0$（模4），那么每个最佳图纸的$K_{5,n}$没有对映顶点是（顶点…
2012-10-22 cs.CG math.CO
Drawing Graphs with Circular Arcs and Right-Angle Crossings
在图形的RAC绘图中，顶点由平面中的点表示，相邻顶点由线段连接，并且交叉必须形成直角。允许这样绘图的图是RAC图。RAC图是一类超平面图，已经得到了广泛的研究。特别地，已知具有n个顶点的RAC图最多具有4 n- 10条边。我们引入了RAC图的一个超类，我们称之为arc-RAC图。一个图是arc-RAC，如果它允许一个图，其中边由圆弧表示，交叉形成直角。我们给出了一个Turán型结果，证明了n阶arc-RAC图最多有14 n- 12条边，并且存在n阶arc-RAC图有4. 5 n-o（n）条边.
2020-07-09 cs.CG
The Crossing Number of Semi-Pair-Shellable Drawings of Complete Graphs
Harary-Hill猜想指出，对于$n\geq 3$，$K_n$的每个绘图至少有\begin{align*} H(n) := \frac{1}{4}\Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-1}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-2}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-3}{2}\Big\rfloor \end{align*}交叉。一般来说，这个问题仍然没有解决，但在证明限制类图纸的猜想已经取得了一些成功。这些类中最新和最通用的是seq-shellability。在这项工作中，我们改进了这些结果，并引入了一类新的半对壳图。我们证明了Harary-Hill猜想使用新的结果$k$ -边缘这一类。到目前为止，证明特定类的Harary-Hill猜想的方法依赖于固定的参考面。我们成功地应用新技术，以放松这一限制，这使我们能够选择不同的参考面时，考虑子图纸。此外，我们引入的概念$k$ -偏差之间的差异，最佳和实际数量的$k$ -边缘。使用$k$ -偏差，我们得到有趣的见解的本质$k$ -边缘，我们进一步放松的必要性，固定的参考面。
2018-07-11 cs.CG math.CO
Updating the Number of Crossings in Rectilinear Drawings of the Complete Graph
设$S$是平面中一般位置上的一组$n$点。用直线段连接$S$中的每对点。令$\overline{cr}(S)$为在其内部相交的这些边的对数。假设这个数字是已知的。本文考虑了计算$\overline{cr}(S')$的问题，其中$S'$来自于从$S$中增加、删除或移动一个点。
2017-11-12 cs.CG
Compact Drawings of 1-Planar Graphs with Right-Angle Crossings and Few Bends
我们研究了以下几类超平面图：1-平面图、IC-平面图和NIC-平面图。这些图形分别允许1-平面、IC-平面和NIC-平面绘图。如果一个图的每条边至多相交一次，则该图是1-平面图。如果没有两对相交边共享一个顶点，则1-平面绘图是IC-平面的。如果没有两对相交边共享两个顶点，则单平面图形是NIC平面的。我们研究这些超越平面图类（超越平面图是一个集体术语的主要尝试推广的平面图）的直角交叉（RAC）图，承认紧凑的图纸上的网格很少弯曲的关系。我们提出了四个绘图算法，保持给定的嵌入。首先，我们证明了每个$n$ -顶点NIC-平面图允许一个NIC-平面RAC绘图，在大小为$O(n) \times O(n)$的网格上，每条边最多有一个弯曲。然后，我们证明了每一个$n$ -顶点1-平面图承认1-平面RAC绘图与最多两个弯曲的每边上的大小为$O(n^3) \times O(n^3)$的网格。最后，我们提出了两个已知的算法嵌入保持，用于绘制1-平面RAC图，每边至多一个弯曲和绘制IC-平面RAC图直线。
2019-08-08 cs.CG cs.DM
Computational search of small point sets with small rectilinear crossing number
设$\crs(K_n)$是平面上$n$顶点上完全图的所有直线图上的最小交叉数。在本文中，我们证明了$\crs(K_n) < 0.380473\binom{n}{4}+Θ(n^3)$，从而改善了以前最好的已知上界。这是通过对于小的$n$值获得新的$K_n$的直线图，然后使用已知的构造从较小的图获得任意大的良好图来完成的。“小”集是使用本文中详细介绍的简单启发式方法找到的。
2014-03-05 cs.CG cs.DM math.CO
A Greedy Heuristic for Crossing-Angle Maximization
图$G=(V, E)$的直线图$Γ$的交叉角是图$Γ$中两条交叉边之间的最小角。判断一个图$G$是否具有一个交叉角为$90^\circ$的直线图是$\mathcal NP$ -hard。我们提出了一个简单的启发式计算一个大的交叉角的绘图。启发式Greetron在一组随机点中为单个顶点选择最佳位置。该算法是伴随着一个加速技术来计算交叉角的直线绘图。我们的启发式的有效性，在广泛的实证评估。我们的启发式算法显然是2017年图形绘制挑战赛的获胜算法（CoffeeVM）。
2018-07-31 cs.CG cs.DS
Simultaneous Drawing of Planar Graphs with Right-Angle Crossings and Few Bends
给定两个定义在同一组顶点上的平面图，RAC同时绘图是其中每个图都是平面绘制的，没有边重叠，并且两个图之间的交叉形成直角。几何版本将问题限制在直线图上。然而，已知存在不允许几何RAC同时绘图的轮和匹配。为了扩大允许RAC同时绘图的图的类别，我们允许在所得到的绘图中弯曲。我们证明了两个平面图总是允许RAC同时绘制，每个边有六个弯曲，在二次区域。对于更受限制的平面图类（即，匹配、路径、圈、外平面图和次哈密尔顿图），我们设法显著减少每条边所需的弯曲数，同时保持面积平方。
2016-11-22 cs.CG cs.DS
Degenerate crossing number and signed reversal distance
本文研究了退化交叉数与非定向亏格的关系，证明了在特定嵌入方案中两者相等，并推翻了Mohar的更强猜想。
2025-12-09 cs.CG math.CO
Drawing Trees with Perfect Angular Resolution and Polynomial Area
我们研究的方法，绘制树木与完美的角分辨率，即，其中每个节点处的角度v等于2π/d（v）。我们显示：1.任何无序树都有一个无交叉的直线图，具有完美的角分辨率和多项式面积。2.对于任何具有完美角分辨率的无交叉直线图，存在需要指数面积的有序树。3.任何有序树都有一个无交叉的伦巴第风格的绘图（每个边都用圆弧表示），具有完美的角分辨率和多项式面积。因此，我们的研究结果探讨了什么是可以实现的直线图纸和什么是可以实现的伦巴第风格的图纸，相对于图纸的树木具有完美的角分辨率。
2015-09-10 cs.CG
On the 2-colored crossing number
设$D$是一个图的直线图。$D$的直线2-色交叉数是在$D$的边的所有可能的2-着色中，相同颜色的边之间的最小交叉数。首先，我们给出了完全图$K_n$的直线2-色交叉数的上下界。为了得到这个结果，我们证明了渐近界可以从最佳和近最佳的情况下，很少的顶点。我们获得这样的实例使用的组合的数学和整数规划。其次，对于$K_n$的任意固定图，我们改进了其直线2-色交叉数与直线交叉数之比的界。
2019-09-11 cs.CG math.CO
Picking Planar Edges; or, Drawing a Graph with a Planar Subgraph
给定一个图$G$和它的边的子集$F \subseteq E(G)$，是否存在一个$G$的图，其中$F$的所有边都没有交叉？我们表明，这个问题可以解决在多项式时间使用Hanani-Tutte风格的方法。如果我们要求$G$的绘制是直线，并且允许沿着$F$的每条边最多有一个交叉，那么这个问题就像实数的存在理论一样困难。
2013-11-26 cs.CG cs.DM math.CO
Approximating the Bundled Crossing Number
交叉点捆绑是一种提高图形可读性的策略。在本文中，我们认为好的图纸，即，我们要求任何两条边最多有一个公共点，该公共点可以是公共顶点或交叉点。我们的主要结果是，有一个多项式时间的算法来计算一个好的绘图（添加一个术语取决于面部结构的绘图）的捆绑交叉数的8-近似。在圆形图的特殊情况下，近似因子为8（没有额外的项），这改进了Fink等人的10-近似（嵌入图中的捆绑交叉，Proc. Latin'16）。我们的方法也适用于伪片段族的相同近似因子，即，最多相交一次的曲线。我们还展示了如何计算一个9/2近似时的交叉图的伪段是二分的。
2021-09-30 cs.CG cs.DM
Edge-Minimum Saturated k-Planar Drawings
对于平面中无环（多）图的绘图类$\mathcal{D}$，当向$D$添加任何边导致$D' \notin \mathcal{D}$时，绘图$D \in \mathcal{D}$是\emph{saturated}-这类似于Turán（1941）和Erdés，Hajnal和Moon（1964）引入的图类中的饱和图。我们专注于$k$ -平面图，即，在平面中绘制的图形，其中每个边在最多的$k$时间交叉，以及所有$k$ -平面图的类$\mathcal{D}$，服从一些限制，如没有交叉的入射边，没有一对边交叉超过一次，或没有边交叉本身。虽然饱和的$k$ -平面图纸是几个以前的作品的重点，如何稀疏这些可以是不好理解的紧边界。我们建立了一个通用的框架，以确定所有的$n$ -顶点饱和$k$ -在许多自然类的平面图纸之间的最小数量的边缘。例如，当事件交叉、多交叉和自交叉都被允许时，稀疏$n$ -顶点饱和$k$ -平面绘图对于任何$k \geq 4$都具有$\frac{2}{k - (k \bmod 2)} (n-1)$边，而如果所有这些都被禁止，稀疏的这样的绘图对于任何$k \geq 6$都具有$\frac{2(k+1)}{k(k-1)}(n-1)$边。
2021-08-26 cs.CG cs.DM math.CO
Algorithms and Bounds for Drawing Non-planar Graphs with Crossing-free Subgraphs
我们首先研究了如下问题：给定一个非平面图G和G的一个平面子图S，是否存在G在平面上的一个直线图Γ，使得G的任何边都不与S的边相交？对G的不同类型的连通生成子图S给出了肯定和否定的结果。此外，为了扩大的子集的情况下，承认一个解决方案，我们考虑的可能性弯曲的边缘G不在S中，在这种情况下，我们讨论不同的权衡弯曲的数量和所需的绘图面积。
2014-08-07 cs.CG
k-Planar and Fan-Crossing Drawings and Transductions of Embeddable Graphs
Masaryk University（马萨里克大学）
本文研究了图类通过FO转导定义与特定扇交叉图之间的关系，证明了某些图类无法通过转导定义，从而得出其无法为k-平面图。
2026-09-11 cs.CG cs.LO math.CO
Polyline Drawings with Topological Constraints
设$G$是一个简单拓扑图，$Γ$是$G$的一个简单图.如果$Γ$与$G$具有相同的外边界、相同的旋转系统和相同的交叉集，则我们称之为$G$的$Γ$ \emph{partially preserves the topology}。如果$G$的平面化和$Γ$的平面化具有相同的平面嵌入，则绘制$Γ$完全保留了$G$的拓扑。我们证明了如果$G$的无交叉边集形成一个连通生成子图，则$G$允许一个部分保持其拓扑结构且曲线复杂度至多为3的连续图（即，每边最多三个弯曲）。然而，如果$G$的无交叉边的集合不是连通生成子图，则曲线复杂度可以是$Ω(\sqrt{n})$。关于图纸，完全保留的拓扑结构，我们表明，如果$G$有偏度$k$，它承认一个这样的绘图曲线复杂性最多$2k$ ;偏度为1的图，曲线复杂性可以减少到一个，这是一个紧的界限。我们还考虑最佳的$2$ -平面图，并讨论曲线的复杂性和交叉角分辨率的图纸，完全保持拓扑结构之间的权衡。
2018-09-21 cs.CG
Relaxing the Constraints of Clustered Planarity
在聚类图的绘制中，顶点和边分别被绘制为点和曲线，而聚类由简单的闭合区域表示。如果一个聚类图没有边与边、边与区域或区域与区域的交叉，则它是c-平面的。判定聚类图是否可作c-平面图的复杂性是图论研究领域中一个长期存在的问题。c-平面性的一个明显的必要条件是聚类图的平面性。然而，这样的条件是不够的，由于没有边缘区域和区域区域交叉的要求对问题的后果尚未完全理解。为了阐明c-平面性问题，我们考虑了它的一个宽松版本，其中允许某些类型的交叉（边-边，边-区域或区域-区域），即使底层图是平面的。我们调查的最小数量之间的关系边边，边区域，区域区域交叉的图纸相同的聚类图。此外，我们考虑图纸中，只有一种交叉被承认。在这种情况下，我们证明了只有边缘边缘或只有边缘区域交叉的图纸总是存在的，而只有区域区域交叉的图纸可能不存在。此外，我们提供了这样的交叉点的数量的上限和下限。最后，我们给出了一个多项式时间的算法来测试是否只有区域交叉的绘图存在的双连通图，从而确定了第一个非平凡的必要条件c-平面性，可以测试在多项式时间的一类值得注意的图。
2014-02-18 cs.CG cs.DM
Rectilinear Crossing Number of Graphs Excluding Single-Crossing Graphs as Minors
本文证明了排除单交叉图作为子式的图具有最优的 $O(Δn)$ 直线交叉数界，统一并改进了有界树宽图等情形的已有结果。
2024-02-23 cs.CG math.CO
Crossing Minimization in Perturbed Drawings
由于数据压缩或低分辨率，图形绘制的附近顶点和边可以被捆绑到公共节点或弧。我们用一个分段线性映射$φ:G\rightarrow \mathbb{R}^2$来模拟这样一个“妥协”的绘图。我们希望通过一个任意小的$\varepsilon>0$来扰动$φ$，使其成为一个适当的绘图（其中顶点是不同的点，任何两条边相交于许多点，并且没有三条边有一个公共的内部点），使交叉的数量最小化。对于每个$\varepsilon>0$，$\varepsilon$ -扰动由具有$\|φ-ψ_\varepsilon\|<\varepsilon$的分段线性映射$ψ_\varepsilon:G\rightarrow \mathbb{R}^2$给出，其中$\|.\|$是一致范数（即，$\sup$标准）。当$G$是一个循环并且映射$φ$没有\emphh{spurs}（即，没有两个相邻的边被映射到重叠的弧）。我们还表明，该问题成为NP-完全（i）当$G$是一个任意的图和$φ$没有spurs，（ii）当$φ$可能有spurs和$G$是一个循环或不相交的路径的联合。
2018-08-23 cs.CG
Min-$k$-planar Drawings of Graphs
本文引入min-k-平面绘制概念，推广k-平面绘制，证明边数上界并研究其与k-平面图的关系。
2024-02-08 cs.CG
Bundled Crossings Revisited
减少具有（许多）交叉点的图形绘制中的混乱的有效方法是将平行行进的边分组到\emph{bundles}中。每个边可以参与许多这样的束。该捆绑图中的任何交叉发生在两个捆绑之间，即，作为\emph{bundled crossing}。我们考虑捆绑交叉最小化问题：给定一个图，目标是找到一个最多有$k$捆绑交叉的捆绑图。我们表明，当我们需要一个简单的绘图时，这个问题是NP-难的。我们的主要结果是FPT算法（在$k$），当我们需要一个简单的圆形布局。这些结果利用了捆绑交叉和图的亏格之间的联系。
2019-09-11 cs.CG
Parameterised Partially-Predrawn Crossing Number
受部分图扩展研究的启发，我们提出了一个新的视角，传统的，可以说是最重要的几何图形参数，交叉数。具体来说，我们定义部分预绘制的交叉数是任何图形中的最小交叉数，其中一部分是在输入中规定的（不计算规定的交叉）。我们的主要成果-FPT算法计算部分预画交叉数-结合了先进的思想，从研究的经典交叉数和所谓的部分平面性在一个非常自然的，但复杂的方式。我们的技术不仅概括了已知的FPT算法的Grohe计算标准的交叉数，它们也使我们能够大大提高了一些最近的参数化结果的各种绘图扩展问题。
2022-02-28 cs.CG cs.DM
Morphing tree drawings in a small 3D grid
我们研究了使用3D的平面树绘图的无交叉网格变形。变形由变形步骤组成，其中顶点以恒定速度沿直线轨迹同时移动。在具有$\mathcal{O}(n)$变形步骤的$n$ -顶点平面图$G$的两个绘图之间已知无交叉变形，并且使用第三维度，对于$n$ -顶点树，它可以被简化为$\mathcal{O}(\log n)$ [Arseneva et al. 2019年]。然而，这些变形不限制一个实际参数，分辨率。通过使用第三维度，在保持分辨率在整个变形过程中有界的同时，步骤的数量是否可以大大减少？我们回答这个问题是肯定的，并提出了一个三维非交叉变形之间的两个平面网格绘制的$n$顶点树的$\mathcal{O}(\sqrt{n} \log n)$变形步骤。每个中间图形位于多项式体积的$3D$网格中。
2021-10-06 cs.CG
On the rectilinear crossing number of complete balanced multipartite graphs and layered graphs
本文研究完全平衡 r 部图 K_n^r 与相邻层全连接的分层图 L_n^r，通过构造直线画法给出二者直线交叉数的上界。
2025-01-09 cs.CG math.CO
On the Maximum Crossing Number
关于交叉的研究通常是关于最小化的。在本文中，我们考虑\emph{maximizing}的所有可能的方式，以绘制一个给定的图在平面上的交叉数。Alpert等人[Electron.J.Combin.，2009]说明任何图形都具有\emph{convex}直线图，例如，顶点在凸位置的一种绘图，它使边缘交叉的数目最大化。我们反驳这一猜想，通过构建一个平面图上的12个顶点，允许非凸绘图与更多的交叉比任何凸的。Bald等人[Proc. COCOON，2016]表明，计算几何图的最大交叉数是NP-困难的，并且加权几何情况是NP-困难的。我们加强了这些结果，显示硬度的逼近，甚至为非加权几何的情况下，证明了非加权拓扑的情况下是NP-困难的。
2017-05-15 cs.CG
Pole Dancing: 3D Morphs for Tree Drawings
我们研究的问题是否交叉自由的3D变形之间的两个直线图纸的$n$顶点树可以构造由少量的线性变形步骤。我们既研究两个给定图形是二维的情况，也研究它们是三维的情况。在前一种情况下，我们证明了一个无交叉的三维变形总是存在$O(\log n)$步骤，而对于后者$Θ(n)$步骤总是足够的，有时是必要的。
2018-09-03 cs.CG cs.DS math.CO
Morphing Planar Graph Drawings Through 3D
本文研究平面直线绘制间的无交叉3D变形，证明任意两个n顶点平面图的绘制可通过O(n^2)步的分段线性变形相互转换，并探讨了线性下界难以实现的原因。
2022-10-11 cs.CG cs.DS
Splitting Vertices in 2-Layer Graph Drawings
本文研究2-层图绘制中通过顶点分裂减少边交叉的优化问题，证明部分变体NP完全，为其他变体给出多项式时间算法，并在人体解剖结构与细胞类型关系基准集上验证算法。
2023-04-15 cs.CG
Crossing Numbers of Beyond-Planar Graphs
我们研究了1-平面，准平面，扇平面交叉数相比，（无限制）交叉数的图。我们证明了有$n$ -顶点1-平面（准平面，扇平面）图，使任何1-平面（准平面，扇平面）绘图有$Ω(n)$交叉，而$O(1)$交叉足够的交叉最小绘图没有限制的本地边缘交叉模式。
2019-09-09 cs.CG cs.DM
Study of Neural Network Algorithm for Straight-Line Drawings of Planar Graphs
图形绘制解决了找到满足给定美学和可理解性目标的图形布局的问题。图形绘制中最重要的目标是使图形中的交叉点的数量最小化，因为图形绘制的美观性和可读性取决于边缘交叉点的数量。具有较少交叉的VLSI布局更容易实现，因此更便宜。一个n阶平面图G的直线图是G的一个图，使得每一条边都被画成一条没有边交叉的直线段。然而，能够为大范围的图产生令人满意的结果的当前图布局方法的问题在于，它们经常对计算资源提出极高的要求。本文介绍了一种新的布局方法，该方法可以很好地绘制平面图的内凸图形，而且不需要任何繁重的预处理，只消耗很少的计算资源。在这里，我们使用两种方法：第一种方法是无监督神经网络的自组织映射（SOM），第二种方法是逆自组织映射（ISOM）。
2014-01-21 cs.CG cs.NE
Shooting Stars in Simple Drawings of $K_{m,n}$
简单绘图是两条边最多有一个公共点（公共端点或适当交叉）的图形绘图。完全二部图$K_{m,n}$的每一个简单图是否都包含一个平面生成树作为子图，这一直是一个悬而未决的问题。我们回答这个问题的积极表明，对于每一个简单的图纸$K_{m,n}$和每个顶点$v$在该图纸中，该图纸包含一个射击之星植根于$v$，也就是说，一个平面生成树包含所有的边缘事件到$v$。
2022-09-02 cs.CG math.CO
Drawing Reeb Graphs
本文研究Reeb图的绘制复杂度，证明其交叉数最小化是NP难问题，同时给出路径型、毛虫型Reeb图的无交叉绘制方案及环型Reeb图的最小交叉最优绘制算法，为Reeb图可视化研究奠定基础。
2025-05-19 cs.CG
Using Reinforcement Learning to Optimize the Global and Local Crossing Number
Technical University of Munich, Heilbronn, Germany（慕尼黑技术大学（海因斯贝格））；John Cabot University, Rome, Italy（约翰·卡博特大学）；Technical University of Munich, Garching, Germany（慕尼黑技术大学（戈林根））
将图绘制视为单玩家优化游戏，利用强化学习通过移动顶点减少边交叉，提出一种优化全局或局部交叉数的策略，在局部交叉数最小化上具有竞争力。
2026-08-10 cs.CG cs.LG
On Graph Crossing Number and Edge Planarization
给定一个n-顶点图G，G在平面上的一个绘图是它的顶点到平面上的点的映射，它的边到连续曲线的映射，连接它们的端点的图像。在这样的图形中，交点是两条这样的曲线相交的点。在最小交叉数问题中，目标是找到一个具有最小交叉数的G图。最优解的值，用OPT表示，称为图的交叉数。这是拓扑图论中一个非常基本的问题，已经受到了大量的关注，但在算法上仍然知之甚少。目前已知的最有效的算法产生的图纸与$O(\log^2 n)(n + OPT)$交叉的有界度图，而只有一个常数因子硬度的近似是已知的。一个密切相关的问题是最小边平面化，其中的目标是从G中移除边的最小基数子集，使得剩余的图是平面的。我们的主要技术结果在两个问题之间建立了以下联系：如果我们给出图G上的最小边平面化问题的代价k的解，那么我们可以有效地找到G的最多有$\poly(d)\cdot k\cdot (k+OPT)$交叉的图，其中$d$是G中的最大度。这一结果意味着一个$O(n\cdot \poly(d)\cdot \log^{3/2}n)$ -近似的最小交叉数，以及改进的算法的特殊情况下的问题，如，例如，k-顶点和有界亏格图。
2010-10-19 cs.CG cs.DS
On the geometric $k$-colored crossing number of $K_n$
本文研究完全图 $K_n$ 的几何 $k$-着色交叉数，提出一种通用程序，从低交叉初始绘图构造任意大 $n$ 的 $k$-边着色绘图，大幅改进 $k=2$ 至 $10$ 的渐近上界，并借助 MAX-$k$-CUT 公式进行启发式搜索。
2025-05-23 cs.CG cs.DM math.CO
On the size of planarly connected crossing graphs
我们证明了，如果一个$n$ -顶点图$G$可以画在平面上，使得每对交叉边是独立的，有一个交叉自由的边缘，连接他们的端点，那么$G$有$O(n)$边。允许这样绘图的图与拟平面图和极大$1$ -平面图和扇-可平面图有关.
2016-08-30 cs.CG math.CO
A New Heuristic for Rectilinear Crossing Minimization
本文提出一种基于射线投射和迭代重定位的直线交叉最小化启发式算法，其性能可与 OGDF 等经典图绘制库中的最佳方法相媲美。
2023-04-14 cs.CG
Different Types of Isomorphisms of Drawings of Complete Multipartite Graphs
本文研究完全多部图简单绘图中交叉边对、交叉顺序及旋转系统等特征间的蕴含关系，并据此界定有意义的绘图同构类型。
2023-08-21 cs.CG
Thickness and Antithickness of Graphs
本文利用粗度和反粗度的概念研究了图形中交叉与非交叉的对偶问题。图$G$的“厚度”是最小整数$k$，使得在$G$的某些绘图中，边可以被划分为$k$不交叉的子图。图$G$的“反厚度”是最小整数$k$，使得在$G$的某些绘图中，边可以被划分成$k$ thrackle，其中“thrackle”是一组边，每对边恰好相交一次。(Here具有公共端顶点$v$的边被认为相交于$v$）。因此，厚度是衡量图距离平面有多近的指标，而反厚度是衡量图距离曲面有多近的指标。本文讨论了在各种作图模型下图的厚度与反厚度之间的关系，并着重讨论了极值问题。
2018-09-13 cs.CG math.CO
Simplifying Non-Simple Fan-Planar Drawings
如果与公共边$a$相交的边在$a$的同一侧共享顶点$A$，则图的绘图是扇平面的。更准确地说，任意地定向$e$并且其它边缘朝向$A$导致交叉的一致定向。到目前为止，扇形平面绘图仅在简单绘图的上下文中考虑，其中任何两条边最多共享一个点，包括端点。我们表明，每一个非简单的扇平面图可以重画为一个简单的扇平面图相同的图形，而不引入额外的交叉。结合以前的结果扇平面图纸，这产生的$n$顶点图具有这样的图纸可以有最多$6.5n$的边缘，这样的图的识别是NP-困难的。因此，我们回答了Kaufmann和Ueckerdt在2014年提出的一个开放问题。
2021-08-30 cs.CG
